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所有一致性均低于稳定性保持公平测试或CFFD。 (英语) Zbl 1452.68128号

本文主要研究过程代数中的同余关系。各种类型的等价物被用来描述并行程序的行为。行为可以与分支双相似性进行比较R.J.范格拉贝克W.P.魏杰兰[J.ACM 43,第3期,555–600(1996年;Zbl 0882.68085号)],引入弱双相似性[R.米尔纳通信和并发。纽约:普伦蒂斯·霍尔(1989;Zbl 0683.68008号)],CSP失效发散等效[A.W.罗斯科,了解并发系统。伦敦:施普林格出版社(2010;Zbl 1211.68205号)],无混沌故障发散(CFFD)等价[A.瓦尔马里M.Tienari先生,正式Asp。计算。7,第4期,440-468(1995年;Zbl 0838.68076号)],以及许多其他等效项。他们中没有一个被广泛认为是“类似行为”最自然或最正确的概念。本文提出了解决这个问题的方法,并继续了作者从年开始的研究[A.瓦尔马里,“公平测试与初始稳定性的一致性”,载于:第16届并发应用于系统设计国际会议论文集,ACSD 2016。加利福尼亚州洛斯·阿拉米托斯:IEEE计算机协会。25–34 (2016)].
在第2节中,回顾了用于建模过程的标记转换系统(LTS)的定义。LTS是一个元组((S,\Sigma,\Delta,\hat{S}),其中\(S)是一组状态,\(\Sigma\)是一个字母表,例如\(\varepsilon\notin\Sigma-)和\(\tau\notin\ Sigma),\(Delta\ substeq S\ times(\ Sigma\cup\{tau\})\ times)是一系列转换,\(th{S}\)是初始状态。转换\(s,a,s')\也可以表示为\(s \ overset{a}\rightarrows s'\)。名称\(s \ overset{a}\rightarrow\)意味着s \中存在\(s’\),使得\(s \ overset{a}\rightarrow\)。回顾了并行组合“\(||\)”和选择运算符“+”的定义。
对于标记转移系统集(或类)上的任意一元算子op,等价关系“(cong)”被称为关于op的同余当且仅当对于任何(L\)和(L'\),(L\cong L'\\(\operatorname{op}(L)\cong\operator name{op{(L')\)。
关于并行组合的同余定义为关于两个一元运算符的同余{op}_1(五十) =L_1||L\)和\(\operatorname{op}_2(操作}_2)(五十) =L||L_2\)。由于并行组合是可交换的,这相当于说这个同余是关于\(\operatorname的同余{op}_1(五十) \)。关于“+”的同余定义类似。如果\(f(L_1,\ldots,L_n)\)是一个表达式,\(L_i\cong L'_i)表示\(1\leq i\leq n \),并且“\(\cong \)”是关于\(f \)中使用的所有运算符的同余,则\(f。
LTS(L)被称为不稳定if(hat{s}\overset{tau}\rightarrow\),否则称为稳定。如果\(L\)是稳定的,那么我们定义\(\operatorname{en}(L):=\{a\in\Sigma\mid\hat{s}\overset{a}\rightarrow\}\)。如果\(L\)不稳定,我们定义\(\operatorname{en}(L):=\{\tau\}\)。
(L\)的记录道集由\(operatorname{Tr}(L):=\{sigma^*\mid\hat{s}\overset{sigma}\rightarrow\}\)定义。如果\(L\)是稳定的,那么\(\operatorname{en}(L)=\operator name{Tr}(L)\cap\Sigma\)。当且仅当(s)overset{\rho}\rightarrow\)不成立时,\(L)的状态\(s)拒绝字符串\(\rho\)。(L)的树故障是一对((sigma,K),其中(sigma\in\sigma^*\)和\(K\subsetq\Sigma^+=\Sigma ^*\set-muse\{\varepsilon\}\),这样就有了满足({s}\overset{\Sigma}\rightarrow{s}\)和拒绝(K\)的。CSP出现故障时[A.W.罗斯科, 了解并发系统。伦敦:施普林格出版社(2010;Zbl 1211.68205号)]CFFD的[A.瓦尔马里,日志。方法计算。科学。9,第4期,第11号论文,34页(2013年;Zbl 1314.68201号)],\(K\)是一组可见操作,而现在它是一组可视操作字符串。
(L\)的树失败集用\(operatorname{Tf}(L)\)表示。引理2、3和4专门用于描述\(\运算符名称{Tf}(L)\)。
符号\(L_1\precq L_2)意味着对于每个\(\ sigma,K)\ in \ operatorname{Tf}(L_1)\),\(\ sigma,K)\ in \operatorname{Tf{(L_2)\)或有\(\ pi\),这样\(\π\ sqsubsteq K\)和\(\σ\ pi,\ pi^{-1}K)\在\运算符名称{Tf}(L_2)\中)。这里,\(\pi\sqsubsetq K\)表示存在\(\ sigma\ in K\),因此\(\ pi\)是\(\ sigma\)的前缀。
在第3节中,考虑了LTS之间的以下二进制关系。
定义7。设\(L_1\)和\(L_2\)为LTS,设\(\{x,y\}\subseteq\{bot,\#,\Sigma,\operatorname{en},\operatorname{tr},\ operatorname{ft}\}\)。作者定义
–\(L_1\cong_{\bot}L_2)对每个\(L_1\)和\(L_2)保持不变,
–\(L_1\cong_{#}L_2)当且仅当\(\ Sigma_1\#\Sigma_2)是有限的,这里\(\Sigma _1\#\ Sigma _2:=,
–\(L_1\cong_{\Sigma}L_2)当且仅当\(\Sigma _1=\Sigma-2\),
–\(L_1\cong_{\operatorname{en}}L_2\)当且仅当\(\Sigma_1=\Sigma-2\)和\(\operator name{en{(L_1)=\operatormame{en}(L_2)\)(此项将不用于不稳定的LTS),
–\(L_1\cong_{\operatorname{tr}}L_2\)当且仅当\(\Sigma_1=\Sigma-2\)和\(\operator name{tr}(L_1)=\operatoriname{tr{(L_2)\)(跟踪等价),
–\(L_1\cong_{\operatorname{ft}}L_2)当且仅当,

–\(L_1\cong^x_y L_2)当且仅当
–\(L_1\cong_x L_2)、\(L_(1)和\(L_2)都是稳定的,或者
–\(L_1\cong_y L_2)、\(L_(1)和\(L_2)都是不稳定的(保持稳定性的等价物)。
定义7中的关系是等价的(引理9)。这使得作者能够以二维方式考虑4乘以5的等价物。保持稳定性的公平测试等价性是其中最强的等价性。证明了其中17个等价项是关于并行合成、隐藏和功能重命名。构造了一个表,其中对于17个同余中的每一个,都指示了与其同余相关的运算符(定理12)。还研究了这17个函数的同余属性,包括关系重命名、动作前缀和选择。其余三个等价项与平行组合不一致。
在第四节中,作者发现了在存在和不存在动作前缀操作符的情况下保持稳定性的最弱同余。这一结果是研究保稳同余的核心。它不假设重命名的一致性,因此它的假设比本研究的其余部分弱。
在第5节中,获得了以下声明。它是在定理24中表述的:假设“(\cong^{operatorname{ft}}_{operator name{ft{}}\)”意味着“(\cong\)”和“(\cong\)”是关于教皇组合、隐藏和函数重命名的同余。如果“\(\cong\)”并不意味着“\(\ cong_{\#}\)”,那么“\(\scong\。
在第6节中,提出了增加初始稳定性检查的新理论。考虑了不保持初始稳定性的任意同余。它由“\(\cong_o\)”表示,其中“\(o\)“代表“原始”。在定理27中得到了以下结果:假设“(cong_o)”和“(cong)”是关于并行合成和隐藏的同余,“(conc_o)。那么,如果“\(\cong\)”没有保持初始稳定性,那么“\(\ cong_o\)”就意味着“\(\song\)”。定理31表明,在相同的假设下,如果“\(\cong\)”保持初始稳定性,那么对于某些“\(\ cong_x)”和“\(\scong_y\)”,“\(\tcong_y。
设“同余”是指关于“\(||\)”、“\(\反斜杠\)”、“\(\Phi\)”和“\(a\)”的同余。得到了以下条件:对于同余,存在由“(cong_o)”所隐含的同余“(cong ^{bullet})”,对于稳定的LTS,(L_1\cong L_2)当且仅当^{-1}L_1刚果^{\bullet}a^{-1}L_2\)for every\(a\in\operatorname{en}(L_1)\)。(定理39)。
第7节致力于应用前一节中的理论来证明保稳定性CFFD等价性在并行合成、隐藏、关系重命名、动作前缀和无限确定性选择方面精确地包含79个同余。图中显示了其中40个,其中38个的形式为“(cong^x_x)”,第79个是“(conc^{operatorname{en}}_{Sigma})”(定理46)。
第8节载有对该条每一节的补充说明和对其案文的评论。

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参考文献:

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