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玛丽·何塞·伯廷;奥黛尔·勒卡库克斯

（K3）-表面和2-等位基因的Apéry-Fermi铅笔。 （英语） Zbl 1442.14116号

数学杂志。Soc.日本 72，第2号，599-637（2020）.
方程式\[X+\frac 1X+Y+\frac 1Y+Z+\frac 1Z=k，quad k\in\mathbb｛C｝\]定义了一种由K3表面组成的铅笔，称为Apéry-Fermi铅笔，也出现在量子场论中。根据的结果C.彼得斯和J.施蒂恩斯特拉【Lect.Notes Math.1399，110–127（1989；Zbl 0701.14037号)]，已知铅笔的泛型成员（Y_k）的超越格与（T=U\oplus\langle12\rangle）等距。
本文对（Y_k）上的椭圆纤维进行了仔细的个案分析，并对它们的（2）-扭转截面进行了专门的观察。这些截面确实很有趣，因为它们相关的纤维平移是一个辛对合（i\colon Y_k\rightarrow Y_k），称为van Geemen-Sarti对合，它在（Y_k \）和商（Y_k/i \）的分辨率之间产生了一个（2）-等代（度的有理映射）。有人说，如果（Y_k/i）的分辨率是超越格的Kummer曲面，则（i）诱导出Shioda-Inos结构，或（i）是Morrison-Nikulin对合。
在第二节和第三节中，作者列举了（Y_k）上所有（27）个椭圆纤维及其奇异纤维、Mordell-Weil秩、扭转截面和Weierstra方程。第5节对van Geemen-Sart对合进行了研究。结果表明，其中7个是Morrison-Nikulin对合，而另5个在超越格（langle-2rangle\oplus\langle2\rangle\oplus\langle 6\rangle）的K3曲面上诱导了一个2-等代。
在第6节中，对曲面（Y_2）进行了相同的分类，该曲面是超越晶格（langle 2\rangle\oplus\langle 4\rangle）的奇异曲面（K3），作者之前研究过[Fields Inst.Commun.67153-199（2013；Zbl 1312.14090号)]. 有30个椭圆纤维和20个van Geemen-Sarti对合，其中13个是Morrison-Nikulin对合。在其他（5）种情况下，（Y_2/i）的分辨率与（Y_2）本身同构，从而产生了“自（2）同系”，这是一种罕见的现象，仅在（k=2）或（k=10）if（k=In mathbb Z）中出现。
审核人：戴维德·塞萨尔·维尼亚尼（斯图加特）

引用于2文件

MSC公司：

14层28 \（K3）曲面和Enriques曲面
11G05号 全局场上的椭圆曲线
14J27型 椭圆表面、椭圆或Calabi-Yau纤维
14J50型 曲面的自同构与高维簇

关键词：

等基因;（K3）-面的椭圆纤维;van Geemen-Sart对合;莫里森·尼库林退化

引文：

兹伯利0701.14037;Zbl 1312.14090号

软件：

电子稳定控制系统;PARI/GP公司
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\textit{M.J.Bertin}和\textit{O.Lecacheux}，J.数学。日本社会委员会72，No.2，599--637（2020；Zbl 1442.14116）
全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得

参考文献：

[1] A.O.L.Atkin和J.Lehner，关于\（\Gamma_0（m）\）的Hecke算子，数学。Ann.，185（1970），134-160·Zbl 0177.34901号 ·doi:10.1007/BF01359701
[2] A.Beauville，Les familles stables de courbes elliptiques sur（\mathbb{P}^1）添加剂4纤维单纤维，C.R.Acad。科学。巴黎。我数学。，294 (1982), 657-660. ·Zbl 0504.14016号
[3] M.J.Bertin，A.Garbagnati，R.Hortsch，O.Lecacheux，M.Mase，C.Salgado和U.Whitcher，奇异\（K3\）表面椭圆fibrations的分类，In：女性在数字中的欧洲：数论研究方向，女性数学协会。序列号。，2，Springer，2015年，17-49·Zbl 1338.14041号
[4] M.J.Bertin、A.Feaver、J.Fuselier、M.Laln和M.Manes，一些奇异曲面的Mahler度量，In:Women In Numbers 2:Research Directions In Number Theory，Contemp。数学。，606，中央休息室。数学。程序。，阿默尔。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2013年，149-169年·Zbl 1285.11129号
[5] M.J.Bertin和O.Lecacheux，与\（Gamma_1（8）\）相关的模曲面上的椭圆纤维，In:（K3 \）-曲面和Calabi-Yau Threefolds的算术和几何，Fields Inst.Commun。，67，斯普林格，纽约，2013年，153-199年·Zbl 1312.14090号
[6] M.J.Bertin和O.Lecacheux，某些Niemeier格和椭圆纤维的自同构，阿尔巴尼亚数学杂志。，11 (2017), 13-34. ·Zbl 1382.14010号
[7] S.Boissière、A.Sarti和D.Veniani，关于（K3）-表面之间的素数等位基因，Rend。循环。马特·巴勒莫爵士。2, 66 (2017), 3-18. ·Zbl 1386.14134号
[8] N.Bourbaki，Groupes et algèbres de Lie，第4、5、6章，巴黎马森，1981年·Zbl 0483.22001
[9] D.Boyd，私人通信。
[10] P.Comparin和A.Garbagnati，Van Geemen-Sart对合和（K3）曲面上的椭圆纤维，（mathbb P^2），J.Math。《日本社会》，66（2014），479-522·Zbl 1298.14038号 ·doi:10.2969/jmsj/06620479
[11] J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球体封装、格和群》，第二版，Grundlehren der Mathematicschen Wissenschaften，290，Springer Verlag，纽约，1993年·Zbl 0785.11036号
[12] I.V.Dolgachev，《晶格极化（K3）表面的镜像对称性》，J.Math。科学。，81 (1996), 2599-2630. ·Zbl 0890.14024号 ·doi:10.1007/BF02362332
[13] E.Dardanelli和B.van Geemen，Hessians和立方曲面的模空间，In:代数几何，纪念I.Dolgachev 60岁生日的韩日会议，2004年，康特姆。数学。，422，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2007，17-36·Zbl 1117.14039号
[14] N.Elkies，私人通信。
[15] N.Elkies和A.Kumar，《Hilbert模曲面的曲面和方程》，《代数数论》，8（2014），2297-2411·Zbl 1317.11048号 ·doi:10.2140/ant.2014.8.2297
[16] B.van Geemen和A.Sarti，（K3）曲面上的Nikulin对合，数学。Z，255（2007），731-753·Zbl 1141.14022号 ·doi:10.1007/s00209-006-0047-6
[17] J.Keum，椭圆（K3）曲面的一个注记，Trans。阿默尔。数学。《社会学》，352（2000），2077-2086·Zbl 0941.14012号 ·doi:10.1090/S0002-9947-99-02587-8
[18] K.Koike，椭圆（K3）-承认Shioda-Inos结构的曲面，评论。数学。圣保利大学，61（2012），77-86·Zbl 1271.14051号
[19] M.Kuwata和T.Shioda，Kummer曲面上椭圆参数和椭圆纤维的定义方程，In:东亚代数几何-河内，2005，高级数学研究。，50，数学。Soc.日本，东京，2008，177-215·Zbl 1139.14032号
[20] M.Kuwata，Maple库椭圆曲面计算器，http://c-faulty.chuo-u.ac.jp/kuwata/2012-13/ESC.php。
[21] D.Morrison，On（K3）-具有大皮卡德数的表面，发明。数学。，75 (1984), 105-121. ·Zbl 0509.14034号 ·doi:10.1007/BF01403093
[22] N.Narumiya和H.Shiga，由最简单的三维自反多面体诱导的（K3）族曲面的镜像图，In:Moonshine和相关主题论文集，Montréal，QC，1999，CRM Proc。演讲笔记，30，Amer。数学。国际扶轮社普罗维登斯，2001年，139-161·Zbl 1082.14519号
[23] 尼库林，积分对称双线性形式及其应用，数学。苏联伊兹夫。，14 (1980), 103-167. ·Zbl 0427.10014号 ·doi:10.1070/IM1980v014n01ABEH001060
[24] V.V.Nikulin，K3型Kahler曲面的有限自同构群，Proc。莫斯科数学。《社会学杂志》，38（1979），75-137·Zbl 0433.14024号
[25] K.-I.西山，某些（K3）表面上的雅可比纤维及其莫代尔-威尔群，日本。数学杂志。，22 (1996), 293-347. ·Zbl 0889.14015号 ·doi:10.4009/毫米1924.22.293
[26] PARI集团，波尔多GP/PARI版本2.7.3，2015年，http://pari.math.u-bordeaux.fr。
[27] C.Peters和J.Stienstra，与Apéry对（zeta（3））的递推和势零点的费米曲面有关的（K3）曲面束，In:复杂流形的算术，会议论文集，Erlangen，1988年，（编辑W.-P.Barth和H.Lange），数学课堂讲稿。，1399年，柏林施普林格，1989年，110-127·Zbl 0701.14037号
[28] M.Schütt，Shioda-Inos结构的三明治定理，Izvestiya Mat.，77（2013），211-222·Zbl 1275.14035号 ·doi:10.1070/IM2013v077n01ABEH002633
[29] M.Schütt和T.Shioda，椭圆曲面，In:东亚代数几何-2008年首尔，高等数学研究生。，60，数学。Soc.日本，东京，2010年，51-160·Zbl 1216.14036号
[30] I.Shimada，《关于椭圆（K3）曲面》，密歇根数学。J.，47（2000），423-446。（另请参阅arXiv:math/0505140上的完整列表版本。）·Zbl 1085.14509号 ·数字对象标识代码：10.1307/mmj/1030132587
[31] T.Shioda，某些椭圆（K3）曲面的Kummer三明治定理，Proc。日本科学院。序列号。数学。科学。，82 (2006), 137-140. ·Zbl 1112.14044号 ·doi:10.3792/pjaa.82.137
[32] T.Shioda，《关于椭圆模曲面》，J.Math。日本足球协会，24（1972），20-59·Zbl 0226.14013号 ·doi:10.2969/jmsj/02410020
[33] T.Shioda和H.Inose，《关于奇异（K3）曲面》，In:复分析和代数几何，（编辑：W.L.Baily Jr.和T.Shiota），Iwanami Shoten，东京，1977年，119-136·Zbl 0374.14006号
[34] T.Shioda和N.Mitani，奇异阿贝尔曲面和二元二次型，In:代数簇和紧复流形的分类，讲座。数学笔记。，412，施普林格，柏林，1974年，259-287·Zbl 0302.14011号
[35] I.Shimada和D.Q.Zhang，极值椭圆（K3）-曲面的分类和开曲面的基本群，名古屋数学。J.，161（2001），23-54·Zbl 1064.14503号 ·doi:10.1017/S002776300002211X
[36] J.Silverman，《椭圆曲线的算法》，Grad。数学课文。，106，斯普林格维尔拉格，纽约，1986年·Zbl 0585.14026号
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