英格兰，马修;拉塞尔·布拉德福德;詹姆斯·H·达文波特。 带等式约束的柱面代数分解。 （英语） Zbl 1432.68599号 J.塞姆。计算。 100, 38-71 (2020). 摘要：柱面代数分解（CAD）一直是符号计算中最重要的算法之一，是在实域上执行一阶逻辑量词消除的工具。最近，它在可满足性检查社区中发挥了重要作用，作为一种工具，可以识别非线性实数算法中问题的满意解。原始算法根据多项式的符号进行分解，而通常需要的是根据包含这些多项式的公式的真理进行分解。实现更粗（但希望更便宜）分解的一种方法是减少CAD中识别的多项式，以反映降低解空间维数的逻辑结构：方程约束（EC）的存在。本文可以作为使用CAD与EC的教程：我们描述了所有必要的背景和当前的技术状态。特别是，我们介绍了如何利用McCallum的简化投影理论在提升阶段进一步节省：提升多项式和提升单元。我们给出了一个新的复杂性分析，以证明CAD在最坏情况下的复杂性界的双指数随着EC的数量而减少。我们表明，这种约简既适用于生成的多项式的数目，也适用于它们的次数。 引用于10文件 MSC公司： 68瓦30 符号计算和代数计算 65年第68季度 算法和问题复杂性分析 关键词：柱面代数分解;非线性实数算法 软件：梅蒂塔斯基;提奥里古鲁;投影CAD;CoCoALib公司;SMT-LIB语言;可可;正则链;QEPCAD公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.英格兰}等人，J.塞姆。计算。100,38--71（2020；Zbl 1432.68599） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 中心多边形数（Lazy Caterer序列）：n（n+1）/2+1；或者，用n块薄饼切片时形成的最大块数。 参考文献： [1] Abbott，J.（阿博特，J.）。；Bigatti，A.，CoCoA有什么新功能？，（Hong，H.；Yap，C.，数学软件——ICMS 2014。数学软件-ICMS 2014，计算机科学讲义，第8592卷（2014），施普林格：施普林格-海德堡），352-358·Zbl 1437.13002号 [2] Abbott，J.（阿博特，J.）。；Bigatti，A.，CoCoA-5.2.0和CoCoALib-0.99550中新增的SC-Square，（英格兰，M.；Ganesh，V.，第二届可满足性检查和符号计算国际研讨会论文集）。CEUR研讨会论文集（2017）第1974号 [3] Abbott，J.（阿博特，J.）。；比加蒂，A。；Palezzato，E.，《SC Square的CoCoA-5.2.4和CoCoALib-0.99570中的新内容》，（Bigatti，A.；Brain，M.，第三次可满足性检查和符号计算研讨会论文集\（\mathsf｛SC｝^2 2018）\）。CEUR研讨会论文集（2018）第2189号，88-94 [4] E·阿尔布拉哈姆。；Abbott，J.（阿博特，J.）。；贝克尔，B。；比加蒂，A。；大脑，M。；Buchberger，B。；Cimatti，A。；Davenport，J。；英格兰，M。；Fontaine，P。；Forrest，S。；Griggio，A。；Kroening，D。；西勒。；Sturm，T.，\（\mathsf{SC}^2）：可满足性检查满足符号计算，（Kohlhase，M.；Johansson，M.，Miller，B.；de Moura，L.；Tompa，F.，《智能计算机数学：2016年CICM会议录》。《智能计算机数学：2016年计算机科学研讨会论文集》，《计算机科学讲义》，第9791卷（2016年），施普林格国际出版社，28-43·Zbl 1344.68198号 [5] 巴雷特，C。；Fontaine，P。；Tinelli，C.，可满足性模理论库（SMT-LIB）（2016），在线资源 [6] 巴雷特，C。；塞巴斯蒂亚尼，R。；Seshia，S。；Tinelli，C.，可满足性模理论，（Biere，A.；Heule，M.；van Maaren，H.；Walsh，T.，《可满足性手册》，《人工智能与应用前沿》，第185卷（2009），IOS出版社，825-885，第26章·Zbl 1183.68568号 [7] 巴苏，S。；波拉克，R。；Roy，M.，《实代数几何中的算法，数学中的算法和计算》，第10卷（2006），Springer-Verlag·Zbl 1102.14041号 [8] Biere，A。；蹄，M。；van Maaren，H。；Walsh，T.，《可满足性手册》，《人工智能与应用前沿》，第185卷（2009年），IOS出版社·Zbl 1183.68568号 [9] 布拉德福德，R。；陈，C。；Davenport，J。；英格兰，M。；莫雷诺·马扎（Moreno Maza，M.）。；Wilson，D.，通过正则链进行的真值表不变柱面代数分解，（Gerdt，V.；Koepf，W.；Seiler，W.，Vorozhtsov，E.，《科学计算中的计算机代数》，《计算机科学中的计算机代数学》，第8660卷（2014），Springer国际出版公司），44-58·Zbl 1350.68293号 [10] 布拉德福德，R。；Davenport，J。；英格兰，M。；埃尔拉米，H。；格特，V。；格里戈里耶夫，D。；霍伊特，C。；科什塔，M。；Radulescu，O。；Sturm，T。；韦伯，A.，《多稳态参数发生的案例研究》，（2017年ACM符号和代数计算国际研讨会论文集。2017年ACM符号和代数计算机国际会议论文集，ISSAC’17（2017），ACM），45-52·Zbl 1444.92034号 [11] 布拉德福德，R。；Davenport，J。；英格兰，M。；埃尔拉米，H。；格特，V。；格里戈里耶夫，D。；霍伊特，C。；科什塔，M。；Radulescu，O。；Sturm，T。；韦伯，A.，《识别某些生物网络的多个稳态的参数发生》，J.Symb。计算。，98, 84-119 (2020) ·Zbl 1442.92056号 [12] 布拉德福德，R。；Davenport，J。；英格兰，M。；McCallum，S。；Wilson，D.，布尔组合的柱面代数分解，（第38届符号与代数计算国际研讨会论文集，第38届国际符号与代数计算机研讨会论文集），ISSAC’13（2013），ACM，125-132·Zbl 1359.68327号 [13] 布拉德福德，R。；Davenport，J。；英格兰，M。；McCallum，S。；Wilson，D.，真值表不变柱面代数分解，J.Symb。计算。，76, 1-35 (2016) ·Zbl 1351.68314号 [14] 布拉德福德，R。；Davenport，J。；英格兰，M。；Wilson，D.，优化圆柱代数分解的问题公式，（Carette，J.；Aspinall，D.；Lange，C.；Sojka，P.；Windsteiger，W.，《智能计算机数学》，《计算机科学讲义》，第7961卷（2013），Springer:Springer Berlin Heidelberg），19-34·Zbl 1390.68775号 [15] Brown，C.，《圆柱代数分解的改进投影》，J.Symb。计算。，32, 5, 447-465 (2001) ·Zbl 0981.68186号 [16] Brown，C.，QEPCAD B：使用CAD计算半代数集的程序，SIGSAM Bull。，37, 4, 97-108 (2003) ·兹比尔1083.68148 [17] Brown，C.，The McCallum Projection，Lifting，and Order-Invariance（2005），美国海军学院，计算机科学部，技术代表 [18] Brown，C.，在柱面代数分解中构建单个开放单元，（第38届符号与代数计算国际研讨会论文集。第38届国际符号与代数运算研讨会论文集，ISSAC’13（2013），ACM），133-140·Zbl 1360.68924号 [19] Brown，C.，开放非均匀柱面代数分解，（2015年符号与代数计算国际研讨会论文集。2015年符号和代数计算国际会议论文集，ISSAC’15（2015），ACM），85-92·Zbl 1346.68273号 [20] 布朗，C。；Davenport，J.，《量词消除和柱面代数分解的复杂性》，（2007年符号和代数计算国际研讨会论文集，2007年符号与代数计算国际会议论文集，ISSAC’07（2007），ACM），54-60·Zbl 1190.68028号 [21] 布朗，C。；Kahoui，M.E。；诺沃特尼，D。；Weber，A.，流行病建模中研究平衡的算法方法，J.Symb。计算。，41157-1173（2006年）·Zbl 1120.92034号 [22] 布朗，C。；McCallum，S.，《关于在CAD构建中使用双方程约束》，（2005年符号和代数计算国际研讨会论文集。2005年符号与代数计算国际会议论文集，ISSAC’05（2005），ACM），76-83·Zbl 1360.68925号 [23] Buchberger，B.，Bruno Buchberger's PhD论文（1965）：零维多项式理想剩余类环的基元的求法，J.Symb。计算。，第41页，第3-4页，第475-511页（2006年）·Zbl 1158.01307号 [24] Buchberger，B。；Hong，H.，Gröbner Bases加速量词消除（1991），RISC，约翰内斯·开普勒大学，技术代表，91-06 [25] Busé，L。；Mourrain，B.，一些迭代结果和判别式的显式因子，数学。计算。，78, 345-386 (2009) ·兹比尔1200.13042 [26] Caviness，B。；Johnson，J.，量词消除和柱面代数分解，符号计算中的文本和专著（1998），Springer-Verlag [27] 查拉兰帕基斯，A。；Chatzigiannelis，I.，《通过柱面代数分解进行桁架最小重量设计的分析解》，Arch。申请。机械。，88, 1, 39-49 (2018) [28] 陈，C。；莫雷诺·马扎（Moreno Maza，M.）。；夏，B。；Yang，L.，通过三角分解计算柱面代数分解，（2009年符号与代数计算国际研讨会论文集。2009年符号和代数计算国际会议论文集，ISSAC’09（2009），ACM），95-102·Zbl 1237.14068号 [29] Collins，G.，通过柱面代数分解消除实闭域的量词，（第二届GI自动理论和形式语言会议论文集（1975），Springer-Verlag），134-183，（重印于Caviness and Johnson（1998）合集）·Zbl 0318.02051号 [30] Collins，G.，通过柱面代数分解消除量词——20年的进展·Zbl 0900.03053号 [31] 柯林斯，G。；Hong，H.，量词消除的部分柱面代数分解，J.Symb。计算。，12, 299-328 (1991) ·Zbl 0754.68063号 [32] Cowen-Rivers，A。；England，M.，《迈向Maple中的增量柱面代数分解》（Bigatti，A.；Brain，M.），《可满足性检查和符号计算第三次研讨会论文集》（（mathsf{SC}^2 2018）。CEUR研讨会论文集（2018）第2189号），3-18 [33] Davenport，J。；布拉德福德，R。；英格兰，M。；Wilson，D.，复数存在下的程序验证，带分支切割的函数等，（第14届科学计算符号和数字算法国际研讨会，第14届国际科学计算符号与数字算法研讨会，SYNASC’12（2012），IEEE），83-88 [34] Davenport，J。；Heintz，J.，实量词消除是双指数的，J.Symb。计算。，5, 1-2, 29-35 (1988) ·Zbl 0663.03015号 [35] Dolzmann，A。；塞德尔，A。；Sturm，T.，CAD的有效投影顺序，（2004年符号与代数计算国际研讨会论文集，2004年符号和代数计算国际会议论文集，ISSAC’04（2004），ACM），111-118·Zbl 1134.68575号 [36] England，M.，《数学软件的机器学习》，（Davenport，J.；Kauers，M.；Labahn，G.；Urban，J.，数学软件——2018年ICMS汇编）。数学软件-程序。ICMS 2018，计算机科学讲义，第10931卷（2018），斯普林格国际出版公司，165-174·Zbl 1395.68231号 [37] 英格兰，M。；布拉德福德，R。；陈，C。；Davenport，J。；莫雷诺·马扎（Moreno Maza，M.）。；Wilson，D.，通过增量三角形分解的真值表不变圆柱代数分解的问题公式，（Watt，S.；Davenport，J.；Sexton，A.；Sojka，P.；Urban，J.，智能计算机数学。智能计算机数学，人工智能讲义，第8543卷（2014），施普林格国际）， 45-60 ·Zbl 1304.68223号 [38] 英格兰，M。；布拉德福德，R。；Davenport，J.，《改进柱面代数分解中方程约束的使用》，（2015年符号与代数计算国际研讨会论文集。2015年符号和代数计算国际会议论文集，ISSAC’15（2015），ACM），165-172·Zbl 1346.68283号 [39] 英格兰，M。；Davenport，J.，《柱面代数分解相对于多项式次数的复杂性》，（Gerdt，V.；Koepf，W.；Werner，W.，Vorozhtsov，E.，《科学计算中的计算机代数：第18届国际研讨会》，中国科学院2016年。科学计算中的计算机代数：第18届国际研讨会，CASC 2016，《计算机科学讲义》，第9890卷（2016），施普林格国际出版社，172-192·Zbl 1453.13079号 [40] 英格兰，M。；埃尔拉米，H。；格里戈里耶夫，D。；Radulescu，O。；Sturm，T。；Weber，A.，《生物网络多稳态的符号与数值计算及参数区域可视化》，（Gerdt，V.；Koepf，W.；Seiler，W.，Vorozhtsov，E.，《科学计算中的计算机代数》（CASC）。科学计算中的计算机代数（CASC），《计算机科学讲义》，第10490卷（2017），斯普林格国际出版公司，93-108·Zbl 1455.92058号 [41] 英格兰，M。；Wilson博士。；布拉德福德，R。；Davenport，J.，《使用正则链库通过投影和提升构建柱面代数分解》，（Hong，H.；Yap，C.，《数学软件-ICMS 2014》。数学软件-ICMS 2014，计算机科学讲义，第8592卷（2014），施普林格：施普林格-海德堡），458-465·Zbl 1437.14008号 [42] Erascu，M。；Hong，H.，最佳数值算法合成的实量词消除（案例研究：平方根计算），J.Symb。计算。，75, 110-126 (2016) ·Zbl 1335.68300号 [43] Faugère，J.，《计算Gröbner基而不将其归零（F5）的新高效算法》，（2002年符号和代数计算国际研讨会论文集，2002年符号与代数计算国际会议论文集，ISSAC’02（2002），ACM），75-83·Zbl 1072.68664号 [44] Fotiou，I。；帕里罗，P。；Morari，M.，使用柱面代数分解的非线性参数优化，（决策与控制，2005年欧洲控制会议，决策与控制 [45] Fukasaku，R。；Iwane，H。；Sato，Y.，通过计算综合Gröbner系统消除实量词，（2015年符号和代数计算国际研讨会论文集。2015年符号与代数计算国际会议论文集，ISSAC’15（2015），ACM），173-180·Zbl 1345.68282号 [46] Haehn，R。；Kremer，G。；A brahám，E.，《SMT求解中CAD方程约束的评估》，（Bigatti，A.；Brain，m.，《可满足性检查和符号计算第三次研讨会论文集》（（mathsf{SC}^2 2018））。CEUR研讨会论文集（2018）第2189号），19-32 [47] Han，J。；戴，L。；Xia，B.，通过CAD投影中的gcd计算构建更少的开放单元，（第39届符号和代数计算国际研讨会论文集。第39届国际符号和代数运算研讨会论文集，ISSAC’14（2014），ACM），240-247·Zbl 1325.68286号 [48] Hong，H.，圆柱代数分解中投影算子的改进，（符号和代数计算国际研讨会论文集，符号和代数运算国际研讨会论文集中，ISSAC’90（1990），ACM），261-264 [49] 黄，Z。；英格兰，M。；Davenport，J。；Paulson，L.，使用机器学习决定何时使用Groebner基预处理柱面代数分解，（第18届科学计算符号和数字算法国际研讨会（SYNASC’16）（2016），IEEE），45-52 [50] 黄，Z。；英格兰，M。；Wilson，D。；Davenport，J。；Paulson，L。；Bridge，J.，《将机器学习应用于选择启发式方法以选择圆柱代数分解的变量顺序的问题》，（Watt，S.；Davenport，J；Sexton，a.；Sojka，P.；Urban，J.《智能计算机数学》，《人工智能讲义》，第8543卷（2014），施普林格国际），92-107·兹比尔1304.68224 [51] 黄，Z。；英格兰，M。；Wilson，D。；布里奇，J。；Davenport，J。；Paulson，L.，《使用机器学习改进柱面代数分解》，数学。计算。科学。（2019），待分配卷，28页·Zbl 1474.68464号 [52] Iwane，H。；Yanami，H。；阿奈，H。；Yokoyama，K.，用于量词消除的符号数字柱面代数分解的有效实现，（2009年符号数字计算会议记录。2009年符号数字计算会议记录，SNC'09（2009）），55-64·Zbl 1356.68282号 [53] Jouanolou，J.，Le formalisme du re sultant，高级数学。，90, 2, 117-263 (1991) ·Zbl 0747.13007号 [54] 约万诺维奇，D。；de Moura，L.，求解非线性算术，（Gramlich，B.；Miller，D.；Sattler，U.，自动推理：第六届国际联合会议（IJCAR））。自动推理：第六届国际联合会议（IJCAR），《计算机科学讲义》，第7364卷（2012年），施普林格出版社，339-354·Zbl 1358.68257号 [55] Kremer，G。；A.brahám，E.，《全增量CAD》，J.Symb。计算。（2019），出版中 [56] Kroening，D。；斯特里赫曼，O.，《决策程序：算法观点》（Decision Procedures:A Algorithmic Point of View）（2013年），施普林格出版社：纽约施普林格 [57] Lazard，D.，圆柱代数分解的改进投影，（Bajaj，C.，代数几何及其应用：Abhyankar 60岁生日会议论文集（1994），Springer:Springer Berlin），467-476·Zbl 0822.68118号 [58] 拉扎德，D。；McCallum，S.，《迭代判别法》，J.Symb。计算。，44, 9, 1176-1193 (2009) ·Zbl 1206.13030号 [59] Loup，U。；Scheibler，K。；科齐利厄斯，F。；E·阿尔布拉哈姆。；Becker，B.，区间约束传播与柱面代数分解的共生，（Bonacina，M.，《自动演绎》（CADE-24）。自动演绎（CADE-24），计算机科学讲义，第7898卷（2013），施普林格：施普林格-柏林-海德堡），193-207·Zbl 1381.68274号 [60] Mayr，E。；Meyer，A.，交换半群和多项式理想单词问题的复杂性，高等数学。，46, 3, 305-329 (1982) ·Zbl 0506.03007号 [61] Mayr，E。；Ritscher，S.，多项式理想Gröbner基的维数相关界，J.Symb。计算。，49, 78-94 (2013) ·Zbl 1258.13032号 [62] McCallum，S.，《圆柱代数分解的改进投影运算》（1985），威斯康星大学麦迪逊分校，博士论文（计算机科学技术报告578） [63] McCallum，S.，圆柱代数分解的改进投影操作，（Caviness，B.；Johnson，J.，量词消除和圆柱代数分解。量词消除与圆柱代数分解，符号计算中的文本与专题（1998），Springer-Verlag），242-268·Zbl 0900.68279号 [64] McCallum，S.，《迭代结果和判别因子》，J.Symb。计算。，27, 4, 367-385 (1999) ·Zbl 0927.12005 [65] McCallum，S.，《关于带等式约束的基于CAD的量词消除中的投影》，（1999年符号与代数计算国际研讨会论文集。1999年符号和代数计算国际会议论文集，ISSAC’99（1999），ACM），145-149 [66] McCallum，S.，《关于基于CAD的量词消除中方程约束的传播》，（2001年符号和代数计算国际研讨会论文集。2001年符号与代数计算国际会议论文集，ISSAC’01（2001），ACM），223-231·兹比尔1356.68287 [67] McCallum，S。；Brown，C.，《基于CAD的量词消除中两个等式约束的多样性》，（2009年符号与代数计算国际研讨会论文集。2009年符号和代数计算国际会议论文集，ISSAC’09（2009），ACM），71-78·Zbl 1237.14067号 [68] McCallum，S。；Hong，H.，关于在CAD构建中使用Lazard投影，J.Symb。计算。，72, 65-81 (2016) ·Zbl 1325.13026号 [69] McCallum，S。；Parusiáiski，A。；Paunescu，L.，Lazard CAD构建方法的有效性证明，J.Symb。计算。，92, 52-69 (2019) ·Zbl 1419.14084号 [70] 穆利根，C。；布拉德福德，R。；Davenport，J。；英格兰，M。；Tonks，Z.，源自经济学中自动推理的非线性实数基准，（Bigatti，A.；Brain，M.，第三届可满足性检查和符号计算研讨会论文集\（\mathsf｛SC｝^2 2018）\）。CEUR研讨会论文集（2018）第2189号），48-60 [71] 穆利根，C。；Davenport，J。；England，M.，TheoryGuru:将量词消除技术应用于经济学的Mathematica软件包，（Davenport，J.；Kauers，M.；Labahn，G.；Urban，J.，《数学软件-ICMS 2018》。数学软件-程序。ICMS 2018，计算机科学讲义，第10931卷（2018），施普林格国际出版公司，369-378·Zbl 1395.68350号 [72] Paulson，L.，Metitarski:过去与未来，（Beringer，L.；Felty，A.，交互式定理证明，计算机科学讲义，第7406卷（2012），Springer），1-10·Zbl 1360.68765号 [73] 施瓦茨，J。；Sharir，M.，《关于“钢琴舞者”问题：II》。计算实代数流形拓扑性质的一般技术，Adv.Appl。数学。，4, 298-351 (1983) ·Zbl 0554.51008号 [74] Seidl，A.，《应用导向范式下的柱形分解》（2006），帕索大学，Fakultät für Informatik und Mathematik博士论文 [75] 斯特泽波恩斯基，A.，《使用验证数值的圆柱代数分解》，J.Symb。计算。，41, 9, 1021-1038 (2006) ·Zbl 1124.68123号 [76] 斯特泽波恩斯基，A.，《使用局部投影的圆柱代数分解》，J.Symb。计算。，76, 36-64 (2016) ·Zbl 1350.14042号 [77] T·维埃曼。；Kremer，G。；A bráham，E.，《比较圆柱代数分解中的不同投影算子以求解smt》，（England，M.；Ganesh，V.，《第二届可满足性检查和符号计算国际研讨会论文集》（（mathsf{SC}^2 2017））。CEUR研讨会论文集（2017）第1974号 [78] 瓦达，Y。；松崎，T。；Terui，A。；Arai，N.，《大学入学考试中解决序列问题的自动推导及其实现》，（Greuel，G.-M.；Koch，T.；Paule，P.；Sommese，A.，《数学软件——2016年国际城市管理学会会议录》。数学软件——2016年ICMS会议录，计算机科学讲义，第9725卷（2016），施普林格国际出版公司，82-89·Zbl 06630646号 [79] Wilson，D。；布拉德福德，R。；Davenport，J.，《利用Gröbner基加速柱面代数分解》，（Jeuring，J.；Campbell，J；Carette，J；Reis，G.；Sojka，P.；Wenzel，M.；Sorge，V.，《智能计算机数学》，《计算机科学讲义》，第7362卷（2012），Springer），280-294·兹比尔1360.68959 [80] Wilson，D。；布拉德福德，R。；Davenport，J。；England，M.，圆柱代数子分解，数学。计算。科学。，8, 2, 263-288 (2012) ·Zbl 1309.68232号 [81] Wilson，D。；英格兰，M。；Davenport，J。；Bradford，R.，《在圆柱形代数分解中使用按维度划分的单元分布》，（第16届科学计算符号和数值算法国际研讨会。第16届科学计算符号和数值算法国际研讨会，SYNASC’14（2014），IEEE），53-60 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。