×
阿卜杜勒马利克·阿齐兹;穆罕默德·雷佐古吉;穆罕默德·塔乌斯;阿卜杜勒卡德·泽赫尼尼

关于某些二次数域的Hilbert 2-类域。 （英语） Zbl 1457.11151号

国际数论 15，第4期，807-824（2019）.
本文研究了判别式不是两个平方和的实二次数域的（第一）Hilbert二类域的二类群的周期性。更具体地说，作者研究了一种情况，其中\（k=\mathbb{Q}（\sqrt{p_1p_2q}）\）其中\（p_1\equivp2\equiv-Q\equiv 1\bmod4\）和\（k\）的2-类具有等于1的4秩。然后，他们继续确定素数的Kronecker符号条件的四种情况，将这些域（k）可以出现的判别式除以，然后在每种情况下确定（k）的三个未分类二次扩张中的基本单位系统。使用\（k\）的第一（分别，第二）希尔伯特2类域的符号\（k2^1）（分别，\（k2^2）），作者建立了他们的主要结果，因为他们区分了\（\mathrm｛Gal｝（k2^2/k））是元环或非元环的情况，并完全确定了\（k2^1）的2类群所对应的域\（k\）是循环的。
在元循环情形中证明了他们的结果后，作者在证明上述四种情形之一的非元循环情形的主要结果时给出了全部细节，并将其他情形的证明留给读者，说明类似的技术也适用。他们的结果是以自然数中的平方（mathbb{N}）、各种Kronecker符号和双二次剩余符号的特定可能值表示的，他们的证明利用了基本单位系统、类场理论和他们早期工作的一些结果。他们证明的主要结果是正确的，其中包括一些示例来支持他们的主要结果，但也存在一些小错误，如下所述。
除了一些小的语法错误外，以下是这位审稿人发现的小错误和需要澄清的地方，这些都不影响作者主要结果的正确性。
●
在第809页的命题2.1的证明中，在其余情况下，（G）是阿贝尔的，除了列出的类型（（2，4）和（4，4）之外，还应包括类型（2，8）。
●
为了使第809页上类型1的非阿贝尔非模群的关系正确，应将（G）的阿贝尔化从带有（n \geq 2）的（（2，2^n）改为带有（m \geq 2中）的（2，2 ^m），如[审稿人和C.斯奈德，“具有与\（（2,2^n）\同构的2类数字的数字字段”，Preprint（1994）]。
●
在第812页上用（q_i）描述\（K_i \）的单位指数时，其中\（K_ i \）是\（K \）的未分类二次扩张，\（q_i\）是（K_i\的单位群的指数超过其三个二次子域的单位群乘积。
●
在第813页引理4.1的陈述中，以及在随后的许多结果的陈述中，短语“是或不是\（\mathbb｛N｝\）中的正方形”指的是“分别”列出的基本单位群。
●
在第817页引理5.3的陈述中，（k）需要是一个真正的二次数域，而不是一般的数域。
●
在第817页定理5.4的陈述中，以及在随后的许多结果的陈述中，其中\（\delta\）在\（\｛1，p_1，2p_1\｝\）中，\（\delta（z+/-1）\）意味着\（\delta（z+1）\）和\（\delta（z-1）\）在\（\mathbb｛N｝\）中“都”而不是平方。
●
在第818页的示例5.5中，如定理5.4所述，（α）应等于（（（es+dr）/p_1），而不是（（uz+vw）/p））。
●
在第819页第2段定理5.6的证明中，命题5.4应替换为定理5.4。如果（K_1，K_2，K_3）是\（K）和\（K_0=K_1K_2K_3\）的三个未分类的二次扩张，那么如果\（n）在单位群\（E（K_0）中，则可以得出\（n^2）是单位群的乘积。E（K_2）。E（K_3）\），如图所示[H.瓦达，J.工厂。科学。，东京大学教区。I 13、201–209（1966年；Zbl 0158.30103号)].
●
在第821页和第822页定理5.12的证明中，参考了[审稿人，J.数论173，529-546（2017；Zbl 1377.11114号)，推论1]应替换为[loc.cit.，引理4.4]。
●
在第823页的示例5.15中，由于示例中的两个字段都有\（\alpha=-1\）和\（s=1\），所以可以简单地将\（\阿尔法=-1）或\（s=-1）的条件表述为\（\alpha=-1）。
审核人：埃利奥特·本杰明（温特波特）

引用于2文件

MSC公司：

11兰特29 类号、类群、判别式
11兰特 二次扩展
11兰特32 伽罗瓦理论
11兰特37 类场论
20日第15天 有限幂零群，\（p\）-群

关键词：

二次场;希尔伯特二级场;2类组;亚循环2-群

引文：

Zbl 0158.30103号;Zbl 1377.11114号

软件：

PARI/GP公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Azizi}等人，《国际数论》第15卷，第4期，第807--824页（2019年；Zbl 1457.11151）
全文： 内政部

参考文献：

[1] 阿齐兹，A.，Sur la capturation des \（2）-classes déaux de\(𝕜 = \Bbb Q（\sqrt{2pq}，i）\），o\（p\equiv-Q\equiv 1（\operatorname{mod}4）\）《学报》。阿里斯94（2000）383-399·Zbl 0953.11033号
[2] Azizi，A.和Mouhib，A.，Sur le rang du（2）-groupe de classes de（Bbb Q（sqrt{m}，\sqrt{d}））o（m=2）ou un premier\（p\equiv 1\operatorname{mod}4），Trans。阿默尔。数学。Soc.353（7）（2001）2741-2752·Zbl 0986.11073号
[3] Azizi，A.和Mouhib，A.，Capitulation des（2\）-某些双象限军团的阶级，而不是不同流派的军团（2\）-太平洋希尔伯特阶级的军团。《数学杂志》218（1）（2005）17-36·兹比尔1152.11345
[4] Azizi，A.，Zekhnini，A.和Taous，M.，《某些域的阿贝尔扩张中的投降》（Bbb Q（\sqrt{p_1 p_2 Q}，i），AIP Conf.Proc.1705（1）（2016）1-8；arXiv:1507.00295。
[5] Benjamin，E.，一些实二次数域及其Hilbert类域具有循环类群，J.number Theory173（2017）529-546·Zbl 1377.11114号
[6] Benjamin，E.，Lemmermeyer，F.和Snyder，C.，带循环的虚二次域（k\），J.数字理论67（1997）229-245·Zbl 0919.11074号
[7] Benjamin，E.，Lemmermeyer，F.和Snyder，C.，《阿贝尔（2）类场塔的实二次场》，《J·数论》73（1998）182-194·Zbl 0919.11073号
[8] Benjamin，E.，Lemmermeyer，F.和Snyder，C.，带（text）的虚二次域{氯}_2（k） \simeq（2,2^n）和排名（\text{氯}_2（k^1）=2\），太平洋。《数学杂志》198（1）（2001）15-31·Zbl 1063.11038号
[9] E.Benjamin和C.Snyder，类数同构于（2，2^n）的数字域，预印本（1994）。
[10] Benjamin，E.和Snyder，C.，具有类型\（2，2）\类群的实二次域，数学。Scand.76（1995）161-178·Zbl 0847.11058号
[11] Benjamin，E.和Snyder，C.，一些实二次数域的类数与模同余，Acta。阿里斯177（2017）375-392·Zbl 1401.11143号
[12] Benjamin，E.和Snyder，C.，关于某些二次域的Hilbert类域的（2）类群的秩，Quart。《数学杂志》69（4）（2018）1163-1193·兹比尔1445.11127
[13] Benjamin，E.和Snyder，C.，用（G^{ab}\simeq（2，2^n），n\geq 2）和秩（d（G^prime）=2）对metabelian（2）-群（G）的分类，实二次数域的应用，J.Pure Appl。阿尔及利亚223（1）（2019）108-130·Zbl 1435.11139号
[14] Blackburn，N.，关于导出群有两个生成器的素数幂群，Proc。剑桥菲洛斯。Soc.53（1957）19-27·Zbl 0077.03202号
[15] Blackburn，N.，（p\）-群上某些初等定理的推广，Proc。伦敦数学。Soc.11（1961）122·Zbl 0102.01903号
[16] Couture，R.和Derhem，A.，《投降问题》，C.R.学院。科学。巴黎。I314（1992）785-788·Zbl 0778.11059号
[17] Gorenstein，D.，有限群（Harper&Row，纽约，1968）·Zbl 0185.05701号
[18] Gras，G.，Sur les l-classes d’idaux dans les extensions cycliques relates de degr premier，《傅里叶学院年鉴》23（3）（1973）1-48·Zbl 0276.12013号
[19] Hall，M.，《群体理论》（MaCmillan，纽约，1959年）·Zbl 0084.02202号
[20] Hall，M.和Senior，J.K.，《秩序集团》（The Groups of Order）（2 ^n（n \leq 6））（麦克米伦出版社，纽约，1964年）·Zbl 0192.11701号
[21] Heider，F.P.和Schmithals，B.，Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen，J.Reine Angew。数学366（1982）125·Zbl 0505.12016年
[22] Kaplan，P.，Sur le \（2）-groupe des classes didaux des corps quariques，J.Reine Angew。数学283/284（1976）313-363·Zbl 0337.12003号
[23] Kisilevsky，H.，类号与（4）模（8）和希尔伯特定理（9 4）同余的数字域，J.数字理论8（1976）271-279·Zbl 0334.12019号
[24] Lemmermeyer，F.，黑田章男的类数公式，《学报》。阿里斯66（3）（1994）245-260·Zbl 0807.11052号
[25] Rédei，L.，Arithmandischer Beweis des Satzesüber die Anzahl der durch vier teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadrischen Zahlkörper，J.Reine Angew。数学171（1935）55-60。
[26] Scholz，A.，u ber die Löbarkeit der Gleichung，数学。Z.39（1934）95-111。
[27] PARI Group，PARI/GP，波尔多，版本2.9.1（64位），2016年11月22日；http://pari.math.u-bordeaux.fr。
[28] Wada，H.，关于某些代数数域的类数和单位群，东京。美国工厂。Sc.J.系列。I13（1966）201-209·Zbl 0158.30103号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。