弗雷德里克·约翰逊；布拉古钦，伊罗斯拉夫五世。 使用复杂积分计算Stieltjes常数。 （英语） Zbl 1460.11151号 数学。计算。 88，第318号，1829-1850（2019）. 摘要：广义Stieltjes常数（gamma_n（v））是Hurwitz zeta函数（zeta（s，v））关于其唯一极点（s=1）的Laurent级数系数。在这项工作中，我们设计了一种有效的算法，可以在严格的误差范围内将这些常数计算到任意精度，首次以较低的阶复杂度实现了这一点。我们的计算基于双曲核的积分表示，双曲核以指数速度衰减。该算法包括定位一个近似最陡下降轮廓，然后使用Petras算法对鞍点附近边界进行泰勒展开，在ball算法中对积分进行数值计算。Arb库中提供了一个实现。例如，我们可以在一分钟内计算任意（n）到（n=10^{100}）的\（gamma_n（1）\）到1000位数。我们还为\（\gamma_n（v）\）、\（\zeta（s）\）和\（\zeta（s，v）\。 引用于6文件 MSC公司： 11年60 数论常数的计算 11立方米 Hurwitz和Lerch zeta函数 65D20个 特殊函数和常数的计算，表的构造 65G20个 具有自动结果验证的算法 关键词：Stieltjes常数；Hurwitz zeta函数；黎曼-泽塔函数；积分表示法；复杂集成；数值积分；复杂性；任意判定算法；严格的误差范围。 软件：阿伯；数学软件；mpmath（数学） PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{F.Johansson}和\textit{I.V.Blagouchine}，数学。计算。88，No.318，1829--1850（2019；Zbl 1460.11151） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 2*Pi*Integral_{-oo<=x<=oo}log（1/2+i*x）^2/（exp（-Pi*x）+exp（Pi*x））^2的十进制展开式。 参考文献： [1] 乔斯·阿德尔（Jos Adell）。；Lekuona，Alberto，Stieltjes常数的快速计算，数学。公司。，86, 307, 2479-2492 (2017) ·Zbl 1378.11082号 ·网址：10.1090/com/3176 [2] ainsworth1985年O.R。安斯沃思和L.W。豪厄尔，广义Euler-Mascheroni常数的积分表示，NASA技术论文24561985。 [3] Bruce C.Berndt，《论Hurwitz zeta函数》，《落基山数学杂志》。，151-157年2月1日（1972年）·Zbl 0229.10023号 ·doi:10.1216/RMJ-1972-2-1-151 [4] Blagouchine，Iaroslav V.，勘误表和补遗：Malmsten积分的重新发现，用轮廓积分方法对其进行评估以及一些相关结果[Ramanujan J.（2014），35:21-10][MR3258600]，Ramanujian J.，42，3，777-781（2017）·Zbl 1362.33028号 ·doi:10.1007/s11139-015-9763-z [5] Blagouchine，Iaroslav V.，“有理参数和一些相关求和时第一个广义Stieltjes常数的闭式计算定理”的勘误表[J.数论148（2015）537-592][MR3283193]，J.数理，151，276-277（2015）·Zbl 1381.11115号 ·doi:10.1016/j.jnt.2015.01.001 [6] Blagouchine，Iaroslav V.，《将广义Euler常数展开为（pi^{-2}）中的多项式级数和仅含有理系数的形式包络级数的勘误表》[J.数论158（2016）365-396][MR3393558]，J.数理，173，631-632（2017）·兹伯利1359.11095 ·doi:10.1016/j.jnt.2016.111.002 [7] Blagouchine，Iaroslav V.，关于Ser和Hasse对齐塔函数表示的三点注记，整数，18A，论文编号A3，45页（2018）·Zbl 1453.11106号 [8] Bohman，Jan；法语\“{o} 贝里、Carl-Erik、The Stieltjes函数定义和属性、数学。公司。，51, 183, 281-289 (1988) ·Zbl 0654.10038号 ·doi:10.2307/2008591 [9] 理查德·布伦特（Richard P.Brent）。；McMillan，Edwin M.，高精度计算欧拉常数的一些新算法，数学。公司。，34, 149, 305-312 (1980) ·Zbl 0442.10002号 ·doi:10.2307/2006237 [10] Briggs，William E.，《与黎曼齐塔函数相关的一些常数》，密歇根数学。J.，3117-121（1955-56）·Zbl 0073.29303号 [11] fekih2014new L.Fekih-Ahmed，Stieltjes常数的一个新的有效渐近公式，arXiv预印本arXiv:1407.5567，（2014）。 [12] 1895克J.P。Gram，Note sur le calcul de la function\（zeta（s）\）de Riemann，Oversigt。英国。丹斯克·维登斯克。（塞尔斯克福勒），303-3081895年。 [13] 约翰逊，弗雷德里克，赫尔维茨-泽塔函数及其导数的严格高精度计算，数值。算法，69，2，253-270（2015）·Zbl 1320.65039号 ·doi:10.1007/s11075-014-9893-1 [14] Johansson，Fredrik，Arb：高效任意精度中点半径区间算法，IEEE Trans。计算。，66, 8, 1281-1292 (2017) ·兹比尔1388.65037 ·doi:10.1109/TC.2017.2690633 [15] Johansson 2017computing F.Johansson，Computing the Lambert W function in anyry-pecision complex interval algorithm，arXiv预印本arXiv:1705.03266，（2017）。 [16] Johansson 2017mpmath F.Johansson，mpmath:任意精度浮点运算的Python库，（2017）。1.0版。 [17] Johansson2018numerical F.Johansson，任意精度球算术中的数值积分，arXiv预印本arXiv:1802.07942，（2018）·Zbl 1397.65342号 [18] Keiper，J.B.，黎曼函数的幂级数展开，数学。公司。，58, 198, 765-773 (1992) ·Zbl 0767.11039号 ·doi:10.2307/2153215 [19] 查尔斯·奈斯；Coffey，Mark W.，Stieltjes常数的有效渐近公式，数学。公司。，80, 273, 379-386 (2011) ·Zbl 1208.41020号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2010-02390-7 [20] Kreminski，Rick，Newton-Coutes积分用于逼近Stieltjes（广义Euler）常数，数学。公司。，72, 243, 1379-1397 (2003) ·Zbl 1033.11043号 ·doi:10.1090/S0025-5718-02-01483-7 [21] Liang，J.J.Y。；Todd，John，《Stieltjes常数》，J.Res.Nat.Bur。标准章节。B、 76B，161-178（1972）·Zbl 0257.10017号 [22] 林德尔\`“{o} （f），Ernst，Le calcul des r”{e} 西杜斯et ses应用程序“a la th”{e} 奥利des functions，Les Grands Classiques Gauthier-Villars。[Gauthier-Villars伟大经典]，viii+145页（1989）{E} 条件雅克·加贝（Jacques Gabay），Sceaux [23] Matsuoka，Y.，与黎曼-泽塔函数相关的广义欧拉常数。数论与组合学。日本1984，东京，冈山和京都，1984，279-295（1985），《世界科学》。出版，新加坡·Zbl 0614.10032号 [24] Matsuoka，Yasushi，关于Riemann-zeta函数的幂级数系数，东京数学杂志。，12, 1, 49-58 (1989) ·Zbl 0683.10032号 ·doi:10.3836/tjm/1270133547 [25] paris2015渐近R.B。Paris，Stieltjes常数的渐近展开，arXiv预印本arXiv：1508.03948，（2015）。 [26] Petras，Knut，分段分析函数的自验证积分和逼近，J.Compute。申请。数学。，145, 2, 345-359 (2002) ·Zbl 1002.65030号 ·doi:10.1016/S0377-0427（01）00586-6 [27] eddinthese2013 S.Saad-Eddin，《关于Dirichlet（L）-级数的Laurent-Stieltjes系数的两个问题》，（博士论文），法国里尔大学，2013年·兹比尔1282.11106 [28] Srivastava，H.M。；Choi，Junesang，《与Zeta和相关功能相关的系列》，x+388页（2001年），Kluwer学术出版社，多德雷赫特·Zbl 1014.33001号 ·doi:10.1007/978-94-015-9672-5 [29] Srivastava，H.M。；Choi，Junesang，Zeta和（q）-Zeta函数及相关系列和积分，xvi+657 pp.（2012），Elsevier，Inc.，阿姆斯特丹·Zbl 1239.33002号 ·doi:10.1016/B978-0-12-385218-2.0001-3 [30] wolfram wolfram研究。关于内部实施的一些说明。Wolfram语言与系统文档中心，2018年。https://reference.wolfram.com/language/tutorial/SomeNotesOnInternalImplementation.html。 [31] vdhoeven2009ball J.van der Hoeven，Ball算术，技术报告，HAL，2009年。hal-00432152。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。