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克里斯托夫·施瓦茨韦勒

字段\（F\）与\（F[X]\）的交集上。 （英语） Zbl 1433.68583号

福尔马利兹。数学。 27，第3期，223-228（2020年）.
摘要：这是一个四篇系列文章的第三部分，其中包含了Kronecker关于域扩张多项式根的构造的Mizar形式化（第一部分和第二部分见[作者，同上27，第2号，93–100（2019；兹比尔1432.68544); 同上27，第2号，133-137（2019年；Zbl 1432.68545号)])也就是说，对于每个字段\（F\）和每个多项式\（F[X]\set减去F\），都存在一个\（F_）的字段扩展\（e\），使得\（p\）在\（e_）上有一个根。形式化遵循Kronecker的经典证明，使用\（F[X]/<p>\）作为所需的域扩展\（E\）。
在第一部分中，我们证明了一个不可约多项式（F[X]\set-bus-F中的p\）在（F[X]/<p>\）上有一个根。然而，请注意，这一说法在严格的形式意义上不可能成立：我们没有作为集合的\（F\subsetq F[X]/<p>\），因此\（F\）不是\（F[X]/<p>的子字段，因此形式上\（p\）甚至不是\（F[X]/<p>上的多项式。因此，我们沿着正则单态（φ：F\rightarrow F[X]/<p>\）平移（p\），并证明平移多项式（φ（p）\）在（F[X]/<p>\\）上有根。
因为\（F\）不是\（F[X]/<p>\）的子字段，我们在第二部分中为给定的单态\（φ：F\右箭头E\）构造了字段\（（E\ setminus \phi F）\cup F\），并证明了该字段与\（F~）同构，并且包含\（F_）作为子字段。在文献中，这部分证明通常包括这样一句话：“人们可以用（F[X]/<p>\）中的图像识别（F\），因此可以将（F\。有趣的是，要做到这一点，我们需要假设\（F\cap E=\emptyset\），特别是Kronecker的构造可以用\。
令人惊讶的是，正如我们在第三部分中所示，对于任意字段\（F\），此条件并不自动为真：除了\（\mathbb{Z} _2\)我们为每一个字段（F）构造了一个同构副本（F'），该副本具有（F'\cap F'[X]\neq\emptyset）。我们还证明了对于Mizar的表示\（\mathbb{Z} _n（n）\)、\（\mathbb{Q}\）和\（\mathbb{R}\）我们有\（\mathbb{Z} _n（n）\cap\mathbb{Z} _n（n）[十] =\emptyset\），\（\mathbb{Q}\cap\mathbb{Q}[X]=\emttyset\，和\。
在第四部分中，我们最终定义了字段扩展：（E）是（F）的字段扩展，iff（F）是（E）的子字段。注意，在这种情况下，我们将（F\subseteq E\）作为集合，因此（F\）上的多项式\（p\）也是\（E\）之上的多项式。然后，我们将第二部分的构造应用于具有正则单态的\（F[X]/<p>\）。与第一部分一起，它给出了-对于带（F\cap F[X]=\emptyset\）的字段\（F\）的一个字段扩展名\（E\），其中\（F[X]中的p\ set减去F\）有一个根。

引用于1审查

MSC公司：

68V20型 数学形式化与定理证明
12E05型 一般域中的多项式（不可约性等）
12层05 代数域扩展

关键词：

多项式根；字段扩展名；克罗内克构造

引文：

Zbl 1432.68544号；Zbl 1432.68545号

软件：

米扎尔
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Schwarzweller}，Formaliz。数学。27，第3号，223--228（2020；Zbl 1433.68583）
全文： 内政部

参考文献：

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[2] 格热戈兹·班塞雷克（Grzegorz Bancerek）、Czesław Bylinñski、亚当·格拉博夫斯基（Adam Grabowski）、阿图尔·科尔尼·奥维茨（Artur Korni \322；owicz）、罗曼·马图塞夫斯基（Roman Matuszewski），亚当·诺莫维奇（Adam Naumowic。Mizar数学图书馆在Mizar交互式证明开发中的作用。《自动推理杂志》，61（1）：9-322018。doi:10.1007/s10817-017-9440-6·Zbl 1433.68530号
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[6] 克努特·拉德布鲁赫。《代数I》，德国凯泽斯劳滕大学讲稿，1991年。
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