戴维·安布罗西（编辑）；刘，春（编辑）；马蒂亚斯·罗格（编辑）；安吉拉·史蒂文斯（编辑） 机械生物学和细胞信号的数学。2018年2月25日至3月3日举行的研讨会摘要。 （英语） Zbl 1409.00061号 Oberwolfach代表。 15，第1期，433-506（2018）. 小结：研讨会重点讨论了活细胞之间相互作用、它们与环境的相互作用以及由此产生的形态发生过程的数学建模和分析。生物机械过程和分子信号的相互作用，以及它们对细胞簇、组织和器官中形状和功能的出现的联合作用，都得到了阐述。在形式和严格的数学水平上讨论了连续介质力学的经典方法和必要的扩展。实验家做了几次介绍性演讲。 MSC公司： 00英镑05 讲座摘要集 00B25型 杂项特定利益的会议记录 92立方厘米 生物力学 92立方厘米 发育生物学，模式形成 74升15 生物力学固体力学 92-06 与生物学有关的会议记录、会议、收藏等 92立方37 细胞生物学 92年第35季度 与生物、化学和其他自然科学相关的PDE 软件：LBIB单元；MCdevelop公司；流动实验室 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Ambrosi}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.15，No.1，433--506（2018；Zbl 1409.00061） 全文： 内政部 参考文献： [1] 斯特恩，C.D.，《从细胞到胚胎的胃形成》，C.D.斯特恩主编。2004年，纽约：冷泉港实验室出版社。 [2] Chuai，M.，D.Hughes和C.J.Weijer，原肠胚形成过程中上皮和间充质细胞的集体迁移。当前基因组学，2012年。13（4）：第267-77页。 [3] Rozbicki，E.等人，肌球蛋白-II介导的细胞形状变化和细胞插入有助于原始条纹的形成。《国家细胞生物学》，2015年。17（4）：第397-408页。 [4] Barton，D.L.等人，《上皮组织力学细胞溶解描述的主动顶点模型》。PLOS计算生物学，2017年。13（6）：第1005569页。如何建模脑组织？阿兰·戈里利（Alain Goriely）：大脑研究中的一个关键问题是建立可靠的模型，用于大脑组织在各种刺激下的反应，例如机械负荷、压力变化或渗透变化[5,6]。特别是，在连续体框架内研究生物系统的机械响应依赖于与应力和应变相关的本构方程[1]。由于缺乏从第一原理推导这些本构方程的方法，通常使用唯象模型。特别是，当一个系统在弹性状态下工作时，已经为许多组织和器官提出了一类超弹性模型。理想情况下，这些模型是根据多轴载荷数据进行系统校准和验证的。与其将蛮力和拟合数据用于任意应变能函数，人们很清楚，本构建模的一个关键要素是考虑具有理想特性的模型族[9]。例如，富含胶原蛋白的软组织大多是不可压缩的，并显示出强烈的应变增强反应。因此，目前针对这些组织的大多数模型都是从一种功能形式开始的，这种功能形式既加强了这些特定的属性，又具有足够的通用性，适合于特定的系统。然而，脑组织与大多数软生物组织显著不同：其微观结构不受胶原蛋白和弹性蛋白纤维的控制，这意味着大脑通常缺乏动脉、骨骼肌和心肌或皮肤特有的应变增强行为[3,2]。Fung或Gent等模型[4]捕捉到的这些组织的典型行为是，在有限延伸处获得了强烈的硬化，导致奇异极限（对于Gent模型）或指数行为（对于Fung模型）。虽然很容易使用此类模型，但数据分析表明，这些模型不适用于444Oberwolfach报告8/2018脑组织[8]。的确，脑组织具有以下在软组织中未发现的宏观特性：（i）剪切模量随着垂直于剪切方向的压缩的增加而急剧增加；（ii）剪切模量几乎保持不变，或随着与剪切方向正交的方向上的张力增加而降低；（iii）当压缩增加时，弹性模量增加或几乎保持不变。一个自然的问题是理解脑组织的定义特征，并根据这些特征确定合适的超弹性模型家族。此外，脑组织模型需要适合体内经历的小到中度应变。图1。软组织模型未能捕捉到脑组织在压缩下的僵硬（左），但新的现象学模型（右）捕捉到了这种行为[8]。主要的数学挑战是建立一系列具有少量参数的各向同性超弹性应变能函数，这些函数在剪切和压缩或拉伸组合下表现出这种特性。为此，我们设计了一种系统策略来推导一系列具有少量参数的超弹性模型，这些参数可以预测剪切和轴向联合载荷下脑组织的弹性行为，并适用于有限元分析。我们的算法方法是通用的，因此适用于其他具有类似属性的生物组织，包括脂肪组织。经典软组织模型和新模型系列的不适用性如图1所示[8]。另一个令人着迷的数学建模问题是，由于微观结构的不均匀性，或者当弹性数据是从粘弹性力学试验中提取的力学生物学和细胞信号数学445时，生物和合成材料在大应变下的弹性响应往往表现出固有的可变性。对于这些材料，尽管根据平均数据校准的超弹性模型很有用，但考虑到数据分散性的随机表示也携带了有关实际应用中发现的材料特性可变性的额外信息。我们将有限弹性和信息理论相结合，构建了均质各向同性超弹性模型，其随机场参数校准为应力应变函数或非线性剪切模量的离散平均值和标准偏差，非线性剪切模量是变形的函数，由实验测试估计。这些量可以有不同的值，与实验的可能结果相对应。由于可以导出多个模型来充分表示观察到的现象，因此我们应用了Occam剃刀，为基于贝叶斯统计的模型选择提供了明确的标准。然后，我们利用这一标准，在根据单轴或多轴载荷下脑组织的实验数据校准的竞争模型中选择一个模型[10]。工具书类 [5] Goriely，A.生物生长的数学和力学。Springer Verlag，纽约，2017年·兹比尔1398.92003 [6] Goriely，A.、Budday，S.和Kuhl，E.《神经力学：从神经元到大脑》。《应用力学进展》48（2015），79-139。 [7] Goriely，A.、Geers，M.G.D.、Holzapfel，G.A.、Jayamohan，J.、J´erusalem，A.、Sivaloganathan，S.、Squier，W.、van Dommelen，J.A.W.、Waters，S.L.和Kuhl，E.《大脑的力学：观点、挑战和机遇》。生物技术。模型。机械胆。14 (2015), 931. [8] Horgan，C.O.和Saccomandi，G.使用极限链延伸本构模型描述动脉壁力学。生物技术。模型。机械胆。1 (2003). [9] Lang，G.E.，Stewart，P.S.，Vella，D.，Waters，S.L.和Goriely，A.，Donnan效应足以解释脑组织切片中的肿胀吗？J.R.Soc.接口11，96（2014），20140123。 [10] Lang，G.E.，Vella，D.，Waters，S.L.，and Goriely，A.，脑组织损伤的传播：水肿和氧气输送机制的耦合。生物技术。机械双醇模型。14 (2015), 1197-1216. [11] Mihai，L.A.、Budday，S.、Holzapfel，G.A.、Kuhl，E.和Goriely，A.人类脑组织超弹性模型家族。固体力学与物理杂志106（2017），60-79。 [12] Mihai，L.A.、Chin，L.、Janmey，P.A.和Goriely，A.适用于大脑和脂肪组织的超弹性本构模型的比较。J.R.Soc.接口12，110（2015），20150486。 [13] Mihai，L.A.和Goriely，A.如何表征非线性弹性材料？各向同性有限弹性非线性本构参数综述。程序。R.Soc.A 473，2207（2017），20170607·兹比尔1404.74018 [14] Mihai，L.A.、Woolley，T.E.和Goriely，A.，《随机各向同性超弹性材料：本构标定和模型选择》。程序。R.Soc.A 474，2211（2018），20170858。446Oberwolfach报告8/2018粘连非依赖性迁移的机制Dani Bodor细胞迁移是许多生理和病理现象的关键，包括免疫反应、伤口愈合、发育和转移。传统上，细胞迁移是在粘附在盖玻片上的培养细胞上进行的，盖玻片的力通过基于整合素的锚传递到表面。然而，已经清楚地证明，粘附对于体内有效迁移和受限细胞来说是必不可少的。我讨论了另一种迁移模式，在这种模式下，受限细胞利用肌动球蛋白皮层和细胞外环境之间的摩擦，在没有任何形式的粘附的情况下产生牵引力。使用先进的微流体技术，我们可以测量细胞的摩擦系数，这使我们能够证明摩擦产生100-1000倍的低应力，从而实现高效迁移。通过测量电池和基板之间的距离，我们可以证明润滑摩擦不足以产生所需的力，并提出需要非粘附分子相互作用。我还将细胞表面质谱数据与细胞外结构域大小和皮层相互作用的知识相结合，并测试微流控芯片中的候选分子，以此来确定涉及哪些分子。最终，这将导致对广泛但尚未研究的迁移模式的深入分子理解。生物组织的多阶段建模John King多阶段方法非常适合于各种生物系统（包括肿瘤生长、组织工程、胚胎发育和细菌生物膜）的宏观建模，因为它们能够捕获多种细胞类型、ECM、水、，组织工程支架等。这里我们举例说明这些方法如何在理解细胞分裂和细胞分选的接触抑制等过程中发挥作用。我们将自己局限于两阶段的公式，尽管框架很容易扩展到更多。首先，我们概述了一种非常简单的组织生长漂移扩散方法的推导过程，避免了任何超出各个阶段不可压缩性的生物力学考虑。这里的两个相是单元（体积分数n）和水（体积分数w），质量守恒意味着导数n导数w导数t+。（nvn）=S（n，w），导数t+。（wvw）=−S（n，w），（2）n+w=1，其中S代表细胞分裂或死亡。我们引入了一种自由能源ℑ, 对于密度F，这可能取决于n、w和它们的任何空间导数，比如Z（3）ℑ =F[n，w]+p（n+w−1）dx，《机械生物学和细胞信号数学》447，其中p是实施无空隙条件的拉格朗日乘数（2）。因此，忽略任何边界贡献，dℑ=Zµñnкw dtnкt+µwкtdx Z=nvnµn+wvwµn+（µn−µw）S dx，其中δℑ, µδℑ δnw=δw是相关的化学势，（1）已被使用。接下来我们引入Rayleighian耗散ℜ 由Z 1 nw 2Mn|vn|2+Mw|vw|2dx+d定义ℑdt，其中Mn和Mw表示各自的迁移率，并认为演化受ℜ 关于vn和vw，将n和w视为已知。因此，我们获得了（4）vn=−Mnµn，vw=−Mwµw，这也可以被规定为本构假设。能量方程由δ得出ℜ+vδℜ δvnw.δvw=0，其中δℑδµ+δℑδℑnwδnδtδwδt−。（nµnvn+wµwvw）=−Mn|vn|2−Mw|vw|2+（µn−µw）S，其中左侧是保守的，由Noether的第一定理（与t平移下的不变性相关）ψF/ψt和空间散度组成，而右侧代表局部耗散，尽管（非常规）无需选择S使相变贡献（µn−µw）S为负值，因为此类模型不试图纳入细胞代谢（且细胞分裂过程不可逆）。根据标准熵表达式（5）F=kT（n ln n−n+w ln w−w。（Dn＋n＋Mn＋p）＋S（n，w），导数t=＋。（Dw+w+Mwn+p）−S（n，w），n+w=1，Dn，Dweing由爱因斯坦关系D=kT M给出。关于S的最简单假设通常是S=Kn或S=Knw，对于常数K，后者明确要求存在水才能生成新细胞（前者应解释为仅适用于w>0，448Oberwolfach报告8/2018，其中S=0表示w=0），从而以粗略的方式捕获接触抑制方面。延伸与化学动力学的类比可能表明S的形式为（6）S=K exp（µn/kT）；将（5）概括为1 2αn2），α项用于捕捉细胞间的相互作用，得出（7）µn=kT（ln n+αn）+p，然后可以通过（6）以两种不同的方式模拟接触抑制：α<0代表细胞密度驱动的机制，尽管届时可能会出现直径为（4）的细胞密度驱动机制对于反向扩散的可能性（这需要调节），而假设常数K0和（活化体积）V的K=K0epV/kT可以代表细胞压力驱动机制，只要（考虑到（7）中的p贡献）不等式V>1在当前尺度下成立，其解释尚不清楚。反向扩散的可能存在暗示了细胞分选机制，我们的第二个例子涉及两种细胞类型，体积分数为n和m，其中（1）-（3）保持有效，w处处被m取代。在一维情况下（但不是一般情况下），我们可以采用Z1 2κ|vn−vm|2dx+⏴ℑ∂t作为最简单的适当选择，产生动量方程δℜ= −n∈µδvn∈xn−κ（vn−vm），δℜ∂ δvm=−mxµm−κ（vm−vn），其中，由于对（3）的两个贡献，化学势的导数包含Fick（密度梯度）和Darcy（压力梯度）贡献。总动量守恒由求和（8）和（9）得出：ℑδℑδℑ∂nδℑ∂mxnδn+mδm+δnx+δmx，最后两项是精确的空间导数，比如说，由于ℑ 在x转换下。从（1）的一维版本推断nvn+mvm=0机械生物学和细胞信号数学449，以及从（10）推断Φ=nµn+mµm，然后意味着nm2Лn2mбvn=−（µn−µm），vm=n∈n2（1−n）2∈ξt=∈xκ（n）∈x（µn−µm）+S（n，1−n），其中S≡0适用于没有细胞分化的情况，并且在F的适当假设下，重现了用于细胞排序的Cahn-Hilliard类模型，其许多推广值得关注。感谢诺丁汉大学的资助，感谢其他与会者就雷利希人和相关事宜进行的有益讨论和参考。我很抱歉，由于篇幅有限，无法引用相关参考文献，其中有很多参考文献。如何塑造器官器官发生的计算模型Dagmar Iber（与苏黎世ETH计算生物学小组（CoBi）联合工作）动物从单个细胞发展而来。虽然人们对控制发育的监管程序了解很多，但成长中的动物的大小和形状是如何决定的仍是一个悬而未决的问题。肺、肾和许多腺体的分支树提供了复杂形状形成的迷人例子。每一个器官都有其特殊的形状来发挥其功能。这个形状是如何编程的，在开发过程中程序是如何执行的？我们将数学建模与发育器官的3D成像相结合，以确定引导肺部和肾脏分支程序的机制。这里，我们考虑几个不同的方面：1）分支点是如何定义的？2） 上皮细胞的行为如何？和3）增长是如何终止的？新分支的出现意味着对称性的破坏。实验进一步证明，肺和肾的分支程序是高度定型的。图灵机制为这种可靠的对称性破缺提供了一个吸引人的解释。然而，图灵机制的分子成分仍然难以捉摸，标准图灵模型中出现图灵模式的参数空间非常小，因此很难解释图灵机制是如何演变的。我们表明，450Oberwolfach报告8/2018特定类型的受体-受体相互作用可以导致图灵模式，并且受体对单个细胞的限制导致了巨大的参数空间[3]。图灵空间可以通过负反馈和受体聚集进一步扩大[3]。我们表明，肺分支形态发生过程中的分支点选择可以通过FGF10-FGFR2b和SHH-PTCH1相互作用来解释，而肾分支形态发生期间的分支点的选择可以通过GDNF-RET和FGF10-GFFR2b相互作用来说明[6,5]。因此，肺和肾中非常不同的分支模式可以从相同的调节机制中强劲地显现出来——由不同器官中的非常不同的蛋白质家族实现。使用肺芽形状的3D发育序列和2D肺和肾培养数据，我们证实只有图灵机制，而没有其他提出的模式机制可以预测测量的胚胎生长场[4]（Menshykau等人，修订版）。在有噪声的初始条件下，图灵机制可以为给定的参数集产生不同的模式。我们表明，这种限制可以通过在不同的结构域中表达配体及其受体来解决。与该模型预测一致，GDNF和RET在上皮中的共同表达导致非定型分支。最后，我们预测并通过实验证实GDNF/RET和WNT11之间的正反馈可以使肾脏中的芽更紧密地并置（Menshykau等人，修订版）。基于配体受体的图灵机制是多功能的，因此原则上可以解释许多图案系统中的对称性破坏，包括肢体发育中的数字形成[1]。为了模拟生长中的细胞域上的信号传递，并表示与细胞力学的相互作用，我们开发了开源C++软件LBIBCell [15] 该软件使用Lattice Boltzmann（LB）方法结合浸没边界（IB）方法来模拟流体和弹性单元边界之间的流体-结构相互作用。信号传递可以改变每个细胞的生长速度和机械特性，组织特性可以影响信号传递。Iber和Chopard（Uni Geneva）集团最近获得了为期4年的SNF Sinergia赠款，以将LBIBCell扩展到3D。该软件目前与显微镜数据结合使用，以探索在肺和肾分支形态发生过程中使芽偏向生长的机制，并确定上皮细胞组织的定义机制。上皮细胞的堆积表现出明显的规律性，无论是有机体还是器官。其中一个规律用刘易斯定律表示，该定律表明，平均顶端细胞面积与相邻细胞的数量呈线性关系，因此，顶端面积较大的细胞平均有更多的相邻细胞。有着近百年历史的刘易斯定律背后的驱动力仍然难以捉摸。我们现在提供证据证明，观察到的顶端上皮堆积使表面能最小化。路易斯定律的出现是因为顶端细胞区域在相邻晶格内呈现出最规则的多边形，从而使每个细胞的平均周长最小，从而使表面能最小。根据我们的理论，我们《机械生物学和细胞信号传递数学》451预测，如果顶端区域的变异性增加到上皮细胞正常的程度之外，线性路易斯定律将推广为二次定律。通过在果蝇上皮细胞生长中产生异质性，我们通过实验证实了这一预测。我们的发现提供了上皮组织、细胞分裂和生长之间的联系，并对上皮动力学的一般理解具有意义。随着时间的推移，所有正常组织的生长速度呈指数下降。潜在的机制仍然难以捉摸。果蝇眼盘的生长终止是细胞分化的结果。通过基于数据的建模，我们与Casares组一起定义了控制眼盘分化波运动的核心调控相互作用，并表明生长终止需要生长速度的独立下降[2]。我们进一步表明，眼盘的生长速度与生长中的眼盘的总大小成反比[9]。该观察结果与通过稀释细胞因子进行生长控制的结果一致，我们表明细胞因子Unpaired（Upd）是稀释生长控制的合适候选者[8]。然而，其他机制必须适用于其他器官，因为果蝇翅盘的生长速度不受稀释的控制[10]。总之，基于数据的建模可用于定义基本发育过程的机制，如分支形态发生的控制、上皮组织和生长控制。工具书类 [16] A Badugu、C.Kraemer、Germann博士、D.Menshykau和D.Iber。骨形态发生蛋白受体相互作用导致肢体发育过程中的数字模式。科学报告，2012年2月991日。 [17] P.Fried、M.Sanchez-Aragon、D.Aguilar-Hidalgo、B.Lehtinen、F.Casares和D.Iber。果蝇眼盘发育的时空动力学模型。《公共科学图书馆·计算生物学》，12（9）：e10050522016年。 [18] Tam´as Kurics、Denis Menshykau和Dagmar Iber。反馈、受体聚集和对单个细胞的受体限制为基于配体-受体的图灵模型提供了很大的图灵空间。物理学。版本E，90:022716，2014年8月。 [19] D.Menshykau、P.Blanc、E.Unal、S Vincent和D.Iber。几何学和信号学的相互作用使分枝形态发生变得健壮。发展，141:4526-45362014年。 [20] D Menshykau和D Iber。肾分支形态发生在基于配体受体的图灵机制的控制下。Phys Biol，2013年4月10日10:6003。 [21] D Menshykau、C Kraemer和D Iber。肺发育早期的分支模式选择。《公共科学图书馆·竞争生物学》，8（2）：e10023772012年。 [22] Simon Tanaka、David Sichau和Dagmar Iber。Lbibcell：用于形态发生问题的基于细胞的模拟环境。生物信息学，2015年。 [23] J.Vollmer、P.Fried、D.Aguilar-Hidalgo、M.Sanchez-Aragon、A.Iannini、F.Casares和D.Iber。未配对的细胞因子对果蝇眼盘生长的控制。发展，144（5）：837-8432017年。 [24] J.Vollmer、P.Fried、M.Sanchez-Aragon、C.S.Lopes、F.Casares和D.Iber。果蝇眼盘生长控制的定量分析。发展，143（9）：1482-902016。 [25] J.Vollmer和D.Iber。果蝇翅盘生长调控候选机制的无偏分析。科学代表，6:392282016。452Berwolfach报告8/2018球壳的压痕：双稳态和屈曲Matteo Taffetani（与Dominic Vella联合工作）细胞和病毒等简单生物结构可以建模为封闭低压环境或软基质的壳结构。有趣的数学问题与理解它们如何与周围环境互动有关，即它们对外部刺激的反应或它们的运动。事实上，球形结构的压痕可以用来探测其力学性能[1]，而壳体中的屈曲和贯穿不稳定性已被证明是在微扰器中产生运动的有效方法[2]；此外，压痕引起的表面起皱可以用来改变壳体的性能，并有可能应用于其功能化。这项工作的总体思路是展示球壳双稳态和屈曲的新证据，并对这些现象提供数学解释。变分法的一个已知结果表明，受大位移冲击的弹性球壳所容纳的非平凡配置可以表示为局部外翻所描述的等距变换，即轴对称“镜面屈曲”形状[3]。这种变形解决方案在能量上是有利的，因为压痕产生的功主要集中在圆形脊中，该脊连接球形帽外翻到壳体未变形区域的区域：该解决方案的能量以～h5/2的形式消失，厚度h减小。这里，我们关注两个有趣的问题，即轴对称“镜面屈曲”形状以外的球壳的行为。（i） 在不施加任何点力的情况下，倒置壳体存在稳定的轴对称配置（而非自然配置），即类似于“镜面屈曲”形状的自平衡“镜面外翻”形状，但反射平面与壳体平面形状的平面一致，以及这种翻转构型对由力压痕表示的奇异摄动的鲁棒性。（ii）如果自然形状的壳体在其顶点处缩进，则不太可能观察到镜面屈曲，因为缩进会导致褶皱（在受压壳体中）或多边形屈曲（在无压壳体中）。在前一种情况下，可以通过分析表明，由于自然曲率和压痕引起的曲率之间的组合，在大压力和大位移极限下的非线性褶皱特征主要由几何效应控制，从而定义了一种不同类型的等距，称为“渐进褶皱等距”[4]。仅限于轴对称解的情况，如果唯一的自平衡状态是自然构型，则无压球壳是单稳的；如果存在稳定的轴对称“镜像翻转”构型，则它是双稳的。A机械生物学和细胞信号传递453深壳的数学可以用三个无量纲参数来描述：泊松比ν；与壳体深度有关的项，如其立体角α；描述拉伸和弯曲能量之间平衡的术语，因此取决于壳厚度λ。通过使用有限元模拟，单稳态/双稳态阈值可以识别到几乎整个半球。在保持在较小误差范围内的同时，可以通过基于浅壳方程的连续分析计算相同的阈值：然后，我们可以使用浅壳极限来计算单稳态/双稳态阈值，该阈值就λ而言不依赖于α，并且与ν：λth≈1.44ν+5.06呈线性变化。连接这两个自平衡状态（在双稳态参数范围内）的自然方法是通过逐点压痕。虽然这两种自平衡状态都存在，但有可能表明，壳体在到达卡入点之前会发生不对称屈曲。采用浅壳理论，对自然压痕和“镜像外翻”压痕进行比较，结果表明：（i）非常薄的壳体总是倾向于在断裂发生之前屈曲，多边形屈曲的边缘稳定模式取决于沿外部边界施加的条件类型；如果边界在平面内自由变形，则观察到具有模式2的多边形屈曲，而当厚度减小时接近模式3。（ii）较厚的壳总是允许轴对称路径连续连接两个稳定解。（iii）在这两个极限之间，存在一个snap-through过程变得不对称的机制。这项工作还为球面壳盖的“镜面屈曲”对称性的稳健性提供了新的见解：实际上，尽管压痕导致薄壳在咬合之前出现不对称屈曲，但它们也更“稳健”地咬合。在球壳压痕导致屈曲的区域中，第二个问题与这种非对称模式的演变有关，远远超过线性阈值：圆周轴对称脊最终变得线性不稳定，有利于（i）受压壳中的褶皱模式和（ii）无压壳体中的多边形弯曲形状。在前一种情况下，有限元证据表明，在远离阈值的区域，起皱图案的周向波数m随着距离压痕点的距离和压痕本身的应用而变化-更具体地说，增加。平衡方程和本构方程在小参数（1/m）下的渐近展开表明，出现褶皱图案是为了减轻环向压缩的过度，这与张力场理论中的预期一致 [26] ，并允许导出将m的空间变化与壳体的机械和几何特性联系起来的理论关联：m取决于弯曲和拉伸能量之间的局部（即空间位置r的函数）平衡，后者主要是由于壳体的自然曲率与沿褶皱的压痕引起的曲率之间的竞争。有趣的是，在起皱区域的最大部分，波数仅取决于问题的几何参数（m～δ/hr/δR）1/2√3/2，454Oberwolfach报告8/2018，其中R和th为未变形半径和壳体厚度，δ为顶点的应用位移。更具挑战性的是无压球壳的压痕情况。有限元模拟的证据表明，屈曲最初是多边形的，对于非常大的压痕，可能随后是褶皱状态。在这种情况下，还没有提出对远离阈值的屈曲模式的明确描述。所提出的方法可以扩展到类似配置的机械/数学研究，即不同类型基板上的壳体，但具有不对称的初始几何形状。基底具有消失特性的情况尚不清楚，其解释仍然是一个悬而未决的有趣问题：在这种情况下，由于壳体弹性和基底特性之间的平衡而缺乏特征长度，这可能会导致作为压缩载荷响应的局部化。最初，由压痕引起的这种局部化表现为形成一个最终弯曲的圆形脊。现在的问题是理解为什么会发生这种情况以及它是如何演变的。工具书类 [27] D.Vella、A.Ajdari、A.Vaziri、A.Boudaoud《受压弹性壳的压痕：从聚合物胶囊到酵母细胞》，《皇家学会学报》第9期（2012年），第448-455页 [28] A.Djellouli，P.Marmottant，H.Djeridi，C.Quilliet，G.Coupier屈曲不稳定性在所有尺度上都会对球形游泳运动员产生惯性推力，《物理评论快报》119（2017），224501:1-5 [29] A.V.Pogorelov，《表面弯曲和壳体稳定性》，AMS书店72（1988）·Zbl 0656.73026号 [30] D.Vella，H.Ebrahimi，A.Vaziri，B.Davidovitch，《褶皱揭示了受压弹性壳的新等距性》，《欧洲物理学快报》112，24007:1-6 [31] A.C.Pipkin，各向同性弹性膜的松弛能量密度，应用数学杂志36（1986），85-99。生物系统中的力量莱因哈德·利波夫斯基（Reinhard Lipowsky）自下而上的合成生物学方法需要对基本构造模块有详细的了解，这些模块是控制组装和集成到人工原细胞中所必需的。这些模块包括由巨大囊泡提供的膜室、生物分子机器（如细胞骨架马达和细丝）以及模板控制的组装器（如核糖体）。这些模块相互之间以及与水环境一起经历分子间作用力，对外部作用力作出响应，并在与ATP水解等火用化学反应耦合时产生局部作用力。巨大的囊泡在纳米和微区之间提供了直接连接。事实上，这些囊泡代表了线性尺寸为许多微米的细胞样腔室，但被厚度为几纳米的单分子双层所包围。双层膜对分子力学生物学和细胞信号数学455与溶质、生物聚合物和纳米粒子的相互作用作出敏感反应。这些纳米级的反应被巨大的囊泡放大，然后可以通过光学显微镜在更大的尺度上进行研究。当膜暴露在非对称环境中时，它们会自发弯曲，并倾向于形成膜纳米管。[1] 最近发展了几种定量方法，通过这些方法可以从小管泡的形态推断自发曲率和相关自发张力的值。[2,3,4]此外，通过微吸管抽吸和渗透条件的变化证明，膜纳米管提高了巨大囊泡对机械扰动的鲁棒性，[3]。纳米颗粒与生物膜的相互作用对于生物医学成像、药物传递、纳米毒性和病毒感染等许多过程至关重要。为了进入细胞，颗粒必须通过内吞作用穿过细胞膜，这一过程包括三个步骤：纳米颗粒粘附到膜上；该颗粒被膜完全吞噬，然后形成一个狭窄的膜颈，将颗粒结合的膜段连接到母囊泡；以及膜颈部的切割或断裂。所有三个子步骤都由曲率弹性和膜-颗粒粘附力之间的相互作用决定，可以从几个关键参数来理解：颗粒尺寸、膜-颗粒相互作用的粘附强度，以及膜的弯曲刚度和自发曲率。粘附的开始由不稳定条件描述，该不稳定条件取决于颗粒尺寸、粘附强度和弯曲刚度。[5] 完全吞没由一个稳定条件控制，该条件也涉及自然曲率。[5,6]最后，可以根据自发弯曲或粘附纳米颗粒产生的有效收缩力来理解膜颈的断裂。[6] 基本理论已经扩展到Janus粒子，它经历了曲率诱导的力，将粒子推向膜曲率的局部极小值[7]，以及ESCRT蛋白引起的膜粘连裂变，最近只建立了一个基于巨大囊泡和三种蛋白质的最小系统[8]。另一个相对较新的研究领域是暴露于双水相体系和水包水乳液中的巨大囊泡。[9，10]这些系统表现出各种润湿形态和形态变化，反映了水-水界面产生的毛细力和不对称水环境产生的膜曲率。最近发现的无膜细胞器表现出类似液滴的惊人的润湿形态。[11] 最后，对分子马达团队的合作运输[12，13]、核糖体的蛋白质合成[14]以及最近利用微流体乳剂液滴实现的合成细胞顺序自下而上组装所产生的前景进行了简要展望[15]。456 Oberwolfach报告8/2018致谢：本文所述研究得到了DFG通过IRTG 1524和FOR 1805以及MPG和BMBF通过MaxSynBio的支持。参考文献 [32] R.利波夫斯基。法拉第讨论。161, 305 (2013) [33] Y.Liu，J等人。ACS Nano 10，463（2016） [34] T.Bhatia等人，ACS Nano，DOI:10.1021/acsnano.8b00640（出版中） [35] R.Dasgupta等人，PNAS，DOI:10.1073/PNAS.1722320115（出版中） [36] J.Agudo-Canalejo和R.Lipowsky。ACS Nano 9，3704（2015）；和Nano Letters 157168（2015） [37] J.Agudo-Canalejo和R.Lipowsky。软物质128155（2016） [38] J.Agudo-Canalejo和R.Lipowsky。软物质13，2155（2017） [39] Y.Avalos-Padilla等人，前。单元格。感染。微生物。8:53 (2018) [40] Y.Li、R.Lipowsky和R.Dimova。JACS 130、12252（2008） [41] R.Lipowsky，J.化学。物理学。B 122、3572（2018） [42] R.Knorr、T.Franzmann、A.Hyman、R.Dimova和R.Lipowsky正在准备中。 [43] M.M¨uller、S.Klumpp和R.Lipowsky。PNAS 105、4609（2008） [44] M.Ucar和R.Lipowsky。软物质13，328（2017） [45] S.Rudorf和R.Lipowsky，公共科学图书馆ONE 10，e013494（2015） [46] M.Weiss等人，《自然材料》17，89（2018），工程细胞外基质的机械传递Britta Trappmann细胞命运决定受到许多线索的影响，这些线索共同构成了细胞微环境。一个关键的调节器是细胞外基质（ECM），它不仅在成分上有所不同，而且在物理特性（如刚度）上也有所不同。使用合成水凝胶在2D表面上深入研究了基质刚度对细胞扩散和分化的影响，但对更复杂的3D基质中的刚度传感知之甚少。与线性弹性水凝胶不同，大多数天然组织是纤维状的。为了研究细胞在结构类似于天然ECM的环境中如何感知刚度，我们设计了一种具有可调力学的合成纤维材料。与扁平水凝胶相比，增加纤维硬度抑制了间充质干细胞的扩散和增殖。我们确定纤维募集是细胞主动探测和响应纤维环境力学的机制。此外，3D环境中的一个障碍是将ECM刚度的作用与其他基质属性（尤其是降解性）隔离开来。如果细胞被完全包裹，体积刚度的变化也会影响细胞为了扩散和与周围环境相互作用而必须裂解的基质交联量，从而影响细胞的形状和功能。在这里，我们开发了一种基于糖的水凝胶系统，可以独立控制机械性能、粘附配体密度和基质降解率。该材料可以在生理条件下加工，使其适合细胞封装。基质金属蛋白酶（MMP）机械生物学和细胞信号数学457可裂解肽作为交联单元，可使细胞基质重塑，其序列的变化可获得一系列降解速率。利用该系统，我们研究了基质硬度和降解性对血管生成发芽的影响。特别是，我们证明了基质降解性和力学控制着三维内皮细胞侵袭的多细胞性。工具书类 [47] 基质降解性控制着三维细胞迁移的多细胞性。B.Trappmann、B.M.Baker、W.J.Polacheck、C.K.Choi、J.A.Burdick、C.S.Chen、Nat.Commun。2017, 8, 371. [48] 在工程化纤维微环境中，细胞介导的纤维募集驱动细胞外基质的机械增敏。B.M.Baker、B.Trappmann、W.Y.Wang、M.S.Sakar、I.L.Kim、V.B.Shenoy、J.A.Burdick、C.S.Chen、Nat.Mater。2015, 14, 1262-1268. [49] 细胞如何感知细胞外基质硬度：材料的观点。B.Trappmann，C.S.Chen，现任。操作。生物技术。2013, 24, 948-953. 小鼠发育中的对称打破和自我组织Takashi Hiiragi（与Dimitri Fabr’eges联合工作）生命系统的一个决定性特征是通过自我组织打破对称并生成明确定义的形式和模式的能力。我们的团队旨在通过一个非常合适的模型系统：早期小鼠胚胎来理解多细胞自我组织的原理。哺乳动物卵子缺乏极性，因此在早期胚胎发生期间对称性被打破。这种对称性的破坏导致囊胚的形成，囊胚由两种主要的细胞类型组成，即内细胞团和滋养层，每种细胞类型的位置和基因表达都不同。我们最近的研究意外地发现，在这一过程中，形态发生和基因表达具有高度的动态性和随机变量（Dietrich et al.2015；Ohnishi et al.2014）。确定哪种信号打破了对称性，以及胚泡是如何建立一个可复制的形状和模式的，尽管存在上述变异性，但这仍然是哺乳动物发育中的基本未决问题。我们最近开发了一套独特的实验框架，将生物学、物理学和数学建模结合在一起。使用简化的系统，我们发现Cdh1非依赖性接触不对称指导了时间控制的顶端结构域的形成，这对于对称性破缺和分离小鼠发育中的第一个细胞谱系是必要的和足够的（Korotkevich等人，2017年）。此外，我们还表明，顶端结构域的不对称分离产生具有不同收缩性的卵裂球，这触发了卵裂球分为内部和外部位置（Maˆtre et al.2015；Maɢtre et al.2016）。因此，收缩性将胚泡的定位和命运规范结合在一起，这种机制确保了胚泡的强大自组织能力，并赋予早期哺乳动物胚胎显著的调节能力。我们的目的是了解在哺乳动物早期发育过程中，分子、细胞和物理信号是如何跨尺度动态耦合以实现自我组织的。458 Oberwolfach报告8/2018参考文献 [50] Dietrich，J.-E.、Panavaite，L.、Gunther，S.、Wennekamp，S.，Groner，A.C.、Pigge，A.、Salvenmoser，S..、Trono，D.、Hufnagel，L.和Hiiragi，T.：小鼠胚胎中的金星陷阱揭示了第一胚胎谱系规范的独特分子动力学。EMBO报告（2015）16（8），1005-1021。 [51] Korotkevich，E.、Niwayama，R.、Courtois，A.、Friese，S.、Berger，N.、Buchholz，F.和Hiiragi，T.：小鼠胚胎中第一世系分离需要且足够的顶端结构域。发育细胞（2017）40（3），235-247.e7。 [52] MaŞıtre，J.-L.，Niwayama，R.，Turlier，H.，N´ed´elec，F.和Hiiragi，T.：脉动细胞自主收缩力驱动小鼠胚胎的压实。《自然细胞生物学》（2015）17849-855。 [53] MaŞıtre，J.-L.，Turlier，H.，Illukkumbura，R.，Eismann，B.，Niwayama，R.，Nedelec，F.和Hiiragi，T.：收缩结构域的不对称分裂耦合了细胞定位和命运规范。《自然》（2016）536（7616），344-348。 [54] Ohnishi，Y.、Huber，W.、Tsumura，A.、Kang，M.、Xenopoulos，P.、Kurimoto，K.、Ole′s，A.K.、Ara′uzo-Bravo，M.J.、Saitou，M.，Hadjantonakis，A.-K.和Hiiragi，T.：随着信号增强，细胞间表达变异逐渐分离早期小鼠谱系。Nat Cell Biol（2014）16，27-37。利用机械和生物化学相互作用模拟大规模细胞迁移和增殖：通过动态细胞有限元方法（DyCelFEM）和精确化学主方程解Jie Liang（与Youfang Cao、Jieling Zhao、Anna Terebus、Margaret Gardel、Luisa DiPietro联合工作）桥接离散和连续细胞和组织建模中的一项挑战性任务是，当存在数千个迁移和相互作用的细胞时，要考虑整个尺度上细胞形状、拓扑排列和物理力学的变化。此外，协调单个细胞的离散性质和组织的连续力学描述仍然是一项艰巨的任务。此外，将细胞力学与控制细胞行为的生物化学信号网络相结合构成了另一个挑战。我们一直在开发一种称为动态细胞有限元模型（DyCelFEM）的方法来弥补这些差距[1]。我们的方法考虑了细胞拓扑结构、细胞形状和细胞力学的变化，并对从单个细胞的运动到细胞的集体迁移的整个细胞运动范围进行了建模。细胞间粘附及其破裂所调节的机械力的传递也被解释。控制细胞行为的细胞内蛋白质信号网络也嵌入到单个细胞中。通过这种方法，我们可以检查生物化学和机械线索在调节细胞迁移和增殖以及控制组织模式方面的具体作用。使用伤口组织的简化再上皮化模型，我们使用DyCelFEM的模拟结果表明，生物化学线索能够更好地引导细胞迁移，方向性和持久性得到改善，而机械线索是机械生物学和细胞信号学数学459，能够更好地协调细胞的集体迁移。我们还讨论了使用DyCelFEM研究单个细胞与类ECM介质相互作用的运动的示例。有关详细信息，请参阅[1]。由于分子相互作用网络控制着细胞行为，而且这种介观网络通常具有随机性，因此离散化学主方程（dCME）为研究一大类隐藏在多种生物现象之下的随机网络提供了基本框架。这些包括干细胞分化、细胞命运决定和肿瘤发生。在求解随机网络产生的dCME时，有许多挑战：我们如何知道计算出的概率质量峰值是否完整，并且我们没有遗漏任何重要的信息？如何确定计算的概率分布是否正确？如何准确计算罕见事件的概率（例如，10−12）？我们希望笔记本电脑或巨型计算机能达到的最佳精确度是什么？除了几个简单的玩具例子外，这些重要问题的答案大多是未知的。总的来说，我们无法区分网络模型是否错误或计算解决方案是否不足。在本次讲座中，我们讨论了如何使用n-单纯形最优状态枚举算法和acme（精确化学主方程）方法[2,3]来回答一大类随机网络的这些重要问题。我们讨论了如何在不使用蒙特卡罗模拟或福克-普朗克/朗之万近似的情况下计算精确的时间演化概率景观。此外，我们讨论了如何在不使用商矩阵技术进行试验模拟的情况下，构造由于复杂网络不可避免的状态空间截断导致的稳态概率图的先验误差界。我们重新审视了一些随机网络概率分布的动力学细节，并举例说明了如何计算大型随机网络（16个节点）的准确结果，以及如何将计算出的概率分布与细胞决策网络的现象学特征联系起来，如双稳态、表观遗传状态、，野生型对突变体的稳健性。还讨论了离散概率流和速度理论的最新发展。简要讨论了解决噬菌体λ和HIV潜伏期之谜的生物学示例。（更多信息，请参见[3]和[2]以及gila.bio.uic.edu/liang/liang_pub.html）。工具书类 [55] 赵洁玲（Jieling Zhao）、曹友芳（Youfang Cao）、路易莎·迪皮特罗（Luisa DiPietro）和梁杰（Jie Liang）。在机械和生物化学线索控制下模拟大规模细胞迁移和增殖的动态细胞有限元方法：再上皮化研究。《皇家学会界面杂志》，14:20609592017，http://dx.doi.org/10.1098/rsif.2016.0959 [56] 曹友芳、Anna Terebus和梁洁。离散化学主方程精确解的带量化误差的状态空间截断。《数学生物学公报》，78（4）：617-6612016。预防性维修识别码：PMC4896403，https://doi.org/10.1007网址/第11538-016-0149-1条·Zbl 1341.92086号 [57] 曹友芳、Anna Terebus和梁洁。使用多有限缓冲区的精确化学主方程解。SIAM多尺度建模与仿真。14(2):923-963, 2016. 预防性维修识别码：PMC4896403，https://doi.org/10.1137/15M1034180460Oberwolfach Report 8/2018生命不同：它是继承人Bob Eisenberg生命有什么不同？为什么生命科学需要不同的科学和数学？我从显而易见的角度来解决这些问题：所有的生命都是由基因遗传的。两万个30个原子的基因控制着一个约1025个原子的动物。这怎么可能？答：生命的结构形成了一个设备层次结构，允许一把原子控制一切。神经信号涉及数米的神经，但由几个原子控制。事实上，钾和钠只在原子直径上有所不同。生命取决于直径的差异。钠和钾在其他方面是相同的。生物科学家的任务首先是确定设备的层次结构及其功能。然后我们想知道设备是如何工作的。我们想充分了解生命，以改进其设备，包括疾病和技术。通过生长形成Arnd-Scheel图案已被广泛研究，主要是在线性不稳定性和通过线性色散关系选择波数的背景下。一种观点是，物理系统被猝灭，平凡的状态失去稳定性。随机或白噪声小振幅扰动会导致某些傅里叶模式指数增长。本次演讲集中于这种模式形成场景的两个方面。首先，选择有限的傅里叶波数，从而选择具有不同波长的模式通常需要相当复杂的机制，例如图灵开创性工作中提出的不同扩散率。第二，随机初始条件通常会导致具有许多缺陷的高度杂乱图案，这些缺陷可能会或可能不会演变为更简单的晶体结构。演讲的第一部分展示了当初始条件是猝灭、不稳定状态的散粒噪声扰动时，非常简单的系统如何以选定的、定义明确的波数呈现图案形成。第一个例子是反应扩散系统ct=∆c−f（c，e）et=κ∆e+f（c、e），具有立方非线性f（c和e）=e（1−e）（e−A）+γc，0<A<1，γ>0。e≡a，c≡0的线性不稳定性不选择有限波数。最引人注目的是，在κ=0的情况下，这种状态的白噪声扰动会在任意精细长度尺度上导致高度杂乱的图案，而不会发生粗化。另一方面，散粒噪声扰动产生有限波长的规则周期图案[6]。该演讲简要回顾了预测这些波数的方法[10]，并介绍了对运行和控制系统的扩展[11]。在《机械生物学和细胞信号传递数学》461相关方向中，通过具有有限质量R h<∞、ct=∆c−f（c，e）+ch（x−ct）et=κ∆e+f（c、e）和稳定初始条件e≡c≡0的源项h（ξ）的质量沉积，也可以在沉积前沿以速度c传播的尾迹中产生规则图案。本讲座的第二部分更详细地研究了这种定向淬火过程。事实证明，生长过程可以有效地选择图案并避免缺陷的形成，从而在其尾迹中形成纯晶体图案。我们研究在增长子集中平凡状态不稳定的系统Ω在飞机上。例如，Allen-Cahn方程，ut=∆u−µsign（x−ct）u−u3，Cahn-Hilliard方程，ut=−∆u−µsign（x−ct）u−u3，Swift-Hohhenberg方程，ut=−（1+∆）2u−µsign（x−ct）u−u3，参数跳跃在Ωt、 例如被选择为{x<ct}。然后，人们对条纹图案的出现感兴趣Ωt、 以及它们是如何被生长机制选择的，也就是说，通过几何Ωt.现象学上，人们注意到条纹垂直于Ωt在Allen-Cahn方程中。在Cahn-Hilliard和Swift-Hohenberg方程中，对于大生长速率，条纹平行于边界，但对于缓慢生长，条纹往往垂直。我们给出了解释这种二分法的理论结果，并预测了生长过程中出现的条纹阶段的排列和应变[1、2、3、4、5、7、8、9、10、12]。关键对象是模空间M⊂R3，其中包含与纯晶体生长速率c对应的点（kx，ky，c），创建波矢量k=（kx、ky）的条纹图案。更准确地说，我们认为Ωt={x<ct}并寻找基本方程的“最简单”解，这些方程会留下带波矢量k的条纹图案，即收敛到周期图案up（kxx+kyy；k），up（ξ；k）=up（ζ+2π；k），k=|k|，as x的解→ −∞, 并且在适当的移动帧中是周期性的或固定的。在Allen-Cahn方程的情况下，模空间完全表征为kx=0平面上椭圆的四分之一，以及c=ky=0的线段。Swift-Hohenberg中的模空间类似地描述为四分之一椭圆上的曲面，以及ky=c=0中的线段，但在边界附近包含许多有趣的奇点。总之，我们将这些模空间与直接模拟中的观测值联系起来，并指出了一些尚未解决的问题和未来的方向。462Berwolfach报告8/2018参考文献 [58] R.Goh、R.Beekie、D.Matthias、J.Nunley和A.Scheel顶点生长中的通用波数选择定律。物理学。E版，94（2016），022219。 [59] R.Goh和A.Scheel。复杂金兹堡-朗道方程中的触发锋。《非线性科学杂志》24（2014），117-144·Zbl 1297.35224号 [60] R.Goh和A.Scheel。Cahn-Hilliard方程中来自前沿的Hopf分岔。架构（architecture）。老鼠。机械。分析。217 (2015), 1219-1263. ·Zbl 1317.35197号 [61] R.Goh和A.Scheel。触发推锋后的模式形成。非线性29（2016），2196-2237·Zbl 1353.35055号 [62] R.Goh和A.Scheel。具有定向淬火的Swift-Hohenberg方程中的图案形成锋——平行和斜条纹。J.伦敦数学。Soc.，出现·Zbl 1395.35024号 [63] M.Kotzagiannidis、J.Peterson、J.Redford、A.Scheel和Q.Wu。1在封闭的两种群反应扩散系统中通过入侵前沿进行稳定模式选择。在RIMS K？oky？uroku？Bessatsu B31（2012）中，Far-From-Equilibrium Dynamics，编辑T.Ogawa，K.Ueda，第79-93页·兹比尔1260.92011 [64] R.Monteiro和A.Scheel。定向淬火的相分离模式。J.非。科学。27 (2017), 1339-1378. ·Zbl 1378.35031号 [65] R.Monteiro和A.Scheel。生长域中界面的接触角选择。ZAMM将出现。 [66] D.Morrissey和A.Scheel。描述边界条件对条纹相的影响。SIAM J.应用。动态。系统。14 (2015), 1387-1417. ·Zbl 1330.35035号 [67] A.Scheel和M.Holzer。点状生长的标准及其在入侵过程中的作用。J.非。科学。24 (2014), 661-709. ·Zbl 1296.35017号 [68] A.Scheel和A.Stevens。耦合传输方程中的波数选择。数学杂志。生物学75（2017），1047-1073·Zbl 1387.92064号 [69] A.Scheel和J.Weinburd。通过空间参数跳转选择波数。菲尔翻译。罗伊。Soc.A，376（2017），20170191。通过机械反馈的组织自组织Pierre Degond（与Diane Peurichard、Fanny Delebecque、Anne Lorsignol、Corinne Barreau、Jacques Rouquette、Xavier Descombes、Louis Casteilla共同工作）在本次演讲中，我们主要报道[1]中发表的关于脂肪组织自组织的工作。脂肪组织由脂肪细胞簇（脂肪细胞）组成，称为小叶，由细胞外基质（ECM）组成的壁隔开。在开发过程中，它们来自包含细胞的非结构化光纤网络。在目前的工作中，我们表明定向组织的细胞和纤维结构可以通过细胞和纤维网络之间的简单机械相互作用而出现。我们考虑一个二维微观模型来测试这样一个场景，即被建模为不变形和不重叠球体的细胞与被建模为具有相互交联能力的片段的ECM元素之间的相互排斥形成了组织的组织。该模型的结果与在固定的小鼠脂肪组织上获得的生物学数据进行了比较，该脂肪组织经过免疫染色，用于细胞和小叶边界的分割。该模型表明，两个参数起着关键作用：连接纤维对的比例（与ECM的刚度有关）和机械生物学和细胞信号数学463纤维断开频率（与ECM塑性有关）。我们概述了这个二维参数空间的三个区域，这些区域被突变的过渡区域隔开，分别与健康或病理组织相关。我们还提供参数条件，使我们能够恢复观察到的生物组织。我们还介绍了正在进行的工作的结果，这些工作使用当前的工作来探索受伤组织愈合或再生的条件。工具书类 [70] D.Peurichard、F.Delebecque、A.Lorsignol、C.Barreau、J.Rouquette、X.Descombes、L.Casteilla、P.Degond，简单的机械线索可以解释脂肪组织形态，J.Theoret。《生物学》，429（2017），61-81。应使用化学势而非浓度来表征质膜胆固醇Fredric S.Cohen（与Artem G.Ayuyan联合工作）。胆固醇的重要性受到公众和科学家的重视。临床上定期测量个人血浆中的胆固醇含量。尽管血液胆固醇很重要，但绝大多数胆固醇，～90 [71] Ayuyan，AG和Cohen，FS。2018.质膜胆固醇的化学潜力：对细胞生物学的影响。生物物理J.114:904-918。非平衡最优输运和量化Benedikt-Wirth（与David Bourne、Bernhard Schmitzer联合工作）经典最优输运公式。最优输运理论（严格介绍见示例[1]）处理从给定初始质量分布ρ0∈M输运质量的问题+(Ω) （其中Ω ⊂ Rnshall是闭有界Lipschitz域，M+(Ω) 表示上的非负氡测量Ω) 最终质量分布ρ1∈M+(Ω) 以最具成本效益的方式。从x∈运输单位质量的成本Ω 到y∈Ω 由非负函数c（x，y）描述。Gaspard Monge的原始配方寻求最佳运输图T：Ω → Ω, 其中T（x）表示质量从x运到的位置，Z（1）C（ρ0，ρ1）=infc（x，T（x(Ω) Ω （B）(Ω) 表示的Borel子集Ω). 对T的约束意味着，通过T运输质量ρ0后，其等于ρ1。这个公式存在一些概念上的问题，例如，从点x开始的质量不能为运输分开。这可以通过Kantorovich的经典凸公式来解决，该公式寻求所谓的运输计划π∈M+(Ω × Ω), （Z） （2）C（ρ0，ρ1）=最小C（x，y）dπ（x，y）π（B×Ω) = ρ0（B）B∈B(Ω), Ω×Ωπ(Ω ×B）=ρ1（B）∀其中π（x，y）被解释为从x传输到y的质量。标准Fenchel-Rockafellar对偶性然后产生Kantorovich-Rubinstein公式，ZZ（3）C（ρ0，ρ1）=supαdρ0+βdρ1α（x）+β（y）≤C（x，y）\8704；x，y∈Ω. ΩΩ 有更多等效配方（例如基于流动的Benamou-Brenier配方）。这使得我们可以始终选择最适合建模、算术或分析的方法，下面也将对此进行介绍。选择c（x，y）=|x−y|pyield是最优传输的一个重要例子，其中Wp（ρ0，ρ1）=pp c（ρ0，ρ1）度量概率测度空间上的弱-*收敛性。在过去的几十年里，最优运输理论发展成为一个活跃的领域，涉及不同的数学学科。例如，在机器学习中使用最优传输度量，使用基于最优传输的梯度流或估计研究偏微分方程（PDE）及其解的性质，并且可以使用最优传输在非光滑空间上定义曲率的概念。特别是建模示例是多方面的：468Oberwolfach报告8/2018•生物相关运输模型通常使用最佳运输的变体，例如建模营养物质运输或血管运输网络（参见示例[1，§4.4.2]）使用最佳转运作为分子分布（例如细胞膜中脂质的头部和尾部）的度量，可以导出生物力学模型，例如细胞膜弯曲刚度的微观模型[4]到目前为止，经典的观点是，重要的PDE（例如扩散方程）可以写成相对于Wasserstein度量的某种熵的梯度流（Wassersstein型肿瘤生长梯度流模型见[2]，第6章）通过N Dirac质量的加权和对给定测度ρ0进行最优离散的任务称为量化，具有多种应用；例如，考虑到ρ0是空间营养分布，人们可以问N个生物细胞如何在资源竞争中最佳定位自己一些图像和数据处理方法依赖于最佳传输，例如颜色传输（其中图像的颜色直方图是要传输的质量）或从显微图像的时间序列估计分子运动。运输不平衡。如果只是运输质量，则ρ0和ρ1的总质量必须相同。所谓的“不平衡运输”也允许ρ0与ρ1之间的质量不匹配（例如[2]），这满足了应用的强烈需求：•运输的材料在运输过程中可能会改变其质量，例如移动的细胞或组织在运动过程中可能生长电源ρ0(Ω) 材料（例如营养素）的需求可能与ρ1不匹配(Ω). • 如果ρ0、ρ1是测量数据，则测量噪声会导致虚假质量变化允许大规模更改提高了基于传输的数据处理的稳健性。不平衡运输的最简单版本通过系数λ增加了质量变化的成本K（λ），其中K:[0，∞）→ [0，∞]是凸的，K（1）=0。写ρ关于µ的Radon-Nikodym导数的ρρ，（1）-（3），然后转化为C（ρ0，ρ1）=infc（x，T（x））dρ（x）+Kρdρ0+Kρ◦Tρ−1 dρ1ρ∈M+(Ω), 电话：Ω →Ω 01 ΩΩΩ （ZZ Z）=最小c（x，y）dπ（x，y）+Kπ（·，Ω)ρ0dρ0+Kπ(Ω,·)ρ1dρ1π∈M+(Ω) Ω×ΩΩΩ ZZ=sup−K*（−α）dρ0+−K+（−β）dρ1α（x）+β（y）≤c（x，y）∀x，y∈Ω, ΩΩ 其中K*（γ）=supz∈Rγz−K（z）表示K的Legendre-Finchel共轭。与经典的最优输运类似，非平衡输运的特定变体诱导了一个度量M上弱-*收敛的度量+(Ω) [2，第2章]。目前的研究试图确定更多的公式和可行的数值方案，以及最佳运输计划的精细表征（例如，见[3]和其中的参考文献，了解不平衡W1型运输模型的表征）。量化。作为非平衡传输应用的一个例子，我们考虑前面提到的勒贝格连续测度ρ0∈的量化。机械生物学和细胞信号数学469 M+(Ω) 对于c（x，y）是|x−y|的增函数的情况，也就是说，对于固定的N>0，我们考虑这个问题 XN公司 Q（ρ0）=最小C（ρO，ρ1）ρ1=miδxi，m1，mN≥0，x1，xN∈Ω. i=1 与经典的最优传输一样，这允许根据Voronoi细胞Vi={x∈最优地平铺区域来进行几何重组Ω | |x−xi|≤|x−xj|∀j}。nPNRo定理1。Q（ρ0）=mini=1V−K*（−c（x，xi））dx x1，xN∈Ω. i证明。1.使用前面段落中的符号，首先证明了最优运输图T（Monge公式）和运输计划π（Kantorovich公式）的存在性，对于它们，sptπ⊂{（x，T（x））|x∈Ω}. 2.在最优解中，Kantorovich和Kantorov ich–Rubinstein公式之间的对偶间隙消失，由此可以推导出sptπ{（x，y）∈Ω × Ω | α（x）+β（y）=c（x，y）}。因此，任何x∈Ω T（x）=xi满足α（x）+β（xi）=c（x，xiΩ | c（x，xi）−β（xi）≤c（x，xj）−（xj）∀j}。3.使用上述方法Ω =SNi=1Ci（β），我们现在可以写出N“ZZ Q（ρ0）=minc（x，xi）dρ（x）+Kρdρ0+miKρ（Ci（α））#。i=1Ci（β）Ci，在两个空间维度中，甚至可以非常精确地估计量化成本Q（ρ0）。定理2。Q（ρ0）=NRH(|Ω|/ρ0的N）−K*（−c（0，x））dx+O（N−1/2）Lebesgue测度Ω ⊂ R2和H（A）区域A以0为中心的正六边形。证明。对于构造为狄拉克质量的正六边形晶格的ρ1，上界作为成本C（ρ0，ρ1）获得。下限使用了Fejes T´oth的结果，对于任何增加的f:[0，∞）→ R和区域A的l边多边形V，对于V（A，l），我们有RVf dx≥RV（A，1）f dx，对于以0为中心的区域A的规则l边多边形（在我们的情况下，f=−K*（−c（0，·）））。右侧在A和l中是凸的，因此根据Jensen不等式Q（ρ0）=minxiPNi=1RVR i−xif dx≥NV（A，l）f dx，其中A=|Ω|/N和l=6是任何Voronoi细分的平均多边形体积和边数。如果ρ0是一个空间变化的Lebesgue-continuous测度，则对于大N，甚至可以刻画ρ1的渐近最优点密度。与经典的最优运输相比，最优点密度非局部依赖于470 Oberwolfach报告8/2018全球质量分布，这样可以完全忽略具有正测量值的整个区域，而有利于质量较高的区域。参考文献 [72] F.Santambrogio，应用数学家的最佳交通，Birkh¨auser Boston（2015）·Zbl 1401.49002号 [73] L.Chizat，《运输最优测量积极因素：模型、方法、应用》，德国巴黎大学博士，网址：http://www.dauphine.fr/recherche/sourtenances-de-thes/detail-dune-soutenance-de-these/sourtenage/transport-optimal-de-mesures-positives-modeles-methodes-numiniques-applications。html（2017）。 [74] B.Schmitzer，B.Wirth，《Wasserstein-1型非平衡运输的动力学模型》，ESAIM:控制、优化和变分计算（2018）。 [75] M.A.Peletier，M.R¨oger，《局部定位、脂质双层和弹性功能》，《理性力学和分析档案》，193（2009），475-537。进化生物学模型的Hamilton-Jacobi方法：时变环境Sepideh Mirrahimi（与Susely Figueroa Iglesias联合工作）。在这项工作中，我们研究了时间周期环境中表型结构种群的进化动力学。虽然人们广泛研究了恒定环境中种群的进化动力学（例如，见[4、2、3、13、10]），但关于不同环境的理论结果仍然有限（然而，见[8、11]）。例如，环境的变化可能来自季节性的影响，也可能来自于为杀死癌细胞或细菌而使用的药物的时变性。出现了几个与时间波动有关的问题。人口能否在波动的变化中生存？人口规模将受到何种影响？将选择哪种表型特征？环境变化对种群表型分布的影响是什么？受选择和突变影响的表型结构种群的动力学可以用抛物线积分微分方程或系统来建模（例如见[9,4,1,3]）。在小突变和长时间内，此类方程的解集中在一个或多个Dirac质量（对应于显性性状）上，这些质量随着时间的推移而进化。在此，我们特别研究了以下Lotka-Volterra类型模型： ∂tn（t，x）−σ∆nZ（1）ρ（t）=n（t，x）dx，道路n（t=0，x）=n 0（x）。这里，n（t，x）表示t时特征为x的个体密度。突变由拉普拉斯项表示，其速率为σ。术语a（t，x）是一个时间周期函数，对应于《机械生物学和细胞信号数学》471特征x的个体在时间t的净增长率。我们还考虑了由于个体之间的竞争而产生的死亡术语，无论其特征如何，都与总种群大小ρ（t）成比例。我们首先证明，在很长的时间内，解收敛于问题的唯一周期解。接下来，我们渐近地描述这个周期解，因为突变的影响σ消失了。使用基于带约束的Hamilton-Jacobi方程的理论，我们证明，随着突变的影响消失，解集中在单个狄拉克质量上，而种群的大小在时间上周期性地变化。当突变的影响很小但非零时，我们提供了种群分布矩的一些形式近似值。然后，我们通过一些例子展示了如何将这些结果与生物实验进行比较 [76] 我们的主要工作是基于带约束的哈密顿-雅可比方程的方法。这一方法是在过去十年中发展起来的，用于渐近研究选择和小突变下的种群动态。关于这种方法有大量文献。例如，我们提到[4、12、10]，在那里，这种解决来自进化生物学的问题的方法的基础已经建立。请注意，相关工具已经用于研究局部反应扩散方程的传播现象[5，6]。工具书类 [77] Calsina，A.和Cuadrado，S.选择-突变方程平衡点的渐近稳定性。数学杂志。《生物学》，54（4）：489-5112007年·Zbl 1115.92042号 [78] Champagnat，N.和Ferri'ere，R.和M´el´eard，S.自适应进化的基于个体的概率模型和各种缩放近似值，《概率进展》第59卷，第75-114页。Birkh¨auser，2008年·Zbl 1140.92017年 [79] Desvillettes，L.、Jabin，P-E.、Mischler，S.和Raoul，G.“关于连续结构种群的选择动力学”。Commun公司。数学。科学。，6(3):729-747, 2008. ·Zbl 1176.45009号 [80] Diekmann，O.、Jabin，P-E.、Mischler，S.和Perthame，B.“适应的动力学：一个启发性的例子和Hamilton-Jacobi方法”。理论种群生物学，67（4）：257-2712005·Zbl 1072.92035号 [81] Evans，L.C.和Souganidis，P.E.“某些半线性抛物方程的几何光学PDE方法”。印第安纳大学数学。J.，38（1）：141-1721989年·Zbl 0692.35014号 [82] Freidlin，M.“大偏差和反应扩散方程的极限定理”。Ann.Probab。，13(3):639-675, 1985. ·Zbl 0576.60070号 [83] Ketola，T.和Mikonranta，L.和Zhang，J.以及Saarinen，K.和¨Orm，al，a.M.和Friman，V.P.以及Mappes，J.和Laakso，J.，波动的温度导致热普遍性的演变和对新环境的预适应。进化，67（10）：2936-29442013。 [84] Lorenzi，T.、Chisholmm R.H.、Desvillettes，L.和Hughes，B.D.“分析暴露于波动环境中表型结构种群的表观遗传变化动力学”。《理论生物学杂志》，Elsevier，386:166-1762015年·Zbl 1343.92320号 [85] Magal，P.和Webb，G.F.表型进化模型中的突变、选择和重组。离散连续。发电机。系统。，6:221-236, 2000. 472Berwolfach报告8/2018·Zbl 1007.92027号 [86] Mirrahimi，S.Ph´enom’nes de concentration dans certaines EDP issues de la biologie（生物EDP问题）。皮埃尔和玛丽·居里大学博士论文，http://www.math.univ-toulouse.fr/smirrahi/manuscrit.pdf。，2011 [87] Mirrahimi，S.，Perthame，B.和Souganidis，P.“适应性动力学种群模型中的时间波动”。Ann.I.H.Pincar´e，第32卷，（第1期）：41-582015·Zbl 1312.35011号 [88] Perthame，B.和Barles，G.“Lotka-Volterra抛物线PDE中的Dirac浓度”。印第安纳大学数学。J.，第7卷，第3275-3301页，2008年·Zbl 1172.35005号 [89] 拉乌尔，G。练习本定性和定量方程辅助了自然科学的部分问题。ENS Cachan博士论文，2009年。Boltzmann方程的均能解Juan J.L.Vel´azquez（与Richard D.James，Alessia Nota共同工作）Boltzman方程描述了相空间f（x，v，t）中气体粒子的密度。该方程的形式为：ξtf+v·+xf=Q[f]ZZ（1）=dv*dωB=f x，v′，t，f*′=f x、v*′，t。在推导（1）-（3）时，假设气体粒子之间只有二元碰撞是相关的。碰撞核B（v−v∗，ω）取决于粒子对之间相互作用的特定形式。如果粒子通过幂律势相互作用，碰撞核B（v−v∗，ω）是|v−v*|的齐次函数。对于空间上均匀的（1）-（3）的解，即f=f（v，t），存在一个完善的适定性理论和对其长时间行为的描述。在这种情况下，可以证明对于一大类碰撞核B（v−v∗，ω），（1）-（3）的解渐近逼近麦克斯韦分布：ρ|v−v |2！（2πT）22T，ρ>0，T>0，V∈R3。麦克斯韦分布描述了平衡状态下气体的粒子分布。然而，它们不能描述与外部交换物质、能量或动量的开放系统中的速度。开放系统中玻尔兹曼方程的数学理论比封闭系统中的数学理论要少得多。机械生物学和细胞信号数学473然而，存在一类波尔兹曼方程的解，这为开放系统的动力学提供了一些见解。这些解是由Galkin和Truesdell在60年代引入的，它们被称为同能解。它们的形式是：（4）f（x，v，t）=g v−ξ（x，t），t，w=v−ζ（x、t）。从物理角度来看，这些解在空间的每个点上的速度色散都具有相同的形式。只有平均速度在点与点之间变化，它也可能随时间变化。由于（1）-（3）的均能解依赖于较少的变量作为Boltzmann方程的一般解，因此这些解的数学理论比Boltzman方程的一般解法要简单得多。实际上，齐次能量解的适定性理论是（1）-（3），由Cercignani（参见[1]，[2]）发展而来，与（1）–（3）齐次解的适性理论非常相似。实际上，为了得到形式为（4）的（1）-（3）解，必须对函数ξ（x，t）假设一些严格的条件。结果表明，我们必须有：（5）ξ（x，t）=M（t）x，其中M（t）是每个t>0的3×3实矩阵。此外，M（t）必须解：dM。我们首先注意到，（6）的通解的形式是：（8）M（t）=A（I+At）−1，其中A是常数矩阵。函数（8）的长时间渐近性可以用A的Jordan标准形详细描述。该分析表明，映射（5）可以产生几种类型的剪切变形，压缩和膨胀以及它们的组合。这些变形并没有描述可应用于气体的最一般的可能拉伸，但它们产生了相当大的一类变形，从而可以获得有关玻尔兹曼气体在几种有趣的物理情况下应力下的速度分布的信息。（7）解的长时间渐近性取决于M（t）的特定形式和核B（v−v∗，ω）的同质性。这种长时间渐近性是由474Oberwolfach报告8/2018 M（t）w·wg（w，t）和Q[g]（w，t）中大量术语的相对大小决定的。在[3]、[4]中研究的示例中，我们描述了发生以下情况之一的示例：（9）M。然后，通过麦克斯韦分布近似描述解的长时间渐近性，其中温度在时间上缓慢变化为t→ ∞. 温度可以升高或降低，这取决于矩阵M（t）的具体形式。情况（10）特别令人感兴趣，因为在碰撞和变形之间存在平衡。在[3]中已经证明，对于M（t）和碰撞核B（v−v*，ω）的一些选择，存在自相似解，其中（7）允许发生（10）的自相似解。这些自相似解是非Maxwellian解，并且像在平衡状态下总是发生的详细平衡这样的基本性质不再发生。最后，[4]讨论了发生（11）的一些情况。在最后一种情况下，粒子分布是非麦克斯韦分布，也是非自相似的。工具书类 [90] C.Cercignani，Boltzmann方程的同能仿射流的存在性。架构（architecture）。老鼠。机械。分析。105(4), 377-387, (1989) ·Zbl 0697.76089号 [91] C.Cercignani，颗粒材料的剪切流。J.Stat.物理。102(5),1407-1415, (2001) ·Zbl 0990.82023号 [92] R.D.James，A.Nota，J.J.L.Vel´azquez，Boltzmann方程均能解的自相似轮廓：粒子速度分布和熵。预印arXiv:1710.03653（2017） [93] R.D.James、A.Nota、J.J.L.Vel´azquez。非Maxwell分子Boltzmann方程均能解的长时间渐近性。黄华雄（与宋子龙、曹秀蕾合作）离子输运的电中性模型。泊松-能斯特-普朗克（PNP）系统描述了离子浓度梯度和电场影响下的离子输运。它本质上是一个耦合扩散和静电的系统，非线性来自电场对离子的漂移效应。这种系统及其变体在生物系统中得到了广泛而成功的应用，特别是在描述离子通过细胞和离子通道的传输方面[6,7]。它还应用于许多工业领域，例如半导体器件[8]和通过离子选择电极检测有毒铅[9]。该系统的一个有趣特征是在相关区域边界附近存在边界层（BL），在文献中通常称为德拜层。大量工作致力于PNP系统的BL分析。机械生物学和细胞信号数学475例如，对具有一定几何结构的窄离子通道进行了PNP系统的奇异摄动分析[10，11]。发展了几何奇异摄动方法来研究稳态PNP系统解的存在性和唯一性[12，13]，以及永久电荷和离子尺寸的影响[14，15]。最近，Wang等人[16]处理了具有任意离子种类数和任意价的稳态PNP系统，并成功地将渐近解简化为单个标量超越方程。一般来说，解由两部分组成，边界附近的BL解和区域内部的体解。在一维（1D）情况下，BL中的主导阶解可以显式或积分形式构造。基于BL分析，提出了连接体解和BL解的有效连续性条件，如[5]中的电化学势连续性。这些有效条件已应用于一维系统稳态的研究，表明存在具有分段恒定固定电荷的多个稳态[4]。在本次讲座中，我们介绍了一些最近的工作，这些工作系统地导出了一个电中性模型，该模型具有有效的条件，无需通过计算来求解边界层。这些条件取代了BL区域，对于推导复杂结构体区域的宏观模型[3]具有潜在的应用。例如，通过考虑通过膜的通量以及BL效应的特殊模型，在透镜循环[2，1]的体积区域导出了一些宏观连续体方程，因此在那里计算的通量可能不准确。推导有效边界条件的关键思想是恢复高阶贡献。对于Dirichlet边界条件，文[5]中的电化学势连续性可以作为前导阶有效边界条件。在本文中，我们针对这种情况提出了一个高阶有效边界条件，它可以恢复电化学势在前导阶的连续性。该条件将通过数值例子进行验证，并在计算中产生高阶精度。对于通量边界条件，很少有人讨论过这个问题，因为通量的领先阶近似并不能提供正确的有效边界条件。从数学上讲，通过使用前导序条件，解决方案并不是唯一的，从物理上讲，高阶贡献解释了BL中离子的积累，这在生物物理过程中至关重要。这些有效条件在神经元轴突动作电位的具体示例中得到了证明，通过进一步简化，高阶项减少为电缆模型中常用的等效电容器。476 Oberwolfach报告8/2018参考文献 [94] E.Vaghefi，N.Liu和P.J.Donaldson，晶状体结构和功能的计算机模型预测稳态特性和循环电流的实验变化，生物医学工程在线，12（2013），85。 [95] R.T.Mathias，合胞组织中的稳态电压、离子通量和体积调节，《生物物理杂志》，48（1985），435-448。 [96] H.Huang、J.J.Wylie和R.M.Miura，《细胞介质中的限制扩散：（1+1）维模型》，《数学生物学公报》，73（2011），1682-1694·Zbl 1225.92014年 [97] I.Rubinstein，具有局部电中性的一维电扩散中的多稳态，SIAM应用数学杂志，47（1987），1076-1093。 [98] I.Rubinstein，《离子的电扩散》，SIAM，1990年。 [99] D.Gillespie和R.S.Eisenberg，《生物离子通道离子传输的修正多南势》，《物理评论》E，63（2001），第061902页。 [100] T.-L.Horn、T.-C.Lin、C.Liu和B.Eisenberg，具有空间位阻效应的Pnp方程：离子流经通道的模型，物理化学杂志B，116（2012），11422-11441。 [101] P.A.Markowich，《固定半导体器件方程》，Springer Science&Business Media，2013年。 [102] J.J.Jasielec、G.Lisak、M.Wagner、T.Sokalski和A.Lewenstam，描述低分析物浓度下固相控制离子选择性电极行为的能斯特-普朗克-泊松模型，《电分析》，25（2013），133-140。 [103] A.Singer、D.Gillespie、J.Norbury和R.Eisenberg，稳态泊松-恩斯特-普朗克系统的奇异摄动分析：离子通道的应用，欧洲应用数学杂志，19（2008），541-560·Zbl 1145.92010年 [104] A.Singer和J.Norbury，三维窄漏斗中生物离子通道的泊松-恩斯特-普朗克模型和渐近分析，SIAM应用数学杂志，70（2009），949-968·Zbl 1197.34080号 [105] W.Liu，多离子离子通道一维稳态泊松-恩斯特-普朗克系统，微分方程杂志，246（2009），428-451·Zbl 1165.34032号 [106] W.Liu和H.Xu，离子流经典泊松-恩斯特-普朗克模型的完整分析，微分方程杂志，258（2015），1192-1228·Zbl 1317.34138号 [107] G.Lin，W.Liu，Y.Y.Yi，和M.Zhang，离子流的泊松-能斯特-普朗克系统，离子尺寸效应的局部硬球势，SIAM应用动力学系统杂志，12（2013），1613-1648·Zbl 1284.34078号 [108] B.Eisenberg、W.Liu和H.Xu，《反转永久电荷和反转电势：通过经典泊松-恩斯特-普朗克模型的案例研究》，《非线性》，28（2015），103·Zbl 1319.78003号 [109] X.-S.Wang，D.He，J.J.Wylie，和H.Huang，稳态泊松-恩斯特-普朗克系统的奇异摄动解，《物理评论》E，89（2014），022722。动脉粥样硬化早期的数学建模和模拟Maria Neuss-Radu（与Telma Silva、Willi J¨ager、Adelia Sequeira共同工作）动脉粥样硬化是动脉壁上形成斑块的过程，导致管腔狭窄、动脉硬化和弹性丧失。这会导致流经血管的血流量减少，血栓形成（斑块破裂时），血栓破裂，导致心脏病发作或中风。我们这里只考虑动脉粥样硬化的早期阶段，涉及信号传递力学生物学和细胞信号传递数学477过程和炎症反应。在这一早期阶段，几何形状的变化（如斑块生长）没有显著影响。血管内皮细胞在管腔和动脉壁之间形成一个界面，由三层组成：内膜、中膜和外膜。内皮层是一种选择性膜，它调节体内平衡，控制血液和动脉壁之间的信号交换（例如细胞因子）、物质交换（例如低密度脂蛋白、水）和细胞交换（例如免疫细胞）。内皮功能障碍可由低密度脂蛋白（LDL）、低壁切应力（WSS）、自由基、高血压或感染性微生物浓度升高等引起，并导致代偿性炎症反应，参见例如[3]。早期动脉粥样硬化（EA）过程的顺序始于内皮功能障碍导致LDL颗粒积聚到内膜。在内膜内，低密度脂蛋白被氧化，导致细胞因子分离和内皮细胞活化，导致炎症反应。单核细胞粘附在活化的内皮细胞上，沿着内皮细胞（EC）表面滚动，最后迁移到内膜。在那里，它们分化为活性巨噬细胞，吸收氧化低密度脂蛋白（oxLDL），直到变成泡沫细胞。在急性炎症中，由于巨噬细胞合成和分泌的因子增加单核细胞生成（FIM），单核细胞的生成增加。例如，在[1，2]中给出了以前对EA的贡献。在本文中，我们基于新概念建立了早期动脉粥样硬化（EA）阶段的模型，并提供了更详细的理解。我们成功地：a）量化了EC表面的LDL积累；b） 根据WSS、细胞因子和LDL测定EP至LDL；c） 作为WSS和细胞因子的函数获得对单核细胞的内皮通透性（EP）；d） 考虑到单核细胞在EC表面的运输（模拟单核细胞粘附和滚动）以及由于高浓度的因子增加单核细胞生成（FIM）而导致的单核细胞流入管腔的增加；e） 由Navier-Stokes系统建模的管腔中的流体流动、由多孔弹性介质的Biot系统建模的血管壁中的流动和由对流/趋化反应扩散方程建模的炎症之间的耦合。我们强调，重点是将内皮层的功能建模为管腔和血管壁之间的选择性界面。这一层对低密度脂蛋白和单核细胞的渗透性取决于它们在系统中的进化。这一数量对整个系统的动力学至关重要，推动了所提出模型及其仿真的发展，至少在简化的情况下演示了相关因素的演变。为了深入了解数学模型，让我们考虑描述单核细胞浓度的方程。在管腔、内皮和内膜中，该浓度分别用ml、mend和mir表示。在流明中，用带边界条件的ml（1a）+++·−dml+ml+ulml=0≠t 478Oberwolfach报告8/2018描述！ml=mlin+fm1ZFl（1b）|Γout|Γoutimdx，在流入处（1c）−dmlŞml·nl=0，在流出处。在急性炎症期间，循环单核细胞的数量在体液因子FIM的控制下增加。因此，在入口条件（1b）中引入了一个额外的术语fm，表示FIM导致的单核细胞额外产生。fm是流明中FIM浓度平均值的函数，在出口处测量，选择为线性且满足f（0）=0。单核细胞从内腔到内皮的总流量可以用以下内皮表面的传输条件来描述，即Γ端：（2）−dml ml+ulml·nl=rmaccml−mendonΓ端。这里，raccm是一种随WSS减少而增加的功能，随细胞因子（CMcp）增加而减少，可定义为：rmaccW-SS，CMcp=rmaxm，W-SS+rmaxCMcp（3）1+W-SS/W SS0m，CM cp1+CMcp。单核细胞沿着内皮表面的运动有助于连接处的开放，从而促进单核细胞的迁移。单核细胞在EC表面上的转运模拟了单核细胞的粘附和滚动，可以用等式½mend（4）←t+Γend·（γmend）=rmaccml−mend−Pmmend−mi来描述，其中Pm=PmW SS，CMcp是单核细胞对内皮细胞的渗透性。它受炎症信号CMcp的影响，允许单核细胞离开循环并迁移到损伤部位和WSS。函数图1。稳定流动的WSS曲线（左）和内皮对单核细胞的渗透性（右）。力学生物学和细胞信号数学479γ是以壁面剪应力为方向的传递向量场。[4]中给出了对γ的更详细描述。在内膜中，单核细胞的动力学是由CMcp梯度上的扩散、反应和趋化迁移引起的。利用文献中的实验数据，在二维几何结构中对狭窄血管中的简化早期动脉粥样硬化模型进行了数值模拟。结果我们提到了以下几点：在图1中，我们看到低WSS区域单核细胞的EP增加，而在图2中，观察到低WSS量级位置的单核细胞聚集。图2。内膜内单核细胞浓度，t=105s。工具书类 [110] V.Calvez，A.Ebde，N.Meunier和A.Raoult，动脉粥样硬化斑块形成的数学和数值建模，ESAIM Proceedings，28（2009），1-12·Zbl 1176.76145号 [111] M.Cilla，E.Pea和M.A.Mart´´ñnez，冠状动脉粥样斑块形成和发展的数学模型，J.R.Soc.Interface，11（2014），20130866。 [112] R.Ross，动脉粥样硬化-一种炎症性疾病，马萨诸塞州医学会，340（1999），115-126。 [113] T.Silva，W.J¨ager，M.Neuss-Radu，A.Sequeira，动脉粥样硬化早期的数学建模和模拟，提交。植物生物力学和细胞信号传递过程的多尺度建模Mariya Ptashnyk（与B.Seguin，C.Venkataraman联合工作）分析影响植物组织弹性和延伸性的机械特性和化学过程之间的相互作用，对于更好地了解植物的生长和发育很重要。为了研究植物组织中力学、微观结构和化学之间的相互作用，我们推导了植物细胞壁生物力学的微观模型。植物细胞壁是植物细胞的主要特征，由嵌入果胶和半纤维素的细胞壁基质中的纤维素微纤维组成，必须能够抵抗高480 Oberwolfach Report 8/2018内部静水压力，并具有灵活性以允许生长。果胶是初生（生长）细胞壁的主要成分之一，以高度甲基化的状态沉积在细胞壁中，在那里，果胶甲基酯酶（PME）通过去除甲基对其进行修饰。脱甲基酯化果胶与钙离子相互作用，产生承重交联，从而减少细胞壁膨胀。据推测，果胶钙交联化学是植物细胞壁弹性和生长的主要调节因子之一[5]。在数学模型中，我们假设细胞壁的弹性特性取决于化学过程（果胶和钙之间的相互作用），化学反应取决于细胞壁内的机械应力（细胞壁内应力可以破坏承重交联）。果胶钙化学由以下四种相互作用定义：（i）通过PME对果胶进行脱甲基酯化，（ii）通过脱甲基酯化的果胶和钙离子的结合产生果胶钙交联，（iii）在机械应力存在下果胶钙交联的断裂，（iv）脱甲基酯化果胶的衰变，参见例如[4]。我们假设细胞壁中的微纤维是周期性分布的，其直径约为ε，即微结构的特征尺寸。然后，由微纤丝和细胞壁矩阵所占据的区域定义为ΩεF=[ε（ˆYF+ξ）×（0，a3）|εΩεM=ΩΩεF，ξ∈Z2，其中Ω = （0，a1）×（0，a 2）׈YF，YF=\710»YF×（0，a3），YM=YYF年。壁矩阵和微纤丝之间的边界用Γε=∏表示ΩεM∈ΩεF。细胞壁基质中的果胶钙化学由甲基化果胶pε1、PME pε2、去甲基化果胶素nε1，钙离子nε2和果胶钙交联物bε密度的反应扩散方程描述： ∂tpε=div（Dp+pε）−Fp（pε （1） ψtnε=div（Dn+nε）+Fn（pε，nεΩεM，t>0， ∂tbε=div（Db+bε）+Rb（nε，bε，e（uε）），其中pε=（pε1，pε2），nε=）e（uε）=0英寸Ω, t>0，弹性张量定义为Eε。为了研究植物细胞壁的力学特性，使用双尺度收敛和周期展开的均匀化技术推导了宏观方程[1]。植物细胞壁生物力学的宏观模型具有机械生物学和细胞信号数学481与微观方程（1）和（2）相同的结构，宏观扩散系数和宏观弹性张量是根据相应“单位细胞”问题的解决方案确定的。为了确定植物细胞壁的宏观弹性张量Zh-Ehom，ijkl（b）=−Eijkl（b，y）+E（b，y）ey（wij）idy-kl y，“单位细胞”问题（divyEM（b）χYM+EFχYF（ey（wkl）+bkl）=0 in y，（3）R Ywkldy=0，wklis y-周期性，其中bkl=12（bk bl+bl bk）和k，l=1，2，3，其中（b1，b2，b3）是R3中的标准依据，数值求解[2]。对于此处考虑的微观结构，宏观弹性张量Ehom（b）线性依赖于细胞壁基质的杨氏模量，杨氏模量是果胶钙交联密度b的函数。因此，计算两个b值的Ehom。宏观模型的数值解表明，由于机械应力、微观结构和化学过程之间的相互作用，细胞壁位移具有异质性。图1不同微纤丝结构在x2方向上的位移。在细胞间信号传递过程的微观模型中，我们考虑了扩散在胞外和胞内空间的信号分子与细胞膜上的受体和共受体之间的相互作用。利用多尺度分析技术，我们导出了组织水平上信号传递过程的宏观双尺度模型，该模型由信号分子c和s在胞外和胞内空间1Ztc−·（aác）=Fe（c）−Ge（c，rf，rb）dγyin中的反应扩散方程组成Ω, t>0，|Ye|Γбts−+y·（Di（y）+ys）=Fi（s）inΩ ×Yi，t>0，Di（y）Şys·Γ=Gi（pa，s）上Ω ×Γ，t>0，482Berwolfach报告8/2018，结合自由受体和结合受体rf和rb以及活性和非活性共受体pa、pd的反应扩散方程 ∂trf=Df∆Γ，yrf−Ge（c，rf，rb） ∂trb=Db∆Γ，yrb+Ge（c，rf，rb）−Gd（rb，pd，pa）开Ω ×Γ，t>0，tpd=Dd∆Γ，ypd−Gd（rb，pd，pa） ∂tpa=Da∆Γ，ypa+Gd（rb，pd，pa）−Gi（pa，s），其中∆Г是表面Γ上的Laplace-Beltrami算子，Lipschitz域Ω 代表组织的一部分，即“单位细胞”Y和亚群Yi⊂Y和Ye=YYi对应于被细胞外空间Ye包围的重标细胞，参见[3]。宏观扩散矩阵A由Zh Aij=−De，ij（y）+De。信号分子在胞外和胞内空间分布的空间分离以及细胞膜上的受体触发了组织水平上模式的形成。工具书类 [114] M.Ptashnyk，B.Seguin弹性和反应扩散方程系统的多尺度分析，模拟植物细胞壁生物力学，ESAIM:M2AN 50（2016），593-631·Zbl 1342.35031号 [115] M.Ptashnyk，B.Seguin《微纤维取向对植物细胞壁和组织生物力学的影响：建模和模拟》，公牛。数学。《生物学》第78期（2016年），第2135-2164页·Zbl 1357.92006年 [116] M.Ptashnyk，C.Venkataraman《扩散信号传递过程的多尺度分析和模拟》，筹备中，2018年。 [117] S.Wolf，S.Greiner《细胞壁果胶对生长的控制》，原生质体249（2012），169-175 [118] S.Wolf、K.H´ematy、H.H¨ofte《植物的生长控制和细胞壁信号传递》，年度。植物生物学评论。63 (2012), 381-407. 随机肌动球蛋白束的产生和收缩。Dietmar Oelz（与Alex Mogilner（纽约大学）、Boris Y.Rubinstein（堪萨斯城斯托尔斯研究所）联合工作)细胞产生的大部分机械力是由极性肌动蛋白丝和肌球蛋白-II分子运动蛋白之间的相互作用引起的，肌球蛋白II分子运动蛋白产生的力使它们沿着丝的极性所指示的方向运动。横纹肌细胞产生力量的细节已经很清楚了。然而，在非肌肉肌球蛋白束中，肌球蛋白马达和肌动蛋白丝高度紊乱，由此产生的力可能是收缩的或膨胀的。机械生物学和细胞信号数学483（图1a）。因此，目前尚不清楚是什么机制促进非肌肉收缩束结构的收缩性，例如角膜细胞中的后束、胞质分裂（细胞分裂的一个重要亚步骤）收缩环和应力纤维。在[1]中，我们制定并分析了促进随机肌动球蛋白束收缩的最小机制。作为模型制定和模拟的参考实验系统，我们使用了真核细胞分裂开始时在皮层形成的收缩环。它的收缩最终导致母细胞分离为两个子细胞（胞质分裂）。我们将收缩环视为一个由交联肌动蛋白丝组成的闭合1D环，肌动蛋白-II运动蛋白点缀其中（图1b）。该模型是第一个允许在微观尺度上模拟非肌肉肌动球蛋白收缩的模型。其中心部分由指数为i，速度v极性ni∈{−1，1}的每个N肌动蛋白丝的一个力平衡方程组成，在等距情况下读取，固定半径Xvi−vj XN（1）0=ϑijFsni−ηAijvi−v j，i=1…N，2Vm|{z} j=1交联引起的阻力|{z}分子马达力，其中ϑij∈{0，1}是连接矩阵的系数，表示肌动蛋白丝与分子马达蛋白之间的连接，Aij表示丝对重叠的区域长度以及它们暴露于交联的区域长度。此外，F和V是分子马达的失速力和自由运动速度，η是交联剂引起的阻力摩擦系数。该模型被导出为广义梯度流，它将系统（1）耦合到另一个方程，该方程将收缩环的收缩张力σ与通过环的每个可能横截面传递的力之和联系起来，（2）σ=-ϑijFsτijni−i−vj+1XηAijτij vi−vj，2Vm2 i，ji，其中系数τij∈{−1，0，1}将总和限制为通过特定横截面传递的力。我们的数值实验（图？？）的结果是，为了收缩，环中的肌动蛋白丝必须在跑步机上运动，即在一端（“倒刺”端）伸长，同时在另一端（“尖”端）缩短，并且丝必须充分交联（图1b）。该模型预测了一个恒定的收缩率，这与关键的实验观察结果一致。最后，该模型表明，随着时间的推移，环中发生的模式形成会恶化环的收缩能力。因此，肌动蛋白动力学越随机，收缩力就越高。流体类型连续体模型通常比跟踪单个蛋白质和蛋白质复合体命运的模型更容易处理和理解，其参数和描述的数量通常是有效的484《Oberwolfach报告》8/2018（a）αi+1βk-1αi+2扩展Rβk+1跑步机影响βkαi-1 Ai，i-1结果：收缩（b）图1。肌动蛋白丝是极性的，有一个倒刺/正端和一个尖头/负端。肌球蛋白-II粗纤维施加力，将其推向肌动蛋白纤维的倒刺端。因此，肌动蛋白丝受到一种力，将其推向尖端。（A） 肌球蛋白-II滑动的扩张/收缩效应。顶部：对于一对具有倒刺/加号端的反平行丝，其背对肌球蛋白-II二聚体或细丝，肌球蛋白运动活性通过拉近肌动蛋白丝，导致系统收缩。底部：对于有倒刺/加号端朝内的细丝，肌球蛋白活性通过将肌动蛋白细丝相互推开（从[2]开始）而引起膨胀。（B） 收缩环模型草图和收缩机理。图2。收缩胞质分裂环模拟快照（侧视图）。肌动蛋白丝根据其极性着色。肌球蛋白粗丝（绿色、黑色、天蓝色）的颜色取决于它们是否连接到平行肌动蛋白丝、反平行肌动素丝或不连接。力学生物学和细胞信号485的数学可以在实验中观察到。因此，在[3]中，我们从肌动球蛋白收缩的微观模型（1）和（2）导出了宏观连续体模型。由于这一特殊过程，其宏观参数不是唯象的，而是保留了它们在聚合微观参数和数量方面的具体解释。我们认为紧密交联的极限和肌动蛋白丝的极限远小于束/环的长度，这正是我们观察到的结果[4]。奇异摄动分析揭示了周期域x∈[0，L上肌动球蛋白环的以下宏观模型（这里是具有各向同性极性的定长L的特殊情况，没有初始数据）， ∂tµ+бx（vµ）=Dmбxxµ， ∂tρ+кx（vρ−vtrρ）=D³aкxxρ， （3） ψtρ+ψx（vρ−vtrρ）=Dañxxρ，ψ ll4号机组0=ζρv−Fsбxµ−ηбxρ2кxv。212肌动蛋白纤维密度ρ=ρ（t，x）的漂移-扩散方程，其中t>0表示时间，肌动蛋白丝极性？ρ=？ρ（t，x）和肌球蛋白马达纤维密度µ=µ（t、x）耦合到速度场v=v（t，x）的过阻尼动量方程。系数vtris是肌动蛋白丝在倒刺端/正端伸长，在尖端/负端缩短的跑步机速度，ζ描述了表面摩擦。宏观粘度由ηρ2l4/12给出，其中l>0是肌动蛋白丝的长度。奇异摄动极限还表明，宏观应力由Fsl/2给出，代表肌球蛋白结合位点位置向肌动蛋白丝尖端的偏移。跑步机速度严格为正的事实保证了这种偏差为正。然而，踏车速度的实际值并不影响收缩应力，这是一个引人注目的观察结果。该模型的分析和模拟提供了许多与生物学相关的见解和估计，并预测了非常重要的模式形成和行波解。这一点更为显著，因为最近首次实验观察到了肌动球蛋白的行波[5]。工具书类 [119] D.B.Oelz、B.Y.Rubinstein和A.Mogilner。肌动蛋白踩踏和交联的结合驱动随机肌动蛋白阵列的收缩。《生物物理杂志》，109（9）：1818-18292015。 [120] A.G.Clark、O.Wartlick、G.Salbreux和E.K.Paluch。动物细胞形态发生过程中细胞表面的应力。《当代生物学》，24（10）：R484–R4942014。 [121] D.Oelz和A.Mogilner。肌动蛋白在跑步机肌动蛋白阵列中的收缩、聚集和行波。接受发表在Physica D.上（预印本可在http://homepage.univie.ac.at/dietmar.oelz/). 486Oberwolfach报告8/2018·Zbl 1373.92016年 [122] D.Vavylonis、J.Wu、S.Hao、B.O'Shaughnessy和T.D.Pollard。裂变酵母胞质分裂收缩环的组装机制。《科学》，319（5859）：97-1002008。 [123] A.Reymann、R.Boujemaa-Paterski、J.Martiel、C.Gurin、W.Cao、H.F.Chin、E.M.De La Cruz、M.Thry和L.Blanchoin。肌动蛋白网络结构可以决定肌球蛋白的运动活性。《科学》，336（6086）：1310-13142012年。细胞在没有粘附的密闭环境中爬行Christian Schmeiser（与G.Jankowiak、D.Peurichard、A.Reversat、M.Sixt联合工作）对于许多细胞类型，化学粘附是其运动机制的重要组成部分，为环境提供必要的动量传递。另一方面，研究表明，在没有粘附的情况下，白细胞在密闭环境中可以运动[2]。缺少对这个过程的理论解释。我们将实验方法与基于数学模型的理论方法相结合，观察细胞在不同几何形状的人工微通道中爬行，试图提供解释实验观察结果的最小机制[1]。实验表明，在具有足够短波长的结构壁的狭窄通道中，细胞具有运动性（见图1，顶部），而在具有平坦壁的通道中，虽然观察到细胞骨架活动，但细胞无法运动。图1。微通道中无粘附细胞爬行。上图：实验。底部：模拟该数学模型基于这样一个假设，即运动是由肌动蛋白皮层沿细胞外围的向后流动驱动的。我们通过投影将大脑皮层延伸至沟道顶壁和底壁之间的部分描述为一条闭合曲线，时间t由{X（s，t）：s∈[0，1]}给定Ω ⊂ R2，X（0，t）=X（1，t），其中参数s是拉格朗日变量，以及Ω 描述了频道。动力学由PDE（|ñsX|−1）+б#|бsX| sX−pбsXб+Fcomp建模，机械生物学和细胞信号数学487，其中左手侧描述与周围流体的摩擦（摩擦常数µ），假设静止。投影PΩ对于容许速度集，仅对X∈б有效Ω. 括号中的第一个术语描述了皮质肌动蛋白通过过度聚合和解聚以v的速度净添加（s=s0）和移除（s=s1）。下一个术语描述了弹性抵抗皮质拉伸的弹性常数κ。内部超压用p表示，在向外法线方向上产生一个力。最后，力Fcomp补偿了将肌动蛋白材料从X（s1，t）移动到X（s0，t）所产生的动量。我们选择它在一定程度上分布在s=s0和s=s1周围，满足Z1-Fcomp（s，t）ds+v（X（s1，t）−X（s0，t））=0，0以提供适当的补偿。这保证了远离通道壁的细胞的质心不会移动。数值模拟再现了实验中观察到的定性行为，即在具有平壁的通道中没有运动，而在具有足够短波长的结构化通道中没有运动（见图1，底部）。更多细节和存在性分析可以在[1]中找到。工具书类 [124] G.Jankowiak，D.Peurichard，A.Reversat，M.Sixt，C.Schmeiser，《局灶性粘附非依赖性细胞迁移建模》，准备中·Zbl 1436.35225号 [125] T.L¨ammermann、B.L.Bader、S.J.Monkley、T.Worbs、R.Wedlich-S¨oldner、K.Hirsch、M.Keller、R.F¨orster、D.R.Critchley、R.F-assler、M.Sixt，《通过整合素非依赖流动和挤压实现白细胞快速迁移》，《自然》453（2008），7191:51-55。启动T细胞信号Alan D.Rendall（与Eduardo D.Sontag联合工作）T细胞负责识别我们体内的异物（抗原），并在必要时采取行动消除这些异物。这需要一个信号传递过程，在这个过程中，细胞表面的受体分子检测到外来物质，并将此信息传递到细胞核。所涉及的机制是一个化学反应网络。整个过程可能需要数小时或数天，但在这里，我们集中精力启动T细胞反应，只需几分钟。这对正确的T细胞功能至关重要。Franöcois等人[2]引入了一个模拟这个初始阶段的常微分方程系统，并用数值和启发式方法研究了其解的某些方面。我们与Eduardo Sontag一起着手通过分析方法获取尽可能多的关于这些解决方案的信息。结果见[5]，在下文中，我们将集中讨论获得的两个主要见解。488Oberwolfach报告8/2018在[2]的模型中，有两个关键参数L和ν，即存在的抗原量和与T细胞受体结合的抗原的解离率。ODE系统中的一个未知项CN表示T细胞已被激活。其条件是CN超过某个阈值。在这种情况下，系统应处于稳定状态，该状态下的CN值用CN*表示。生物感兴趣的数量是响应函数CN∗=f（L，ν）。在[2]中，得到了函数f对L的依赖性的一个近似公式，其中ν保持不变。在[5]中，我们确定了一些条件，在这些条件下，我们可以证明这个公式是适当意义上的近似值。作为精确表述和证明这一陈述过程的副产品，我们发现可以扩展该陈述以包括对ν的依赖。f对L的依赖性的一个有趣的特征是它不是单调的。该模型的理论预测已被实验证实。另一方面，f在ν上的非单调行为已在实验中观察到，但据信该模型无法再现。事实上，这些实验结果是有争议的，但后来[3]中的实验证实了这一点。我们的公式表明，如果参数选择正确，f的这个特征与[2]的模型是一致的。这表明，这种现象的原因可能在于细胞遇到抗原后的前三分钟，即模型所描述的时间段。响应函数最令人惊讶的特征是，在某些情况下，它是L的递减函数，ν的递增函数。在这种情况下，f的近似表达式是φβN/2κR+νN/2−1 L1−N/2αγSTκR，这给出了当参数N至少为3时的有趣行为。（除L和ν外，此公式中的所有量都是ODE系统中的正参数。）响应函数的定义假定参数的固定值只有一个稳态。我们的另一个主要结果是，情况并非总是如此。有最多三种稳态的参数值。[2]中没有考虑这种可能性。证明的方法是证明在适当的情况下，稳态与某四次方程的正根是一一对应的，然后证明可以选择参数，使此类根的数目为三。是否存在存在三种以上稳态的参数是一个悬而未决的问题。在这一点上，可以在文献中提及一些其他的T细胞激活启动模型，尽管这些模型没有严格的结果。[2]的模型是通过试图尽可能简化[1]的一个更复杂的模型而产生的，同时保留其解释力。在中没有考虑存在多个稳态的可能性 [126] 两者都可以。在[4]的模型中，复杂性介于[2]和[1]的模型之间，模拟显示存在多个稳态。在[4]《机械生物学和细胞信号数学》489中，作者还研究了他们模型的随机版本，发现这可能会导致与确定性模型不同的结论。原因是，通过跳过随机模型中的障碍，可以达到确定性模型中无法进行演化的稳定稳态。相比之下，[2]中的随机模拟没有显示出与相应确定性模型的任何本质区别。在[6]中对中等复杂度模型的模拟中也发现了多个稳态。此外，还观察到稳定的振荡。[2]的模型是否允许周期解是一个悬而未决的问题，尽管在[5]中已证明存在阻尼振荡。工具书类 [127] Altan Bonnet，G.和Germain，R.N.基于数字ERK反应反馈控制的T细胞抗原识别建模，PLoS Biol。3（2005）（11），e356。 [128] Franöcois，P，Voiline，G.，Siggia，E.D.，Altan-Bonnet，G.和Vergassola，M.早期T细胞活化的表型模型，显示敏感性、特异性和拮抗性，Proc。国家。阿卡德。科学。（美国）110，（2013）E888-E897。 [129] Lever，M.，Lim，H.S.，Kruger，P.，Nguyen，J.，Trendel，N.，Abu-Shah，E.，Maini，P.K.，van der Merwe，P.A.和Dushek，O.2016最小信号通路的架构解释了T细胞对抗原亲和力和剂量百万倍变化的反应，Proc。国家。阿卡德。科学。美国113（2016），E6630-E6638。 [130] Lipniacki，T.、Hat，B.、Faeder，J.R.和Hlavacek，W.S.T细胞受体信号传递中的随机效应和双稳态。J.西奥。《生物学》254（2008）110-122·Zbl 1400.92173号 [131] Rendall，A.D.和Sontag，E.D.在T细胞激活启动模型中对抗原的多个稳态和响应函数形式，R.Soc.open sci。4 (2017) 70821. [132] Zheng，Y.，Balakrishnan，V.，Buzzard，G.，Geahlen，R.，Harrison，M.和Rundell，A.T淋巴细胞抗原激活的细胞内信号途径早期事件建模和分析J.Comp。申请。数学。184 (2005) 320-341. 用完全各向异性扩散模拟胶质瘤生长Thomas Hillen（与A.Swan、K.J.Painter、C.Surulescu、C.Engwer、M.Knappitsch、A.Murtha共同工作）人脑具有复杂的几何结构，由白质和灰质、血管、心室、颅骨等组成。它形成了高度各向异性的介质。众所周知，大脑中的胶质瘤会沿着白质轨迹和其他大脑结构侵袭。使用扩散张量成像（DTI），现在可以获得大脑几何形状的方向信息[1,8]。在我的演讲中，我将展示如何使用DTI信息来参数化胶质瘤扩散的完全各向异性扩散方程[5,4,9]。我们将该模型与文献[2，7，6]中的替代方法进行了比较，并根据神经胶质瘤患者的临床数据验证了该模型·Zbl 1073.92012年 [133] 。我们讨论了未来在治疗设计中的应用[10]。490 Oberwolfach报告8/2018参考文献 [134] A.L.Alexander、J.E.Lee、M.Lazar和A.S.Field。脑扩散张量成像。神经治疗学，4（3）：316-3292007年7月。 [135] P.Y.Bondiau、O.Clatz、M.Sermesant、P.Y.Marcy、H.Delingette、M.Frenay和N.Ayache。生物计算：利用扩散张量成像对胶质母细胞瘤生长进行数值模拟。《医学和生物学物理学》，53:879-8932008年。 [136] D.Corwin、C.Holdsworth、R.C.Rockne、A.D.Trister、M.M.Mrugala、J.K.Rockhill、R.D.Stewart、M.Phillips和K.R.Swanson。针对胶质母细胞瘤的患者特异性、生物优化放射治疗计划。《公共科学图书馆·综合》，8（11）：e791152013年。 [137] C.Engwer、T.Hillen、M.Knapitsch和C.Surulescu。一种基于DTI的神经胶质瘤生长多尺度模型，包括细胞与ECM的相互作用。数学杂志。生物学71（3），551-5822015·Zbl 1343.92072号 [138] T.希伦。M5间充质运动的介观和宏观模型。数学杂志。《生物学》，53（4）：585-6162006·Zbl 1112.92003年 [139] P.R.Jackson、J.Juliano、A.Hawkins-Daarud、R.C.Rockne和Kristin R.Swanson。患者特异性数学神经肿瘤学：使用简单的增殖和侵袭肿瘤模型为临床实践提供信息。《数学生物学公报》，77:846-8562015·Zbl 1334.92201号 [140] E.Konukoglu、O.Clatz、P.Y.Bondiau、H.Delignete和N.Ayache。推断脑磁共振图像中的胶质瘤侵袭边缘：建议新的照射边缘。医学图像分析，14:111-1252010。 [141] D.Le Bihan、J.F.Mangin、C.Poupon、C.A.Clark、S.Pappata、N.Molko和H.Chabriat。扩散张量成像：概念和应用。磁共振成像杂志，13:534-5462001。 [142] K.J.Painter和T.Hillen。胶质瘤生长的数学模型：利用扩散张量成像DTI数据预测肿瘤侵袭的各向异性路径。J.西奥。生物学，323:25-392013·Zbl 1314.92083号 [143] A.Swan、T.Hillen、J.Bowman、A.Murtha。胶质瘤扩散公告数学的各向异性模型。Biol.，2017，DOI:10.1007/s11538-017-0271-8通过基底膜模拟肿瘤侵袭Luigi Preziosi在侵袭周围组织之前，许多肿瘤包含在将生理组织与周围环境分隔开来的膜中。例如，这种情况在乳腺、卵巢和胰腺肿瘤中很常见。实际上，当肿瘤在膜内发展时，它们被称为原位肿瘤，以区别于侵袭性肿瘤。基底膜不是固体壁，而是由纤维网络形成的，一方面使营养物质和化学因素很容易扩散，但另一方面又非常紧密，细胞无法通过。这主要是由于细胞核的存在，它代表了细胞中最坚硬的细胞器。因此，即使细胞可以将突起延伸到膜外，其细胞核也会被网状物困住，细胞也无法挤入。在发育的某个阶段，一些肿瘤细胞获得了以金属蛋白酶（MMPs）产生为特征的表型，金属蛋白酶是一种能够消化形成基底膜的胶原纤维的酶。基质金属蛋白酶的作用扩大了纤维网络的孔隙，使细胞能够逃逸并侵入组织周围的机械生物学和细胞信号数学491。同样的过程也发生在一些细胞衬里，如间皮层，以及毛细血管和淋巴系统的灌注和外渗过程中，因此代表了转移扩散的基本步骤。Wolf等人[8]研究了分离细胞和球形聚集体边界处细胞的运动，作为细胞外基质（ECM）特征孔径的函数。他们确定了细胞迁移的临界孔径的存在，低于该临界孔径的细胞停止迁移。这一现象被称为迁移的物理极限，由Arduino等人[1]从以下多相模型开始建模 ∂φ++·（φv）=Γ，（1）∈t ∇ · T−M−1v=0，与描述细胞集料应力T的适当本构方程相关，此处不再讨论。式（1）中，φ是肿瘤细胞的体积比，v是肿瘤细胞速度，Γ是生长项，M是与细胞与ECM之间的相互作用力相关的运动张量。我们想在这里重点关注的关键项是运动项，我们将假设它是各向同性的，并且根据上述[8]中的实验，它可能通过以下关系与ECM的孔隙横截面Amo有关（Am（x）−A0）+（2）M=αn，1+Am（x）−AA10，其中A0是与迁移物理极限相关的临界横截面。事实上，当（f）+=（f+|f|）/2是f的正部分时，其中Am（x）<A0运动系数消失，并且从（1）中的第二个方程写成v=MŞ·T，很明显没有运动。引入（2）中的分母是为了考虑到存在有利于细胞迁移的最佳孔径，超过该孔径，细胞速度再次降低，如[5,6,7]所述。然而，A0值不是恒定的，但它取决于细胞的一些微观特征，即细胞核大小和弹性、核膜刚度、细胞粘附力和牵引力。在这方面，Giverso等人[3，4]确定了一个标准，旨在描述核半径为Rncan的细胞何时穿透截面为Ap的圆柱形微通道。该标准涉及无量纲数G=ρbαMF/µ，将细胞核剪切模量µ与与牵引力相关的量进行比较，即表示和激活的粘附模型密度ρb、ECM配体组成的接触表面部分αM，当然还有牵引力F的强度。因此，大G对应于更大的牵引力、更好地粘附基底的能力或更软的细胞核。492Berwolfach 2018年8月报告标准为a（Ap）+8πβbq个2 2˜1A？sin−11−？A3p 33？A2p−1，b（？Ap）=2便士1+A？3/2q − 1, p1−мA3p A？p−1+1−？Ap，L（？Ap、？Ac）=c−3？Ap−2？R3/2pq−2−2（1−●Ap）3/2。3A⁄p可以注意到，（3）的r.h.s.是归一化横截面a⁄p=Ap/（πR2，除无量纲参数β=λ0Rn/µ外，无量纲参数β=λ0Rn/µ与核膜刚度λ0与核剪切模量µ之比成比例。然后，根据细胞的微观力学特征，该标准可以区分多细胞聚集物何时侵入或被多孔结构分隔。受上述需要的刺激，将先前的方法扩展到基底膜的存在，在[2]中，我们使用了一种限制程序，以有效的薄膜代替通过具有特定运动特性的层的运动。为了解释结果，我们可以考虑细胞集料的最简单的本构模型T=−p（φ）I，从而使数学模型（1）简化为φT=·[φM（x）p（φ）]+Γ。由于在生物组织的边界处，ECM的孔隙度可能出现跳跃，运动M可能是不连续的。因此，必须在那里施加通常的界面条件，即通量和压力的连续性。考虑到两个外畴之间有一个薄畴，当其厚度为零时，可以证明该薄层可以被一个膜所取代，该膜上需要施加以下界面条件（5）M[[∏（φ）]=Mφn·Дp（φ），式中∏′（φ）=φp′（Φ）（素数代表导数），n是膜的法线，在膜的哪一侧评估（5）的r.h.s并不重要，因为由于通量的连续性，它在膜上是连续的。系数M是膜的有效运动力。它继承了与（2）中相同的结构。特别是，对于ECM小得令人望而却步的孔隙横截面，即低于上述迁移的物理极限，它会消失，从而产生无通量条件。机械生物学和细胞信号数学493可以注意到，界面条件（5）是经典Kadem-Katchalsky界面条件的推广。事实上，如果p（φ）=p lnφ/φ0，则方程（4）简化为标准扩散方程，条件（5）简化为（6）M[[φ]]=Mn·φ。以这种方式推导的模型考虑到核膜及其固体内部材料的机械特性和细胞的牵引能力所施加的限制，允许描述基膜对多细胞聚集体的宏观侵入或分离。工具书类 [144] A.Arduino，L.Preziosi，异质细胞外基质原位肿瘤分离的多阶段模型，国际期刊《非线性力学》。75（2015），22-30。 [145] M.A.J Chaplain，C.Giverso，T.Lorenzi，L.Preziosi，肿瘤生长模型与基底膜的界面条件，数学。医学生物学。，已提交·Zbl 1428.35619号 [146] C.Giverso，A.Arduino，L.Preziosi，细胞核力学和ECM拓扑结构如何影响单细胞和多细胞聚集体的入侵，Bull。数学。生物，出版中（doi.org/10.1007/s11538-017-0262-9）·Zbl 1394.92020号 [147] C.Giverso，A.Grillo，L.Preziosi，细胞核变形性对细胞进入圆柱形结构的影响，生物医学。模型。机械胆。13 (2014), 481-502. [148] M.Scianna，L.Preziosi，K.Wolf，《模拟基质环境中细胞迁移的细胞波茨模型数学》。Biosci公司。工程师。，10 (2013), 235-261. ·Zbl 1259.92024号 [149] M.Scianna，L.Preziosi，《模拟细胞核弹性对纤维网络和微通道中细胞侵袭的影响》，J.Theor。《生物学》317（2013），394-406。 [150] M.Scianna，L.Preziosi，MMP依赖性和独立性癌细胞在不同维度的基质微阵列中迁移的细胞Potts模型，Comp。Mech.53（2014），485-497。 [151] K.Wolf、M.te Lindert、M.Krause、S.Alexander、J.te Riet、A.L.Willis、R.M.Hoffman、C.G.Figdor、S.J.Weiss、P.Friedl，《细胞迁移的物理限制：ECM空间和核变形的控制以及蛋白质水解和牵引力的调节》，《细胞生物学杂志》。201(2013), 1069-1084. 流体两相生物膜动力学研究：将（纳维埃-）斯托克斯偶联到海尔夫里希·哈拉尔德·加尔克（与约翰·巴雷特和罗伯特·纽伯格共同工作）脂质分子有一个亲水的头部和一个疏水的尾部。它们自发聚集形成脂质双层结构。这种生物膜在正常方向上的行为就像一种弹性材料，具有抗弯曲性。在平面内，脂质可以自由移动，这导致了类似流体的粘性行为。将膜理想化为光滑闭合超曲面Γ⊂Rd Canham[5]和Helfrich[6]，引入了弯曲能量Z ECH（Γ）=（α（κ−κ）2+αK）dHd−1Γ494Oberwolfach Report 8/2018，其中κ是平均曲率，K是高斯曲率，α和α是弯曲刚度，κ是自发曲率。Arroyo和DeSimone[1]介绍了一个具有以下特征的生物膜进化模型。膜的内部和外部被建模为不可压缩流体，这尤其导致了封闭体积的守恒。膜本身是一种不可压缩的流体，导致表面积守恒。流体流动方程通过能量δEδΓ（Γ）=（-∆sκ−，∑sν是Weingarten图，ν表示垂直于内部流体所占区域的外部单元。在该模型中，假设流体速度在膜上是连续的，膜以体积流体的法向速度沿法向移动，此外，表面Navier-Stokes方程ρΓt•u−ds·σΓ=[σ]+−ν+fΓ，∧s·u=0必须保持在Γ上。这里，ρΓ是表面质量密度，ξt•是材料导数，表面应力张量为σΓ=2µΓDs（u）−pΓpΓ，其中pΓ是表层压力，µΓ的是表层剪切粘度，pΓ是切线空间上的投影，Ds（u）=12PΓ（∧s u+（∑s u）t）pΓ为表层应变率张量。此外，术语[σ]+−ν是主体对膜施加的力。在我的演讲中，我介绍了一种在半离散（时间上连续，空间上离散）水平上具有体积守恒、面积守恒、能量稳定性等特性的有限元方法。因此，这种方法具有结构保持性和稳定性。最后一个特性是由于能量稳定性导致先验估计。我们还通过几个计算结果证明了该方法的实用性，特别是我们能够表明，对于剪切流中的膜，仅表面粘度就可以导致从罐式踩踏过渡到翻滚。最后，我介绍了一种新的两相流膜模型。在该模型中，上述流体模型在膜上补充了一个附加变量c，该变量在纯相中取±1。双相膜的能量为Z E（Γ，c）=b（κ，c）+αG（c）K+βbCH（c）dHd−1Γ。机械生物学和细胞信号数学495，Cahn-Hilliard能量bCH（c）=12γ|кsc|2+γ−1Ψ。特别是，弯曲能量α，αG和自发曲率现在取决于浓度。通过δEδΓ，新能量现在在流体方程中给出了一个新的强迫项，这特别导致了Marangoni型强迫。浓度c解决了对流Cahn-Hilliard表面方程γt•c=∆sm，m=−βγ∆sc+βγ−1Ψ′（c）+b，c（κ，c）+（αG）′（c。数值计算表明，膜状出芽的两相性质的影响，以及两相膜在通过收缩变形后往往保持更大的变形。工具书类 [152] M.Arroyo和A.DeSimone，流体膜的弛豫动力学，Phys。修订版E 79（3）（2009），031915。 [153] J.W.Barrett，H.Garcke，R.N¨urnberg，流体膜和囊泡动力学的数值计算，物理学。版本E 92（2015），052704。 [154] J.W.Barrett，H.Garcke，R.N¨urnberg，射流膜动力学的稳定数值方法，数值。数学。134 (4) (2016), 783-822. ·Zbl 1391.76298号 [155] J.W.Barrett，H.Garcke，R.N¨urnberg，流体两相生物膜动力学的有限元近似，ESAIM:M2AN 51（6）（2017），2319-2366·Zbl 1383.35153号 [156] P.B.Canham，《最小弯曲能量作为人类红细胞双凹形状的可能解释》，J.Theor。《生物学》26（1970）（1），61-68。 [157] W.Helfrich，《脂质双层的弹性特性：理论和可能的实验》，Z.Naturforsch。28c（1973），693-703。1989年，Oster和Murray在[9]中提出了脊椎动物肢芽软骨凝结的模式生成模型，随后在[7,8]中提出也与短吻鳄胚胎皮肤中条纹图案的生成机制有关。经过一些重新缩放和符号的一些改变，模型由（nt=∆n−Ş·（nŞu），x∈Ω ⊂ Rd，t>0（1）ut=∆u−u+λγ+nn，x∈Ω ⊂ Rd，t>0，其中n（x，t）表示某些细胞密度，u（x，t）表示引诱剂浓度，λ和γ为正常数，假设施加均匀Neumann边界条件和合适的初始数据。P.Grindrod、J.D.Murray和S.Sinha在[2]中进行的模拟表明，随着时间趋于496 Oberwolfach报告8/2018无限大，出现了多个峰值。类似于（1）的问题的解的局部存在性（例如）遵循了Senba&Suzuki在[11]中的结果。解的全局（时间）有界性如[6]所示，而解的收敛到稳态为t→ ∞ （在某些技术假设下）在 [158] 因此，为了更深入地了解（1）解的最终轮廓，我们应该仔细研究与（1）相关的稳态问题。这正是本次演讲所做的，报告了[5]中取得的一些成果。与（1）有关的稳态问题简化为一个非局部椭圆方程，其齐次Neumann边界数据由：euuγ给出|Ω| （2） −∆u+u=λωR，=0（关于导数）Ω, 其中ω=R|Ω|eu+eunn（x，0）dxΩΩ 显然，常数函数u0=ω+1λ解决了这个问题。但（2）是否存在非恒定解，它们看起来是什么样的？作为第一步，我们仔细研究并分析了局部椭圆Neumann问题：euuγ+eu，导数n=0Ω. 我们指出，这也是与以下具有体积填充的趋化性模型相关的稳态问题的局部版本（比较例如[3]）：（nt=∆n−Ş·n（1−nγ）Şu，（4）ut=D∆u−u+λn。在[3，4]中，可以找到不同初始数据的稳态解和（4）解的时间演化的一些图，这些图显示了多个峰的形成，并且随着时间的延长，峰的粗化。让我们指出，在[1，2，10，12]中也使用了完全不同的方法来研究局部问题，基本上是分叉自变量，与中使用的技术形成对比 [159] 我们注意到局部问题（2）的任何解都满足0<u<λ，对于每个λ>0，我们有||u||H1(Ω)≤ λ2|Ω|. 现在设置f（s）=s−λγ+ee可以看到，对于所有λ，γ>0，函数f（s♯ f−1（0）≤3；•当且仅当√λe±12λ（λ−4）λ>4和γ∈（γ−，γ+），其中γ±=2e2p时，f允许三个不同的零。λ-2±λ（λ-4）让我们用z1，z2，z3表示f对于λ>4和γ∈（γ−，γ+）的三个有序零点。然后，我们注意到：•对于λ>4：最大−f′（s）=λ4−1。s∈[0，∞）力学生物学和细胞信号数学497•z1，z2是泛函的严格局部极小值：ZZ F（u）=|▽u|2+u2dx−λlog（γ+eu）dx。ΩΩ • 对于γ≥1和λ4−1<µ2，F是严格凸的(Ω), 其中，µ2表示具有均匀Neumann边界数据的Laplacian的第一个非平凡特征值在一个空间维度中，如果λ4−1<µ2（I）且I=[0，L]，则局部问题的任何解都必须是常数。定义euγ+eu并设置K（u）：=−L−1·我们可以将局部问题（3）重写为（5）（Id+λK）（u）=0。通过K的紧性，并且由于在每个λ处，（5）的解集是有界的，因此可以说明Id+λK的Leray-Shauder度是明确定义的。在下文中，其总Leray-Shauder度用X degLS（Id+λK）=（−1）ν（u）表示，u是（5）的解，其中ν（u）是u的Morse指数。假设给定区间I=[0，L]且L>0足够大。通过使用与Neumann问题（3）有关的适当时间映射，证明了（3）的唯一非平凡单调解的存在性。通过计算（3）的常解和唯一单调解的Morse指数，给出了关于非平凡解的存在性的以下表述：•如果µ2k（I）<−f′（z2）<µ2k+1（I）对某些k∈N成立。对于k=1，存在至少五个解，对于任何其他k∈N，对于局部问题（3），存在至少七个解如果对于某些k∈N，µ2k+1（I）<−f′（z2）<µ2k+2（I）成立。对于k=1，存在至少七个解；对于任何其他k∈N，存在至少九个局部问题的解（3）。最后，我们可以转向非局部问题（2）。与对局部问题所做的类似，我们可以为非局部Neumann问题（2）建立以下陈述，（据我们所知）到目前为止还没有进行过分析：•在一个空间维度中，如果λ4−1≤µ2（I），则非局部问题（2）只允许平凡解u=ω+1λ，其中I=[0，L]。498Oberwolfach报告8/2018•让s0表示满足ωs0es0=1的唯一实数。如果λ−1≤s0，则非局部问题（2）对任何维都有唯一的解在一个空间维中，可以表明，如果λ4−1>µ2（I）且λ6=（ω+1）2（µ+1）2中，其中µ表示具有同态μω型Neumann边界数据的拉普拉斯算子的特征值，且λ6=4（ω+1）ω2，则平凡解的莫尔斯指数是奇数，因此，（2）至少必须存在一个非平凡解。工具书类 [160] F.A.Davidson，A.I.M.Savory：趋化模型稳态的存在性和元稳态，非线性分析：现实世界应用17（2014），第101-113页·Zbl 1325.92017年 [161] P.Grindrod，J.D.Murray，S.Sinha，《细胞趋血模型中的稳态空间模式》，《医学与生物学应用数学杂志》第6期（1989年），第69-79页·Zbl 0674.92009 [162] T.Hillen和K.Painter，趋化运动模型中的体积填充和quorum-sensing，《加拿大应用数学季刊》第10期（2002年），第501-543页·Zbl 1057.92013年 [163] T.Hillen和K.Painter，PDE趋化模型用户指南，《数学生物学杂志》。58（2009年），第183–217页·Zbl 1161.92003号 [164] D.Horstmann和M.Lucia，《重新审视胚胎学中模式生成机制的启动模型》，预印本提交（2018）。 [165] D.Horstmann，一类反应扩散系统的Lyapunov函数和Lp估计，数学学术讨论会87（2001），第113–127页·Zbl 0966.35022号 [166] J.D.Murray，模拟鳄鱼条纹形成的图案生成机制。在第九届国际数学物理学家大会上，Swansea 1988（编辑：B.Simon、A.Truman和I.M.Davies），第208-213页。布里斯托尔：亚当·希尔格·Zbl 0725.92005号 [167] J.D.Murray，D.C.Deeming，D.C.和M.W.J.Ferguson，《密西西比短吻鳄胚胎中依赖大小的色素模式形成：模式生成机制的启动时间》。伦敦皇家学会会刊。B辑，《生物科学》，第239卷，第1296期（1990年），第279-293页。 [168] G.F.Oster和J.D.Murray，模式形成模型和发育限制，《实验动物学杂志》251（1989），第186-202页。 [169] R.Schaaf，趋化系统的固定溶液，Trans。美国数学。Soc.292（1985），第531-556页·兹比尔0637.35007 [170] T.Senba和T.Suzuki，《应用分析》，帝国理工学院出版社，2004年·Zbl 1053.00001号 [171] X.Wang，Q.Xu，通过全局分岔和Helly紧性定理研究趋化系统的Spiky和过渡层稳态，J.Math。《生物学》第66期（2013年），第1241-1266页。双畴模型Giovanni Bellettini中的褶皱现象Ω国际机场Ω在心脏组织中，通过细胞膜与一些变量（霍奇金-霍克斯利模型）相耦合，简化为一个单一的“恢复变量”（FitzHugh-Nagumo），在此被忽略。bidomain模型是在均匀化过程之后导出的，因此最终Ωi=Ωe=Ω, 心脏占据的物理区域。给定T>0，更一般地说是光滑有界连通的力学生物学和细胞信号数学499开集Ω ⊂ Rn，n≥2，表示ui=ui，ǫ，ue=ue，\491'：[0，T]×Ω → 分别对胞内和胞外电势，双畴模型可以用以下具有变分性质的弱抛物线系统来描述：（ǫt（ui−ue）−\491]div（Miüui）+\491'−1W′ui‐ue=0，\491』t。这里ǫ∈（0，1）是一个小的正参数，W′是最小值为±1的双势阱势的导数，Mi，Meare是两个对称正定矩阵。（1）的简并性可以通过以下方式来理解：ǫt（Bu）−\491]divq+\491』−1f（u）=0，其中u=[ui，ue]t，q=[Miüui，−Meü]t，B=1−1，操作符div按分量作用1−1和f（[ui、ue]t）=[W′（ui−ue），W′（ui ue）]t。虽然矩阵B是奇异的，但问题（1）与下面的（4）耦合，从适当的意义上讲，姿势很好。我们注意到（1）是泛函Zǫ（2）的“梯度流”（经过适当的时间尺度调整后）（Mi v·v+Me v·v）+\491』-1W（v−ω）dxΩ2 R关于简并标量积（（v，ω），（η，ζ））→Ω（ω−v）（ζ−η）dx。关于模型的推导及其数学性质，以及相关参考文献的列表，请参阅[5]。跨膜电位u=uǫ：=ui−ue在描述控制心脏跳动的电化学变化中发挥着至关重要的作用，它通常表现出一个薄的ǫ级过渡区，将u≈1的前进去极化区与u≈−1的前进去极化区分隔开。我们注意到，（1）中的两个抛物方程中的一个可以用椭圆方程代替，并且系统可以等效地重写为ǫ∂ ∂tu−div（Mi+ui）+−1W′（u）=0，（3）div（米+ui+我（ui−u））=0， u=ui−ue。系统（3）更加明确了（1）的初始和边界条件，例如形式：（4）u（0，·）=u0（·）at{t=0}，Mi ui·νΩ= 我+ue·νΩ= 0on[0，T]×бΩ, u0可能取决于ǫ，νΩ垂直于导数的向外单位Ω, 并且·是欧几里德标量积。我们在这里的兴趣与跨膜电位u的极限行为有关，如ǫ→ 0+. 值得一提的是，（2）中泛函序列的Γ-极限几乎已被刻划[2]。当Miand-Miare成比例时，可以看出（1）对u简化为单个反应扩散方程，这是本讨论中不感兴趣的情况。500Oberwolfach报告8/2018另一方面，一个重要的例子是所谓的各向异性倒数比，由Mi=diag（ρ，1）和Me=diag（1，ρ），ρ>0给出。我们注意到，如果我们设置（5）（φi（ξ*））2=αi（ζ*）：=Miξ*·ξ*推广到非线性情况，即使用两个凸的单齐次对称函数（称为凸各向异性，不一定由标量积引起）代替φ和φe。我们将φ和φein（5）称为线性凸各向异性的情况，这就是我们在这里关注的情况。值得注意的是，在极限ǫ中出现了不可忽略的各向异性，不一定是凸的，通常是非线性的→ （1）的0+，因为心肌的纤维结构。让我们引入以下函数Φ[4]，[1]，称为组合各向异性：1 1+1−12。（6） Φ：=αiαe可以证明[4]，在各向异性倒数比的情况下，Φ是凸的当且仅当ρ∈[1/3，3]。顺便说一句，我们还不知道可以通过结合（6）中的两个凸各向异性来获得这些各向异性的特征。以下形式结果在[3]中得到了证明，我们可以参考该结果了解详细信息。给定紧致包含在Ω. 假设初始基准u0=u0ǫ在ŞE附近准备好了，特别是{u0=0}=⏴E。假设{Φ≤1}（Frank图），Φ如（6）所示，是光滑且一致凸的。然后，作为ǫ→ 0+，（1），（4）的解u=uǫ的零级集在足够短的时间内收敛到Φ-平均曲率流，误差为O级（\491]）。有趣的事实是，即使Φ不是凸的，系统（1）也保持适定，因此当Φ-平均曲率流不适定时。在某种意义上，系统（1）、（4）可以被视为不适定Φ-平均曲率流的可能正则化之一。因此，对于较小的ǫ值，从数值上研究{u=0}的行为是很自然的，例如，在倒数各向异性比的情况下，当ρ∈（0，1/3）Ş（3，+∞）时。在[4]中，对于n=2，对于ρ>3的大值和ǫ的小值（例如，ǫ≈0.08），对于空间网格h=cǫ，由于时间t的某些值的高昂计算成本（例如，c≈ǫ/4），c不太小，已经进行了数值实验，观察“界面”的行为{u（t，·）=0}，以单位欧几里得圆ŞE为初始条件。实验表明出现了起皱现象（微观结构的形成）。例如，在t≈0.02阶时，我们观察到波长为ǫ阶的振荡的形成，快速传播。我们观察到，同样的组合可以在相对于原点呈星形的固体对称有界物体的Minkowski函数的更自然的上下文中进行。2鉴于问题的不稳定性，尚不清楚Φ-平均曲率流的任何合理正则化是否会导致相同的最终演化。机械生物学和细胞信号501的数学仅沿着界面的那一部分具有欧几里德单位法线（Φ-归一化为1），落在{Φ=1}的非凸部分。这使得我们相信，观察到的演化并不是由co（{Φ≤1}）-曲率流导致的E演化，co（{Φ≤1{）是{Φ<1}的凸化。其次，振荡有合并的趋势，形成更长的波浪；褶皱区域趋于消失，被周围的演变部分侵蚀。最后，锋面似乎在讨论区域的局部周围假设了一种类似于Wulff形状3的形状，对应于co（{Φ≤1}），在这种情况下，是一条带角度的严格凸曲线。系统（1）被推广到任意数量的势，以及相应系统的形式渐近性为ǫ→ 0+; 在这种情况下，必须组合几个非线性各向异性[1]。最后，bidomain模型中前沿的稳定性Ω = R2最近在[6]中进行了研究。工具书类 [172] S.Amato、G.Bellettini和M.Paolini，《非线性多域模型：一种新的形式渐近分析》，《几何偏微分方程学报》，CRM Series 15（2013），（a.Chambolle、M.Novaga和E.Valdinoci编辑），比萨，33-74·Zbl 1304.35048号 [173] L.Ambrosio、P.Colli Franzone和G.Savar´e，关于心脏双畴模型中产生的各向异性能量的渐近行为，界面自由边界。2 (2000), 213-266. ·Zbl 0967.49009号 [174] G.Bellettini，P.Colli-Franzone和M.Paolini，各向异性双稳态反应扩散方程前沿传播的收敛性，渐近分析。15 (1997), 325-358. ·Zbl 0902.35052号 [175] G.Bellettini、M.Paolini和F.Pasquarelli，作为非线性双域模型形式奇异极限的非凸平均曲率流，《高级微分方程》18（2013），895-934·Zbl 1272.53054号 [176] P.Colli Franzone、L.F.Pavarino和S.Scacchi，《数学心脏电生理学》，MS&A-建模、仿真与应用，Springer Cham，2014年·Zbl 1318.92002号 [177] Y.Mori和H.Matano，双畴模型前沿解的稳定性，Comm.Pure Appl。数学。LXIX（2016），2364-2426·Zbl 1354.35171号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。