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关于计算形式为\(2^n+p\)的整数的密度。 (英语) Zbl 1450.11103号

本文讨论整数的2次幂与素数之和的表示。De Polignac在1849年推测,每个奇数正整数都可以用这种形式表示,但后来欧拉已经给出了公认的反例。1950年,范德科尔普特[西蒙·斯特文27、99–105(1950;Zbl 0037.16901号)]和P.Erdős公司[Summa Brasil.数学2,113–123(1950;Zbl 0041.36808号)]独立地证明了奇数正整数的一个正比例不能用这种形式表示。设(a(x))是可以用这种形式来表示的不超过(x)的奇正整数的个数\[\增量=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{A(x)}{x}\] exists仍然是开放的,但启发式和计算指向了它确实存在的方向。1977年,Bombieri(在私人通信中)指出了一种计算方法,只要存在这种密度。他考虑了一个无平方整数的随机序列((Q_k)_{k\in\mathbb{N}})和(Q_k|Q_{k+1}),每个(k)都有一个随机序列(mathcal{T}(T)_{Q_k}\)由整数互素组成,与(Q_k\)具有与素数集相同的渐近分布。他推测可表示为具有(n in mathbb{n})和(t in mathcal)的整数集{T}(T)_{Q_k}\)的密度\(\delta_{Q_k}\)仅取决于\(Q_k \),为此他声称了一个公式。此外,他推测,当(k)趋于无穷大时,(δ{Q_k})应该趋向于(δ)。作者通过证明Bombieri公式确实适用于通用的集合\(\mathcal{T}(T)_{Q_k}\)。为此,他们使用了圆形方法。然后,他们对特定序列进行数值逼近,其中(Q_k)是第一个(k)素数的乘积。由于这些(Q_k)随着(k)的增加而迅速增长,计算机计算的复杂性也随之增加。因此,需要非平凡的参数和仔细的编程才能获得大(k)的合理近似值。在文章的最后一节,作者采用直接计算的方法来计算非常大的量(x)的量(a(x)/x),这同样需要注意。两种方法的结果是一致的,并表明\(δ=0.4375…\)。

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第12页 哥德巴赫型定理;涉及素数的其他加法问题

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参考文献:

[1] Paul T.贝特曼。;Horn,Roger A.,关于素数分布的启发式渐近公式,数学。公司。,16, 363-367 (1962) ·Zbl 0105.03302号 ·doi:10.2307/200456
[2] 浴缸65 P。T。贝特曼和R。答:。Horn,在一个变量中用不可约多项式表示的素数。程序。交响乐,纯数学。8 (1965), 119-132. ·Zbl 0136.32902号
[3] Bo77东侧。Bombieri,《私人通信》,1977年。
[4] Tony F.Chan。;Golub,Gene H。;LeVeque,Randall J.,《计算样本方差的算法:分析和建议》,Amer。统计人员。,37, 3, 242-247 (1983) ·兹伯利0521.65098 ·doi:10.2307/2683386
[5] 陈永高;孙学功,《论罗曼诺夫常数》,《数论》,106,2,275-284(2004)·Zbl 1049.11106号 ·doi:10.1016/j.jnt.2003.11.009
[6] dP49 A.de Polignac,《诺姆布雷斯河畔的新浪潮》首映式,C.R.Acad。科学。巴黎S\er.29(1849),“397-401”。
[7] Erd\H os,P.,关于形式为(2^k+P)的整数及其相关问题,巴西摘要。数学。,2, 113-123 (1950) ·Zbl 0041.36808号
[8] 罗朗·哈比格(Laurent Habsieger);夏维埃·弗兰·罗布洛{c} 操作系统,关于形式为\(p+2^k\)的整数,Acta Arith。,122, 1, 45-50 (2006) ·Zbl 1131.11064号 ·doi:10.4064/aa122-1-4
[9] Higham,Nicholas J.,《数值算法的准确性和稳定性》,xxx+680 pp.(2002),工业和应用数学学会(SIAM),宾夕法尼亚州费城·Zbl 1011.65010号 ·数字对象标识代码:10.1137/1.9780898718027
[10] Ka65 W.Kahan,关于减少截断误差的进一步评论,Commun。ACM 8(1965),第1期,第40页。
[11] 李洪泽;潘浩,《重新审视罗曼诺夫定理》,《阿里斯学报》。,135, 2, 137-142 (2008) ·Zbl 1229.11130号 ·doi:10.40064/aa135-2-3
[12] MP15 M.Madritsch和S.Planitzer,数字域中的罗曼诺夫定理,技术报告,arXiv:1512.048692015。
[13] 潘浩;张伟,关于形式为(p^2+b^2+2^n)和(b^2_1+b^2\o2+2^{n^2})的整数,数学。公司。,80, 275, 1849-1864 (2011) ·Zbl 1293.11100号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2011-02445-2
[14] Pintz,J.,关于罗曼诺夫常数的注释,《数学学报》。匈牙利。,112, 1-2, 1-14 (2006) ·Zbl 1121.11068号 ·doi:10.1007/s10474-006-0060-6
[15] Romani,F.,《素数和二次幂的计算》,Calcolo,20,3,319-336(1984)(1983)·兹伯利0545.10038 ·doi:10.1007/BF02576468
[16] 特斯·F。罗马尼,《计算机技术应用于加性序列研究》,博士论文,Scuola Normale Superiore di Pisa,1978年。主管:E.Bombieri。
[17] 北卡罗来纳州罗曼诺夫“{U} 错误率einige S“{a} tze公司der additiven Zahlentheorie,数学。年鉴,109,1668-678(1934)·Zbl 0009.00801号 ·doi:10.1007/BF01449161
[18] Schinzel,A.,在论文“Sur certaines hypheses concern les nombres premises”上的评论,《阿里思学报》。,7, 1-8 (1961/62) ·Zbl 0101.27902号 ·doi:10.4064/aa-7-1-1-8
[19] Schinzel,A.,贝特曼和霍恩数学论文评论。公司。,17, 445-447 (1963) ·Zbl 0116.26903号 ·doi:10.2307/2004008
[20] 范德科尔普特(J.G.van der Corput),《论德波利尼亚克的猜想》,西蒙·斯特文(Simon Stevin),2799-105(1950)·Zbl 0037.16901号
[21] Vaughan,R.C.,《Hardy-Littlewood方法》,剑桥数学丛书80,xi+172页(1981),剑桥大学出版社,剑桥-纽约·Zbl 0455.10034号
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