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构造非线性常微分方程奇异初值问题高阶显式一步法的新方法。 (英语) Zbl 1434.65088号

针对以下类型的奇异初值问题(IVP)构造了显式高阶一步方法:\开始{gather*}\frac{1}{x^\lambda}\ frac{d}{dx}\左(x^\Lambdak(x)\frac{du}{dx}\右)=-f(x,u),\四元x\在(0,a]\\\四元u(0)=u_0,\;\裂缝{du(0)}{dx}=0,\结束{聚集*}其中\(0<c\le k(x),\;f(x,u)是给定的函数,和(lambda=1,2)。
使用替换\(x=e^t\),将奇异IVP简化为无限区间\((-\infty,\ln a]\)上的IVP。由于函数(w(x)=k(x)frac{du}{dx}的所有导数在点(x=0)处都是奇异的,因此它们的极限被计算为(x\rightarrow0),奇异IVP解的泰勒展开是在(x=0\)附近获得的。
基于这种变换,发展了新的三阶段Runge-Kutta方法,该方法与获得的Taylor展开式具有四阶一致性。节点处的近似解在一些有限不规则网格({t_n\in(-\infty,\lna],n=0,1,dots,n,;t_n=\lna})上找到。使用标准的四阶Runge-Kutta方法计算其他网格节点的解,但保留了经典的四阶收敛性。由于这些方法是显式的,与隐式Runge-Kutta方法不同,它们不需要在每个步骤上进行额外的迭代过程。对于三种不同的奇异IVP,说明了所构造方法的有效性和收敛性。
数值实验证明了该方法对两个奇异微分方程耦合系统的适用性。

理学硕士:

65升05 常微分方程初值问题的数值方法
65升06 常微分方程的多步、Runge-Kutta和外推方法
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全文: 内政部

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