杰罗姆·达邦;加布里埃尔·兰格洛伊斯。;孟廷伟 利用神经网络结构克服某些Hamilton-Jacobi偏微分方程的维数灾难。 （英语） Zbl 1445.35119号 Res.数学。科学。 7，第3号，第20号论文，50页（2020年）. 总结：我们提出了哈密尔顿-雅可比（HJ）偏微分方程（PDE）与初始数据和神经网络结构之间新的和原始的数学联系。具体地，我们证明了一些类神经网络对应于HJ-PDE解的表示公式，其哈密顿量和初始数据是从神经网络的参数中获得的。这些结果并不依赖于神经网络的普遍逼近性质；相反，我们的结果表明，某些类别的神经网络结构自然地对某些HJ PDE中包含的物理进行编码。我们的结果自然产生了高效的基于神经网络的方法，用于评估一些HJ偏微分方程的高维解，而不使用网格或数值近似。我们还使用我们提出的结构给出了一些数值结果，用于求解一些涉及HJ偏微分方程的反问题。 引用于31文件 MSC公司： 35层21 哈密尔顿-雅可比方程 35层25 非线性一阶偏微分方程的初值问题 92C20美元 神经生物学 35兰特 PDE的反问题 关键词：浅层神经网络 软件：PPINN公司;DGM公司;亚当;PDE-网络;FPIN编号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Darbon}等人，《研究数学》。科学。7，第3号，第20号论文，50页（2020年；Zbl 1445.35119） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] AaAbid，M。；Sayah，A.，单空间变量中守恒定律熵解与Hamilton-Jacobi方程粘性解等价性的直接证明，JIPAM J.不等式。纯应用程序。数学。，7, 2, 11 (2006) ·Zbl 1133.35330号 [2] Akian，M.，Bapat，R.，Gaubert，S.：Max-plus代数。线性代数手册39，（2006） [3] 阿基安，M。；Gaubert，S。；Lakhoua，A.，求解确定性最优控制问题的max-plus有限元方法：基本性质和收敛性分析，SIAM J.control Optim。，47, 2, 817-848 (2008) ·Zbl 1157.49034号 [4] Alla，A。；法尔科内，M。；Saluzzi，L.，有限时域最优控制问题的树结构上的高效DP算法，SIAM J.Sci。计算。，41、4、A2384-A2406（2019）·Zbl 1423.49024号 [5] Alla，A。；法尔科内，M。；Volkwein，S.，通过动态规划方法对无限时域问题的POD近似进行误差分析，SIAM J.控制优化。，55, 5, 3091-3115 (2017) ·Zbl 1378.49025号 [6] Arnol’d，V.I.：经典力学的数学方法。数学研究生教材，第60卷。施普林格，纽约（1989）。由K.Vogtmann和A.Weinstein翻译自1974年的俄文原件，第二版（1989年）的修正再版 [7] Bachouch，A.，Huré，C.，Langrené，N.，Pham，H.：有限水平随机控制问题的深度神经网络算法：数值应用。arXiv预印arXiv:1812.05916（2018） [8] Banerjee，K。；乔治纳斯，E。；卡拉姆卡尔，D。；Ziv，B。；西格尔，E。；安德森，C。；Heinecke，A.，在英特尔架构上优化深度学习RNN拓扑，超级计算。前面。因诺夫。，6, 3, 64-85 (2019) [9] Bardi，M.，Capuzzo-Dolectta，I.：Hamilton-Jacobi-Bellman方程的最优控制和粘度解。系统。找到控件。申请。Birkhäuser波士顿公司，马萨诸塞州波士顿（1997年）。10.1007/978-0-8176-4755-1. 附有毛里齐奥·法尔科内和皮埃尔保罗·索拉维亚的附录·Zbl 0890.49011号 [10] 巴迪，M。；Evans，L.，关于Hamilton-Jacobi方程解的Hopf公式，非线性分析。理论、方法应用。，8, 11, 1373-1381 (1984) ·Zbl 0569.35011号 ·doi:10.1016/0362-546X（84）90020-8 [11] Barles，G.，《哈密尔顿-雅各比方程解》（1994），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 0819.35002号 [12] Barles，G。；Tourin，A.，一阶Hamilton-Jacobi方程半群的交换性质及其在多时间方程中的应用，印第安纳大学数学系。J.，50，4，1523-1544（2001）·Zbl 1044.49022号 [13] Barron，E。；埃文斯，L。；Jensen，R.，Isaacs方程的粘度解和Lipschitz控制的微分对策，J.Differ。等于。，53, 2, 213-233 (1984) ·Zbl 0548.90104号 ·doi:10.1016/0022-0396（84）90040-8 [14] Beck，C.，Becker，S.，Cheridito，P.，Jentzen，A.，Neufeld，A.：抛物线偏微分方程的深度分裂方法。(2019). arXiv预打印arXiv:1907.03452 [15] Beck，C.，Becker，S.，Grohs，P.，Jaafari，N.，Jentzen，A.：通过深度学习解决随机微分方程和Kolmogorov方程。(2018). arXiv预打印arXiv:1806.00421 [16] Beck，C.，E，W.，Jentzen，A.：高维全非线性偏微分方程和二阶倒向随机微分方程的机器学习近似算法。非线性科学杂志。29(4), 1563-1619 (2019) ·Zbl 1442.91116号 [17] 贝尔曼，RE，《自适应控制过程：导览》（1961），普林斯顿：普林斯顿大学出版社，普林斯顿·Zbl 0103.12901号 [18] 伯格，J。；Nyström，K.，复杂几何中偏微分方程的统一深度人工神经网络方法，神经计算，317，28-41（2018）·doi:10.1016/j.neucom.2018.06.056 [19] Bertsekas，DP，强化学习和最优控制（2019年），贝尔蒙特：雅典娜科学公司 [20] 波卡诺夫斯基，O。；Garcke，J。；格里贝尔，M。；Klompmaker，I.，一阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程的自适应稀疏网格半拉格朗日格式，J.Sci。计算。，55575-605（2013）·Zbl 1269.65076号 [21] Bonnans，JF；Shapiro，A.，优化问题的扰动分析（2000），纽约：Springer，纽约·兹伯利0966.49001 [22] Brenier，Y。；Osher，S.，《近似黎曼解算器和数值通量函数》，SIAM J.Numer。分析。，23, 2, 259-273 (1986) ·Zbl 0597.65071号 [23] Brenier，Y。；Osher，S.，凸标量守恒律的离散单边Lipschitz条件，SIAM J.Numer。分析。，25, 1, 8-23 (1988) ·Zbl 0637.65090号 ·doi:10.1137/0725002 [24] Buckdahn，R。；Cardaliaguet，P。；Quincampoix，M.，微分对策理论的一些最新方面，Dyn。游戏应用程序。，1, 1, 74-114 (2011) ·Zbl 1214.91013号 ·doi:10.1007/s13235-010-0005-0 [25] Carathéodory，C.：变分法和一阶偏微分方程。第一部分：一阶偏微分方程。罗伯特·迪恩和朱利叶斯·布兰德斯塔特译。Holden-Day，Inc.，旧金山-隆登-阿姆斯特丹（1965）·Zbl 0134.31004号 [26] Carathéodory，C.：变分法和一阶偏微分方程。第二部分：变分法。翻译编辑罗伯特·迪恩（Robert B.Dean）、朱利叶斯·布兰德斯塔特（Julius J.Brandstatter）译自德语。Holden-Day，Inc.，旧金山-隆登-阿姆斯特丹（1967）·Zbl 0152.31602号 [27] 卡丹，F。；维特博，C.，《交换哈密顿量和哈密尔顿-雅可比多时间方程》，杜克数学。J.，144，2，235-284（2008）·Zbl 1153.37029号 ·doi:10.1215/00127094-2008-036 [28] Caselles，V.，单空间变量中的标量守恒定律和Hamilton-Jacobi方程，非线性分析。理论方法应用。，18461-469（1992年）·Zbl 0755.35067号 ·doi:10.1016/0362-546X（92）90013-5 [29] 陈伟南，Q。；Mikael，J。；Warin，X.，《半线性偏微分方程的机器学习》，J.Sci。计算。，1667-1712年3月79日（2019年）·Zbl 1433.68332号 [30] Chen，T。；范·盖尔德，J。；范德文，B。；阿米托诺夫，SV；德王尔德，B。；欧拉，HCR；Broersma，H。；宾夕法尼亚州鲍伯特；Zwanenburg，FA；van der Wiel，WG，《硅中无序掺杂原子网络的分类》，《自然》，577790341-345（2020） [31] Cheng，T.，Lewis，F.L.：使用神经网络HJB方法对非线性系统进行固定最终时间约束最优控制。摘自：第45届IEEE决策与控制会议记录，第3016-3021页（2006年）。10.1109/CDC.2006.377523 [32] Corrias，L.，Falcone，M.，Natalini，R.：通过Hamilton-Jacobi方程求解守恒定律的数值方案。数学。计算。64（210），555-580，S13-S18（1995）。10.2307/2153439 ·Zbl 0827.65085号 [33] 库兰特，R.，希尔伯特，D.：数学物理方法。第二卷。威利经典图书馆。威利：纽约（1989）。偏微分方程，1962年原版再版，Wiley-Interscience出版物·Zbl 0729.35001号 [34] 克兰德尔，MG；石井，H。；Lions，PL，二阶偏微分方程粘度解用户指南，Bull。数学。《社会学杂志》，27，1，1-67（1992）·Zbl 0755.35015号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1992-00266-5 [35] Cybenko，G.，通过sigmoid函数的叠加进行逼近，数学。控制信号系统。，2, 4, 303-314 (1989) ·Zbl 0679.94019号 ·doi:10.1007/BF02551274文件 [36] Dafermos，CM，守恒定律初值问题解的多边形近似，J.Math。分析。申请。，38, 1, 33-41 (1972) ·兹伯利0233.35014 ·doi:10.1016/0022-247X（72）90114-X [37] Dafermos，C.M.：连续介质物理学中的双曲守恒律，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，第325卷，第4版。施普林格，柏林（2016）。10.1007/978-3-662-49451-6 ·Zbl 1364.35003号 [38] Darbon，J.，《成像科学中的凸有限维变分方法和Hamilton-Jacobi方程》，SIAM J.成像科学。，8, 4, 2268-2293 (2015) ·Zbl 1330.35076号 ·doi:10.1137/130944163 [39] Darbon，J.，Meng，T.：关于成像科学中的分解模型和多时间Hamilton-Jacobi偏微分方程。(2019). arXiv预打印arXiv:1906.09502 [40] Darbon，J。；Osher，S.，《控制理论和其他领域中出现的某些Hamilton-Jacobi方程克服维数灾难的算法》，《数学研究》。科学。，3, 1, 19 (2016) ·Zbl 1348.49026号 ·doi:10.1186/s40687-016-0068-7 [41] 迪萨纳亚克，MWMG；Phan-Thien，N.，解偏微分方程的基于神经网络的近似，Commun。数字。方法工程，10，3，195-201（1994）·Zbl 0802.65102号 ·doi:10.1002/cnm.1640100303 [42] Djeridane，B.，Lygeros，J.：PDE解的神经近似：可达性计算的应用。摘自：第45届IEEE决策与控制会议记录，第3034-3039页（2006年）。10.1109/CDC.2006.377184 [43] Dockhorn，T.：关于使用神经网络求解偏微分方程的讨论。(2019). arXiv预打印arXiv:1904.07200 [44] Dolgov，S.、Kalise，D.、Kunisch，K.：高维Hamilton-Jacobi-Bellman方程的张量分解方法。(2019). arXiv预打印arXiv:1908.01533 [45] Dower，P.M.，McEneaney，W.M.，Zhang，H.：最优控制问题的Max-plus基本解半群。摘自：《2015年控制及其应用会议记录》，第368-375页。SIAM（2015） [46] Elliott，R.J.：《粘度溶液和最优控制》，皮特曼数学系列研究笔记，第165卷。朗曼科技，哈洛；威利，纽约（1987）·Zbl 0713.49035号 [47] Evans，L.C.：偏微分方程，《数学研究生》，第19卷，第二版。美国数学学会，普罗维登斯，RI（2010）。10.1090/gsm/019·兹比尔1194.35001 [48] 伊文斯，LC；Gariepy，RF，《函数的测度理论和精细特性》（2015），博卡拉顿：CRC出版社，博卡拉通·兹比尔1310.28001 [49] 伊文斯，LC；Souganidis，PE，微分对策和哈密尔顿-雅各布-伊萨克斯方程解的表示公式，印第安纳大学数学系。J.，33，5，773-797（1984）·Zbl 1169.91317号 [50] Farabet，C。；乐村，Y。；Kavukcuoglu，K。；Culurciello，E。；马提尼，B。；Akselrod，P。；Talay，S。；Bekkerman，R。；比伦科，M。；Langford，J.，《基于大规模fpga的卷积网络》，《放大机器学习：并行和分布式方法》（2011），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥 [51] Farabet，C.、poulet，C.，Han，J.、LeCun，Y.：CNP：基于FPGA的卷积网络处理器。参加：现场可编程逻辑和应用国际会议。IEEE，布拉格（2009） [52] Farabet，C.、Poulet，C.和LeCun，Y.：基于FPGA的流处理器，用于带有卷积网络的嵌入式实时视觉。2009年IEEE第12届国际计算机视觉研讨会，ICCV研讨会，第878-885页。IEEE计算机学会，美国加利福尼亚州洛斯阿拉米托斯（2009）。10.1109/ICCVW.2009.5457611 [53] Farimani，A.B.，Gomes，J.，Pande，V.S.：深入学习运输现象的物理学。arXiv电子版（2017） [54] 弗莱明，W。；McEneaney，W.，非线性滤波Hamilton-Jacobi-Bellman方程的基于max-plus的算法，SIAM J.Control Optim。，38, 3, 683-710 (2000) ·Zbl 0949.35039号 ·doi:10.1137/S0363012998332433 [55] 弗莱明，WH；Rishel，RW，确定性和随机最优控制，布尔。数学。Soc.，82，869-870（1976年） [56] 弗莱明，WH；Soner，HM，受控马尔可夫过程和粘度解决方案（2006），纽约：Springer，纽约·兹比尔1105.60005 [57] 英国福兰德，《真实分析：现代技术及其应用》（2013），霍博肯：威利 [58] Fujii，M。；高桥，A。；Takahashi，M.，高维BSDE深度学习方法中作为先验知识的渐近展开，亚太金融。作记号。，26, 3, 391-408 (2019) ·Zbl 1422.91694号 ·doi:10.1007/s10690-019-09271-7 [59] Garcke，J。；Kröner，A.，通过在自适应稀疏网格上求解HJB方程对PDE进行次优反馈控制，J.Sci。计算。，70, 1, 1-28 (2017) ·Zbl 1434.49020号 [60] Gaubert，S.，McEneaney，W.，Qu，Z.：基于max-plus的近似方法中维数减少的诅咒：理论估计和改进的剪枝算法。2011年第50届IEEE决策与控制会议和欧洲控制会议，第1054-1061页。IEEE（2011） [61] 古德费罗，我。；Y.本吉奥。；Courville，A.，《深度学习》（2016），纽约：麻省理工学院出版社，纽约·Zbl 1373.68009号 [62] Grohs，P.，Jentzen，A.，Salimova，D.：蒙特卡罗算法的深度神经网络近似。(2019). arXiv预打印arXiv:1908.10828 [63] Grüne，L.：克服在小增益条件下用深度神经网络逼近lyapunov函数的维数灾难。(2020). arXiv预打印arXiv:2001.08423 [64] Han，J.，Jentzen，A.，E，W.：使用深度学习解决高维偏微分方程。程序。国家。阿卡德。科学。115(34), 8505-8510 (2018). 10.1073/pnas.1718942115·Zbl 1416.35137号 [65] Han，J.，Zhang，L.，E，W.：使用深度神经网络求解多电子薛定谔方程。J.计算。物理学。108929 (2019) ·Zbl 1457.81010号 [66] He，K.，Zhang，X.，Ren，S.，Sun，J.：用于图像识别的深度残差学习。2016年IEEE计算机视觉和模式识别会议（CVPR），第770-778页（2016）。10.1109/CVPR.2016.90 [67] 希里亚特·乌鲁蒂，JB；Lemaréchal，C.，凸分析和最小化算法I：基础（1993），纽约：Springer，纽约·Zbl 0795.49001号 [68] 希里亚特·乌鲁蒂，JB；Lemaréchal，C.，凸分析和最小化算法II：高级理论和束方法（1993），纽约：Springer，纽约·Zbl 0795.49002号 [69] Hirjibehedin，C.，《机器学习电路的进化》，《自然》，577320-321（2020）·数字对象标识代码：10.1038/d41586-020-00002-x [70] Hopf，E.，一阶非线性方程的广义解，J.Math。机械。，14, 951-973 (1965) ·兹伯利0168.35101 [71] Hornik，K.，多层前馈网络的逼近能力，神经网络。，4, 2, 251-257 (1991) ·doi:10.1016/0893-6080（91）90009-T [72] 霍尼克，K。；Stinchcombe，M。；White，H.，多层前馈网络是通用逼近器，神经网络。，2, 5, 359-366 (1989) ·Zbl 1383.92015年 ·doi:10.1016/0893-6080（89）90020-8 [73] Horowitz，M.B.，Damle，A.，Burdick，J.W.：高维线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程。摘自：第53届IEEE决策与控制会议，第5880-5887页。IEEE（2014） [74] Hsieh，J.T.，Zhao，S.，Eismann，S.、Mirabella，L.、Ermon，S.：学习具有收敛保证的神经PDE解算器。参加：国际学习代表大会（2019年） [75] 胡，C。；Shu，C.，Hamilton-Jacobi方程的间断Galerkin有限元方法，SIAM J.Sci。计算。，21, 2, 666-690 (1999) ·Zbl 0946.65090号 ·doi:10.1137/S1064827598337282 [76] Huré，C.，Pham，H.，Bachouch，A.，Langrené，N.：有限时域随机控制问题的深度神经网络算法，第一部分：收敛性分析。(2018). arXiv预打印arXiv:1812.04300 [77] Huré，C.，Pham，H.，Warin，X.：高维非线性偏微分方程的一些机器学习方案。(2019). arXiv预打印arXiv:1902.01599·Zbl 1440.60063号 [78] Hutzenthaler，M.，Jentzen，A.，Kruse，T.，Nguyen，T.A.：证明校正的深层神经网络在半线性热方程的数值近似中克服了维数灾难。序号部分差异。埃克。申请。1(10), (2020) ·Zbl 1455.65200元 [79] Hutzenthaler，M.，Jentzen，A.，Kruse，T.，Nguyen，T.A.，von Wurstemberger，P.：克服半线性抛物型偏微分方程数值逼近中的维数灾难（2018） [80] Hutzenthaler，M.，Jentzen，A.，von Wurstemberger，P.：克服具有违约风险的金融衍生品近似定价中的维度诅咒（2019年） [81] Hutzenthaler，M。；Kruse，T.，具有梯度相关非线性的高维半线性抛物型微分方程的多级皮卡近似，SIAM J.Numer。分析。，58, 2, 929-961 (2020) ·doi:10.1137/17M1157015 [82] Ishii，H.，Hamilton-Jacobi方程解的表示，非线性分析。理论、方法应用。，12, 2, 121-146 (1988) ·Zbl 0687.35025号 ·doi:10.1016/0362-546X（88）90030-2 [83] Jiang，F.，Chou，G.，Chen，M.，Tomlin，C.J.：使用神经网络计算近似可行的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程解。(2016). arXiv预打印arXiv:1611.03158 [84] 江，G。；Peng，D.，Hamilton-Jacobi方程的加权ENO格式，SIAM J.Sci。计算。，21, 6, 2126-2143 (2000) ·Zbl 0957.35014号 ·doi:10.137/S106482759732455X [85] L.Jianyu。；司伟，L。；英健，Q。；Yaping，H.，利用径向基函数神经网络求解椭圆偏微分方程，神经网络。，16, 5-6, 729-734 (2003) [86] Jin，S。；Xin，Z.，从守恒定律系统到Hamilton-Jacobi方程和松弛格式的数值通道，SIAM J.Numer。分析。，35, 6, 2385-2404 (1998) ·Zbl 0921.65063号 ·doi:10.1137/S0036142996314366 [87] Jouppi，N.P.、Young，C.、Patil，N.、Patterson，D.、Agrawal，G.、Bajwa，R.、Bates，S.、Bhatia，S.，Boden，N.，Borchers，A.等人：张量处理单元的In-datacenter性能分析。摘自：第44届计算机体系结构国际研讨会论文集，ISCA’17，第1-12页。美国纽约州纽约市计算机协会（2017年）。10.1145/30798563080246 [88] Kalise，D.，Kundu，S.，Kunisch，K.：通过高维Hamilton-Jacobi-Isaacs方程的数值近似实现非线性偏微分方程的鲁棒反馈控制。(2019). arXiv预打印arXiv:1905.06276·兹比尔1443.49041 [89] Kalise，D。；Kunisch，K.，高维Hamilton-Jacobi-Bellman方程的多项式逼近及其在半线性抛物型偏微分方程反馈控制中的应用，SIAM J.Sci。计算。，40、2、A629-A652（2018）·Zbl 1385.49022号 [90] Kang，W。；Wilcox，LC，《减轻维数灾难：最优反馈控制和HJB方程的稀疏网格特征法》，计算。最佳方案。申请。，68, 2, 289-315 (2017) ·Zbl 1383.49045号 [91] 卡尔森，K。；Risebro，H.，关于波前跟踪和Hamilton-Jacobi方程粘度解与标量守恒定律熵解之间的等价性的注记，非线性分析。(2002) ·Zbl 1010.35026号 ·doi:10.1016/S0362-546X（01）00753-2 [92] Khoo，Y.，Lu，J.，Ying，L.：用人工神经网络解决参数PDE问题。(2017). arXiv预打印arXiv:1707.03351 [93] Khoo，Y。；卢，J。；Ying，L.，使用人工神经网络求解高维承诺函数，研究数学。科学。，6, 1, 1 (2019) ·Zbl 1498.60222号 [94] Kingma，D.，Ba，J.：亚当：一种随机优化方法。摘自：第三届国际学习代表大会（ICLR 2015）会议记录（2015） [95] Kruíkov，SN，具有多个自变量的非线性一阶方程的广义解II，数学。苏联斯博尼克，1,193-116（1967）·Zbl 0164.40802号 ·doi:10.1070/sm1967v001n01abeh001969 [96] Kundu，A.，Srinivasan，S.，Qin，E.C.，Kalamkar，D.，Mellempudi，N.K.，Das，D.，Banerjee，K.，Kaul，B.，Dubey，P.：K-tanh：深度学习的硬件高效激活（2019） [97] Kunisch，K。；Volkwein，S。；Xie，L.，进化问题最优控制的基于HJB POD的反馈设计，SIAM J.Appl。动态。系统。，3, 4, 701-722 (2004) ·Zbl 1058.35061号 [98] 拉加里斯，IE；利卡斯，A。；Fotiadis，DI，求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络，IEEE Trans。神经网络。，9, 5, 987-1000 (1998) ·数字对象标识代码：10.1109/72.712178 [99] IE拉加里斯；利卡斯，AC；Papageorgiou，DG，不规则边界边值问题的神经网络方法，IEEE Trans。神经网络。，11, 5, 1041-1049 (2000) ·数字对象标识代码：10.1109/72.870037 [100] Lambrianides，P.，Gong，Q.，Venturi，D.：不确定性下计算最优控制的一种新的可扩展算法。(2019). arXiv预印arXiv:1909.07960 [101] Landau，L.，Lifschic，E.：理论物理课程。第一卷：力学。牛津，（1978） [102] LeCun，Y.：1.1深度学习硬件：过去、现在和未来。2019年IEEE国际固态电路会议（ISSCC），第12-19页（2019年）。10.1109/ISSCC.2019.8662396 [103] 乐村，Y。；Y.本吉奥。；Hinton，G.，《深度学习》，《自然》，521，7553，436-444（2015） [104] Lee，H。；Kang，IS，求解微分方程的神经算法，J.Compute。物理。，91, 1, 110-131 (1990) ·Zbl 0717.65062号 [105] 狮子，PL；罗切特，JC，霍普夫公式和多重Hamilton-Jacobi方程，Proc。数学。Soc.，96，1，79-84（1986）·Zbl 0597.35079号 [106] 狮子，PL；Souganidis，PE，标量守恒定律和Hamilton-Jacobi方程的MUSCL和滤波格式的收敛，数值数学，69，4，441-470（1995）·Zbl 0834.65087号 ·doi:10.1007/s002110050102 [107] 长，Z。；卢，Y。；Dong，B.，PDE-net 2.0：使用数字符号混合深度网络从数据中学习PDE，J.Compute。物理。，399, 108925 (2019) ·Zbl 1454.65131号 ·doi:10.1016/j.jp.2019.108925文件 [108] Long，Z.，Lu，Y.，Ma，X.，Dong，B.：PDE-net：从数据中学习PDE。(2017). arXiv预打印arXiv:1710.09668 [109] Lye，K.O.，Mishra，S.，Ray，D.：计算流体动力学中的深度学习可观察性。(2019). arXiv预打印arXiv:1903.03040·Zbl 1436.76051号 [110] McEneaney，W.，非线性控制和估计的Max Plus方法（2006），纽约：施普林格，纽约·Zbl 1103.93005号 [111] McEneaney，W.，解某些HJB偏微分方程的无维数诅咒数值方法，SIAM J.Control Optim。，46, 4, 1239-1276 (2007) ·Zbl 1251.65168号 ·doi:10.1137/040610830 [112] McEneaney，W.M.，Deshpande，A.，Gaubert，S.：HJB PDE无维数诅咒方法中的复杂度衰减。摘自：2008年美国控制会议，第4684-4690页。IEEE（2008） [113] 威斯康星州麦肯尼；Kluberg，LJ，一类HJB偏微分方程无诅咒维数方法的收敛速度，SIAM J.控制优化。，48, 5, 3052-3079 (2009) ·Zbl 1218.35074号 [114] 堪萨斯州麦克法尔；Mahan，JR，求解精确满足任意边界条件的边值问题的人工神经网络方法，IEEE Trans。神经网络。，20, 8, 1221-1233 (2009) ·doi:10.1109/TNN.2009.2020735 [115] 米德，A。；Fernandez，A.，用前馈神经网络求解线性常微分方程，数学。计算。型号1。，19, 12, 1-25 (1994) ·Zbl 0807.65079号 ·doi:10.1016/0895-7177（94）90095-7 [116] Meng，X.，Karniadakis，G.E.：从多保真数据中学习的复合神经网络：在函数逼近和PDE逆问题中的应用。(2019). arXiv预打印arXiv:1903.00104 [117] Meng，X.，Li，Z.，Zhang，D.，Karniadakis，G.E.:PPINN:时间依赖性PDE的准真实物理信息神经网络。(2019). arXiv预打印arXiv:1909.10145 [118] 英国石油公司van Milligen；Tribaldos，V。；Jiménez，JA，神经网络微分方程和等离子体平衡求解器，物理。修订稿。，75, 3594-3597 (1995) ·doi:10.1103/PhysRevLett.75.3594 [119] 莫塔，M。；Rampazzo，F.，非光滑多时间Hamilton-Jacobi系统，印第安纳大学数学系。J.，第55页，第5页，1573-1614页（2006年）·Zbl 1114.49031号 [120] Niarcos，K.N.，Lygeros，J.：连续时间可达性计算的神经近似。载：《第45届IEEE决策与控制会议论文集》，第6313-6318页（2006年）。10.1109/CDC.2006.377358 [121] Osher，S。；Shu，C.，Hamilton-Jacobi方程的高阶本质非振荡格式，SIAM J.Numer。分析。，1991年4月28日至92日·Zbl 0736.65066号 ·doi:10.1137/0728049 [122] 庞，G。；卢，L。；Karniadakis，GE，fPINNs:分数物理信息神经网络，SIAM J.Sci。计算。，41、4、A2603-A2626（2019）·Zbl 1420.35459号 [123] Pham，H.，Pham，H，Warin，X.：基于神经网络的完全非线性偏微分方程反向方案。(2019). arXiv预打印arXiv:1908.00412 [124] Pinkus，A.：神经网络中MLP模型的近似理论。收录：1999年《数字学报》。，第8卷，第143-195页。剑桥大学出版社，剑桥（1999）·Zbl 0959.68109号 [125] Plaskacz，S。；Quincampoix，M.，Oleinik-Lax公式和多重Hamilton-Jacobi系统，非线性分析。理论、方法应用。，51, 6, 957-967 (2002) ·Zbl 1019.49028号 ·doi:10.1016/S0362-546X（01）00871-9 [126] Raissi，M.，《深层隐藏物理模型：非线性偏微分方程的深层学习》，J.Mach。学习。第19、1932-955号决议（2018年）·Zbl 1439.68021号 [127] Raissi，M.：前向随机神经网络：高维偏微分方程的深度学习。(2018). arXiv预打印arXiv:1804.07010 [128] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，G.，《基于物理的神经网络：用于解决涉及非线性偏微分方程的正向和反向问题的深度学习框架》，J.Compute。物理。，378, 686-707 (2019) ·Zbl 1415.68175号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.10.045 [129] Raissi，M.，Perdikaris，P.，Karniadakis，G.E.：物理学为深度学习提供了信息（第一部分）：非线性偏微分方程的数据驱动解。(2017). arXiv预印本arXiv:1711.10561·Zbl 1382.65229号 [130] Raissi，M.，Perdikaris，P.，Karniadakis，G.E.：物理学为深度学习提供了信息（第二部分）：非线性偏微分方程的数据驱动发现。(2017). arXiv预印本arXiv：1711.10566·Zbl 1380.68339号 [131] Reisinger，C.，Zhang，Y.：校正深度神经网络克服了非线性刚性系统零和对策中非光滑值函数的维数灾难。(2019). arXiv预印本arXiv:1903.06652 [132] 罗切特，J.，《税收原理和多时间哈密尔顿-雅可比方程》，J.数学。经济。，14, 2, 113-128 (1985) ·Zbl 0594.90006号 ·doi:10.1016/0304-4068（85）90015-1 [133] Rockafellar，RT，凸分析（1970），普林斯顿：普林斯顿大学出版社，普林斯顿·Zbl 0193.18401号 [134] Royo，V.R.，Tomlin，C.：神经网络递归回归：近似HJI PDE解。(2016). arXiv预打印arXiv:1611.02739 [135] 陆克文，K。；墨罗，GD；Ferrari，S.，偏微分方程自适应解的约束反向传播方法，IEEE Trans。神经网络。学习。系统。，25, 3, 571-584 (2014) ·doi:10.1109/TNNLS.2013.2277601 [136] Ruthotto，L.、Osher，S.、Li，W.、Nurbekyan，L.和Fung，S.W.：用于解决高维平均场博弈和平均场控制问题的机器学习框架。(2019). arXiv预打印arXiv:1912.01825 [137] Schmidhuber，J.，《神经网络中的深度学习：概述》，神经网络。，61, 85-117 (2015) ·doi:10.1016/j.neunet.2014.09.003 [138] 西里尼亚诺，J。；Spiliopoulos，K.，DGM：解偏微分方程的深度学习算法，J.Compute。物理。，375, 1339-1364 (2018) ·Zbl 1416.65394号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.08.029 [139] Tang，W.，Shan，T.，Dang，X.，Li，M.，Yang，F.，Xu，S.，Wu，J.：基于深度学习技术的泊松方程求解器研究。2017年IEEE高级封装和系统电气设计研讨会（EDAPS），第1-3页（2017年）。10.1109/EDAPS.2017.8277017 [140] 塔萨，Y。；Erez，T.，HJB方程的最小二乘解与神经网络值函数逼近器，IEEE Trans。神经网络。，18, 4, 1031-1041 (2007) ·doi:10.1109/TNN.2007.899249 [141] Tho，N.，多时间Hamilton-Jacobi方程的Hopf-Lax-Oleinik型公式，《数学学报》。越南，30，275-287（2005）·兹比尔1090.35062 [142] Todorov，E.，最优行动的有效计算，Proc。国家。阿卡德。科学。，106, 28, 11478-11483 (2009) ·兹比尔1203.68327 [143] Uchiyama，T.，Sonehara，N.：用递归神经网络解决非线性偏微分方程中的逆问题。摘自：IEEE神经网络国际会议，第99-102页。IEEE（1993年） [144] E、 W.，Yu，B.：deep Ritz方法：一种基于深度学习的数值算法，用于解决变分问题。Commun公司。数学。统计数据6（1），1-12（2018）·Zbl 1392.35306号 [145] E、 W.，Han，J.，Jentzen，A.：基于深度学习的高维抛物型偏微分方程和倒向随机微分方程数值方法。Commun公司。数学。《统计》第5（4）卷，第349-380页（2017年）。2007年10月14日/40304-017-0117-6·Zbl 1382.65016号 [146] E、 W.，Hutzenthaler，M.，Jentzen，A.，Kruse，T.：求解光滑半线性抛物型热方程的多级皮卡迭代（2016） [147] Widder，DV，《热量方程》（1976），纽约：学术出版社，纽约 [148] Yadav，N.、Yadav、A.、Kumar，M.：微分方程神经网络方法简介。施普林格应用科学与技术简报。施普林格，多德雷赫特（2015）。10.1007/978-94-017-9816-7 ·Zbl 1328.92006年 [149] Yang，L.，Zhang，D.，Karniadakis，G.E.：随机微分方程的物理信息生成对抗网络。(2018). arXiv预打印arXiv:1811.02033·Zbl 1440.60065号 [150] Yang，Y。；Perdikaris，P.，《物理信息神经网络中的对抗不确定性量化》，J.Compute。物理。，394, 136-152 (2019) ·Zbl 1452.68171号 [151] Yegorov，I.，Dower，P.M.：关于基于特征的无维数诅咒数值方法的观点，用于求解Hamilton-Jacobi方程。申请。数学。最佳方案。1-49 (2017) ·Zbl 1461.49028号 [152] Zhang，D.，Guo，L.，Karniadakis，G.E.：在模态空间中学习：使用基于物理的神经网络求解时间相关的随机偏微分方程。(2019). arXiv预打印arXiv:1905.01205·Zbl 1440.60067号 [153] 张博士。；卢，L。；郭，L。；通用电气公司Karniadakis，《量化物理信息神经网络中用于解决正向和反向随机问题的总不确定性》，J.Compute。物理。，397, 108850 (2019) ·Zbl 1454.65008号 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