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Galerkin等几何分析中的低秩张量方法。 (英语) Zbl 1439.65185号

摘要:描述计算域的全局(补丁状)几何图是等几何分析中的一个新特征。该贴图具有全局张量结构,继承自参数样条曲线几何表示。与(高阶)经典有限元的纯局部性质相反,在偏微分方程的离散化中使用这种全局结构乍一看可能是一个缺点。在这项工作中,我们证明了可以利用这种结构的规则性,并确定有效实现等几何离散化的巨大潜力。首先,我们将张量积B样条基以及相应的质量和刚度矩阵表示为张量,以揭示其内在结构。其次,我们推导了离散化过程中被积函数中变量分离的算法。通过积分核的低阶近似,这是可能的。我们得到了积分的紧凑、分离表示。分离形式意味着Galerkin矩阵表示为小维矩阵因子的Kronecker乘积。由于减少了内存消耗和计算时间,这种表示非常吸引人。我们使用C++库G+Smo进行的基准测试表明,在等几何分析中使用张量方法具有显著的优势。

MSC公司:

65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法
65D07年 使用样条曲线进行数值计算
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全文: 内政部 哈尔

参考文献:

[1] Cottrell,J.A。;休斯·T·J·R。;Bazilevs,Y.,《等几何分析:走向CAD和FEA的集成》(2009),John Wiley&Sons:John Willey&Sons Chichester,英格兰·Zbl 1378.65009号
[2] 休斯,T。;科特雷尔,J。;Bazilevs,Y.,等几何分析:CAD,有限元,NURBS,精确几何和网格细化,计算。方法应用。机械。工程,194,39-41,4135-4195(2005)·Zbl 1151.74419号
[3] Auricchio,F。;卡拉布罗,F。;休斯,T。;Reali,A。;Sangalli,G.,为基于NURBS的等几何分析获取近似最优求积规则的简单算法,计算。方法应用。机械。工程,2490-252,15-27(2012)·Zbl 1348.65059号
[4] M.巴托。;Calo,V.M.,奇数阶样条空间的最优求积规则及其在基于张量的等几何分析中的应用,计算。方法应用。机械。工程,305,217-240(2016)·Zbl 1425.65039号
[5] 休斯,T。;Reali,A。;Sangalli,G.,基于NURBS的等几何分析的有效求积,计算。方法应用。机械。工程,199,5-8,301-313(2010)·Zbl 1227.65029号
[7] 席林格,D。;侯赛因,S。;Hughes,T.,等几何分析中二次和三次样条曲线的简化Bézier元素求积规则,计算。方法应用。机械。工程,277,0,1-45(2014)·Zbl 1425.65177号
[8] 希尔曼,M。;陈,J。;Bazilevs,Y.,等几何分析的变分一致区域积分,计算。方法应用。机械。工程,284,521-540(2015)·Zbl 1425.65161号
[9] Auricchio,F。;路易斯安那州贝朗·达维加。;休斯·T·J·R。;Reali,A。;Sangalli,G.,等几何配置方法,数学。模型方法应用。科学。,20, 11, 2075-2107 (2010) ·Zbl 1226.65091号
[10] 戈麦斯,H。;Reali,A。;Sangalli,G.,《相场模型的精确、高效和(等)几何柔性配置方法》,J.Compute。物理。,262153-171(2014)·Zbl 1349.82084号
[11] 席林格,D。;Evans,J。;Reali,A。;斯科特,M。;Hughes,T.,《等几何配置:与Galerkin方法的成本比较和自适应分层NURBS离散化的扩展》,计算。方法应用。机械。工程,267170-232(2013)·Zbl 1286.65174号
[12] 路易斯安那州贝朗·达维加。;罗瓦迪纳,C。;Real,A.,通过等几何配置方法避免Timoshenko梁问题的剪切锁定,计算。方法应用。机械。工程,241-244,38-51(2012)·兹比尔1353.74045
[13] Auricchio,F。;路易斯安那州贝朗·达维加。;Kiendl,J。;罗瓦迪纳,C。;Real,A.,空间Timoshenko杆的无锁定等几何配置方法,计算。方法应用。机械。工程,263113-126(2013)·Zbl 1286.74057号
[14] Giannelli,C。;Jüttler,B。;Speleers,H.,THB-样条:层次样条的截断基础,计算。辅助Geom。设计,29485-498(2012)·Zbl 1252.65030号
[15] 席林格,D。;戴德,L。;斯科特,M。;Evans,J。;博登,M。;等级E。;Hughes,T.,基于NURBS自适应分层细化、浸没边界法和T样条CAD曲面的等几何设计贯穿分析方法,计算。方法应用。机械。工程,249-252,116-150(2012)·Zbl 1348.65055号
[16] Giannelli,C。;Jüttler,B。;克莱斯,S.K。;Mantzaflaris,A。;B.西蒙。;Speh,J.,THB-样条:几何设计和等几何分析中自适应细化的有效数学技术,计算。方法应用。机械。工程,299337-365(2016)·Zbl 1425.65026号
[17] de Boor,C.,张量积的高效计算机操作,ACM Trans。数学。软质。,5, 2, 173-182 (1979) ·Zbl 0405.65011号
[18] 安托林,P。;布法,A。;卡拉布罗,F。;马蒂内利,M。;Sangalli,G.,张量积等几何分析的有效矩阵计算:和因子分解的使用,计算。方法应用。机械。工程,285817-828(2015)·Zbl 1425.65143号
[20] Mantzaflaris,A。;Jüttler,B.,基于Galerkin等几何分析的插值积分和查找,计算。方法应用。机械。工程,284,373-400(2015),等角分析专刊·Zbl 1425.65169号
[21] 高,L。;Calo,V.M.,基于正交各向异性非均匀系数二维稳态扩散方程交替方向隐式算法的预条件,J.Compute。申请。数学。,273, 0, 274-295 (2015) ·Zbl 1295.65111号
[22] 高,L。;Calo,V.M.,显式动力学快速等几何解算器,计算。方法应用。机械。工程师,274,0,19-41(2014)·Zbl 1296.65129号
[23] 洛斯,M。;沃兹尼亚克,M。;帕辛斯基,M。;达尔星。;Calo,V.,《矩阵具有Kronecker乘积结构的动力学》,Procedia Compute。科学。,51, 286-295 (2015)
[25] 本纳,P。;李,R.-C。;Truhar,N.,《关于Sylvester方程的ADI方法》,J.Compute。申请。数学。,233, 4, 1035-1045 (2009) ·Zbl 1176.65050号
[26] 希区柯克,F.L.,《张量或多元数作为乘积之和的表达式》,J.Math。物理。,6, 1, 164-189 (1927) ·JFM 53.0095.01号文件
[27] Tucker,L.R.,关于三模因子分析的一些数学注释,Psycholometrika,31279-311(1966)
[29] de Lathauwer,L。;de Moor,B。;Vandewalle,J.,《关于高阶张量的最佳秩-1和秩-((R_1,R_2,\ldots,R_N)逼近》,SIAM J.矩阵分析。申请。,21, 1324-1342 (2000) ·Zbl 0958.15026号
[30] Oseledets,I.V.,张量-应变分解,SIAM J.Sci。计算。,33, 5, 2295-2317 (2011) ·Zbl 1232.15018号
[31] 科尔达,T。;Bader,B.,张量分解与应用,SIAM Rev.,51/3,455-500(2009)·Zbl 1173.65029号
[32] Khoromskij,B.N.,科学计算中的张量结构数值方法:最新进展综述,化学计量学。智力。实验室系统。,110, 1, 1-19 (2012)
[33] Grasedyck,L。;Kressner,D。;Tobler,C.,低阶张量近似技术的文献综述,GAMM-Mitt。,36, 1, 53-78 (2013) ·Zbl 1279.65045号
[34] Hackbusch,W.,张量空间和数值张量微积分(2012),施普林格:施普林格柏林·Zbl 1244.65061号
[35] Khoromskaia,V。;Khoromskij,B.N.,《量子化学中的张量数值方法:从Hartree-Fock到激发能》,Phys。化学。化学。物理学。(2015)
[36] Khoromskij,B.N。;Khoromskaia,V.,经典势的低秩Tucker型张量近似,Cent。欧洲数学杂志。,5, 3, 523-550 (2007) ·Zbl 1130.65060号
[37] Khoromskij,B.N。;Khoromskaia,V.,函数相关多维数组的多重网格加速张量近似,SIAM J.Sci。计算。,31, 4, 3002-3026 (2009) ·Zbl 1197.65215号
[38] Khoromskij,B.N.,(O(d\log N))-高维数值建模中(N-d)张量的量化近似,Constr。约,34,2257-280(2011年)·Zbl 1228.65069号
[39] 德雷森,P。;Ishteva,M。;Schoukens,J.,使用一阶信息和张量分解解耦多元多项式,SIAM J.矩阵分析。申请。,36, 2, 864-879 (2015) ·Zbl 1319.65043号
[40] Mantzaflaris,A。;Jüttler,B。;Khoromskij,B。;Langer,U.,通过低秩张量近似进行等几何分析中的矩阵生成,(Boissonnat,J.-D.;Cohen,A.;Gibaru,O.;Gout,C.;Lyche,T.;Mazure,M.-L.;Schumaker,L.L.,《曲线和曲面》,LNCS,第9213卷(2015),Springer),321-340·Zbl 1360.65282号
[41] Buchegger,F。;Jüttler,B。;Mantzaflaris,A.,《自适应优化多匹配B样条曲线,增强平滑度》,应用。数学。计算。,272,第1部分,159-172(2016)·Zbl 1410.65028号
[42] 兰格,美国。;Mantzaflaris,A。;摩尔,S。;Toulopoulos,I.,多批次间断Galerkin等几何分析,(等几何分析与应用,等几何分析和应用,计算科学与工程讲义(2015),Springer国际出版公司),1-32·Zbl 1334.65194号
[43] Farin,G.,《CAGD的曲线和曲面:实用指南》(2002),Morgan Kaufmann Publishers Inc.:Morgan Kaufmann Publishers Inc.,美国加利福尼亚州旧金山
[44] Braess,D.,《有限元:固体力学中的理论、快速求解器和应用》(2007),剑桥大学出版社·Zbl 1118.65117号
[45] Brenner,S。;Scott,L.,《有限元方法的数学理论》(2002),Springer-Verlag·Zbl 1012.65115号
[46] Ciarlet,P.G.,《椭圆问题的有限元方法》(2002),工业和应用数学学会:工业与应用数学学会,美国宾夕法尼亚州费城
[47] Hackbusch,W。;Khoromskij,B.,多维非局部算子的Low-rank Kronecker乘积近似。第一部分多元函数的可分离近似,计算,76,177-202(2006)·Zbl 1087.65049号
[48] Khoromskij,B.N.,《(r^d)中函数相关运算符的结构化秩-((r_1,ldots,r_d)分解》,计算。方法应用。数学。,6, 2, 194-220 (2006) ·Zbl 1120.65052号
[49] Schumaker,L.,《样条函数:基本理论》(2007),剑桥大学出版社·Zbl 1123.41008号
[50] 哈克布什,W。;Khoromskij,B.N。;Tyrtyshnikov,E.E.,《分层Kronecker张量积近似》,J.Numer。数学。,13, 2, 119-156 (2005) ·Zbl 1081.65035号
[51] de Lathauwer,L。;de Moor,B。;Vandewalle,J.,《多重线性奇异值分解》,SIAM J.矩阵分析。申请。,21, 1253-1278 (2000) ·Zbl 0962.15005号
[52] Halko,N。;Martinsson,P.G。;Tropp,J.A.,《寻找随机性结构:构建近似矩阵分解的概率算法》,SIAM Rev.,53,2,217-288(2011)·Zbl 1269.65043号
[53] Brand,M.,薄奇异值分解的快速低阶修正,线性代数应用。,415,1,20-30(2006),大型线性和非线性特征值问题专刊·Zbl 1088.65037号
[54] 科利尔,N。;帕尔多,D。;达尔星。;帕辛斯基,M。;Calo,V.,《连续性的代价:使用直接求解器研究等几何有限元的性能》,计算。方法应用。机械。工程师,213-216,353-361(2012)·Zbl 1243.65137号
[55] Jüttler,B。;兰格,美国。;Mantzaflaris,A。;摩尔,S。;Zulehner,W.,《几何+模拟模块:实施等几何分析》,Proc。申请。数学。机械。,14,1,961-962(2014),特刊:国际专利协会第85届年会。数学。和机械。(GAMM),爱尔兰根2014
[56] Kressner,D。;Tobler,C.,《张量积结构线性系统的Krylov子空间方法》,SIAM J.矩阵分析。申请。,31, 4, 1688-1714 (2010) ·Zbl 1208.65044号
[57] Kressner,D。;Uschmajew,A.,关于高维算子方程和特征值问题解的低阶逼近性,线性代数应用。,493, 556-572 (2016) ·兹比尔1336.65093
[59] 艾格纳,M。;Heinrich,C。;Jüttler,B。;皮尔格斯托弗,E。;B.西蒙。;Vuong,A.V.,等几何分析的扫描体积参数化,(《曲面数学XIII》(2009),施普林格:施普林格柏林,海德堡),19-44·Zbl 1253.65182号
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