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大规模电子态计算中广义实对称特征值问题的后验验证方法。 (英语) Zbl 1439.65046

本文的物理背景是计算材料科学。特别地,作者想研究确定电子能量和波函数的基本薛定谔型方程的解,以表征材料的性质。
对所处理的线性偏微分方程的数值解给出了正交性条件下的广义特征值问题(GEP)(a x_k={lambda}bx}k\),其中\(a\)和\(B\)都是实对称的\(n \乘以n\)矩阵,其中\(B\)为正定,并假设\({\lambda}u 1\leq{\lambda}}u2\leq\ldots\leq{\lambda}u n\)。本征值代表电子在材料中的能量和相应的特征向量波函数。
附录中给出了线性薛定谔方程GEP的推导,并参考了教科书。
基体尺寸与不同材料中分子、原子或电子的数量近似成正比。因此,大规模广义特征值问题必须在工业应用中使用大规模并行超级计算机来求解。这些问题的特征值大多密集聚集或几乎退化,难以区分。序列特征值的差与\(\frac{1}{n})成正比。此外,为了有效地计算此类大规模计算,采用了低精度算法,如单精度甚至半精度算法。许多著名的广义特征值问题的求解器都被并行化,并显示出克服这些问题的困难。因此,作者开发了一个后验验证程序,以说明GEP解算器的近似解与精确解之间的差异。
为了验证该算法,作者考虑了GEP的以下四个部分:(i)Cholesky分解,(ii)标准特征值问题(SEP)的归约,(iii)SEP的解,(iv)特征向量的变换。步骤(I)、(ii)和(iv)被称为reducer,步骤(iii)是SEP解算器。作者指出,标准并行数值库ScaLAPACK,开发于20世纪90年代,在现代大规模并行超级计算机上显示出严重的瓶颈。作者展示了在日本旗舰超级计算机K计算机上使用相应的ScaLATACK例程作为特征值求解器创建的验证过程的结果。
但是,他们提到,还有ELPA(在欧洲开发)和EigenExa(在日本开发)的新的解算器库,应该可以克服ScaLAPACK的瓶颈。一个混合工作流程的示意图为未来的版本,其中也包括新的SEP解算器。后验检验方法基于标准特征值问题的Wilkinson界、所有计算特征值误差界的验证、Gershgorin圆定理和山本定理的一个变体。详细说明了相应的代码。验证程序主要使用矩阵乘法。因此,与使用更耗时的Cholesky分解和三对角化的求解过程相比,验证算法的计算时间是适中的。
测试数据来源于ELSES矩阵库,主要用于有机聚合物体系。最大的矩阵问题属于使用6400个处理器节点的矩阵维数为\(n=430.080\)的纳米复合碳固体。表格和图表显示验证算法提供了包含精确特征值的区间,并显示了计算时间和使用的处理器节点数。
为了有效地计算大规模问题,如果使用低精度算法作为初始猜测,则验证技术的使用还需要进一步改进。

理学硕士:

65层15层 矩阵特征值和特征向量的数值计算
6520国集团 自动结果验证算法
65Z05型 科学应用
68Q60型 规范和验证(程序逻辑、模型检查等)
68N30型 软件工程的数学方面(规范、验证、度量、需求等)
35J10 薛定谔算子,薛定谔方程
74S25型 谱方法及相关方法在固体力学问题中的应用
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