卡罗琳·沃梅尔 均匀扩展动力学中转移算子的谱Galerkin方法。 （英语） 兹比尔1421.37034 数字。数学。 142，编号2，421-463（2019）. 马尔可夫一致扩张映射是一类重要的混沌动力系统。本文中，作者发展了这些映射的转移算子的谱Galerkin方法。更准确地说，他使用传递算子的无限傅里叶或切比雪夫基系数矩阵的有限子矩阵提供了一些统计量的估计。传递算子被给出为作用为[（mathcal{L}\phi）（x）=\sum_{f（y）=x}\frac{1}{|f^{prime}（y）|}\fhi（y。作者提到，传递算子问题一般不能用解析方法求解，而数值方法是非常重要的。乌拉姆的方法方案在文献中得到了广泛的应用，即将转移算子投影到特征函数的子空间上并计算统计特性。作者考虑了在（L^{2}（[0,2\pi））中正交的傅里叶指数基（e_{k}（x）=e^{ikx}），（k\in\mathbb{Z}）和切比雪夫多项式基（T_{k}（x）=cosk\cos^{-1}x\），（k \in\mathbb{N}）^{-1/2}\）。作者首先介绍了两类通用的映射（圆映射（U{P}）和区间映射（U_{NP}）），然后介绍了一些if（sup{iota\ in i，x\in\Lambda}|frac{v{iota}^{（N+1）}（x）}|=C_{N}<\ infty \），\（N=1，\点，\）；（ii）（AD{\delta}）对于某些（delta>0），如果（λ中的sup{z}|\frac{v^{\prime\prime}（z）}{v^}|=C_1，delta}<\infty\），（λ=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{z}），（I中的sup{\iota\，z\check{\Lambda}_{\delta}}|\frac{v^{\prime\prime}（z）}{v^}\prime}（z）}|=C_{1，\ delta}<\infty\），\（\Lambda=[-1，1]\）来自这些类的映射可以选择性地保持。作者的主要理论结果是，对于解析映射，谱Galerkin估计和1-预解式在近似阶（N）下指数快速收敛，对于（C^{r}）映射，则以（O（N^{2.5-r}）的形式指数快速收敛。他的方法的算法开销是（O（N^{3}）。作者在开始时设置了问题，然后非常严格地证明了结果。这样的结果表明，一个算子明确地解决了许多典型的转移算子问题。主要定理给出了谱算子估计的收敛性{左}_{N} phi-\mathcal｛L｝\phi\right｛BV｝＜N｝{N} K（K）（N） \left\|\phi\right\|_{BV}\）和\（\left\ |\mathcal{宋体}_{N} \phi-\mathcal{S}\phi\right\|_{BV}<N\sqrt{N}\bar{K}（N）\left\|\phi\reight\|__{BV}\）。接下来，作者给出了传递算子谱系数矩阵项（L_{jk}）的大小的界。为了实现这些结果，作者描述了两种算法，并用它们证明了传递算子谱方法的能力：一种严格有效的算法和一种快速、更方便的自适应算法。与其他方法相比，这里获得的收敛速度非常好。虽然基于集合的方法涵盖的映射类比作者在这里考虑的要大得多，但无论正则性如何，这些方法的最优收敛速度只有（O（mathrm{log}（N）/N），其中（N）是Ulam矩阵的大小。谱方法也比使用周期轨道计算统计量的算法效率高得多：在解析映射的情况下，这些算法按顺序超指数收敛，但必须计算的周期轨道数，因此计算成本，随顺序呈指数增长。数值结果表明，实际收敛速度略优于作者证明的结果，不同的理论方法可能会得到最佳收敛速度。与以前的算法相比，作者的自适应算法在实际应用中提供了更高的精度，即在个人计算机上以几分之一秒的速度生成双浮点精度估计。作者希望他的谱方法能成为混沌系统理论和数值研究的有用工具。作者还证明，通过在Julia软件包Poltergeist中实现传输算子谱方法，自适应谱方法允许非常快速且用户友好地计算统计特性，从而在个人计算机上估计0.1 s以下的量，精确到小数点后13位。最后，作者证明了满足足够强畸变条件的（U{P}）和（U{NP}）中的映射的极其精确的严格界，并给出了通过严格实现他的谱方法获得的Lanford映射的Lyapunov指数和扩散系数的两个严格验证的界。作者考虑了Lanford映射（f:[0,1]\rightarrow[0,1]\），（f（x）=2x+\frac{1}{2} x个（1-x）\）模1。（a） Lanford地图的Lyapunov指数（L_{exp}:=\int_{\Lambda}\log|f^{\prime}|\rho-dx\）位于范围（L_{exp}=\）0.657 661 780 006 597 677 541 582 413 823 832 065 743 241 069 580 012 201 953 952 802 691 632 666 111 554 023 759 556 459 752 915 174 829 642 156 331 798 026 301 488 594 89乘以10^{-128}\）。（b） 可观测的Lanford映射（φ（x）=x^2）的扩散系数在（σ_{f}^{2}（φ）=0.360 109 486 199 160 672 898 824 186 828 576 749 241 669 997 797 228 864 358 977 865 838 174 403 103 617 477 981 402 783 211 083 646 769 039 410 848 031 999 960 664 7（pm 6乘以10^{-124}）范围内。作者在这里得到的数值界远远超出了其他数值结果的实际能力。作者使用了相当数量的光谱方法计算能力，获得了127位和123位小数点后有效数字。作者说，他的结果可能会扩展到更高的维度，可能包括带有收缩方向的地图。通过构造有效的数值诱导方案，观察到他的方法可以为几乎所有主要类的一维混沌映射（如非马尔可夫扩张映射、间歇映射和二次映射）提供快速准确的统计特性估计。在文章的最后，作者给出了一致展开和一致（C）-展开之间的关系，关于畸变条件的一些结果，（BV）中解算子范数的显式界，以及引理的一个非常严格的证明，它表明了（nu{iota^{prime}}）和（h{iota}）上的相关界对所有人都保持一致。审核人：穆罕默德·萨吉德（Buraidah） 引用于12文件 MSC公司： 37米25 遍历理论的计算方法（不变测度的近似、Lyapunov指数的计算、熵等） 37E05型 涉及区间映射的动力系统 37E10型 涉及圆映射的动力系统 65升60 有限元、Rayleigh-Ritz、Galerkin和常微分方程的配置方法 关键词：Lyapunov指数的计算；区间图；圆的地图；动力系统中的数值问题 软件：GAIO公司；批准乐趣；转发差异；github；争吵不休 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Wormell}，数字。数学。142，No.2，421--463（2019；Zbl 1421.37034） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Aurentz，J.L.，Trefethen，法律公告：切比雪夫系列。ACM事务处理。数学。柔和。（TOMS）43、33（2017）·Zbl 1380.65032号 ·doi:10.1145/2998442 [2] Bahsoun，W.，Galatolo，S.，Nisoli，I.，Niu，X.：扩张映射扩散系数的严格近似。《统计物理学杂志》。163, 1486-1503 (2016) ·Zbl 1360.37177号 ·doi:10.1007/s10955-016-1523-y [3] Bahsoun，W.，Galatolo，S.，Nisoli，I.，Niu，X.：线性响应的严格计算方法。非线性31，1073（2018）·Zbl 1395.37050号 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