王东明;Rina Dong;牟、陈琪 多项式集分解为特征对。 （英语） Zbl 1439.68031号 数学。计算。 89，第324号，1993-2015（2020）。 求解多项式系统是计算机代数中研究各种科学和工程问题的基本技术。在线性情况下，我们使用众所周知的高斯消去法，但在非线性情况下，可以使用基于特征集的方法（由Ritt和Wu介绍）和Gröbner碱（由Buchberger引入）。本文描述了一种算法，该算法在给定多项式系统的情况下，返回一组三角集来表示输入系统的零点。设\（R=\mathbb{K}[x_1，\ldots，x_n]\）是关于\（\mathbb{K}\）上的变量\（x_1、\ldot，x_n\）的多项式环。让我们考虑变量的顺序\（x_1<\cdots<x_n\）。多项式\（f\ in R\）中出现的最大变量，用\（\ operatorname｛lv｝（f）\）表示，称为\（f\）的前导变量。因此，如果\（\ operatorname｛lv｝（f）=x_i\），我们可以将\（f\）写成\（gx_i^k+r\），其中\（k\）是\（x_i\）中\（x_i\）的最高幂，\（x_i\）中\（r\）的阶数低于\（k\）\（g）称为\（f）的首字母，用\（\operatorname{in}（f）\）表示。如果（operatorname{lv}（f1）<\cdots<\operatorname{lv}（f_t）），则有序集\（\{f_1，\ldots，f_t\}\子集R\）称为三角形。如果每个\（i\）的\（operatorname{in}（fi）\）不包含\（\{operatorname{lv}（f1），\ldots，\operatorname{lv}（f_t）\}\），则三角形集\（\}f_1，\ldot，f_t\}\）是正常的。设（G）是理想（I）w.r.t.字典序的约化Gröbner基。设（G^{（I）}是以（x_I）为主导变量的（G）中多项式的集合。如果这个集合是非空的，我们用（g_i）表示它的最小元素w.r.t.字典序。集合（g_1，ldots，g_n}）称为（i\）的w特征集。本文的目的是描述一种算法，对于给定的多项式系统，该算法输出一个有限集（（G_1，C_1），ldots，（G_t，C_t），其中（G_i）是一个约化的lex-Gröbner基，（C_i）为（langle G_i rangle）的W特征集，该特征集是一个正三角形集，而这些集（G_1，ldot，G_t）以及\（\{C_1，\ldots，C_t\}\）表示输入系统的零集。审核人：阿米尔·哈希米（伊斯法罕） 引用于三文件 MSC公司： 68瓦30 符号计算和代数计算 13页第10页 Gröbner碱；理想和模块的其他基础（例如Janet和border基础） 第13页，共15页 求解多项式系统；结果 关键词：特征线对;正规三角集;词典学Gröbner基础;零分解 软件：差异托马斯;艾司隆 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Wang}等人，数学。计算。89，第324号，1993-2015（2020；Zbl 1439.68031） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Angerm\“{u} 勒尔，格哈特，《三角系统与本原多项式的推广》，J.符号计算。，68, 316-325 (2015) ·兹比尔1310.13016 ·doi:10.1016/j.jsc.2014.09.022 [2] A1999e P.Aubry，Ensembles triangulaires de polynomes et r‘solution de systemes alg’briques。植入公理，博士论文，皮埃尔和玛丽·居里大学，法国，1999年。 [3] 菲利普·奥布里；丹尼尔·拉扎德；《三角集理论》，《符号计算杂志》。，28, 1-2, 105-124 (1999) ·Zbl 0943.12003号 ·doi:10.1006/jsco.1999.0269 [4] 菲利普·奥布里；Moreno Maza，Marc，《求解多项式系统的三角集：四种方法的比较实现》，J.符号计算。，28, 1-2, 125-154 (1999) ·兹比尔0943.12004 ·doi:10.1006/jsco.1999.0270 [5] B“{a} 克勒，托马斯；弗拉基米尔·格特；马库斯·兰盖·赫格曼；Robertz，Daniel，代数和微分系统的算法托马斯分解，J.符号计算。，47, 10, 1233-1266 (2012) ·Zbl 1315.35013号 ·doi:10.1016/j.jsc.2011.12.043 [6] B1965A B.Buchberger，Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenrings nach einem nulldimensionalen Polynomideal，博士论文，奥地利因斯布鲁克大学，1965年·Zbl 1245.13020号 [7] B85G B.Buchberger，Gr“obner bases:多项式理想理论中的算法方法，多维系统理论（Nirmal Bose，ed.），施普林格，荷兰，1985年，第184-232页·Zbl 0587.13009号 [8] c07c C.Chen、O.Golubitsky、F.Lemaire、M.Moreno Maza和W.Pan，《综合三角分解》，《2007年中国科学院院刊》（Victor Ganzha、Ernst Mayr和Evgenii Vorozhtsov编辑），斯普林格·弗拉格，柏林-海德堡，2007年，第73-101页·Zbl 1141.68677号 [9] 陈昌波；Moreno Maza，Marc，计算多项式系统三角分解的算法，J.符号计算。，47, 6, 610-642 (2012) ·Zbl 1264.12011年 ·doi:10.1016/j.jsc.2011.12.023 [10] 周尚卿；高晓山，吴立德的分解算法与几何定理证明。第十届自动扣除国际会议，凯泽斯劳滕，1990年，计算机课堂讲稿。科学。449207-220（1990），柏林斯普林格·兹比尔1509.68303 ·doi:10.1007/3-540-52885-7\_89 [11] 科勒特，S。；Kalkbrener，M。；Mall，D.，与Gr\“{o} 布纳walk:计算代数和数论（伦敦，1993），J.符号计算。，24, 3-4, 465-469 (1997) ·Zbl 0908.13020号 ·doi:10.1006/jsco.1996.0145 [12] 大卫·考克斯；小约翰；O'Shea，Donal，《理想、多样性和算法》，数学本科生教材，xvi+551页（2007），纽约斯普林格出版社·Zbl 1118.13001号 ·doi:10.1007/978-0-387-35651-8 [13] D2012o X.Dahan，《论零维中激进理想的字典Gr“obner基：插值与结构》，arXiv预印本：1207.38872012。 [14] D1985a期刊。Dora，C.Dicrescenzo和D.Duval，《关于代数数域中计算的新方法》，《85年欧洲会议论文集》（Bruno Buchberger，ed.），Springer-Verlag，Berlin Heidelberg，1985年，第289-290页。 [15] Delli \`这里，圣\'{e} 显影，关于三角集和动态可构造闭包之间的联系，J.Pure Appl。代数，163，149-68（2001）·Zbl 0992.68244号 ·doi:10.1016/S0022-4049（00）00136-5 [16] 福格\'{e} 关于，Jean-Charles，计算Gr的一种新的高效算法”{o} 布纳基\（F_4）\）：代数几何中的有效方法（Saint-Malo，1998），J.Pure Appl。代数，139，1-3，61-88（1999）·Zbl 0930.68174号 ·doi:10.1016/S0022-4049（99）00005-5 [17] F2002A期刊。Faug’ere，《计算Gr’obner基而不归零的新高效算法》（（F_5）），ISSAC 2002年会议记录（Teo Mora，ed.），ACM出版社，2002年，第75-83页·Zbl 1072.68664号 [18] Faug，J.C。；詹尼，P。；拉扎德，D。；Mora，T.，零维Gr的有效计算“{o} 布纳通过改变顺序的碱基，符号计算杂志。，16, 4, 329-344 (1993) ·Zbl 0805.13007号 ·doi:10.1006/jsco.1993.1051 [19] 高树红；弗兰克·沃尼，IV；Wang，Mingsheng，计算Gr的新框架”{o} 布纳基础，数学。公司。，85, 297, 449-465 (2016) ·Zbl 1331.13018号 ·网址：10.1090/com/2969 [20] GC1992s X.-S.Gao和S.-C.Chou，求解参数代数系统，ISSAC 1992年会议记录（Paul Wang编辑），ACM出版社，1992年，第335-341页·兹伯利0925.13014 [21] GC93o X.-S.Gao和S.-C.Chou，《关于任意上升链的维度》，《中国科学公报》英文版38（1993），799-799·Zbl 0845.13004号 [22] Gianni，Patrizia，Gr的属性“{o} 布纳专业化基地。1987年《欧洲计算机学会会刊》，莱比锡，1987年，计算机课堂讲稿。科学。378293-297（1989），柏林施普林格·Zbl 1209.13033号 ·doi:10.1007/3-540-51517-8\_128 [23] 帕特里齐亚·吉安尼；巴里·特拉格（Barry Trager）；Zacharias、Gail、Gr\“{o} 布纳多项式理想的基和主分解，J.符号计算。，6, 2-3, 149-167 (1988) ·Zbl 0667.13008号 ·doi:10.1016/S0747-7171（88）80040-3 [24] 乔纳森·霍恩斯坦（Jonathan D.Hauenstein）。；Andrew J.Sommese。；查尔斯·瓦姆勒（Charles W.Wampler），求解多项式系统的再生同伦，数学。公司。，80, 273, 345-377 (2011) ·Zbl 1221.65121号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2010-02399-3 [25] Hubert，Evelyne，三角集和三角分解算法注释。I.多项式系统。符号和数值科学计算，Hagenberg，2001，计算机讲义。科学。2630，1-39（2003），柏林斯普林格·Zbl 1022.12004年 ·doi:10.1007/3-540-45084-X\_1 [26] Michael Kalkbrener，《使用Gr求解代数方程组》{o} 布纳基础。1987年《欧洲计算机学会会刊》，莱比锡，1987年，计算机课堂讲稿。科学。378282-292（1989），柏林斯普林格·Zbl 1209.13003号 ·doi:10.1007/3-540-51517-8\_127 [27] Michael Kalkbrener，计算代数簇三角表示的广义欧几里德算法，J.符号计算。，15, 2, 143-167 (1993) ·兹比尔0783.14039 ·文件编号：10.1006/jsco.1993.1011 [28] 卡普尔，迪帕克；孙尧；王定康，计算综合Gr的一种新算法”{o} 布纳系统。ISSAC 2010——2010年符号和代数计算国际研讨会进展，29-36（2010），纽约ACM·Zbl 1321.68533号 ·doi:10.1145/1837934.1837946 [29] Lazard，D.，《理想基和初等分解：两个变量的情况》，J.符号计算。，1, 3, 261-270 (1985) ·Zbl 0616.68036号 ·doi:10.1016/S0747-7171（85）80035-3 [30] Lazard，D.，《求解正维代数系统的新方法：应用代数、代数算法和纠错码》（Toulouse，1989），《离散应用》。数学。，33, 1-3, 147-160 (1991) ·Zbl 0753.13013号 ·doi:10.1016/0166-218X（91）90113-B [31] Lazard，D.，解零维代数系统，J.符号计算。，13, 2, 117-131 (1992) ·Zbl 0787.13010号 ·doi:10.1016/S0747-7171（08）80086-7 [32] 弗兰·莱梅尔{c} 操作系统; 莫雷诺·马扎（Marc Moreno Maza）；潘伟；谢玉珍，（langle T\rangle）何时等于（\text{sat}（T））？，符号计算杂志。，46, 12, 1291-1305 (2011) ·兹比尔123413028 ·doi:10.1016/j.jsc.2011.08.010 [33] li08a B.Li和D.Wang，《将正则链转换为正规链的算法》，计算机数学（Deepak Kapur，ed.），Springer-Verlag，柏林-海德堡，2008年，第236-245页·Zbl 1166.13300号 [34] 玛丽亚里·格拉齐亚；Mora，Teo，对Macaulay的一句评论或对Lazard结构定理的改进，Bull。伊朗数学。Soc.，29，1，1-45，85（2003）·Zbl 1075.13012号 [35] 牟、陈琪；王东明；李晓亮，将多项式集分解为有限域上的简单集：正维情形，定理。计算。科学。，468, 102-113 (2013) ·Zbl 1259.68244号 ·doi:10.1016/j.tcs.2012.11.009文件 [36] 阿德里安·波托；斯科斯特{E} 里克，《关于零维三角集计算的复杂性》，J.符号计算。，50, 110-138 (2013) ·Zbl 1332.68300号 ·doi:10.1016/j.jsc.2012.05.008 [37] Joseph Fels Ritt，《微分代数》，美国数学学会学术讨论会出版物，第33卷，viii+184页（1950），美国数学协会，纽约，纽约·Zbl 0037.18402号 [38] 下山，武石；横山和弘，多项式理想的局部化和初等分解，符号计算杂志。，22, 3, 247-277 (1996) ·Zbl 0874.13022号 ·doi:10.1006/jsco.1996.0052 [39] 王定康；张燕，将多项式系统分解为正规升序集的算法，科学。中国Ser。A、 50,101441-1450（2007）·Zbl 1148.68053号 ·doi:10.1007/s11425-007-0118-0 [40] 王东明，多项式系统的消去方法，符号计算。，16, 2, 83-114 (1993) ·Zbl 0803.13016号 ·doi:10.1006/jsco.1993.1035 [41] 王东明，将多项式系统分解为简单系统，符号计算。，25, 3, 295-314 (1998) ·2008年9月13日Zbl ·doi:10.1006/jsco.1997.0177 [42] 王东明，计算三角系统和正则系统，符号计算。，30, 2, 221-236 (2000) ·Zbl 1007.65039号 ·doi:10.1006/jsco.1999.0355 [43] W2001E D.Wang，消除方法，Springer-Verlag，Wien，2001年·Zbl 0964.13014号 [44] Wang，Dongming，Epsilon：多项式消除软件工具库。数学软件，北京，2002，379-389（2002），世界科学。出版物。，新泽西州River Edge·Zbl 1012.68232号 [45] Wang，Dongming，消除实践：软件工具和应用程序；带1张CD-ROM（UNIX/LINUX，Windows），x+222页（2004年），伦敦帝国理工学院出版社·Zbl 1099.13047号 ·数字对象标识代码：10.1142/9781848161207 [46] 王东明，关于Ritt特征集与Buchberger-Gr的联系“{o} 布纳基础，数学。计算。科学。，10, 4, 479-492 (2016) ·Zbl 1388.13058号 ·doi:10.1007/s11786-016-0279-8 [47] Weispfenning，Volker，综合组“{o} 布纳bases，J.符号计算。，14, 1, 1-29 (1992) ·Zbl 0784.13013号 ·doi:10.1016/0747-7171（92）90023-W [48] 吴文军，《代数方程的零点——Ritt原理的应用》，科学通宝（英文版），31，1，1-5（1986）·Zbl 0602.14001号 [49] Wu，Wen Ts\“{u} n个《几何中的力学定理证明，符号计算的文本和专著》，xiv+288 pp.（1994），施普林格-弗拉格出版社，维也纳·Zbl 0831.03003号 ·doi:10.1007/978-3-7091-6639-0 [50] 吴文森，《数学机械化、数学及其应用》489，xii+420 pp.（2000），科鲁沃学术出版集团，多德雷赫特；科学出版社北京·Zbl 0987.68074号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。