亚历山大·科尔巴科夫；西奈罗宾斯 具有合理体积的球形四面体和球形勾股三元组。 （英语） 兹比尔1440.51001 数学。计算。 89，第324号，2031-2046（2020）. 假设一个球面四面体（包含在3维球体中）的二面角是π的有理倍数，则它是有理的。提问者J.契格和J.西蒙斯【Lect.Notes Math.1167，50–80（1985；Zbl 0621.57010号)]询问有理四面体的体积是否总是\（pi^2）的有理倍数。本文研究了该问题所考虑的球面四面体的子集。观察四面体的边可以分为三对不相交（或等价的相反）的边。球面四面体，因此，对于其中两对，这对边重合处的二面角已在[A.科尔巴科夫等，Ark.Mat.51，99–123（2013；Zbl 1268.51016号)]，其中它们被称为\（\mathbb{Z} _2\)-对称。主要结果是对有理数的分类{Z} _2\)-对称球面四面体，其二面角\（p）（两次）、\（q）（两次）、\（r）和\（s）满足\[\cos（p）\ cos（q）+\ cos \ frac｛r+s｝｛2｝\ cos \ frac｛r-s｝｛2｝=0根据[Kolpakov，loc.cit.]，这些球面四面体都不能对Cheeger和Simons的问题提供否定的答案[loc.cit.]。通过将计算机搜索与J.H.康威和A.J.琼斯《阿里斯学报》第30卷、第229卷至第240卷（1976年；Zbl 0349.10014号)]对包含在\（]0，\pi/2[\）中的\（\pi\）的四个有理倍数的余弦的有理线性组合进行了分类。有理球面四面体的另一个有趣族被分类为H.S.M.考克塞特[数学年鉴（2）35588-621（1934；Zbl 0010.01101号)]. 它们的二面角是\（\pi\）乘以整数的倒数的倍数。作者进一步表明，他们发现的一个有理球面四面体不能分解为有限个球面Coxeter四面体。这表明，搜索几何形状远离Coxeter四面体的四面体不足以对Cheeger和Simons的问题提供否定的答案[loc.cit.]。审核人：莱昂内尔·波宁（巴黎） MSC公司： 2015财年51 反射组，反射几何体 2006年11月 晶格和凸体（数论方面） 51米25 实际或复杂几何体中的长度、面积和体积 51米20 多面体和多面体；规则图形，空间划分 关键词：球面几何；三角丢番图方程；有理球面四面体 引文：Zbl 0621.57010号；Zbl 1268.51016号；Zbl 0349.10014号；Zbl 0010.01101号 软件：SageMath公司；SymPy公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Kolpakov}和\textit{S.Robins}，数学。计算。89，第324号，2031--2046（2020；Zbl 1440.51001） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 杰夫·契格（Jeff Cheeger）；西蒙斯，詹姆斯，微分字符和几何不变量。几何学和拓扑学，马里兰州大学公园，1983/84，数学课堂讲稿。1167，50-80（1985），柏林施普林格·Zbl 0621.57010号 ·doi:10.1007/BFb0075216 [2] 康威，J.H。；Jones，A.J.，三角丢番图方程（关于单位根的消失和），《阿里斯学报》。，30, 3, 229-240 (1976) ·Zbl 0349.10014号 ·doi:10.4064/aa-30-3-229-240 [3] 科克塞特，H.S.M.，《由反射生成的离散群》，《数学年鉴》。(2), 35, 3, 588-621 (1934) ·Zbl 0010.01101号 ·doi:10.2307/1968753 [4] Derevnin，医学博士。；Mednykh，A.D.，球面空间中Lambert立方体的体积，Mat.Zametki。数学。注释，86 86，1-2，176-186（2009）·兹比尔1187.52008 ·doi:10.1134/S0001434609070219 [5] D'{i}az，R.，多面体Gram矩阵的一个特征，离散计算。地理。，21581-601（1999年）·Zbl 0963.15027号 ·doi:10.1007/PL00009440 [6] Felikson，A.A.，生成离散反射群的球面单纯形，Mat.Sb..Sb.Math。，195 195, 3-4, 585-598 (2004) ·Zbl 1078.2004年11月 ·doi:10.1070/SM2004v195n04ABEH000816 [7] Felikson，A.A.，生成离散反射组的Lambert立方体，Mat.Zametki。数学。注释，75 75，1-2，250-258（2004）·Zbl 1107.52006年 ·doi:10.1023/B:MATN.0000015041.51864.b3 [8] 亚历山大·科尔巴科夫（Alexander Kolpakov）；亚历山大·梅德尼赫（Alexander Mednykh）；Pashkevich，Marina，通过边长的a（{mathbb{Z}}_2）对称球面四面体的体积公式，Ark.Mat.，51，1，99-123（2013）·Zbl 1268.51016号 ·doi:10.1007/s11512-011-0148-2 [9] Monty A.Kolpakov和S.Robins，哈佛Dataverse提供的辅助文件，https://doi.org/10.7910/DVN/LJBNGO网站 [10] 罗，冯，关于杰姆·芬切尔的一个问题。Dedicata，64，3，277-282（1997）·Zbl 0873.51015号 ·doi:10.1023/A:1017928526420 [11] SymPy A.Meurer A等人，SymPy:Python中的符号计算，Peer J.Computer Science 3:e103（2017）https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103 [12] 约翰·G·拉特克利夫（John G.Ratcliffe），《双曲流形的基础》（Foundations of Hyperbolive Manifolds），数学研究生教材149，xii+779页（2006），纽约斯普林格出版社·Zbl 1106.51009号 [13] Sage SageMath，Sage数学软件系统（8.4版），http://www.sagemath.org [14] 附件\“{a} 飞行路德维希，Lehre von den sph“arischen Kontinuen，Gesammelte mathematische Abhandlungen.Band I，392 pp.（1950），Verlag Birkh”{a} 用户，巴塞尔 [15] 史密斯·W·D·史密斯（Smith W.D.Smith），毕达哥拉斯三元组、有理角和填空单纯形，手稿可在https://rangevoting.org/WarrenSmithPages/homepage/works.html 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。