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徐勇；张浩；李永革；周匡（Zhou，Kuang）；刘琪；库尔根·库思

利用深度学习求解福克-普朗克方程。 （英语） Zbl 1431.35210号

混乱 30，第1期，013133，13页（2020年）.
随机微分方程的概率密度函数由福克-普朗克（FP）方程控制。提出了一种基于深度神经网络求解一般FP方程的机器学习方法。与传统的数值方法不同，该算法不需要任何插值和坐标变换。本文的主要创新点是引入惩罚因子来克服深度学习方法的局部优化，并给出了相应的设置规则。同时，我们将归一化条件作为监督条件，以有效避免试算结果为零。给出了几个数值例子来说明该算法的性能，包括一维、二维和三维系统。所有结果表明，深度学习在计算FP方程方面是非常可行和有效的。此外，还详细讨论了隐藏层数、惩罚因子和优化算法的影响。这些结果表明，适当地构造神经网络可以提高机器学习技术的性能。
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84年第35季度 福克-普朗克方程
68T07型 人工神经网络与深度学习

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\textit{Y.Xu}等人，Chaos 30，No.1，013133，13 p.（2020；Zbl 1431.35210）
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参考文献：

[1] Wang，Z。；Xu，Y。；Yang，H.，Lévy噪声在FHN模型中诱导的随机共振，科学。中国技术有限公司。科学。，59, 371-375 (2016) ·文件编号：10.1007/s11431-015-6001-2
[2] 李毅。；Xu，Y。；Kurths，J。；Yue，X.，Lévy-噪声诱导的粗略三重势输运，Phys。E版，94042222（2016）·doi:10.103/物理版本E.94.042222
[3] 埃斯科贝多，M。；Herrero，医学硕士。；Velazquez，J.J.L.，均匀等离子体中的辐射动力学，物理学D，126，236-260（1999）·Zbl 0958.82048号 ·doi:10.1016/S0167-2789（98）00255-3
[4] 塞卡托，A。；Frezzato，D.，《关于化学Fokker-Planck和Langevin方程的评论：平衡状态下的非物理电流》，J.Chem。物理。，148, 064114 (2018) ·数字标识代码：10.1063/1.5016158
[5] Grafov，B.M.，《与马尔科夫电化学噪声相关的随机扩散福克-普朗克方程》，Russ.J.Electrochem。，51, 278-280 (2015) ·doi:10.1134/S1023193515030064
[6] Karcher，H。；Lee，S。；Kaazempurmofrad，M。；Kamm，R.，力诱导蛋白质变形和动力学的粗粒度模型，生物物理。J.，9022686-2697（2006年）·doi:10.1529/biophysj.104.054841
[7] Xu，Y。；冯，J。；李，J。；Zhang，H.，Lévy噪声诱导的基因转录调控系统中的开关，Chaos，23，013110（2013）·doi:10.1063/1.4775758
[8] I.S.M.Fokou。；Buckjohn，C.N.D。；Siewe，M.S。；Tchawoua，C.，高斯白噪声下夹层屈曲梁的概率行为分析与能量收集，混沌孤子分形，92，101-114（2016）·Zbl 1372.74049号 ·doi:10.1016/j.chaos.2016.09.016
[9] Furioli，G。；Pulvirenti，A。；Terraneo，E。；托斯卡尼，G.，《社会经济现象建模中的福克-普朗克方程》，数学。模型方法应用。科学。，27, 115-158 (2017) ·兹比尔1362.35305 ·doi:10.1142/S0218202517400048
[10] Elgin，J.，《福克-普朗克方程：求解方法和应用》，Opt。国际法学学报。，31, 1206-1207 (1996) ·数字对象标识代码：10.1080/713821438
[11] Náprstek，J。；Král，R.，Fokker-Planck方程稳态和演化版本的有限元方法分析，高级工程师软件。，第72页，第28-38页（2014年）·doi:10.1016/j.advengsoft.2013.06.016
[12] 加兰，R.F。；巴德，E.G。；Urban，N.N.，非耦合神经振荡器的随机动力学：Fokker-Planck有限元方法研究，Phys。E版，76056110（2007）·doi:10.1103/PhysRevE.76.056110
[13] 姜瑜，时间分数阶福克-普朗克方程有限差分格式稳定性和收敛性的新分析，应用。数学。型号。，39, 1163-1171 (2015) ·Zbl 1432.65122号 ·doi:10.1016/j.apm.2014.07.029
[14] Sepehrian，B。；Radpoor，M.K.，用有限差分法和三次样条函数数值求解非线性Fokker-Planck方程，应用。数学。计算。，262, 187-190 (2015) ·Zbl 1410.65402号 ·doi:10.1016/j.amc.2015.03.062
[15] Drozdov，A.N.，Fokker-Planck方程在线性参考系下的精确路径积分表示：当前理论的比较研究，Phys。修订版E，57/146-158（1998）·doi:10.1103/PhysRevE.57.146
[16] 钱德里卡，M。；Kaznessis，Y.N.，预测蛋白质-甘氨酸复合物相对结合亲和力的路径积分方法，美国化学杂志。Soc.，131，4521-4528（2009年）·doi:10.1021/ja807460s
[17] Xu，Y。；Zan，W。；贾伟。；Kurths，J.，Lévy白噪声激发的SDE控制方程的路径积分解，J.Compute。物理。，394, 41-45 (2019) ·Zbl 1452.65021号 ·doi:10.1016/j.jcp.2019.05.023
[18] Biazar，J。；戈曼，P。；Hosseini，K.，求解福克普朗克方程的变分迭代法，J.Franklin Inst.，3471137-1147（2010）·Zbl 1205.35317号 ·doi:10.1016/j.franklin.201004.007
[19] 托瓦塔纳布恩，M。；Duangpithak，S.，用变分迭代法对Fokker-Plank方程进行数值模拟，国际数学杂志。分析。，5, 2193-2201 (2011) ·Zbl 1310.35008号
[20] 孙，Z。；卡里略，J。；Shu，C.W.，非线性抛物方程和具有相互作用势的梯度流问题的间断Galerkin方法，J.Compute。物理。，352, 76-104 (2017) ·Zbl 1380.65287号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.09.050
[21] 郑毅。；Li，C。；Zhao，非线性分数阶Fokker-Planck方程的全离散间断Galerkin方法，数学。问题。工程，2010，279038（2010）·Zbl 1202.65157号 ·doi:10.1155/2010/279038
[22] 诺里奥，I。；Kosuke，G.，液体中被排斥的Casimir力悬浮的粒子的热涨落和稳定性，Phys。E版，88，052133（2013）·doi:10.1103/PhysRevE.88.052133
[23] Hirvijoki，E。；Kurki Suonio，T。；南卡罗来纳州阿卡·斯隆波洛。；瓦杰，J。；Koskela，T。；Miettune，J.，求解少数等离子体粒子福克-普朗克方程的蒙特卡罗方法和高性能计算，J.plasma Phys。，81, 435810301 (2015) ·doi:10.1017/S0022377815000203
[24] 巴罗，D。；Kourentzes，N.，《特殊日子对来电预测的影响：特殊日子建模的神经网络方法》，Eur.J.Oper。第264967-977号决议（2018年）·Zbl 1378.62097号 ·doi:10.1016/j.ejor.2016.07.015
[25] Schirmer，M。；莱宁，M。；Schweizer，J.，使用模拟积雪数据对区域雪崩危险进行统计预测，J.Glaciol。，55, 761-768 (2017) ·doi:10.3189/002214309790152429
[26] Cybenko，G.，通过sigmoid函数的叠加进行逼近，数学。控制信号系统。，2, 303-314 (1989) ·Zbl 0679.94019号 ·doi:10.1007/BF02551274
[27] 拉加里斯，I.E。；利卡斯，A。；Fotiadis，D.I.，求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络，IEEE Trans。神经网络。，9, 987-1000 (1998) ·数字对象标识代码：10.1109/72.712178
[28] Leephakpreeda，T.，《微分方程解的新测定：通用近似法》，J.Compute。申请。数学。，146443-457（2002年）·Zbl 1013.65079号 ·doi:10.1016/S0377-0427（02）00397-7
[29] 范·米利根，B.P。；Tribaldos，V.V。；Jiménez，J.A.，神经网络微分方程和等离子体平衡求解器，物理学。修订稿。，75, 3594 (1995) ·doi:10.1103/PhysRevLett.75.3594
[30] Beidokhti，R.S。；Malek，A.，《使用神经网络和优化技术解决偏微分方程组的初边值问题》，J.Franklin Inst.，346898-913（2009）·Zbl 1298.65155号 ·doi:10.1016/j.franklin.2009.05.003
[31] 马利克，A。；Beidokhti，R.S.，使用混合神经网络优化方法求解高阶微分方程，应用。数学。计算。，183, 260-271 (2006) ·Zbl 1105.65340号 ·doi:10.1016/j.amc.2006.05.068
[32] 伯格，J。；Nyström，K.，复杂几何偏微分方程的统一深度人工神经网络方法，神经计算，317，28-41（2018）·doi:10.1016/j.neucom.2018.06.056
[33] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，G.E.，《基于物理的神经网络：解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架》，J.Compute。物理。，378, 686-707 (2019) ·Zbl 1415.68175号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.10.045
[34] Han，J。；Jentzen，A。；Weinan，E.，使用深度学习求解高维偏微分方程，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，115，8505-8510（2018）·Zbl 1416.35137号 ·doi:10.1073/pnas.1718942115
[35] 西里尼亚诺，J。；Spiliopoulos，K.，DGM：解偏微分方程的深度学习算法，J.Compute。物理。，375, 1339-1364 (2018) ·Zbl 1416.65394号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.08.029
[36] 朱，C。；伯德·R·H。；卢，P。；Nocedal，J.，《算法778:L-BFGS-B:大规模有界约束优化的Fortran子程序》，ACM Trans。数学。软质。，23, 550-560 (1997) ·Zbl 0912.65057号 ·doi:10.1145/279232.279236
[37] 马，J。；Xu，Y。；李毅。；田·R。；Kurths，J.，预测双稳态系统中噪声诱导的临界跃迁，混沌，29081102（2019）·兹比尔1427.37043 ·doi:10.1063/1.5115348
[38] 马，J。；Xu，Y。；徐伟（Xu，W.）。；李毅。；Kurths，J.，通过高斯白噪声和周期力减缓临界跃迁，科学。中国技术有限公司。科学。，62, 2144-2152 (2019) ·doi:10.1007/s11431-019-9557-2
[39] Honeycutt，R.L.，随机Runge-Kutta算法。I.白噪声，物理。修订版A，45600（1992）·doi:10.103/物理版本A.45.600
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