塞缪尔·盖斯纳（编辑）;乌尔夫哈沙根（编辑）;珍妮·佩弗（编辑）;多米尼克·图内斯（编辑） 介于物质制品和理想机器之间的数学工具：1950年之前它们的科学和社会作用。2017年12月17日至23日举行的研讨会摘要。 （英语） Zbl 1409.00091号 Oberwolfach代表。 14，第4号，3471-3560（2017）. 摘要：自1950年以来，数学家在专业实践中对数字计算机越来越熟悉。然而，以前，许多其他工具（现在大多被遗忘）通常用于计算数值解、生成几何物体、研究数学问题、得出新结果以及在各种科学背景下应用数学。表征可以用一组给定的仪器构造的数学对象的问题经常引发深入的理论研究，从带直尺和指南针的欧几里德几何结构到1941年的香农定理，指出微分分析器可构造的函数正是代数微分方程的解。除了这些数学考虑之外，仪器还应被视为特定时期和文化传统的社会对象，可以融合发明人、制造商、用户和收藏家的观点；从这个意义上讲，数学工具是数学文化遗产的重要组成部分，因此在许多科学博物馆中广泛使用，向公众展示数学的文化价值。这次研讨会汇集了数学家、历史学家、哲学家、馆长和教育学者，讨论了数学仪器历史的各种方法，并比较了这些仪器的定义和作用，记住以下基本问题-数学仪器中的数学是什么？涉及什么样的数学？将数学体现在一件实物中意味着什么？非数学家如何参与这种体现的数学？ MSC公司： 00亿05 讲座摘要集 00B25型 杂项特定利益的会议记录 37-03 动力学系统和遍历理论的历史 78-03 光学和电磁理论史 85-03年 天文学和天体物理学史 01-06 与历史和传记有关的会议记录、会议、收藏等 2003年3月51日 几何学历史 01A05号 通史、源书 65平方米 数值分析中的图解法 软件：项目MoT;新加坡冲浪;目标@形状;曼蒂萨;模糊的;COBOL公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Gessner}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.14，No.4，3471-3560（2017；Zbl 1409.00091） 全文： 内政部 参考文献： [1] J.贝内特（J.Bennett），《科西莫的宇宙学：韦奇奥宫和博物馆历史》（Cosimo’s Cosmography:the Palazzo Vecchio and the History of Museums），收录于：穆萨·穆萨艾（Musa Musaei:Studies on Scientifics Instruments and Collections in Honour of Mara Miniati），M.Beretta，P.Galluzzi and C.Triarico（eds.）。 [2] F.Camerota，《数学仪器的美第奇收藏：历史和博物馆学》，收录于：欧洲科学仪器收藏，1550-1750年，G.Strano、S.Johnston、M.Miniati和A.Morrison-Low（编辑），129-148，Leiden:Brill，2009年。 [3] https://catalogue.museogalileo.it/object/SurveyingCompass_n08.html [4] https://catalogue.museogalileo.it/object/MilitaryInstrument_n01.html [5] https://catalogue.museogalileo.it/object/GunnersCaliper.html [6] https://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp？c=401097 [7] https://catalogue.museogalileo.it/object/PortionalCompasses_n01.html [8] https://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp？c=401092 [9] https://catalogue.museogalileo.it/object/TriangulationInstrument.html [10] https://catalogue.museogalileo.it/object/FoldingRule_n01.html早期现代科学仪器的图像学：沃尔克·雷默特（Volker Remmert）在科学革命期间，科学仪器，如星盘、气泵、显微镜和望远镜，在研究自然方面变得越来越重要。在近代早期，他们还没有达到研究自然的标准化和非个人化手段的地位。相反，它们通常是独特的项目，通过其功能和设计，可以为学者、社会精英和其他人之间的调解服务。在这方面，乐器上的肖像画发挥了关键作用。事实上，许多早期的现代仪器上都装饰着与仪器使用无关的图像，例如普雷托利乌斯（1568，德累斯顿）在星盘上描绘的阿特拉斯和大力神，或B¨urgi的天文钟（1591，卡塞尔）上的天文学和几何学传统线从教会的父亲到哥白尼。到目前为止，这些关于乐器及其背景的图像只是零星地进行了分析。我的项目《早期现代科学仪器的图像学》专门分析了仪器上的图像。它的目的是首次对乐器上的多层面视觉材料进行系统分析，探讨其在装饰乐器的各种背景中的作用（起源、功能、用途）以及它在材料人工制品和理想机械之间的数学工具3481对于建立或支持新兴科学领域内的成功故事/历史和相关性具有重要意义。图像学指出了相当多的重要主题，例如理论辩论中的特定立场陈述（例如哥白尼问题），知识的中介和说明，特别是通过描绘工具的可用性，或乐器作为赞助人艺术品的作用，以及特定的图像方案。为了理解现代早期形成和决定乐器生产的知识、文化和艺术背景，对图像的分析同样具有高度相关性。它为研究乐器制造商、艺术家、工匠、赞助人和学者在多层次领域中的乐器构思、设计和建造过程中的协作过程打开了一扇窗户。在我的演讲中，我概述了一个初步的主题列表，我希望这些主题能够反映在乐器的图像中，并为每个类别提供了具体的示例：1。应用/适用性说明2。当代时尚或宗教设计/主题（或装饰品）、纹章符号3。与数学科学有关的插图（例如自由艺术、四维、天文学家、人格化等）4。合法化战略4.1。神话和传说4.2。传统的发明/构建4.3。自我塑造5。关于世界体系的辩论6。插图是在印刷材料上绘制的。当然，图像学通常不一定只限于一个类别，但由于我在演讲中没有深入分析特定的工具，所以只需专注于特定的方面。值得注意的是，作为赞助艺术品的乐器本身就是一个类别，贯穿于上述所有类别。显然，这个项目提出了许多我几乎没有触及的问题。一个很基本：如何找到与项目相关的材料？虽然数据库和印刷目录大有帮助，但更系统的调查将涉及相当多的旅行。此外，还有一个问题是如何找到方法来理解和分析协作过程的作用，例如设计师和工匠之间、潜在赞助人和设计师之间等，以掌握特定图像学更具挑战性的方面。工具书类 [11] A.Borrelli，M.Korey，V.R.Remmert（编辑），特刊：科学仪器图标学，Nuncius。《材料与视觉科学史杂志》30（2015），1-194。 [12] V.R.Remmert，《描绘科学革命：早期现代科学出版物中的标题雕刻》，费城：圣约瑟夫大学出版社，2011年。 [13] V.R.Remmert，《在16世纪和17世纪的数学科学中创造传统：亚伯拉罕作为算术和天文学教师》，《数学智能者》37（3）（2015），55-59。3482Oberwolfach报告58/2017理想体现：1820-1950年美国数学仪器的模型佩吉·奥尔德里奇·基德威尔小说社会、数学和技术理想长期以来都体现在对象中。在美国，这些包括新教学方法的原型、提交给专利局的模型、早期生产的机器模型以及独一无二的计算机。四个装置说明了数学理想的这种体现。第一种是由法国教育家威廉·S·菲奎波尔（William S.Phiquepal）带到美国的一种早期数字框架，19世纪20年代在印第安纳州的新和谐镇（New Harmony）教幼儿。第二个是马萨诸塞州沃尔瑟姆市部长托马斯·希尔提交给美国专利局的1857年加法机模型。第三种是由工程师乔治·格兰特（George B.Grant）于19世纪70年代设计的计算机器的早期生产模型。最后，二十世纪中叶的ASCC Mark I计算机提出了数学家和计算先驱格雷斯·穆雷·霍珀（Grace Murray Hopper）的创新。这些物体说明了美国数学教育的转变。《新和声》中使用的数字框架是将算术教学引入北部各州乃至全国幼儿普通教育的一部分。希尔不仅为儿童编写教科书，并担任奥伯林学院（Oberlin College）和哈佛大学（Harvard University）校长，还鼓励发展包括数学等主要学科专业化的本科教育。格兰特就读于哈佛大学设立的一所特殊学校，该学校旨在培训科学、数学和实践学科的工程师。最后，霍珀获得了博士学位。耶鲁大学数学系。在美国开始研究生工作后，她做了大量工作，是一群美国数学家中的一员，他们有足够的专业知识来塑造早期计算机的编程。这些物体还表明数学工具在美国社会中的地位正在发生变化。算盘教学是为了响应几位法国和英国作家的佩斯塔洛齐理想而发展起来的。数学家庞塞雷特（Poncelet）将一个俄罗斯算盘带到了法国，在拿破仑战争期间，庞塞莱特（Ponselet）作为囚犯遇到了它。改革者菲奎帕尔在苏格兰慈善家威廉·麦克卢尔（William Maclure）的帮助下，将其带到了费城，然后又带到了印第安纳州的新和谐社区。菲奎帕尔很快就会放弃教学，返回欧洲，但几家美国公司开始为学校生产算盘和其他廉价的教学设备[3]。托马斯·希尔（Thomas Hill）对数学仪器的兴趣也同样短暂，尽管在19世纪末，加入体现了他专利中某些想法的机器将成为常见的商业产品[2]。计算机器和与之相关的物体在格兰特的生活和事业中发挥了更大的作用。作为一名学生，格兰特被要求解决一个与土方工程和路堤有关的问题。他的解决方案需要建立巴贝奇所谓的差异引擎。格兰特创造了一个不同的引擎——它在费城举行的1876年百年博览会上展出。材料人工制品和理想机器之间的数学仪器3483他还开始制造小型、廉价的计算设备。格兰特在1876年（见图1）和1893年芝加哥哥伦比亚博览会上都展出了计算机。他一生都在不断改进它们——没有一个能在商业上取得成功。为了制造这些仪器，格兰特需要精确的齿轮。为了生产它们，他创办了几家成功的齿轮厂。他还撰写了一篇关于齿轮理论的标准论文，并获得了与齿轮制造相关的专利。标准齿轮将是美国计算机行业发展的核心。此外，由格兰特创立的一家公司的齿轮将被纳入其他计算设备中，如20世纪20年代麻省理工学院的Vannevar Bush建造的微分分析仪[4]。图1.乔治·格兰特（George B.Grant）的桶型计算机，罗伯特·奥特斯（Robert K.Otnes）的礼物，史密森尼负数AHB2016q012589同样，霍珀参与ASCC Mark I计算机也改变了她的职业生涯和数学工具。在获得博士学位后。，霍珀在瓦萨学院教数学。当美国在第二次世界大战中参战时，她离开了那里，加入了美国海军，并被派往哈佛大学，担任Mark I的程序员。她最长期的战时项目是贝塞尔函数值表的计算、打印和发布。相关的说明和编程磁带保存在她的论文中[1]。电脑占据了霍珀的余生。第二次世界大战后，她在哈佛大学做了一名文职人员，然后在美国第一家商用电子计算机制造商Eckert-Mauchly计算机公司担任“数学家”。她因与编辑者合作而被人铭记；她开发的编程语言FLOW-MATIC比其前身更接近口语；以及她对后来基于英语的商业语言COBOL的支持。越南战争期间，美国海军再次欢迎女性加入。霍珀再次入伍，致力于撰写3484份奥伯沃法赫报告（58/2017），致力于信息技术的军事用途，并一直在海军服役，直到79岁退休。Phiquepal、Hill、Grant和Hopper的作品展示了新想法、新种类的物体和实际商业产品之间的持续互动。数学方面的关注点从算术到贝塞尔函数。教育、宗教、移民、工业化和战争等社会力量塑造了这些提议的工具。有些想法在长寿中只起了很小的作用，而其他想法则被证明是革命性的。事实证明，这些关于新仪器、新组件和使用旧仪器的新方法的愿景产生了持久的影响。总之，对新型仪器及其设计者的仔细研究为数学和计算历史学家提供了丰厚的回报。工具书类 [14] J.Green，J.LaDuke，《美国数学先驱女性：20世纪40年代前的博士》，普罗维登斯（RI）：美国数学学会，2009年，特别是205-206年·Zbl 1180.01002号 [15] P.A.Kidwell，Thomas Hill：部长、知识分子和发明家，Rittenhouse 12（4）（1998），111-119。 [16] P.A.Kidwell、A.Ackerberg-Castings、D.Lindsay Roberts，《美国数学教学工具》，1800-2000年，巴尔的摩：约翰霍普金斯大学出版社，2008年，特别是87-104年·Zbl 1156.00011号 [17] R.Otnes，George B.Grant的《计算器》，Historische Browelt 19（1987），15-17。16世纪透视绘图工具：类型、目标、地位、位置，使用珍妮·佩伊弗（Jeanne Peiffer）。虽然大多数关于透视的研究都包括仪器，并涉及问题的许多方面，但对早期现代透视工具的系统和全面的研究并不存在（例如，见[7]、[1]）。这些绘画设备中只有少数幸存下来并在博物馆展出。它们主要通过透视论文中的描述、图纸、雕刻或根据古代论文中的说明用现代材料制作的副本而闻名。在我的论文中，我遵循了一条发明路线，这是一个起源于阿尔布雷希特·德鲁尔（Albrecht D¨urer）的德国传统，由他的纽伦堡追随者所追求，并在一个世纪后经由意大利传到法国。在他的Undereysung der messung[4]中，Albrecht D¨urer包括四幅著名的透视乐器雕刻。他依赖于阿尔伯塔省的透视画法模型（如阿尔伯蒂的《De pictura》，1435年所述），物体的图像被定义为视觉金字塔的交叉点，其顶点是眼点，而其底部是要表现的物体。D¨urer的四个装置中的每一个都被描述过：D¨ure r的网格（裸体肖像，1538年）、他的玻璃（坐着的男人肖像，1525年）、窗户（琵琶画家，1525）和1538年由雅各布·凯泽（Jacob Kayser）设计的机器。已经讨论了Dürer窗口的功能；由于它的使用需要一定的技巧，而且相当耗时，因此它似乎更像是一种演示设备，而不是一种工作工具。D¨urer的一些追随者，如Hans Lencker或Wentzel Jamnitzer，在材料人工制品和理想机器之间使用数学工具3485发明了他们自己的透视工具，详细阐述了D¨ure r的一些想法[6]。在世纪之交，保罗·普芬齐[9]和约翰·福尔哈伯[5]（在较小程度上）建立了德国传统的透视仪器，从D¨urer开始（尽管这并不完全正确，因为莱昂纳多·达芬奇已经设计了一种类似于D¨ure r在大西洋法典中的窗口的设备）。Pfinzing对D¨urer的窗户，以及金匠温泽尔·贾姆尼泽（Wentzel Jamnitzer）和音乐家汉斯·海登（Hans Haiden）在纽伦堡建造的设备，给出了自己的解释。他声称曾看到詹尼泽的乐器被安装在他家的一个房间里，并制作了代表这些乐器的美丽但有些奇怪的雕刻品。图1.“Wentzel Jamnitzer Goldschmidt von N¨urmberg/Anno 1568。阿尔布雷赫特D¨urers Perspectivev mit der Saiten and Tag/mit der verbesserung:The statt de Rohms/und derselben darein gehefften Schn¨urlein oder F¨aden/und auch an statt de Steffts/richt er zwey lange Instrument/so man schieben und rucken kan/auff/damit er allein ohne hilff anderer Leuth arbeiteen kan“（[9]，fol。9/10, http://digital.bib-bvb.d（数字）e/publish/viewer/43/162690.html）3486Oberwolfach报告58/2017在报告中，我们仔细描述了发生的变化、变体和拨款，不仅在文书的概念上，而且在其表述上。因此，人类操作员从Pfinzing对D¨urer窗口的描述中消失了，琵琶被一架飞机取代。如Pfinzing所示，在Jamnitzer的版本中，窗框被一个移动别针取代。虽然D¨urer的设备被放置在家庭环境中，但后来根据德国传统制造的设备变得便携，并且距离眼睛的距离或图像平面与物体之间的距离等参数变得可变。正如Filippo Camerota[3]所示，Jamnitzer的乐器是Düurer窗户的变体，通过Jost Amman的木刻流传开来，并落入了画家兼伽利略的朋友Lodovico Cigoli手中，他复制了这件乐器，并设计了自己的版本，略有不同约1613年，由菲利波·卡梅罗塔编辑，保存在柏林、伦敦和威廉斯堡的图纸中）。齐戈里的乐器通过JeanFranöcois Niceron的Thaumaturgus opticus[8]在欧洲广为人知，他曾在法国宫廷高级官员路易斯·赫塞林（Louis Hesselin）的收藏中见过齐戈里乐器。根据卡梅罗塔[3]的说法，这件乐器可能是由大公爵费迪南多二世（Ferdinando II dei Medici）赠送给赫塞林的，齐戈里的侄子曾向他捐赠过“Prospettiva pratica”（可能与这件乐器一起捐赠）。因此，透视仪器的发明逐渐成为艺术家追求的智力威望目标；从家用到在著名的收藏品中展出。请注意，这些设备获得的所有透视图表示都是逐点构造的。有些用于绘制物理对象，有些仅需要对象的平面图和立面图。后两个平面的参与使我们能够将这些透视装置描述为数学形式。透视仪器的使用问题仍然悬而未决，需要进一步收集证据。工具书类 [18] 安徒生，《艺术的几何》，《透视数学理论的历史，从阿尔贝蒂到蒙日》，纽约：施普林格出版社，2007年·Zbl 1143.01001号 [19] F.Camerota，《伽利略时代的线性透视》。Lodovico Cigoli的Prospettiva pratica，费伦泽：奥尔斯基，2010年。 [20] F.Camerota，Il prospettografo del Cigoli tra pratica dell’arte e collezionismo scientifico，Paragone 64，3aseria，no108（2013），3-29。 [21] A.D¨urer，Undereysung der messung。。。，N¨urnberg，1525年；第二版N¨urnberg，1538年。 [22] J.Faulhaber，《新几何与Perspektivische发明》，法兰克福，1610年。 [23] S.Hauschke，Albrecht D¨urers Perspektivtische und ihre Nachfolger，16岁。Jahrhundert，D¨urer-Forschungen 2（2009），173-187。 [24] M.Kemp，《艺术科学：西方艺术中的光学主题》，从布鲁内莱斯基到修拉，纽黑文和伦敦：耶鲁大学出版社，1990年。 [25] J.-F.Niceron，托马图古斯·opticus，巴黎，1646年。 [26] P.Pfinzing Ein sch¨oner kurtzer《几何和透视的提取》，N¨urnberg，1599年。介于材料工件和理想机器之间的数学仪器3487透视画工件：从画家工作室到数学教室Maria G.Bartolini Bussi 1。导言。Oberwolfach演讲的目的是在摩德纳和雷吉奥·艾米利亚大学（UNIMORE）展示被称为Perspectiva Artificialis（简称透视仪）的透视人工制品。该系列是更大的数学机器集合的一部分，其中还包括曲线绘制设备、几何变换受电弓和用于解决问题的仪器：整个集合是由Associazione Macchine Matematiche根据历史资料设计和建造的，一个非盈利性的学校教师协会，这些教师过去和现在都在使用它们进行教学和普及。这项持续几十年的重建项目要求很高，其基本原理是让学生和游客能够处理这些项目，以获得适当的数学和历史意义。本报告与米歇拉·马斯切托（Michela Maschietto）撰写的报告相关联。2.该系列的简短历史。1992年，UNIMORE[3]首次公开展出数学机器集。当时，该系列包含数十种用于几何变换的曲线绘制设备和受电弓。后来开始收集透视图：现在它包含了40多件艺术品，包括画家绘制透视图的工具、变形、阴影模型和一些基本定理的动态表示（例如Stevin定理、De la Hire关于圆到抛物线的同调变换的定理）除此之外，D¨urer（1525）和Barozzi&Danti（1682）设计的所有乐器都已按实际尺寸进行了重建。已经实现了几次纸质或数字目录的公开展览。此外，还有一小部分盲人仪器（手指上的几何图形），其中许多标准透视图中使用的有机玻璃平面被金属丝网平面取代（以便用手指穿过平面进行触觉探索），光线由可以感觉到的粗线表示[7]。3.透视图在西方知识史上的作用。透视图是Oberwolfach研讨会简介中描述的这些仪器的典型示例。下文概述了一些问题。3.1、。消失点的成因。透视图最初是为了实用而创建的，用于画家的工作室，目的是支持世界幻觉图像的制作。它们还用于军事艺术和建筑的早期技术绘图实践。它们体现了从一点投影的数学模型，代表画家的眼睛（一只眼睛）。3488Oberwolfach报告58/2017 3.2。透视作为一种符号形式。透视的发展，甚至在其完全数学化之前，就与视觉的数学模型和无限均匀空间理论紧密交织在一起，它们不同于古代的理论，是现代对空间态度的基础。从这个意义上说，在卡西尔之后，透视可以被假定为一种“符号形式”，或“一种具体的可感知符号，与一种特殊的精神内容相联系，并与之密切相关”，如帕诺夫斯基所定义的（[5]，第50页）。正是对中心视角的选择（一种独特的西方选择）引发了对世界的全面展望，这也是我们现代性的特征。帕诺夫斯基（Panofsky）证明，即使是文艺复兴时期的数学透视系统，布鲁内莱斯基（Brunelleschi）和阿尔贝蒂（Alberti）的人造透视（perspectiva artificialis）（被其发明人视为描绘三维空间的普遍有效方法），经过仔细观察，也不符合我们的视觉现实，尽管在五个世纪（1400-1900年，广义上）期间，它被接受为这样。3.3. 透视与Desargues的隐喻思维。透视和透视绘图工具的功能对西方思想史有另一个重要影响：射影几何的起源。Desargues对射影几何基础的贡献经常与笛卡尔的几何风格相比较。17世纪，可以说，几何感知被分离为两种相对不同的几何形式，形成了两种不同的几何风格。其中之一是笛卡尔（1596-1650）的作品：机械度量活动的几何学。笛卡尔几何中的直线对应于旋转轴或测量杆的刚度。另一种几何风格在Desargues（1591-1661）的作品中有所体现。Desarguesian几何的直线是光线或视线。它是一种几何学，除其他外，透视绘画也是基于此。在数学机器的集合中，这两种风格都由笛卡尔几何的曲线绘制设备和德斯arguesian几何的透视图表示。4.正规和非正规教育中的透视图。透视图的收藏透视图人工有可能开始讨论几个问题，从透视图的实际使用到投影几何的起源，再到文艺复兴时期的欧洲知识史。焦点的选择和讨论的深度取决于观众之前的教育。透视图可以用于学校和大学的正规教育，具有更具体的数学目的。我们的数学教学论研究小组在不同学校水平上进行了多次教学实验。在演讲中，我介绍了我们小学实验的一些结果（[1]、[2]、[4]）。图1显示了一名三年级学生使用纸板透视仪绘制棋盘（左）和结果（中）[6]，以及中学生探索材料制品和理想机器之间的数学工具3489 D¨urer’s玻璃（右），以掌握“发现”或“发明”透视表示的数学规则1[7]。图1：用透视图（左）画一些基本点，打开后画线（中）。用激光透视图（右）展览2探索透视图是西方文化通史中普及（或非正式教育）数学遗产的案例。透视画法在欧洲文化认同发展中所起的作用，使这些艺术品成为不同从业者、理论家和教育工作者群体之间的十字路口上的好例子。5.确认。几位同事、老师和学生共同合作，构建、丰富、使用和传播了透视照片集：米歇拉·马斯切托（Michela Maschietto）、马塞洛·佩戈拉（Marcello Pergola）、马可·图里尼（Marco Turrini）、卡拉·萨诺利（Carla Zanoli）、安娜丽莎·马丁内斯（Annalisa Martinez）、西蒙·班切利（Simone Banchelli）、弗朗卡·费里（Franca Ferri）、罗伯塔·穆纳里尼（Roberta Munarini）、玛格丽。工具书类 [27] M.G.Bartolini Bussi，《小学数学讨论和透视图》，《数学教育研究》31（1996），11-41， [28] M.G.Bartolini Bussi，M.A.Mariotti，F.Ferri，小学中的符号中介：Dürer's glass，in：活动与符号。基础数学教育，H.Hoffmann，J.Lenhard，F.Seeger（编辑），77-90，纽约：施普林格，2005。 [29] M.G.Bartolini Bussi、M.Maschietto、Macchine matematiche。Dalla storia alla scuola，米兰：斯普林格出版社，2006年·Zbl 1104.00012号 [30] M.Maschietto和M.Bartolini。《使用人工制品：构建视觉金字塔的数学意义中的手势、图画和言语》，《数学教育研究》第70期（2009年），第143-157页。 [31] E.Panofsky，La prospettiva come“forma simbolica”E altri scritti，米兰：费特里内利，1961年。1http://www.macchinematematiche.org/index.php？option=com_content&view=article&id=166&Itemid=253&lang=en 2http://www.mmlab.unimore.it/site/home/visite-e-mostre/mostre.html3490Oberwolfach报告58/2017 [32] M.Rosi，《运动中的Prospettiva:Una ricerca experimenta sull’introduzione al disegno prospettico in Una terza primaria》，莫德纳和雷吉奥·埃米利亚大学硕士论文，2016年。https://morethesis.unimore.it/thesses/available/etd-05262016-183758/ [33] M.Maschietto，M.Turrini，《数学机器实验室：学生展览、教育研究和会议》，教育7（3），47-52。http://www.macchinemat网站ematiche.org/images/pubblicazioni/articolo [34] M.G.Bartolini Bussi、M.Maschietto、Macchine matematiche。Dalla storia alla scuola，米兰：斯普林格出版社，2006年·Zbl 1104.00012号 [35] N.Delaunay，Sur quelques nouveaux m´ecanismes:投影仪，椭圆图，椭圆dographe et hyperolographe，《科学数学公报》19（1895），240-245。 [36] R.笛卡尔（R.Descartes），《格言》（La G’eom’etrie），附录au Discours de La m’ethode，莱德：伊恩·梅尔（Ian Maire），1637年。 [37] G.Koenigs，Leöcons de cin’ematique教授，巴黎索邦：赫尔曼，1897年。 [38] M.Maschietto，L.Trouche，《从理论、历史和实践角度看数学学习和工具：数学实验室的生产理念》，ZDM数学教育42（2010），33-47。 [39] M.Maschietto，M.Turrini，《数学机器实验室：学生展览、教育研究和会议》，教育7（3）（2017），47-52。 [40] M.Pergola，C.Zanoli，A.Martinez，M.Turrini，《材料模型：平行四边形、反平行四边形和三角三角形》，Progetto Alice III（8）（2002），323-346。 [41] C.Scheiner，受电弓，seu ars delineandi，Roma:Ludouici Grignani，1631年（G.Troili意大利语翻译，La Prattica del parallelogramme da disegnare，Bologna：贾科莫·蒙蒂，1653年）。平衡太阳：文艺复兴时期塞缪尔·盖斯纳（Samuel Gessner）、迈克尔·科里（Michael Korey，我们地球上的观测者可以辨认出几个天体，它们似乎在“固定”恒星的背景场中有额外的运动。这是两个发光体（太阳和月亮）和五个裸眼行星（水星、金星、火星、木星和土星）。这七个经典“行星”的额外运动，正如他们通常所说的那样，对每一个都是适当的，而且是奇妙的。从我们在地球上的有利位置来看，每一颗恒星似乎都以不同的速度相对于恒星漂移，有时会更快或更慢，甚至偶尔会倒退（除了明亮的恒星）。然而，他们的动作显示出一定的规律性，巴比伦观察家在公元前第二个千年就已经试图确定这一点。最终，克劳迪乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy）在亚历山大（Alexandria）（第二分之一行政长官）开发的行星理论提供了一份3494号《奥伯沃夫巴赫报告》（Oberwolfach Report）（58/2017），该报告取得了令人印象深刻的成功，其中包括实际参数，并将各种均匀圆周运动与适当的偏移和偏心相结合，预测行星的观测位置[1]。这一理论受到了历代数学家和天文学家的接受和完善。对于大多数人来说，几何模型是计算表格和编写使用指南的基础。作为这些“数字”表的替代品，至少自11世纪以来，一类被称为赤道的专门模拟数学仪器出现了，作为图形计算的一种方法，它基于适当间距、缩放和可旋转的圆盘，允许直接从刻度盘上读取结果。一些赤道成功地将几何模型的表示与获得行星坐标值所需的计算意义结合起来。到15世纪末，弹簧驱动的、因此紧凑的（与重量驱动的相比）钟表机构的发展取得了相当大的进展。这与王室圈子里流行的拥有齿轮式或钟表驱动式赤道的时尚不谋而合。一些对占星术和/或天文学感兴趣的贵族委托或购买了这种行星钟，包括洛伦佐·梅迪奇（制造商沃尔帕亚）、哈布斯堡皇帝查理五世（托里安尼，荷马利厄斯）、，勃兰登堡红衣主教阿尔布雷希特（制造商不详）、洛林红衣主教查理斯（芬恩）、帕拉丁国选帝侯奥特海因里希（伊姆瑟）、海森-卡塞尔的兰德格雷夫·威廉四世和萨克森的选帝侯八月一世（后者均由巴尔德韦恩创作）[2]。虽然托勒密的行星理论是一个共同的参考，但实际建造的设备在寻求实质上重现该理论时，表现出了不同的机械解决方案。值得注意的是，即使只考虑托勒密的太阳模型，四个幸存的16世纪行星自动机也显示了三种不同的实现太阳异常的方法，即太阳在一年中沿黄道的不均匀速度。现存最古老的机器（巴黎）使用偏心齿轮的匀速运动。另一个（维也纳）包含一个周转车，以角速度定位和转动，以便在几何上与第一种情况等效，利用了阿波罗纽斯（Apollonius）在第三分之一中已经展示的等效原理。并在托勒密的论文中得到证实。另一方面，在黑森（现位于卡塞尔和德累斯顿）制造的两台机器使用了一个带非均匀间距齿的中心圆齿轮。这种方法上的差异在二次文献中没有得到明确强调，分歧似乎也没有被认为是一个需要解释的历史问题。在持有这些宏伟机器的四家机构的支持下，我们已开始进行仔细的现场调查，包括测量传动装置，目的是确定其机构中内置的行星参数。我们建议，所使用的各种方法证明了对这种机械化数学模型应该实现什么的不同期望。同时，我们建议这是这些钟的制造商和专员可用或首选的数学工具的表达（例如，几何推理与表格和数字的操作）。材料制品和理想机械之间的数学工具3495。从某种意义上说，这些不同的机械方法反映了对托勒密理论数百年来的接受和完善的进一步（机械）贡献。工具书类 [42] J.Evans，《古代天文学的历史与实践》，纽约/牛津：牛津大学出版社，1998年。 [43] E.Poulle，Les instruments de la th’eorie des plan“etes selon Ptol’em’ee:‘equatoires et horlogerie plan’etaire du XIIIeau XVIesi’ecle，日内瓦：Droz，1980年。演员、交流场所和数学知识：19世纪至20世纪，法国经度局（Bureau des longituals，France）的计时表玛蒂娜·斯齐亚文（Martina Schiavon）直到1854年，观测恒星凌日的标准方法取决于将观测到的图像在千分尺导线上的运动与标准时钟的可听声音相协调：这就是“眼耳法”。方便的是，电动桶式计时器（或印刷计时器）只需要按下一个电流按钮，就可以在纸带上自动记录观察结果。该仪器引入了一种新的计时制度，由初级观察员进行警惕监视，为了准确起见，需要了解每个人的“个人方程式”，该术语用于表示该人的典型反应时间，或对其进行的修正[5]。1845年左右，计时器在美国诞生，最初被转移到英国，在那里取得了前所未有的成功；随后，几乎所有欧洲天文台都能发现它。然而，一个显著的例外是法国，在那里直到20世纪初才在天文台使用计时器[4]。在这份报告中，我的主要目的是介绍一些新的、非同寻常的档案来源，这些来源现在是免费的，我认为在数学（和精密）仪器的历史上很重要：法国经度局的会议记录（1795-1932）[11]。关于计时码表，会议记录有助于我们评估19世纪下半叶法国是如何使用这种仪器的，不是天文学家，而是其他相关方，如海军和其他军官，以及精密仪器制造商。会议纪要帮助我们认识到，考虑那些在数学仪器开发中扮演“次要角色”的专业人员的参与是多么重要，而这一点常常被人们遗忘。除了将计时器定义为“数学工具”之外，我的另一个目的是考虑“数学数据”如何也成为一种“工具”，以提高精确度，更广泛地说，有助于社会管理。3496Oberwolfach报告58/2017法国经度局及其会议纪要：一些关键要素。法国经度局（Bureau des longitudes）创建于1795年，其名称可以简单地看作是英国经度委员会（1714年至1828年）的翻版。事实上，在法国，该局作为一个“小型学院”开展工作，并一直存在到今天[12]。显然，在其223年的历史中，经度局在保持其作为重要科学技术机构的声誉的同时，经历了许多变革。标题中“局”或“办公室”一词的由来与革命政府委托给它的专门知识和技术任务有关，即使“经度”一词中的复数毫无疑问不仅仅指技术问题的解决（即相对于固定子午线的海经度定义）而是所有相关的科学问题。还应该指出，该局是在一个历史时期（法国大革命）成立的，当时科学院受到压制。我们可以假设，该局是试图重建一所科学院，尽管其用途具有特殊性质，因为它与巴黎天文台和军事天文台有联系。与英国董事会不同的是，该局被构想为一个“小型科学大会”，并在实践中发挥作用。最初，该局只处理导航问题，后来涵盖了天文学、计量学、大地测量学、天体力学、地球科学以及最近的空间科学等许多科学分支及其应用；数学的地位过去很高，现在仍然很高。一旦被命名为国家仪器存放地，精密仪器的研究和开发在局内被认为是非常重要的，因此为艺术家或精密仪器制造商保留了一个位置；此外，从1854年起，海军和炮兵军官的职位都可用[8,9]。经度局的会议纪要（proc“es-verbaux）形成了一个非凡的档案，可以研究1795年至1932年期间的数学仪器，尤其是在国际竞争和竞争的背景下。会议纪要的主要作者（打印自20世纪初）致主席团监护部长（其成员为官员）的是秘书。会议纪要详细介绍了科学和行政讨论、来往信件以及新成员的选举。它们还包括将在该局出版物中审查的主题：从1795年起的《温度公约》和《经度局年鉴》；还有1877年至1949年经度局年鉴。1795-1932年期间，会议记录包括约22000份文件；这些包括未经编辑的信件、从委员处收到或由委员撰写的科学和技术论文，以及在可能出版之前提交主席团审议的预备研究报告。会议记录还提供了该局在法国和国外组织的科学考察的信息。赫夫·费伊（Herv´e Faye）的话清楚地表明了它们的丰富性：“只要从我们的会议记录（经度局）中写下关于地球物理、光学、磁学、电学、测温学、测量学的预计或已完成应用的讨论摘要，就会有一整部伟大的科学篇章”[3]。材料人工制品和理想机械之间的数学仪器3497会议记录现在在线于网站“经度局的记录（1795-1932）：un patrimoine num´eris´e”[11]，在那里可以研究原始手稿的整个转录。在搜索单词“chronograph”时，我们找到118处。第一份是1867年10月23日的会议纪要，我们在纪要中看到，主席团收到了“M.Fleuriais的一个计时器的描述和数字”，以及一个“标有小标签的包裹：计时器记录”。最后一个例子出现在1932年4月13日，经度局同意将巴黎天文台的计时器借给尼斯天文台。探索计时器作为数学工具的使用。让我们考虑一下1867-1888年经度局分钟内“计时器”一词出现的位置（上限是巴黎天文台台长穆切斯上将将计时器引入子午线天文台服务的年份）。我们已经注意到，在法国，直到19世纪末，天文学家才使用这种仪器[4]。然而，会议纪要显示，它主要用于水文工程和大地测量等其他专业（更普遍的是由炮兵）。海军军官使用印刷的计时器，从纸带上的图形来研究计时器的运行；另一方面，当炮兵在观察光信号时需要知道个人方程时，他们将其用于测地线三角测量[6，第1-2-3章]。在探究会议记录时，关于纸质计时器（或任何其他数学仪器，如重复圆圈）的讨论向我们展示了天文学家或数学家通常是如何与海军和炮兵军官以及精密仪器制造商合作的，因此，至少在19世纪下半叶，工具研究和创新源于这些专业之间的紧密合作。这种研究数学仪器的方式的成功也显而易见，因为该局通常任命军官（而不是真正的纯粹的数学家）来合作、测试和控制艺术家的技术工作。在经度局内部，理论和实践是不可分割的，因此共同进步。例如，伟大的数学家，如亨利·庞加莱，从未单独工作过，作为主席团的一员，他与官员和精密仪器制造商合作[10]。利用经度局的记录，纸带计时器（和其他数学仪器）可以作为档案文件进行研究，因为可以研究材料、文学甚至社会技术，这些技术不可避免地在仪器研究中发挥作用：从概念到使用，记录每个参与者的讨论（及其在局内的地位）、测试、改编、现场实验、重新改编和校准，以及流通、转让和与外国仪器的竞争。此外，将计时器与其所有用户联系起来，并与19世纪后半叶的精度改进相结合，我们发现仪器产生的数学数据如何对国家的发展也至关重要。例如，大地测量是第58/2017号3498号Oberwolfach报告的第一步，它是测量和绘制精确地图的第一步。精确地图不仅对陆军至关重要，而且对公共交通（即铁路网）的发展也至关重要。尽管目前的观点是，仪器只不过是“支持理论发展或直觉方法”，有助于科学推理[2，第26页]，但在几分钟内，我们可以研究仪器和数学的共同发展，并发现计时器反过来也起到了作用，发展数学的新分支。也许最好的例子之一是在第一次世界大战期间，使用纸带登记对敌人的枪支进行声音检测。在这里，计时器可以非常准确地区分火炮的弹道波和炮口波。它被用来校正地图和发现数学中的新关系。地面调查和声音传播性质的研究有利于。它有助于从数学分析的角度进行推理，这在数学研究中产生了非常重要的变化。最后但并非最不重要的是，为了研究和发展弹道学，计时器与超高速电影摄影有关（[1]，[6，第6-7章]，[7]）。总之，经度局的会议记录使我们能够对工具研究采取长期甚至“连贯的历史方法”。主席团成员的讨论有助于我们理解工具研究所涉及的谈判：成员们说服或劝阻法国科学界使用新数学工具的方式，以及更广泛地说，他们如何让历史学家在上下文中重建，我称之为，博览会。在不忘实践的情况下，博览会将我们的注意力集中在该局所有员工——科学家、军官和仪器制造商——为发展科学（尤其是数学）而集体互动的方式上。工具书类 [44] D.Aubin、C.Goldstein（编辑），《枪战与数学》。《第一次世界大战前后法国及其西方盟国的数学实践和社区》，普罗维登斯：美国数学学会，2014年·Zbl 1300.01008号 [45] G.Bachelard，《非哲学》，巴黎：PUF，1940年。 [46] H.Faye，Sur la situation actuelle du Bureau des longitues，Comptes rendus hebdomadaires des s’eances de l'CAD’emie des sciences《经度局形势报告》75（1872），1721-1729。 [47] J.Lamy，F.Soulu，L’’emergence contrrie ee du chronographe imprimart dans les observatoires franácais（图19e–d’ebut 20es），《科学年鉴》72（2015），75-98。 [48] S.Schaffer，《天文学家标记时间：学科和个人方程式》，《情境中的科学2》（1988年），第115-145页。 [49] M.Schiavon，《Itin’eraires de la pr’decision》。G´eod´esiens，炮兵、学者和制造商，法国仪器决策，1870-1930年，南希：PUN，洛林大学出版社，2014年。 [50] M.Schiavon，《光遥测：第一次世界大战中的声响技术》，Lettera Matematica国际版，2015年，第27-41页·Zbl 1432.01064号 [51] M.Schiavon，《经度局：一项机构研究》，载于：欧洲及其帝国的航海企业，1730-1850年，R.Dunn，R.Higgitt（编辑），汉普郡：Palgrave Macmillan，2015年。 [52] M.Schiavon，L.Rollet（编辑），《经度局的历史》（1795-1932），南希：《洛林大学出版社》，2017年。材料制品和理想机械之间的数学工具3499 [53] M.Schiavon，D´ecouvrir le Bureau des longigues（1795-1932），institution M´econue，‘a travers les proc'es-veraux des s´eances，la g´eod´esie et Henri Poincar´e，将于（2018年）出版于：葡萄牙马特马蒂马蒂卡历史学报。 [54] http://bdl.ahp-numerique.fr/ [55] https://www.bureau-des-longitudes.fr/衡量商品，或比率和比例的早期现代“算术化”的社会起源Antoni Malet众所周知，比率在古典、中世纪和早期现代数学中至关重要。今天我们用函数和代数公式表示的关系是用比例或等比表示的。例如，这就是伽利略在《迪斯科》中的语言，他在其中开始了运动科学的数学化。他特别使用了欧几里得在《元素》第五卷中对比例的著名定义，直到17世纪，每个人都认为这个定义是模糊的。今天，我们将比率理解为通过商数测量的幅度之间的定量关系。向商的转换通常被称为比率的“算术化”。要将长度、表面、时间等转换为数字，必须对其进行测量。但是，如果没有比率和比例的定义，就无法测量震级，因为例如，直线段的长度是整个线段与选定为单位的任何线段之间的比率。所以我们绕了一个圈子：如果你想避免欧几里德的定义，用除法定义比率，那么就要测量量级，但如果你想测量量级，那么就先定义比率。在17世纪，比率是通过除法定义的，而量值的测量需要比率的概念，这一争论是循环的。16世纪和17世纪的大多数数学家选择忽略循环，这是一个历史事实。当一些数学家表明，除了《元素》之外，没有令人信服的比例定义时，他们的警告被驳回了。这令人费解，因为内部一致性对数学至关重要。回到伽利略，欧几里德的等倍定义在《论语》中发挥了重要作用，其结果可能写于17世纪第一个十年，并于1638年发表。伽利略的案例表明，到17世纪初，欧几里德的定义是数学和数学化的基本工具。然而，到1700年，欧几里德的定义已经消失了。自然哲学家当然忽视了它们，只有少数数学家支持它们。如上所述，计量的理论问题是“算术”比率争论的中心，因此值得进一步考虑。测量在近代早期的欧洲无处不在。最著名的测量仪器是华丽、精致和昂贵的。它们暗示了一种王室背景或宫廷背景，并被天文学、战争艺术、航海和建筑领域的专业从业者所使用。然而，数字测量是一种社会实践，《奥伯沃夫巴赫报告58/2017》（3500Oberwolfach Report 58/2017）是早期现代欧洲社会日常生活的核心，它与城镇居民尤其相关。正如1585年一本实用几何学书籍所说，“Mesurer[une longueur]est cognister combien la ligne droite d'entre les extremitez d'icelle longuueur contient de mesures famuses et vulgaires”[2，f.1v]。从字面上看，数百本早期现代实用几何书籍将这种测量思想与进行实际测量的特定方法联系在一起。测量被定义为基于无问题理论的无问题实践。测量一个数量级相当于计算一个单位（“mesure famuse et vulgaire”）包含的次数。为了获得更高的精度，可以计算剩余的单位包含多少个子单位，以此类推。因为所有这些都是关于测量材料的数量，然后为其付款，所以实际测量总是以数字结束。大多数实用几何学理所当然地认为，一般来说，几何连续震级是可以测量的，因此它们隐含地假设存在算术连续统。在一些作者中，我们发现这一说法很明确，如P.A.Cattaldi：“scienze matematiche intendiamo quelle che considerano la quantit’A In astratto，……[la Geometria]considera la[quantit'A]continua，che si conosce con la misura”[1，P.[1]。相关的是，算术连续体仅在19世纪引入。早期现代对算术连续统的隐含假设在当代数学中没有任何基础。本文认为，早期现代数学中对比率的“算术”理解的数学/理论地位的变化，以及对算术连续体默示概念的强化信念，反映了早期现代社会测量实践的社会地位的变化。为了探究后者，我们将重点放在16世纪出现的专门测量特定商品的专业人士身上，从而成为日常生活的组成部分。在整个欧洲，他们吸引了数千名具有不同程度技术专长的人员。作为早期现代社会经济生活（以及更多）的监管者，计量职业往往是政治权威的体现。以下示例将使这些观点更加清晰。我将重点介绍16世纪和17世纪的法国，但一切都表明，那里发生的一切表明了西欧的总体趋势。巴黎总督是国王管理所有城镇事务的主要权力机构，对负责测量和计量特殊货物的官员机构拥有管辖权，这些官员称为“宣誓测量员”和“宣誓测量师”。“陪审员（宣誓）”一词指的是他们参加了一个公开仪式或签署了一份文件，以宣誓他们承诺严格遵守和执行行业的法律规定，并将他们确定为人数和报酬由皇家法令确定的官员。名单中包括谷物和面粉的“宣誓测量员”；宣誓的建筑大师；宣誓测量木炭的人；盐；大蒜、洋葱和干果；石灰；葡萄酒和烈酒；木材（用于燃料，而非木材）。这份清单远未穷尽，因为许多测量专业是由国王或其他当局组织并向其报告的。从1575年起，3501名宣誓的布料测量师（auneurs de toules）、羊毛布料测量师和测量师（arpenteurs）成为皇家垄断机构。一个有趣的案例是由宣誓桶计量员（jur’es jaugeurs）提供的。1550年，皇家法令设立了酒桶的“官方计量员”（jaugeurs d’office）。从1553年起，所有涉及木桶的商业交易都必须由国王的官方计量员进行计量。在伟大的改革家亨利四世（Henri IV）的领导下，官方计量员有权在每一家葡萄酒商的店铺中对所有船只进行“标记”（如检查所示），无论是满的还是空的。计量员负责向商人和制造商的echantillon或etalon分发带有官方标记的标准单位模型。桶制造商（吨位生产商）也在宣誓计量员的权限范围内，负责桶形（凸起）的平均容量、凸起或凸度，以及圆形底座和壁端之间的距离（颤音）。如果计量员发现木桶的规格、粗细和刺耳不合理，他们将被没收，并被罚款一吨。为了履行他们的义务，测量员有权进行探访或检查（见下文）。因此，陪审员的测量员是贸易中准确性和公平性的维护者，包括法律责任方面。1574年根据皇家法令成立的宣誓建筑大师负责调解建造者（建筑师、建筑大师、木匠）与订购和付款者之间的冲突。他们有权参观建筑工地；他们的主要乐器（称为toise）是一根杆子，上面有一个toise（6巴黎英尺）及其分支。据此，针对任何有争议的理由采取了措施。厕所的标准陈列在公众面前，靠着大教堂的主楼梯、堡垒和普列夫奥特的座位突出地固定在墙上。测量行业可以通过探视权进行强制，其当代来源定义为：“机构和公司的宣誓官员有权参观上述公司成员的房屋和车间，检查他们的标准度量衡、货物和作品，以便在出现欺诈、质量差或违反规定的情况下，由警察没收”[3，第3卷，第652列].司法判决提供了证据，证明测量人员使用（和滥用）探视权和警察强制力。所有类型的商人（散户、零售商或仅仅是中间商、利己主义者）都必须拥有并使用相应的陪审团测量员（1673年3月，鄂尔多斯）正确检查过的措施（标准具）。所有标准（标准具）都存放在Hˆotel de Ville；更明智的（用于测量葡萄酒、面粉和谷物）必须保存在宣誓盐分测量师协会（jur’es mesureurs de sel）（1672年12月，奥多南斯）。由于食盐是皇家垄断，宣誓食盐测量师的突出作用可能与法国大革命前加贝尔（gabelle）征收的巨大盐税有关。负责保管维勒酒店（Hˆotel de Ville）存放的金属标准具，并检查市场、地窖和车间中使用的木制计量器的准确性，是宣誓盐计量师的职责之一，必须由陪审团测量员对3502Berwolfach报告58/2017进行适当标记，以保证其测量正确。他们每年有权访问谷物、面粉和干粮零售商（Ordonnance 1672，ch.25）。陪审员成为认知价值观、数学知识、经济利益和政治权威之间的调解人。16世纪和17世纪的测量实践和惯例不仅在经济上产生了重大影响，而且得到了强有力的政治和象征性论据的支持。王室和地方当局制定的细则和规定规范了计量工作。计量人员自己也参与了国家和城镇的强制机构。测量标准和工具被指定并保存在象征性的相关建筑中。如上所述，在欧几里德、阿波罗纽斯和阿基米德的数学中，测量没有任何意义，因为在这些数学中，连续量的测量和比率的“算术”理解都无法定义。然而，当我们考虑到在早期现代社会中维持测量实践的社会和政治组织时，我们开始意识到，理论上的考虑，即使涉及数学上的一致性，也可能不足以站稳脚跟。似乎很难想象，这些实践背后的数学思想可以被忽视或掉以轻心，无论它们在理论上是否不一致。工具书类 [56] P.A.Cattaldi，Prima lettingone[…]nello studio di Perugia，博洛尼亚：Per Gio。罗西，1572年。 [57] J.Chauvet，La pratique universelle de geometrie[…]contentant l’e explaction de son Cosmometre&de tous instruments Geometriques，巴黎：亨利·蒂埃里，1585年。 [58] J.Savary des Bruslons，Dictionnaire universel de commerce，第3卷。，巴黎：J.Estienne，1723-1730年。机械积分的早期历史：前五十年，1814-1864年，约阿希姆·费舍尔狭义的机械积分，即用纯机械方法从理论上精确地确定定积分或不定积分，在200多年前才有了曙光；更准确地说是在1814年[1]。然而，它的历史还没有被写下来，尽管这个主题现在几乎已经结束了：理论以及仪器的发明和生产早就结束了；到目前为止，只有一家纯机械求积仪制造商仍然存在。本次演讲的目的是回顾机械集成的前半个世纪，特别是1854年至1864年这十年里，从一种独特的设备发展到大规模生产的过程。可能首先需要这种仪器的应用领域是面积测量，无论是在现实中还是在地图、绘图等上。在古代，简单的平面多边形图形有几种精确的结果：矩形、直角三角形、平行四边形、梯形和一般三角形；或者，材料制品和理想机械之间的数学工具3503，考虑已知π和/或将上下文扩大到曲线边界：圆、椭圆、抛物线、螺旋等。用方形网格覆盖（完全不规则边界）区域，计算正方形和估计正方形的部分是中世纪，或至少在现代早期众所周知的一种近似方法。另一种常见的近似方法是重叠相同宽度的条纹，累积条纹的平均长度，并将结果乘以宽度。只有在17世纪牛顿和莱布尼茨发明微分和积分之后，精确面积计算和（计算）定积分之间的密切联系才变得足够清楚。然而，几乎花了一个半世纪的时间，才实现了一种纯粹的机械解决方案，从理论上精确地确定任何不规则边界图形的面积。这是最令人惊讶的，因为许多积分学的主角，从牛顿和莱布尼茨开始，通过欧拉到拉格朗日和其他人，使用（主要是想象的）机械装置来说明和/或求解甚至复杂的微分方程。然而，对于最简单的微分方程y′=f（x），显然从来没有想到过一个可用的机械解。当约翰·马丁·赫尔曼（Johann Martin Hermann，1785-1841）于1814年首次构思出这样一种装置时，人们被它的机械简单性以及这种装置实际存在的事实所震惊。尽管没有出版，赫尔曼的装置现在无疑是第一个已知的理论上精确积分的仪器，能够精确测量任何不规则边界平面图形的面积。这个简单的装置仅使用三个机械元件：圆锥体、轮子和楔子，其自解释配置如下（见图1）。赫尔曼将其解释为一种连续乘法和累加装置（我们知道，连续乘法与累加不过是一种积分）。如果圆锥体转动dx，并且车轮与圆锥体的接触点距离顶点f（x），则车轮转动f（x”·dx。当它转动时，它不断累积微分转动，并且由于楔子可以在转动过程中改变接触点的位置，乘法因子f（x）也可以不断变化——我们有连续累加的连续乘法。因此，一个完美（理想）的赫尔曼仪器可以进行积分，从而精确测量面积！这显然是由于赫尔曼的健康问题；至少从1822年开始，他显然患有严重的高血压问题，因此后来无法担任测量员。然而，著名的仪器制造商乔治·莱森巴赫（1771-1826）和约瑟夫·利勃海尔（17671840），以及数学家、物理学家和天文学家约翰·乔治·索尔德纳（1776-1833）都知道赫尔曼的发明；据报道，至少Reichenbach和Soldner表示，他们从未相信这种发明是可能的。然而，当赫尔曼不能再这样做的时候，他们中没有一个人想过要从中做点什么。当然，不能排除3504年《奥伯沃夫巴赫报告》58/2017图1。赫尔曼的求积仪：手稿草图，1814/1815年，赫尔曼在某种程度上惹恼了其他人，这可能就是为什么向优秀工作模式的转变从未完成的原因。赫尔曼只有一个1817年制造的粗略原型，但仍能提供1/400的精确度；但这个原型肯定是在1848年报废的。1814-1824年间现存的求积仪数量只有一个。1824年，面积的机械计算情况发生了变化。蒂托·冈内拉（Tito Gonnella，1794-1867）提出了三种新机制的想法，或者至少在一种情况下，他一定考虑过一种新机制：a）双曲线+轮子，b）圆锥+轮子，以及c）圆盘+轮子。1825年[2]，他只出版了后者，但从1841年[3]随后出版的更全面的出版物中可以清楚地看出，他的第一个想法是基于（a），双曲线+轮子的配置，很快就被抛弃了，可能是因为机械原因。然后，他继续研究机制（b），与赫尔曼（当然，他不知道赫尔曼）的机制非常相似，或者至少在理论上完全相同，在出版前不久，他发现圆锥体的孔径在仪器的理论中没有使用，因此圆锥体可以被压扁成圆盘，从而产生（c）。1824年和1825年，一个原型完成并提交给科学家和其他人；1825年，托斯卡纳大公爵下令为他的藏品制作一个“最精确”的版本。起初，冈内拉想到了瑞士和她的精密机械师来制造这台新机器的零件。他通过中介将机构（b）和（c）的图纸发送给瑞士机械师。然而，目前尚不清楚这种通讯方式能带来多少扩散。冈内拉关于机械（b）的想法可能已被妥协，这可能导致约翰内斯·奥比科夫（Johannes Oppikofer，1782-1864）的装置于1828年底提交给一个介于材料人工制品和理想机械之间的数学仪器3505瑞士学会。这是否是一个剽窃案件仍有待讨论，但很难找到任何新的文件对此有更多的解释。另一方面，冈内拉的计划没有成功，因此在1827年中期，他继续在佛罗伦萨制造机器，可能是在1828年；这当然是在1829年完成的，但使用了机制（c）。因此，在19世纪20年代末，出现了带有（b）机构的Oppikofer机器和带有（c）机构的Gonnella机器。尽管冈内拉的出版物在1825年和1841年都被完全忽视，但奥皮科夫在机械师海因里希·鲁道夫·恩斯特（Heinrich Rudolf Ernst，1803-1863）的帮助下，成功建造了少量的求积仪，更重要的是，设法向仍然有限的观众传播了关于精确机械集成可能性的消息。1824-1834年间增加的求积仪数量约为5个。恩斯特开始生产数量不详但数量确实很少的奥比科夫型仪器（只有一种幸存下来）；1839年，他建造了至少12台带有额外线性对数刻度的仪器，这是由于L´eon Lalanne（1811-1892）的一次小修改，同样，这种类型的仪器只有一台幸存下来。1839年，恩斯特再次修改了原来的奥皮科夫机器，使圆锥体的尺寸只有原来的一半，并将表面材料从钟表金属（青铜）改为木材。他可能还制作了另外一小部分修改过的仪器，但更重要的是，在诸如《国家工业公报》和《丁格勒多学科杂志》等广为阅读的期刊上发表了匿名出版物，详细展示了机器。1834-1844年整个十年间增加的求积仪数量可能最多为25个。对Gonnella最优雅的解决方案（c）的无知，尽管在将近四分之一个世纪前发表，导致瑞士卡斯帕·韦特利（1822-1889）于1848/49年再次提出。1850年，西蒙·冯·斯坦普费尔（Simon von Stampfer，1790-1864）出版了一本出版物，几乎同时对圆盘和轮子机构进行了重新发明。该出版物在四种不同的期刊上出现了微小的变化，这最终是精确机械集成的突破：从1850年起，对其可能性的认识迅速传播。几乎同时，三个不同地点/国家的三家制造商开始制造仪器：苏黎世/瑞士的Goldschmid（1849年）；斯塔克在维也纳/奥地利（1849年）；哥达/图林根的奥斯菲尔德（即1850年或1851年的“德国”）。这些仪器很昂贵，但公众对它们有需求，因此在1844-1854年间，求积仪的数量增加了约150个。然后发生了巨大的变化：理论和仪器一起刺激了对更简单机械结构的探索（一旦理论精确性的可能性建立起来）。在大约十种不同的解决方案中，有三种或多或少等效的解决方案仍然存在（但都是相互独立的）：1854年的雅各布·阿姆斯勒（Jakob Amsler，1823-1912），1855年的阿尔伯特·米勒（Albert Miller），1856年的里特·冯·豪恩费尔斯（Ritter von Hauenfels，1818-1897）和帕维尔·阿列克谢维奇·扎鲁宾同样在1855年，提出了3506Oberwolfach报告58/2017关于极性求积仪的想法，该名称由Amsler发明，表示仪器围绕仪器的固定点，即极点旋转（见图2）。图2.阿姆斯勒极性求积仪该仪器简单、便宜且易于使用：任何物体要取得商业成功都需要具备三个特性。在这三位发明家中，阿姆斯勒的企业（早在1854年底成立）是最繁荣的一家；过去生产的求积仪总数仅在三年内就被超越了，1854-1864年制造的求积器数量增加了惊人的3500个！因此，经过几次小的改变和一次真正大的改变，在五十年后，到了2001年，也就是一个半世纪后，当机械求积仪停止生产时，机械求积的最终工具形式就达到了，机械积分仪总数，95 [59] J.Fischer，200 Jahre求积仪。Ein bayerischer Vermesser和seine geniale Idee。18142014.展览目录，2014年5月5日至9月15日，慕尼黑，M¨unchen：Landesamt f¨ur Digitalisierung，Breitband und Vermessung，2014年。 [60] T.Gonnella，Teoria，e Descrizione d’una macchina colla quale si quadrano le supercie plane，Antologia 18[费伦泽，4月-6月]（1825），122-129+6位数表格。 [61] T.Gonnella，材料质量不合格。二、。这是一个确定发光强度标准的严格性的公式，它是一个通过透镜质量体系的公式。三、 费伦泽：马佐尼，1841年。“精巧的机器”：奥劳斯·亨利西的谐波分析仪琼·巴罗·格林1894年5月，剑桥大学Lowndean天文学和几何学教授罗伯特·鲍尔将奥劳斯·恩利西的新谐波分析仪描述为“精巧机器”[3]，他接着阐述了机器的用途，特别是在制作潮汐表方面。鲍尔报道了英国皇家学会举办的一场晚会，亨利西的新机器在会上展出。这不是亨利西的第一个谐波分析仪——他于1889年建造了第一个谐波分析器——但这是他于1893年与他在阿奇博尔德·夏普中央技术学院的助理一起设计的新谐波分析仪的修订版，新谐波分析仪是材料人工制品和理想机械之间的数学仪器3507，它是由苏黎世著名的仪器制造商科拉迪建造的。1896年6月，在中央技术学院举行的座谈会上，亨里奇的分析仪也展出了，一位参观者报告说，“[…]最新形式的教授的顺利工作。Henrici的谐波分析仪引导工程师推测出所有计算（无论多么复杂）何时都可以通过转动手柄来完成，以及何时大脑可以自由思考和发起。”[2] 如下图所示，分析仪由多个皮带轮和玻璃球组成——滚动球积分器——连接到测量刻度盘。曲线图像放在设备下方，用户沿着曲线路径移动机械触笔，追踪波形。表盘上的读数给出了最多10个傅里叶系数的相位和振幅。亨里奇在伦敦大学学院（UCL）的同事W.K.Clifford[7]的带领下建造了他的一次谐波分析仪，他于1873年提供了“傅里叶级数的美丽图形表示”[11，p.113]。然而，这台1889年的机器并没有像亨里奇所希望的那样工作，不仅因为它一次只给出一个傅里叶系数，而且因为产生简谐运动所需的机械装置引入了过多的摩擦。1893年，他在慕尼黑技术学院举办的德国数学学会数学模型、仪器和仪器展览会上展示了该分析仪的修订版。Henrici是英国展览的主要组织者，他的德国背景加上他对数学模型和仪器的兴趣，使他成为这个角色的自然选择，然后去中央技术学院。见[4，第22页]。4英国提供的展品比除德国以外的任何其他国家都多，亨利希提供了几个几何模型以及他的分析仪。其他英国组织者是凯尔文勋爵和乔治·格林希尔。3508Oberwolfach Report 58/2017还为目录撰写了一篇关于谐波分析仪的文章[9，p.125-136]。展览原定于1892年在纽伦堡举行，但由于霍乱爆发，不得不推迟到1893年，但展品是在1892年寄出的，这解释了为什么亨利希的新谐波分析仪，即与夏普共同开发的分析仪，没有展出。亨利希并不是第一个生产谐波分析仪的人，这要归功于威廉·汤姆森（后来的开尔文勋爵），他于1876年为一台机器设计了一个基本设计，并于1878年完全实现。但是汤姆森的分析仪虽然能够达到很高的精确度，但体积大，操作起来也很困难。正如亨利西在慕尼黑目录[9，p.134-135]中所描述的那样，亨利西的意图是制造一种比汤姆森的机器便宜、更容易操作、更便于携带的机器，并且适合于精度要求较低的应用。然而，尽管Henrici-Sharp分析仪肯定比Thomson的要小，但它并不便宜。1894年，一个带有五个积分器的分析仪的价格为60英镑（2017年约为7000英镑）。潜在用户并没有忽视这一点。1920年，Vannevar Bush观察到“Coradi分析仪可能是最方便的机器，[……]然而，由于成本原因，很少使用这些仪器。”[5，p.903]。1936年，布什再次评论了亨利西的机器的便利性，但这次是在这种机器的发明和使用之间的关系的背景下：“说（谐波分析仪的）多种形式并不过分由于目前有实际使用的仪器，所以发明了。也许这并不是不可取的，因为发明这种性质的设备肯定比操作成品更令人愉快。作者承认自己发明了几个，但没有一个在使用。[……]最方便、最精确的是Henrici-Caradi。”[6，第659页]尽管布什发表了上述言论，但还是使用了亨利西的一些分析工具，尽管这似乎并不多。费利克斯·克莱恩（Felix Klein）于1894年[15]获得了一个，并于1901年在他的演讲课程中描述了它，该课程印刷为《Anwendung der Differential-und Integralrechnung auf die Geometrie:eine Revision der Prinzipien》（1902），后来编辑出版为《Pr¨azisions-und Approximationsmathematik》（1928）.5德国和法国其他地方的文献中都有对分析仪的引用，但其实际使用的证据很少。美国物理学家兼天文学家戴顿·米勒（1866-1941）确实很好地利用了该分析仪，他在1908年至1916年间成功地将其用于声学实验[14]。米勒还鼓励他的学生使用它，以下出版物证明了这一点：罗伯特·舍伍德·尚克兰，《X射线的色散》（1933）。硕士论文。包括Henrici分析仪的曲线拟合。Leslie Foldy，《使用Henrici谐波分析仪获得脉冲频谱》（1944年）。报告。5相关页面的英文翻译见[10，p.79-82]。材料人工制品和理想机器之间的数学仪器3509 Miller与Gottlieb Coradi（1847-1929）就分析仪进行了通信，在1916年11月30日给Miller的一封信中，Coradi透露，分析仪并没有取得他希望的商业成功：“[…]令人遗憾的是，您正在证明[sic]在实际应用中具有很高价值的这个Analyzer几乎还是未知的。因此，我非常高兴能收到你的小册子和照片，如果有机会，我将冒昧地提及这些。你的全部工作和研究想法都令人钦佩，也得到了最有趣的结果。我非常感谢你，因为你是少数几个拥有亨利克分析仪的人之一，我非常感激你，因为这些人给了我一个关于仪器工作的想法。如果这种情况经常发生，当我能够通过目录和描述中的注释将不同类型的应用程序应用到一般知识中时，我可能会在使用Analyzer方面取得更大的实际成功。”[8] 另一位使用该分析仪进行声学工作的人是卡尔·西肖尔（Carl Seashore），他在他的《音乐心理学》（1938）一书中以该分析仪的图片作为头条，该书将其描述为“音乐科学的象征”。尽管亨里奇在伦敦大学学院期间以几何学家的身份建立了学术声誉，但他在工程和数学方面都有背景——他开始了他的工程学徒生涯，后来在科学机械工程的创始人费迪南德·雷登巴赫（Ferdinand Redtenbacher，1809-1863）手下学习工程，在卡尔斯鲁厄。即使是一名几何师，他也热衷于实际工作，为他在伦敦大学学院的几何学生安排了一个工作室，并亲自制作了许多几何曲面模型。1884年，他搬到了中央技术学院，并成立了力学实验室，这使他有机会更加专注于应用，1894年，除了生产第二台分析仪的新版本外，他还为英国科学促进协会（British Association for the Advancement of Science）编写了一份关于求积仪的报告[12]。从这个角度来看，亨利希的谐波分析仪——“也许是亨利希最具原创性的作品”[13，p.xlvi]——可以被视为他数学和工程天赋的自然综合，尽管它并没有像亨利希（或科拉迪）所希望的那样被广泛使用（或出售），它的易用性和设计效率意味着它在40多年的时间里一直保持着合理的高地位。工具书类 [62] 《匿名》，英国皇家学会，《自然》48（1893年6月15日），第160页。 [63] 《无名氏，中央技术学院科学与社会》，《自然》54（1896年6月25日），186。 [64] R.S.Ball，The Month’S Science，The Graphic（1894年5月12日）。 [65] J.E.Barrow-Green，“Clebsch注意到了我”：Olaus Henrici和表面模型，Oberwolfach Reports 12（2015），2788-2791。 [66] V.Bush，《简单谐波分析仪》，《美国电气工程师学会杂志》39（1920），903-905。 [67] V.Bush，《仪器分析》，《美国数学学会公报》42（1936），649-669。3510Oberwolfach报告58/2017 [68] W.K.Clifford，周期运动谐波分量的图形表示，伦敦数学学会学报5（1873），11-14。 [69] G.Coradi，苏黎世G.Corabi致米勒的信，https://artscimedia.case.edu/wpcontent/uploads/sites/175/2016/03/14222324/let-24-txt.pdf [70] W.Dyck，Katalog mathematischer und mathelatisch-physicalischer Modelle，Apparate und Instrumente，M–unchen：K.Hof-u University–atsbuchdruckel von Dr.C.Wolf&Sohn，1892年。 [71] F.Klein，《高等初等数学》。第三卷《精确数学和近似数学》，柏林和海德堡：施普林格出版社，2016年·Zbl 1339.26002号 [72] O.Henrici，《论一个新的谐波分析仪》，《伦敦、爱丁堡和都柏林哲学杂志和科学杂志》38（1894），110-121。 [73] O.Henrici，《关于求积仪》，《英国科学促进会第六十四届会议报告》（1894年），496-523。 [74] M.J.M.Hill教授Olaus Henrici，《伦敦数学学会学报》17（1918），xlii-xlix。 [75] D.C.Miller，《亨利希谐波分析仪及其扩展和促进使用的装置》，《富兰克林研究所学报》182（1916），285-322。 [76] http://modellsammlung.uni-goettingen.de/index.php？r=11&sr=49&m=557&lang=en潮汐分析和预测中的数学机器（1876-1950）Marie-Jos´e Durand-Richard本次演讲介绍了三种机械设备——验潮仪、谐波分析仪和潮汐预测器，这三种设备在19世纪逐渐引入，用于记录、分析和预测潮汐。它展示了不同的专业文化和学术文化如何合作，直到20世纪才建立起对海洋航行的新控制，基本上是随着英国和法国的殖民扩张。牛顿和拉普拉斯的潮汐理论。潮汐现象已经观察了很长一段时间。半日潮，每天有两个高潮和两个低潮，是大西洋海岸最著名的潮汐，但除了月球的影响外，没有给出任何解释。第一个真正有效的潮汐理论是由I.Newton（1643-1727）提出的。他把三体问题应用于水——假设它覆盖了整个地球——、地球，然后是月球和太阳。主要吸引力是月球，因为它靠近地球。太阳，因为它的质量，也有很大的吸引力。牛顿的理论在基本原理上是正确的，但它忽略了地球自转的影响。因此，一些不平等现象仍未得到解释，理论也与某些观点的观察结果不一致。拉普拉斯（P.S.de Laplace，1749-1827）的动力学理论是在他令人印象深刻的梅卡尼克·克莱斯特（M’ecanique C’eleste，1799-1825）中实现的。他建立了描述被太阳和月球吸引的流体运动的微分方程，但仍然简化了水覆盖整个地球表面的假设。拉普拉斯为这两个吸引体中的每一个确定了三种周期性潮汐——一年生、全日和半日潮，其性质取决于数学公式中涉及的天文因素。拉普拉斯还给出了一个非常一般的公式，即在数学仪器上，物质工件和理想机器之间的分子高度3511海面高于平衡面。但是，当“海的深度是可变的，超过了分析的力量”这一普遍情况得到解决时，就需要对每个相关港口进行观测，以完善有关海洋涨落的理论。因此，对这些“偶然情况”的分析需要更好的观测活动。1806年，拉普拉斯（Laplace）为布雷斯特（Brest）和大量法国港口发起了这样一场系统性的战役，这场战役将持续到1835年。在英国，最重要的战役发生在利物浦（1774-1792）和伦敦（1808-1826）。港口逐步建立了潮汐秤，但未经训练的人很难读取高潮和低潮的时间和高度，因为要精确确定这些时间和高度，需要在最大值和最小值之前和之后多次记录海平面，并确定平均值。然而，长期的平均值序列可能会抑制潮汐的偶然影响。英国和法国使用的最佳观测期将涵盖19年的整个月球周期，对应于月球节点（月球轨道与黄道相交的点）在相同位置的返回。二、。英国潮汐记录、分析和预测的机械化。在英国，拉普拉斯很快被认为是第二个牛顿，用分析方法扩展了他的程序，当代年轻的英国代数学家和改革家的主要目标之一是取代他的微分方程求解方法。英国科学促进协会成立于1831年，为经济和政治影响涉及全国范围的大型项目组织了众多委员会。它为潮汐预报研究提供了90年的支持。J.W.Lubbock（1803-1865）被要求分析制作准确潮汐表的最佳方法。他在海图上设计了“同潮线”，在高水位同时出现的点之间，W.Whewell（1794-1866）也讨论了全球潮汐波的发展。1831年，土木工程师H.Palmer设计了一种自动登记潮汐仪。在浮标、标尺和指示潮水高度的指针上，增加了一个旋转的圆桶，用一支笔将曲线直接画在绕在圆桶上的纸带上。利用该设备，安装了新的海岸测量设备，在北大西洋海岸有不少于600个观测站。1867年，W.Thomson（1824-1907），即后来的Kelvin勋爵，主持了英国协会的一个特别委员会，召集了天文学家、数学家、工程师、计算器和皇家海军官员，目的是“促进潮汐观测的扩展、改进和调和分析”。作为大西洋电报公司（Atlantic Telegraph Company）董事和格拉斯哥Kelvin and White Ltd公司负责人，汤姆森直接关注科学和工业对公共事务的参与。委员会的报告使用了印度、墨西哥湾、加利福尼亚、弗洛里德和南极洲港口的数据收集。3512Oberwolfach报告58/2017将潮汐曲线分解为傅里叶级数首先需要分离三种波，以及太阳和月球运动中的其他天文不规则现象；只有这样，人们才能追求每个人的和谐分解。要获得分解系数，需要对两个函数的乘积进行积分：这就是工程师J.Thomson（18221892）——Kelvin的兄弟——通过组合几个积分盘-球形气缸系统实现的机械化，从而使每个系统都提供了一个系列系数。在一个实验模型之后，建造了两个谐波分析仪，第一个在1876年（11个积分器），第二个在1878年为气象局（7个积分机）。一名操作员必须跟随缠绕在特定圆筒上的验潮仪的曲线。运动由叉子传递给每个积分器。在1876年的模型中，成对积分器给出的波为：平均太阳半日S2、平均月球半日M2、月-日偏角日K1、月日波O1和太阳日P1。指数1对应于全日潮，2对应于半日潮。从天文学家和物理学家之间的密切关系来看，以下分析仪将分离出越来越多的波。图1.谐波分析仪（1876），伦敦科学博物馆SSPL。187829年，汤姆森同时设计了潮汐预报器。其原理很简单：一根柔性钢丝在一系列共面皮带轮的下面和上面，每个皮带轮的轴都有一个与各种组件相对应的垂直谐波运动。钢丝的一端被固定，另一端有一个保持平衡的配重，其位移表示滑轮运动总和的两倍。一支笔在缠绕在旋转圆柱体上的图形纸上画出了运动的轨迹。第一个潮汐预报器（10个分量）只需4个小时就可以从一个月的观测数据中跟踪一年的预测曲线。在建造过程中，计算器E.Roberts为印度勘测局设计了第2号TP（24个组件）。含有越来越多成分的潮汐预报器由Kelvin、Bottomley和Baird公司生产，20世纪初销往法国、日本、加拿大、巴西和阿根廷。他们的成本约为5000英镑，建造花费了两年时间。三、 英国境外潮汐预报。潮汐预报器的生产迅速成为一个真正的行业。调和法是材料人工制品和理想机械之间的数学工具，3513图2。潮汐预报器（1876），伦敦科学博物馆SSPL。1896年至1896年，为英国和法国殖民帝国的遥远港口进行了调查，潮汐测量仪对这些港口进行了短期观测。例如，建于1881年的3号潮汐预报器（16个组件）于1901年出售给法国水文局，用于获取Cochinchine海（后来的Indochine海和越南海）的潮汐曲线。1950年，它被新建造的TP 6号（26个部件）取代，该部件一直工作到1966年。法国没有在很大程度上开展潮汐研究。然而，工程师A.M.R.Chazallon（1802-1872）构思了一种新的验潮仪，并建立了一个验潮仪网络，其中一个于1843年安装在阿尔及尔。在美国，气象学家W.Ferrel（1817-1891）利用图片（1912）对现有潮汐预报器进行了回顾。他自己的是第1号TP（1892，19个组件）和第2号TP（1912，37个组件），直到1966年才开始工作。1916年，德国在同一模型上设想了一个潮汐预报器，1938年又设计了一个（62个分量）潮汐预报器。二战后，A.Dodson（1890-1968）构思了一个TP（42个组件），并为阿根廷、印度和日本提供了副本。因此，通过机械手段进行潮汐预测假定科学、政策和工业之间存在着密切的关系，并由于工业革命而在英国首次实现。它假定工程师、物理学家、数学家和天文学家之间密切合作，并为全球了解全球潮汐现象开辟了道路。它还促进了实验物理中谐波分析仪的发展。3514 Oberwolfach报告58/2017参考文献 [77] http://www.sphere.univ-paris-didero.fr/spip.php？文章90 [78] http://irem.univ-union.fr/calculsavant/Textes/antrologie_integration.html莱布尼茨数学中的精确性：构造超越曲线的工具戴维德·克里帕莱布尼兹早期微积分的一个明确目标是克服笛卡尔对代数曲线作为唯一合法几何对象的限制，同时根据通过独特的连续运动获得的结构保持相同的精确性标准（[2]，[1]，[3]）。但莱布尼茨为了追踪非代数曲线，依赖于哪种构造方法？莱布尼茨从1673年到1676年的数学语料库提供了有关超越曲线构造的有趣但鲜为人知的材料。在这次演讲中，我将研究这一时期的一些笔记、信件和草稿。在这些文件中，莱布尼茨考虑了几种非代数曲线的构造，并讨论了它们可能的几何性质。这些结构的一个共同特点是使用一根线（或线），它可以缠绕在一条曲线上，然后延伸以绘制所需的曲线。更抽象地说，这种构造相当于接受矫正任何给定圆弧的可能性。在几何学中，笛卡尔将曲线分为两类：几何（代数）和机械（超越）。属于后一类的曲线，如二次曲线或阿基米德螺线，根据经典定义，可以通过同步两个独立的运动来构造：这是笛卡尔几何学中不可能完成的任务。然后，笛卡尔根据所选择的描述曲线的方法，建立了几个判断曲线性质的标准：或者通过一类涉及标尺（连杆）或字符串系统的机器，或者通过逐点构造，或者通过代数方程。几何中引入了使用弦或线的构造，以及它们在Dioptrique中构造圆锥截面的具体用途：最著名的例子可能是构造椭圆的Gardener方法。以整流方式使用字符串的可能性被明确排除为非几何的，因为它允许对任何曲线进行整流，这是代数无法表达的运算。到17世纪下半叶，几何的中心和边缘问题发生了重大转变。特别是，几何/机械鸿沟受到质疑。莱布尼茨早期的数学手稿反映了数学界的这种转变，因为它们包含了对曲线的几项研究，例如摆线、由圆在直线上滚动所描述的曲线（其物理应用在等时摆的构造中变得明显）、圆的渐开线、，阿基米德螺线。根据笛卡尔的标准，这些曲线被认为是机械曲线，因为所有曲线都可以由以矫正方式使用的字符串生成（见图1、2、3）。材料制品和理想机械之间的数学工具3515图1.圆的渐开线。一根缠绕在ABC上的绳子，从D图2中展开。贝特曲线（阿基米德螺线）。当标尺从AF旋转到A（F）时，固定在BCF上的线会沿着CF移动，这样（C）（E）=C（C）。曲线由一个连续运动的移动端E追踪（非轨迹）图3摆线。随着DC棒向下移动3516 Oberwolfach Report 58/2017莱布尼茨在1674年和1675年的几份手稿中讨论了上述曲线相对于笛卡尔精确性标准的状态，绳子围绕圆圈展开。他认为，摆线和渐开线都应该被赋予几何曲线的地位（[5]，第485页）。在同一时期的其他手稿中，莱布尼茨将摆线称为几何曲线。他可能在想一种生成摆线和其他滚动曲线的方法，避免了两个同步运动（就像在滚动运动中发生的那样）。如果我们使用弯曲成曲线的弦，或者用我们的术语来说，使用整流方式使用的弦，那么使用一个连续运动来构造摆线确实是可能的（3）。莱布尼茨（Leibniz）曾想过通过允许在校正模式中使用字符串来扩展几何精确性的概念。这将是对笛卡尔精确性的明显违反，但通过放弃这种可能性，可以使用一个连续运动来构造多条超越曲线。迄今为止检查过的手稿表明，莱布尼茨最终放弃了这种方法，通过假设通过使用字符串进行几何校正来扩展笛卡尔几何的边界。我们可以提出几个理由来解释放弃这种想法的原因。首先，如果假设一个弧的修正操作，那么问题和曲线的传统分类将失去其价值。例如，正如莱布尼茨在1676年的一份手稿中所说，为了立即解决诸如圆的求积这样的难题，承认修正的可能性就足够了，因此，为了完成这项任务，浪费时间和精力来构建更高的曲线，例如摆线或阿基米德螺线（[6]，第146页）。此外，尽管能够通过一次连续运动生成多条曲线，但通过纠偏方式中使用的字符串生成曲线在基本上与笛卡尔机器不同。事实上，莱布尼茨观察到，由弦构成的曲线需要“物质”曲线，即先前在平面上构造的曲线（就像摆线中的圆一样），弦可以围绕着这些曲线弯曲和展开。笛卡尔机器的情况完全不同，因为为了构造任何代数曲线，提供一个连杆系统就足够了，该连杆系统确保了唯一和连续的运动，但不需要假设其他曲线与之前构造的一样。最终，牵引运动的发现使莱布尼茨克服了与架线结构有关的困难，因为前一种运动既不预设纠正，也不预设莱布尼兹意义上的物质曲线。因此，牵引运动被认为是笛卡尔机器最有用和最自然的延伸，并允许使用一个连续运动构造超越曲线。工具书类 [79] H.Bos，牵引运动和超越曲线的合法化，《半人马座》31（1988），9-32·Zbl 0647.01005号 [80] H.Bos，《重新定义几何精确性：笛卡尔对早期现代建筑概念的转变》，纽约：斯普林格出版社，2001年·Zbl 0972.01020号 [81] V.Bl˚asj¨o，莱布尼茨证明微积分基本定理的神话，Nieuw Archief voor Wiskunde 5，16（1），46-50。材料制品和理想机械之间的数学工具3517·Zbl 1357.01002号 [82] R.笛卡尔，《伦·笛卡尔的几何》，D.史密斯，M.拉瑟姆（编辑），纽约：多佛，1952年。 [83] G.W.Leibniz，Samtliche Schriften und Briefe。1672-1676. Differenzen，Folgen，Reihen（VII，3），S.Probst，E.Knobloch，N.Gedake（编辑），柏林，2003年。 [84] G.W.Leibniz、Samtliche Schriften和Briefe。1673-1676. 《算术Kreisquadraur》（VII，6），S.Probst，U.Meyer（编辑），柏林，2012年。解决不可能解决的问题的工具：围绕卢波米尔·克莱里克（1844-1910）的工作多米尼克·图恩“我对数学问题感兴趣，这些问题用某种仪器是不可破坏的，但可以通过创建新设备来构造。在介绍这个问题后，我将介绍一个案例研究，该案例研究集中于塞尔维亚工程师Ljubomir Kleri´c在19世纪末构思的一种特定仪器欧几里得的三个假设中没有提到物理仪器，但每个人都知道它们是对尺子和指南针使用的理想化。在他对第一本《元素》的著名评论中，普罗克卢斯坚持认为直线、圆，以及更普遍的任何直线，都是运动点的轨迹。他毫不含糊地描述了产生一个圆的机械运动，但对于直线，他提供了一个更模糊的“均匀且不偏离的流动”，这并不是很明确。Alfred Kempe和许多工程师（如Watt和Tchebycheff）都注意到了这个缺陷，当时他们想机械地复制蒸汽发动机中完美的线性运动。在他那本题为《如何画一条直线》的刺激性著作中，坎佩说（[2]，第2页）：“如果我们要用尺子画一条线，尺子本身必须有一条直边；我们如何使这条边变直？我们回到了起点。”第一个令人满意的答案是由法国工程师Peaucellier和，立陶宛人利普金（Lipkin）独立地提出：人们可以通过将圆周运动转化为完美直线运动来构造一条带有连杆的直线。由于其前三个假设，欧几里得几何学关注的问题可以通过构造有限数量的直线和圆来解决。然而，在古代和中世纪，特别是在希腊和阿拉伯世界，数学家遇到了用尺子和指南针无法解决的问题：其中最著名的是立方体的复制、角的三等分和圆的求积。为了解决这些问题，他们不得不引入新的装置和新的曲线，从圆锥截面开始。在1637年的《G’eom’etrie》中，笛卡尔指出，尺子和罗盘都是机器，因此没有理由拒绝在几何学中使用其他机器，只要它们通过简单、连续的运动生成曲线。根据这个定义，他接受了我们今天所说的代数曲线的使用，这种曲线可以通过连杆进行机械追踪，至少可以在局部进行追踪。在某种意义上，我们可以将连杆视为类似于有限个罗盘的组合。3518Oberwolfach报告58/2017 17世纪末，代数曲线在微积分领域不再引起人们的极大兴趣，因此莱布尼茨花费了大量精力探索能够产生超越曲线的新型连续运动。最终，莱布尼茨认为牵引运动是振兴几何学的最佳选择，他设想了一个用于积分和更一般微分方程的通用积分器。他的想法是拿一根拉紧的绳子，在它移动时，通过一个合适的机械装置，施加微分方程给出的伴随斜率。因此，绳子的运动轨迹是一条切线给定的曲线，换句话说，就是反切线问题的积分曲线解。这一思想产生了欧拉和文森佐·里卡蒂后来发展起来的完整理论，也是概念的起源和实际积分仪的制作，18世纪有少数积分仪，但在19世纪末占多数[6]。整个19世纪，人们采用了新的抽象推理方法来研究尚未解决的经典问题。第一次，人们严格地确立了不可能定义给定问题的解决方案，并明确地描述了可以用给定程序解决的一系列问题。在这些结果中，我们应该提到的是，Wantzel在1837年证明了不可能复制立方体，以及用尺子和指南针测量角度的三等分；此外，林德曼在1882年确立了π的超越性，其结果是能够确认不可能用尺子和指南针将圆平方。事实上，所有在当时被证明不可能解决的问题后来都通过引入新的工具得到了解决。我想通过考虑Ljubomir Kleri´c的案例来说明这一点。这项研究的起点是1897年发表在《丁格勒理工学院杂志》上的一篇奇怪的论文，该论文宣布了一项雄心勃勃的计划：构建数字π和e以及所有正多边形[4]。朱利叶斯·克莱里于1844年6月29日出生于澳大利亚的苏博蒂察。他的家族是德国人。当他到达贝尔格莱德时，他决定采用塞尔维亚语的名字：Ljubomir Kleri´c（或Kleritj）。高中毕业后，他在贝尔格莱德学院学习工程学。1865年，获得国家奖学金后，他被送往弗莱堡和柏林的矿业学院以及Z¨urich理工学院。1870年至1875年，他在威斯特伐利亚、萨克森、上西里西亚和波希米亚的矿业公司工作。1875年，他成为贝尔格莱德学院的教授。1887年，他被选为塞尔维亚皇家学院的正式成员。1894-1895年期间，他担任教育和教会事务部长，1896-1897年期间，他担任国民经济部长。他于1910年1月21日在贝尔格莱德去世[5]。Kleri´c符合“工程师先锋”的定义，即在数学方面受过良好训练的工程师，能够根据自己的实践需要创造新的数学，并积极参与国家的科学机构并在科学期刊上发表文章。在1872年至1907年间，他在工程科学和数学仪器的多个领域中，在材料制品和理想机械之间创作了48篇文章和书籍3519。特别是，他的工作包括一些新仪器的发明：一台名为“复印机”的新型打字机；一种新的罗盘被命名为“牵引仪”或“对数仪”，还有一些测量仪器，包括精密曲线仪和对数仪。这些文书中的第二个与我们有关。克莱里克用这些术语对其进行了描述（[4]，p.234）“1891年，我发明了一种非常简单的仪器，对于各种平面曲线，人们可以用它以恒定的距离，即恒定的切线来描述它们的牵引线。我把这种仪器称为‘牵引仪’。这种仪器是在德累斯顿奥斯卡·勒纳机械研究所制造的，价格为220M。”事实上，Kleri´c的设备（见图1）是著名的Prytz求积仪的一种变体，这是一种非常简单的仪器，可以计算面积，虽然不精确，但可以达到非常好的近似值，足以满足大多数实际应用。这种求积仪非常成功，因为它既便宜又容易使用。图1.Kleri´c的牵引描记器（[4]，p.234）Kleriéc的独创性在于他不使用仪器计算表面面积，而纯粹从理论意义上讲，用于构造不可能的数学问题。这些构造的主要部分是基于“圆轨迹线”，即在长度或轨迹图等于圆半径的条件下追踪的圆的轨迹线。这条曲线的一个引人注目的特性是，如果它与尺子和指南针相连，它可以纠正圆的任何圆弧。由此，可以很容易地构造π数，对圆进行校正和平方，并在其中刻上任意边数的正多边形。顺便说一句，通过使用直线的牵引线，Kleri´c用他的牵引图证明了数字e也是可构造的。令人惊讶的是，同时，Felix Klein在其著名的初等几何问题（[4]，p.78）中独立发表了圆求积的不同解: “π的实际构造只有借助于超越曲线才能实现。如果需要这样的构造，除了使用直尺和圆规外，我们还必须使用一种‘超越’仪器，该仪器将通过连续运动来追踪曲线。这种仪器是一位俄罗斯工程师a最近发明和描述的积分仪bdank-Abakanowicz，由Z¨urich的Coradi建造。”诚然，在解决经典问题时，一些工具，如笛卡尔的联系或莱布尼茨的积分仪，似乎是为了解决理论问题而构思的思想实验或想象的理想工具，但从来没有为实际使用而构建3520Oberwolfach报告58/2017。从另一个角度来看，我们看到其他人，例如Kleri´c或Klein，已经利用实际的物理设备来解决相同的问题。20世纪70年代，俄罗斯工程师伊万·伊万诺维奇（Ivan Ivanovitch Artobolevsky）出版了五卷机制百科全书[1]。这篇论文的目的是提供一个目录，并描述工程师可以使用和组合来创建复杂机器的所有基本机制。在这个集合中，我们发现了代数机制：追踪三个圆锥截面的链接，提取立方根的链接（事实上这是柏拉图的旧装置），笛卡尔的三矢量，追踪尼科米德贝壳的链接，以及追踪迪奥克利斯的顺曲面的链接。我们还可以找到超越机制：阿姆斯勒的极求积仪，阿卜杜兰·阿巴卡诺维奇的积分仪，追踪对数曲线的牵引仪器，以及阿基米德的螺旋线。在机械工程实践中积累的这种遗产中，我们认识到自古代以来为解决经典问题而构思的著名装置所发挥的主要作用。当数学家第一次使用它们时，它们中的大多数可能是理想的机器。然而，在阿托博列夫斯基的目录中，它们也是物理上的、非常高效的机器。所有这些设备显然都处于数学、力学和技术的十字路口。它们可以是想象的，也可以是物理的，对我来说，从这两个角度来研究它们似乎很重要。工具书类 [85] I.I.Artobolevsky，《现代工程设计中的机制》，第5卷。，莫斯科：米尔，19751980。 [86] A.B.Kempe，如何画一条直线；《联系讲座》，伦敦：麦克米兰公司，1877年。 [87] F.Klein，《著名的初等几何问题》，波士顿：Ginn公司，1897年·Zbl 0070.38003号 [88] L.Kleritj，《超越Zahlen“π”和“e”的拖拉机和施工》，《n-seitigen施工》，dem Kreise eingeschriebenen regelm¨assigen Polygone，丁格勒理工学院学报305（1897），234-237260-263。 [89] M.Sari´c（编辑），塞尔维亚科学家的生活和工作，贝尔格莱德：塞尔维亚科学和艺术学院，1996年。 [90] D.Tourn“es，《不同方程式的施工合同》，巴黎：布兰查德，2009年。作为微分方程基础的牵引结构：古老的开放问题、新的结果、可能的失败彼得罗·米利奇机器在数学中扮演着各种角色：它们可以体现数学概念，将其转移到现实世界的应用中，并促进更深入的理解（同时构思、构建和使用它们）。但设备也可以发挥非常相关的基础作用，如欧几里德或笛卡尔的几何学所示：“简单”机器可以被理想化，成为基本概念的精髓，仍然与具体经验保持严格联系，并允许操作（因此，材料工件和理想机器之间的数学工具3521具有极好的认知丰富性）。这项工作背后的基本问题是，机器能否构成高等数学的基础，避免抽象概念，如无限对象或过程？自诞生以来，无穷小分析就需要无穷大的概念。那么，有可能为这一主题提供一个严谨但又具体/敏感的基础吗？从这个角度出发，我基于一些历史几何观点提出了一种新的微积分设置。在尝试重新表述主题时，第一步是明确定义所需的工具及其建设性限制，这是本次演讲的重点；但在此之前，我们应该考虑一些历史。在17世纪，曲线通常被作为理想机器的痕迹引入。笛卡尔的G´eom´etrie通过一类合适的机器实现了代数和曲线构造之间的平衡（参见[3]）。笛卡尔正典传播后不久，多项式不再被视为几何问题的形式化，而是作为解决方案。因此，机器的基础作用仍然只是证明非代数曲线的合理性（笛卡尔工具无法处理）。特别是，影响广泛超越曲线的一个普遍问题是反切线问题（在现代设置中，它可以在微分方程的几何解中找到）。第一次有文献记载的出现归因于佩罗（17世纪晚期）：这种构造被称为“牵引运动”。许多数学家从实用和纯数学的角度对牵引运动进行了澄清和定义（参见[10]）。物理上，求解逆切线问题的组件必须避免点相对于给定方向的横向运动。这可以通过一些东西来实现，比如比萨饼切割器的刀片或自行车的前轮，来引导运动方向（关于这种机器的当代示例，另请参见[5]）。莱布尼茨对这些结构特别感兴趣，因此牵引运动作为对微积分起源的有形洞察力所起的历史作用是显而易见的。然而，莱布尼茨用来解决这些问题的分析工具涉及到无穷大的引入。就像笛卡尔机器一样，几何合成的对应物逐渐失宠，即使对于牵引构造也是如此，并且很快就在数学实践中过时了。尽管我几乎忘记了，但我认为牵引结构可以为微积分提供另一种基础，认知不再基于无限的隐喻（如[4]所建议的），而是基于更具体的隐喻，例如“车轮方向定义了曲线的切线”这样的比喻存在于日常生活中（要在自行车上转弯，我们要转向车把的方向）。鉴于这些前提，回溯过去并深入研究一些现存的古代问题是很有趣的。首先，牵引运动的构造极限从未明确定义；不仅如此，定义此类机器标准的各种尝试从未达到普遍接受的终点。我的数学工作就这样开始了。一旦这样一个经典被定义（见[6]），由于20世纪微分代数（计算机代数的一个分支，3522Oberwolfach报告58/2017，参见[8]），就有可能定义牵引结构的极限（参见[7]）。具体来说，所有可构造曲线都是可以通过微分代数函数局部参数化的曲线：我们可以注意到，这些函数与引入牵引构造许多世纪后Shannon的GPAC（参见[9]）中获得的函数相同。从基础的角度来看，同样有趣的是，牵引机的分析不需要无穷大：可以使用微分代数（限于常微分方程）以纯粹的符号方式研究牵引机，而不需要无限对象或过程。这可以被视为笛卡尔基本平衡的延伸（用理想几何机器合成，无限分析和一类定义明确的可获得对象），但远远超出多项式代数边界。在理论模型之外，牵引机可以用于教学目的，特别是培养对微积分和微分方程的深入而有意识的理解。这些主题提出了几个挑战，因为它们涉及到对无限对象的操作。长期以来，数学教育研究一直关注这一主题，它突出了数学领域的障碍，并提出了不同的方法。事实上，如果将人工制品的实际操作适当地引入到教育途径中，可以帮助学生体验和内化潜在的数学概念（如[1]所示，其重点是使用人工制品来传播数学知识）。在实验室中采用牵引工具来改善学生的学习，这在意大利传统中已经有所体现：我们可以回忆起乔瓦尼·波列尼（Giovanni Poleni，公元前18年）和埃内斯托·帕斯卡（Ernesto Pascal，公元前20年早期，那不勒斯）。跨学科的承诺将包括在物理机器和数字工具的帮助下，开发有关牵引运动的适当教学活动，这在代数机器中已经实现（参见[2]）。综上所述，展望未来，我们可以注意到，解析结果的几何“合法化”如今在高等数学的某些领域以分数微积分的形式出现，这仍然需要广泛接受的几何解释。分数阶微积分在分析上涉及到欧拉伽马函数的使用，而欧拉伽玛函数不是微分代数函数，因此这类问题不能用牵引运动来解决。因此，一个令人兴奋的问题是克服牵引结构，以包括这类问题，扩展模拟计算的能力，同时仍然避免引入无穷大或近似。这提醒我们，对于构造/计算框架（在数字和模拟范式中）的“精确性”缺乏数学定义，其中精确性意味着该框架不涉及无穷大或近似。一个可以进一步探讨的初始概念可能是，当且仅当任意两个构造对象之间的相等测试是可计算的时，计算框架才是精确的。从这个角度来看，我们认为即使在更“具体”的分析方法中（可计算分析，通过可计算性理论进行的材料工件和理想机械之间的数学数学工具3523分析），等式检验也是不可计算的，尽管在边界条件方面存在一些未决问题，但在牵引运动模型中，等式检验是可以计算的。对精确性的长期追求又一次开始了。工具书类 [91] M.G.Bartolini Bussi，M.A.Mariotti，《数学课堂中的符号学中介：维果茨基观点后的人工制品和符号》，收录于：《数学教育国际研究手册》（第二版），L.D.English（编辑），746-783，纽约：Routledge，2008年。 [92] M.G.Bartolini Bussi、M.Maschietto、Macchine matematiche。Dalla storia alla scuola，米兰：斯普林格出版社，2006年·Zbl 1104.00012号 [93] H.J.M.Bos，《重新定义几何精确性：笛卡尔对早期现代建筑概念的转变》，纽约：斯普林格出版社，2001年·Zbl 0972.01020号 [94] G.Lakoff，R.E.Náuñnez，《数学从何而来：具象思维如何使数学产生》，纽约：基础图书，2000年·Zbl 0987.0003号 [95] P.Milici，R.Dawson，《等角罗盘》，《数学智能器》34（4）（2012），第63-67页·兹比尔1267.51014 [96] P.Milici，牵引运动机器扩展了GPAC生成功能，《国际非传统计算杂志》8（3）（2012），221-233。 [97] P.Milici，《追求精确：微分方程牵引构造的机器、代数和几何》，博士论文，巴勒莫大学和巴黎大学，2015年。 [98] J.F.Ritt，微分代数，普罗维登斯（RI）：美国数学学会，1950年·Zbl 0037.18402号 [99] C.E.Shannon，微分分析器的数学理论，《数学与物理杂志》20（1941），337-354·Zbl 0061.29410号 [100] D.Tourn“es，《建筑工程》，《微分方程》，巴黎：布兰查德出版社，2009年。Seb Falk中世纪修道院中的数学仪器本演示基于一项关于中世纪晚期修道院科学研究的新研究项目。到目前为止，它的重点一直是数学和天文学，正如本笃会僧侣所研究和实践的那样，尤其是在英国。一个初步的早期结论是，与大学里的同时代人相比，僧侣们对乐器异常感兴趣。演讲开始时讨论了大量证据问题。即使在修道院乐器幸存下来的地方，也很难确定它们的起源。由于幸存下来的人很少，我们依赖书面描述和清单；仪器有时被列入图书馆目录。当在修道院书籍中描述它们时，我们经常会面临这样的问题：一本书可能是在修道院外制作的。在中世纪，书籍和乐器很容易在不同的场所（如修道院和大学）之间移动，并且可以频繁易手。在回答“中世纪晚期修道院对仪器是否有特殊兴趣？”这一总体问题时，我的研究调查了几个潜在问题，例如：3524份奥伯沃夫巴赫报告58/2017修道院的数学和天文学状况如何？僧侣学习乐器的动机是什么？修道院是如何研究和使用乐器的？修道院是十一世纪和十二世纪欧洲接受伊斯兰世界科学知识的中心。即使在大学兴起之后，修道院仍然是学术中心：一些僧侣在大学学习，并在修道院继续学习。但是修道院天文学与大学里学习的科学有什么不同呢？中世纪早期，僧侣们对历法计算问题的兴趣促使他们学习天文学和数学；到13世纪，这种兴趣在修道院中就不那么明显了。在中世纪后期，僧侣们重视仪器的实用功能，如计时和占星术；作为天堂的模型进行教育和研究；以及他们作为创造秩序象征的虔诚潜能。大多数仪器具有多种功能。例如，圣奥尔本修道院院长沃林福德的理查德（Richard of Wallingford）（约1292-1336年）强调了他的阿尔比恩乐器的多功能性（见图1），并强调了其“将许多人的思想引导到更高的事物”的潜力。他说，他的仪器没有什么新意，这是一种能够在行星天文学中进行广泛计算的设备；虽然他可能是对的，它没有给天文学理论增加任何内容，但它在以易于计算的方式呈现天文模型方面具有巨大的创新性。很少有僧侣能够理解理查德作品的全部复杂性，但很明显，他的继任者在圣奥尔本为他的成就感到骄傲。他们对他为修道院教堂设计的昂贵时钟持矛盾态度，但阿尔比恩时钟象征着他对科学的奉献和追求的成功。后来，他的作品被复制出来，作为对他的纪念，以及（至少在一个案例中）捐赠给女儿家的慈善事业。讨论了另一种数学天文仪器：行星赤道，由威斯特威克的约翰（约1358年至1397年）设计，他是一位圣奥尔本修士，也是沃林福德的理查德的弟子。它的设计者的首要任务是结构简单和用户友好。这篇描述其制造过程的论文是用中古英语撰写的，其中包含了丰富的实用建议，供可能尝试制造它的读者参考，并强调了建造大型建筑以确保尽可能高的精确度的重要性。因此，修道院似乎确实满足了人们对乐器的独特兴趣。特定的宗教关切可能促使设计文书或复制描述文书的文本；出于慈善原因，僧侣们可能比大学学者更看重简单和用户友好；而且，由于一些寺院拥有丰富的资源（以及僧侣所信奉的稳定誓言），他们可能有更多的理由制造大型乐器，而不需要让它们携带方便。也许最重要的是，大型仪器的建造，尤其是钟表的建造，是对修道院所拥有的专业知识和权威的令人回味的陈述。材料人工制品和理想机器之间的数学仪器3525图1。阿尔比恩（o=325 mm），15世纪在中欧制造，遵循沃林福德的理查德（Richard of Wallingford）和阿尔比尼（Tractatus Albionis）（1326）的指示。罗马天文学博物馆哥白尼参考 [101] J.G.Clark，《圣奥尔本的修道院复兴：托马斯·沃尔辛厄姆及其圈子》，约1350-1440年，牛津：克拉伦登出版社，2004年。 [102] J.D.North，《沃林福德的理查德：他的作品版本》，牛津：克拉伦登出版社，1976年。 [103] E.Poulle，Les instruments de la th’eorie des plan'etes selon Ptol’em’ee:“equatoires et horlogerie plan”，《XIIIeau XVIesi’ecle年鉴》，日内瓦：德罗兹，1980年。 [104] D.J.Price，《行星赤道》，剑桥：剑桥大学出版社，1955年。 [105] K.A.Rand，《行星赤道再访》的作者，《新语言学研究》87（2015），第15-35页。几何工具和数学实践：对BSB Cod.icon的探索。182（1520年代）理查德·克莱默现存的15至16世纪关于数学仪器的大多数文献，我们可以称之为“算法”。他们用祈使语气命令读者遵循一系列步骤，首先制作乐器，然后使用它。画3526Oberwolfach报告58/2017，这条线，刻上圆圈，在这一点上设定规则。或者，要确定日出后经过了多少个相等的小时，请记下一年中的哪一天，将星盘的网转到这个地方，从那个地方的线上读出小时数。这种算法散文的一个很好的例子出现在J.Stoefler广泛分布的《Elucidatio fabricae ususque astrolalipi》中，该书于1513年首次印刷。这些文本没有解释赤平投影的几何，也没有证明二维构造技术复制了球面上的几何关系等。慕尼黑手稿BSB Cod.icon中出现了一种与数学仪器截然不同的方法。182，封面上的日期为“um 1508”。写在纸上，用厚纸廉价装订，一半用皮革覆盖，这本百科全书包含两部分，80页图纸（除了图纸上方的简短标语外，没有文字），我称之为“几何工具”和15对开本《诺瓦拉13世纪行星理论或行星赤道》的简写版Companus[1]。这两部分是由不同的人用不同的手写在不同的纸上的，在15世纪20年代，法典被装订在一起[10]。16世纪的一只手将法典命名为：星占/象限/水平环/行星理论/前伴侣。我们将重点放在第一部分，其中不仅有与星盘、象限和日晷有关的图纸，还有与地图投影方案、一年中白天长度的诺模图以及几个占星学主题（房屋划分）有关的图纸。如果有的话，这些图纸很少描绘出一个完成的乐器。它们从来没有包含“构造线”或算法文本中强调的特征来指导构造。相反，我们百科全书中的绘图将工具的各个部分或不同的几何思想分离为我之前所称的几何工具，即：允许用户解决离散几何问题的图形元素的特定配置。正如这个词所暗示的那样，这些工具是可移动的，并且易于操作。它们可以添加到现有文书中，组合成新文书，或者简单地按照自己的条款进行审问。我认为，早期的现代数学家会玩弄几何工具。。。我建议几何工具很少需要几何证明来证明其有效性（[7，p.105]；另见[2，p.248]）。例如，图1显示了一块星盘，上面只标记了赤道和热带地区的圆圈，以及一组绘制不稳定的循环曲线，这些曲线标志着黄道在地平线以上的半点符号（间隔15度）上升。我在纸上或铜管乐器上找不到此类台词的早期例子[3、15、8]。在图形中，是Cod.icon的划线器。182已经将这些线从平面等高仪的其他特征中分离出来，对他来说可能也是新奇的。没有任何解释；没有提供如何生成不规则循环的提示。在图2中，我们的划线器分离出盆日晷的一个特征，这是与该仪器相关的三幅图纸之一。没有任何单独的图纸提供了此刻度盘所需的全套线路的视觉表示。法典中充满了这种离散思想的草图，这些零碎的表述在那个时期通常的“制作和使用”文书文本中是找不到的。材料人工制品和理想机械之间的数学仪器3527图1。图2。慕尼黑环形山上每一个普通人的演示模式，dietas signi per oritur，Mun-BSB Cod.icon。182，f.66v ich，BSB Cod.icon。182，f.34r我们如何定位Cod.icon。182在视觉和数学文化中大约1500年？谁可能画了草图，为什么？当代艺术家的素描本，例如阿尔布雷希特·德鲁尔（Albrecht D¨urer）在1520-21年荷兰之行期间创作的银色点画“布什林”（buchlein），通常以完全完成的绘画主题为特色，这些录音将被用作以后更大的艺术品的组成部分。一些工作室制作了被艺术历史学家称为“图案书”的作品，例如15世纪早期的一套盒装小画，包括各种类型的人头和一些动物，由学习绘画的学徒复制（或由富有的赞助人收集？）。我所知道的另一个当代的例子是乔治·哈特曼（Georg Hartmann）于1527年在纽伦堡（Nuremberg）创作的所谓星盘（Astrolabes）手稿，它是一本由75对开本组成的法典，用羊皮纸精心绘制而成（一份演示稿？），在绘图中显示了各种仪器，其完成程度远远高于Cod.icon的。182 [14, 13, 9, 5]. codex中的几条物理线索以及一些草图位于Cod.icon。182年，在一个完全不同的背景下，即在安德烈亚斯·斯蒂博里奥斯（约1464-1515）的维也纳大学天文学讲座中。许多对开本正面的右下角都被重重地竖起，这表明经常使用松散装订的抄本。几乎每一对带有星盘底座草图的对开本（总共28张）的背面都有一张小的方形纸片粘贴在纸上，大概是为了支撑一根线穿过圆的中心来固定一个旋转的转轴（在本例中为rete）。然而，只有几次是3528Oberwolfach报告58/2017，床单实际上刺穿了中心。我们可能会猜测，在组装成法典之前，星盘纸已经“批量生产”。同样，大多数草图都被刺破了，这表明这些设计是从一个图案中复制而来的，而不是在对开本上自由创作的。许多草图显然没有完成，显示了没有数字的分割弧、没有分割的圆等。这些线索似乎放置了Cod.icon。182在教学背景下。1500年左右，纽伦堡的数学家约翰内斯·沃纳（Johannes Werner）和约翰·斯塔比乌斯（Johann Stabius）发明了一种心形的地球投影草图（f.22r）。1502年，Stabius和Stiborius一起从Ingolstadt的大学搬到了维也纳，加入了Konrad Celtis的圈子[11]。另一张绘制的星盘（f.37r）将一天分成四个等分，用于四种体液（这是我以前从未见过的设计），斯蒂博里奥斯在他关于星盘的讲座中讨论了这个主题。他关于一种叫做萨菲亚的宇宙星盘和托勒密管风琴的讲座也留下了笔记。最近对这些笔记的分析推测（在不知道Cod.icon.182的情况下），“Stiborius可能使用了廉价的纸质工具来说明他的讲座”[6]。我想补充一点，他可能鼓励他的学生通过复制他分发的纸图案来准备他们自己的想法或这些工具中的几何工具的草图。事实上，这是Cod.icon最早的学术评价之一。182是在不了解斯蒂博里奥斯讲课的情况下编写的，其结论是，法典“可能是一本天文简编[格伦德里]，由一位大学讲师以手稿形式发给学生作为教学辅助”[12,4]。对斯蒂博里奥斯的讲座和Cod.icon的深入研究。182页通过将乐器分解为几何工具，可以说明大学关于乐器的讲座与15世纪和16世纪手稿中常见的“制作和使用”文本的不同之处。工具书类 [106] F.S.Benjamin Jr.，G.J.Toomer，《诺瓦拉的坎帕纳斯和中世纪行星理论》，麦迪逊：威斯康星大学出版社，1971年。 [107] J.Bennett，《宇宙学与日晷的意义》，载于：Nature Engaged，M.Biagioli，J.Riskin（编辑），249-262，伦敦：Palgrave Macmillan，2012。 [108] O.Fine，De duodemic caeli domiciliis et horis inaequalibus，巴黎：迈克尔·瓦斯科桑斯，1553年。 [109] H.Gr¨ossing，Stiborius，Andreas（1464-1515），《自然科学院建筑》8/9（1983），457-48。 [110] G.Hartmann、Astrolabien、Weimar、Anna Amalia Bibliothek、Fol max 29，扫描地址：https://haab-digital.klassik-stiftung.de/viewer/resolver？标识符=1016&field=MD_DIGIMOID [111] D.Hayton，《王冠与宇宙：马克西米利安一世的占星术与政治》，匹兹堡：匹兹堡大学出版社，2015年，第71-77页，第226n15页。 [112] R.L.Kremer，《玩弄几何工具：约翰内斯·斯塔比乌斯（Johannes Stabius）的天文唇统领（1515）及其继任者》，半人马座58（2016），104-134。 [113] R·L·克雷默，《公共空间中的占星术时间：G¨orlitz Arachne》（1550），出版中。 [114] U.Moser，Das Skizzenbuch der internationalen Gotik in den Uffizien，Vienna：Holzhausen，1976年。材料制品和理想机械之间的数学工具3529 [115] M.Reuter，《Bayerischen Staatsbibliothek的图像编纂》，Teil 1，威斯巴登：Reichert出版社，2013年。 [116] C.Sch¨oner，Mathematik und Astrominie an der University，英戈尔施塔特，15岁。和16。贾赫亨德特，柏林：邓克与洪堡，1994，205-214，255-262·Zbl 0856.01008号 [117] K.Schottenloher，Jakob Ziegler aus Landau an der Isar，M¨unster：Aschendorffschen Buchhandlung，1910，21。 [118] M.Theisen、E.K¨onig、Das Wiener Musterbuch:Kommentarband zur Faksimile-Editions des Musterbush。。。在维恩，辛巴赫：M¨uller&Schindler，2012年。 [119] P.Trotman，Albrecht D¨urer，《1520-21年荷兰之旅草图》，伦敦：Elek出版社，1971年。 [120] Fer J.de Vries，Nicola Severino发现了关于黄道行星时间的重要新闻，《北美太阳学会季刊》，第16卷第1期（2009年），第15-26页。比较星盘Petra G.Schmidl“比较星盘”提出了两个案例研究，展示了比较星盘的效率，以及这项任务的难度。在一个简短的结论中，这篇演讲发展了一些关于比较星盘有用工具的初步想法。星盘捕捉到地球观测者周围天体的运动，并在二维模型中模拟这种三维体验。有一个天体部分，一张被称为rete的星图，还有一个地球部分，板块，它们位于母体中，即容纳它们的盒子中。星盘可以用来计算、观察和计时。虽然多功能天文仪器和模拟计算机，但星盘也有其他用途，如演示、装饰、娱乐、教育和娱乐。许多星盘都没有标注日期和符号，尤其是中世纪欧洲制造的最早仪器。这组硬币中最早的签名和日期很可能是由彼得鲁斯·雷蒙德斯（IIC#3053）于1375年在巴塞罗那制作的6。但有足够的证据表明，星盘早在几个世纪前就在中世纪的欧洲就已为人所知。一个例子是被称为“l'astrolabe carolingien”（IIC#3042）的无日期和无符号的马塞尔·德斯托姆贝斯（Marcel Destombes）等高仪；顺便说一句，这可能是研究最深入的欧洲星盘，它完美地证明了确定这些早期欧洲星盘的日期和位置有多么困难。因此，比较星盘可以揭示新的事实，例如它们的建造地点和日期，这可以帮助我们更多地了解它们的关系、起源和扩散，以及它们可能随着时间的推移而移动。然而，由于缺乏容易获得和可靠的研究工具，这种比较受到了阻碍。以下两个案例研究将说明这一主张。6个星盘由其IIC（国际仪器清单编号）识别。根据[1]，IIC编号为#0001至#0336，根据[5]，后面的编号虽然不是连续的，但根据[3]，仪器编号为#4000，另见[2]，第1054-1060页]。3530Oberwolfach报告58/2017第一个案例研究涉及牛津保存的一块未注明日期和未签名的欧洲等高仪（IIC#0191），由黄铜制成，直径146 mm。除了对该仪器进行详细的调查和描述之外，最近的研究集中在是否以及如何能够建立一个可信的中世纪地理运动记录的问题上。总之，结果显示：星盘最有可能在瓦伦西亚开始航行，然后才找到通往萨拉戈萨的路。然后它向北移动，在巴黎呆了一段时间；它甚至在返回法国之前绕道去了意大利，这似乎是合理的。在支持这一可能旅程的证据中，指向瓦伦西亚最引人注目。IIC#0191的网几乎是IIC#021的孪生兄弟，这是一个安达卢斯/等高仪（见图1），上面刻有铭文“478年底（1086年4月）-伊布拉/m b.阿尔-萨赫/在巴伦西亚制造”。两个等高仪的尺寸大致相同。图1.左侧：牛津大学未注明日期且未签名的欧洲星盘正面（IIC#0191；图片由牛津科学历史博物馆提供）。右侧：卡塞尔（Kassel）的伊本·萨赫勒诺夫（Ibn al-Shahl-Now）等星盘正面（IIC#0121；图片由卡塞尔国立博物馆提供）。尽管有细微差异，但最引人注目的是，欧洲模型中缺少αSco（心宿二）和δCap的星点，以及αLeo（Regulus）的星点只在安达卢斯山的黄道上。尽管如此，安达卢斯语看起来像是欧洲复述的模板。进一步的证据，如数字的符号，表明安达卢斯对欧洲星盘的影响，这是由萨拉戈萨的一块板块所支持的。这个车牌很可能比巴黎的第二个车牌更古老。车牌的设计和数字的符号再次支持了这一论点。关于绕道意大利和星盘返回巴黎的推测主要基于两个观测结果。材料制品和理想机器之间的数学仪器3531第一个涉及两个早期的欧洲星盘（IIC#0168和#0410），其粗体majuscule类似于欧洲星盘材料背面的majuscle（IIC#0191）。然而，问题并不在于有相似之处和不同之处，而是这两个星盘文献中的描述非常模糊——只有意大利联系的一致性是显而易见的。第二次观察考虑到了这样一个事实，即欧洲的星盘拥有巴黎的第二个星盘，而没有任何明显的理由。有人可能会猜测，巴黎仪器的长期缺失是否在某种程度上导致了这种奇怪的板块翻倍[4]。总结第一个案例研究，有两点值得强调。首先，早期欧洲星盘最初和最后的休息地点并不是由仪器本身来定义的，而是由当时从伊比利亚半岛到欧洲的广泛接受的知识转移叙事来定义的。其次，如果手头有工具可以简化星盘的比较，那么追踪星盘的运动或寻找有关IIC#0168和IIC#0410的起源和下落的答案会容易多少？第二个案例研究仍然是与法兰克福大学的一名学生Convin Splettsen合作进行的“正在进行中的工作”，再次关注一个未标注日期和未签名的星盘，这次保存在佛罗伦萨（IIC#0101）。它由黄铜制成，直径约161毫米，因此比第一个案例研究中的等高仪（IIC#0191）大约15毫米。在早期的描述中，它被认为是奥里拉克（Aurillac）的格伯特（Gerbert），后来的教皇西尔维斯特二世（Pope Silvester II，卒于1003年），这一称号给了星盘一个看似不太可能但却经久不衰的绰号。图2：左侧：佛罗伦萨未注明日期和无符号的星盘正面（IIC#0101；摘自[2，p.491]）。右侧：同一个星盘的背面（IIC#0101；摘自[2，p.492]）3532《奥伯沃夫巴赫报告》58/2017。研究的重点再次放在为该星盘的运动建立一个可能的中世纪路线上。到目前为止，有迹象表明，星盘起源于巴格达，后来在安达卢斯停留后转移到欧洲。关于其最初的下落，主要证据来自网的设计，该网显示出与早期阿伯·阿西德时期的阿拉伯星盘相似。最具特色的是由矩形基座上的锐角等腰三角形组成的星形指针，其上两个角可以升高。它们类似于小匕首（见图2）。这一特征在其他早期阿拉伯星盘上也有发现，例如最有可能是在9世纪制造的星盘，例如al-Khafíf的Baghdíad（IIC#1026和IIC#4030）。金把这件乐器（IIC#0101）放在一组早期的阿伯阿西德星盘中，很可能是因为这些相似之处，并将其他特征作为“后来的补充”处理。但人们必须始终记住，这可能只是复古风格。公元13世纪，al-Ashraf֒Umar的也门星盘（IIC#0109）包括具有早期֒Abb’asid retes上发现的特征形式的恒星指针，以及其他没有的恒星指针。这提醒人们在从单一证据来源进行推断时要非常小心。该星盘在安达卢斯的停留点由其背面的圆形刻度表示，尽管不完整且没有刻字（见图2）。它类似于11世纪中期阿尔-安达卢斯（al-Andalus）制造的所有三个al-Shlínaf星盘背面的一个星盘（IIC#0117、IIC#01018和IIC#0123）。目前，这种比例尺似乎是这些星盘独有的，但还需要进一步研究。由于拉丁语的铭文，星盘在欧洲的出现是显而易见的，但到目前为止，这一直是次要关注的问题。只有一份早期欧洲星盘的初步列表已经准备好，以找到可能的比较。虽然这两个案例研究的结果是有指导意义的，但获得它们的方法却没有；这或多或少是偶然发生的。比较星盘的更好的工具是天文学和天文仪器历史的迫切需要。不用说，自法兰克福目录项目开始以来，已经出版了许多描述、目录、概述和网页。然而，考虑到手头现有的工具，寻找用于比较的对象是一项困难的任务。作为可搜索在线数据库的组成部分，基于严格层次结构的标准化描述是一种可能的解决方案，可能会附带打印分册。如果以牛津的星盘（IIC#0191）为例，如第一个案例研究中所示，很容易快速搜索以“小环”为基数的星点；因此，它的运动可能更容易确定，或者可能会有新的事实出现。第二个案例研究，佛罗伦萨的星盘（IIC#0101）也是如此。然而，这些只是非常初步的想法，将受到这样一个数据库的负担能力的限制。然而，所有形式的应用都是可以想象的；天空是极限！材料制品和理想机械之间的数学工具3533参考文献 [121] R.T.Gunther，《世界星盘》，第2卷。，牛津：牛津大学出版社，1932年。 [122] D.A.金，《与天堂同步》。中世纪伊斯兰文明中的天文计时和仪器研究。第二卷：质量计算仪器，莱顿：布里尔，2005年，特别是研究XIIIa和XIIIb·Zbl 1095.01004号 [123] D.A.King，约1500年中世纪天文仪器目录，http://www.da网站vidaking.org/instrument-catalogue.htm（2018-01-10访问）。 [124] P.G.Schmidl，《运动中的知识：早期欧洲星盘及其可能的中世纪行程》，《中世纪邂逅》23（2017），149-197。 [125] D.de Solla Price等人，计算机化星盘检查表，康涅狄格州纽黑文：作者版，1973年。在中世纪晚期的英国，便携式天文仪器的用途是什么？它们实际携带了多少？凯瑟琳·伊格尔顿（Catherine Eagleton）这篇论文的题目看似简单，但很难回答，它贯穿了中世纪后期天文学和计时仪器的许多学术研究。在这一时期的手稿中，仪器和天文学之间的联系是明确的，因此毫无疑问，它们被视为相互关联的。然而，理论知识和工具的结合并没有提供明确的证据证明这些工具是如何使用的，以及用于什么目的。便携式日晷可以随身携带以显示时间，但它们是吗？德里克·J·德·索拉·普莱斯（Derek J.de Solla Price）的学术成就包括对一系列不同仪器类型的研究，他发表了一篇颇具影响力的文章，概述了中世纪天文仪器的用途，并指出它们的实用价值可能是“想法由黄铜制成”而不是用于观察：“这些装置[…]是有形的模型，与后来的理论中的几何图形、数学或其他符号具有相同的目的。它们是对事物工作方式的具体解释[…]我认为，有形建模作为一种理解，更接近浑天仪或恒星和地球仪的‘目的’，而不是想象它们作为教学或参考设备具有主要用途。”[10，第76页]牛津科学史博物馆馆长弗朗西斯·马迪森也持类似观点，他在一篇基于中世纪最重要仪器类型学的文章中解释说，“除了教授天文学之外，上面讨论的[…]仪器对任何实际职业都没有多大用处。”相反，它们（磁罗盘和机械钟除外）是理论天文学知识的应用[8，p.20]。然而，正如我在演讲中所论证的那样，有一些证据表明，我们可能需要重新考虑某些类型乐器的实际用途，并考虑其中一些乐器是用来显示时间的，还是与象征、教学、，以及Price和3534Oberwolfach报告58/2017麦迪逊概述的其他功能。乐器可以是“想法铜制”的，但也可以是实用的，也许这种组合是这一时期赋予它们重要性的一部分。文本。回答关于使用什么工具的问题所面临的挑战部分与现有证据有关，这些证据可能是零星的。中世纪时期的文献包括零散的参考文献，这些文献揭示了天文和计时仪器的所有权。例如，1434年，英格兰北部东约克郡海顿教区牧师约翰·德·曼索普（John de Manthorp）的遗嘱中包括星盘和日历，1476年，约翰·赫特（John Hurt）的遗嘱遗赠给剑桥大学高谭贷款基金会（Cambridge University Gotham Loan Chest）一本关于天文仪器的书，该书已经作为贷款担保放在了基金会的箱子里（[2，p.561-562]，[3，第704页]）。然而，如果没有关于这两位约翰的传记或其他信息，就不可能更多地了解他们对天文仪器的兴趣，以及他们对仪器和书籍的所有权可能表明他们的用途。文学参考文献提供了线索，但这些也很难解释。杰弗里·乔叟（Geoffrey Chaucer）写了一篇关于星盘的论文，他还将天文学和天文仪器的参考纳入了他的一些小说中，包括《坎特伯雷故事集》（the Canterbury Tales），该书讲述了一群朝圣者前往坎特伯里的故事。这些和其他文学参考资料可能表明，读过或听过这些作品的宫廷观众对天文学及其仪器的理解，但对于使用仪器来计时或观察天空的人来说，它们很少是明确的证据[9]。在众多帮助我们了解中世纪天文仪器类型和功能的资料中，有一种是描述如何制造和使用它们的手稿。这些技术著作描述了各种类型的仪器，以及它们可以应用的许多不同的实际用途。例如，乔叟的《星盘论》用英语描述了星盘可以进行的40多次计算和观察。说明很清楚，但如果有图表，这些手稿通常是几何的，而不是教学的&这些手稿不仅仅是用于实际使用它们描述的仪器的手册。有趣的是，中世纪英国有强有力的证据表明，手稿和它们所描述的乐器一起保存在图书馆里，而且，它们是仅存的中世纪晚期英国书目中的书籍以外的物品。我在之前的一份出版物中曾提出过这样的观点，因为两者都被视为天文学和伟大天文学家成就的信息来源，而仪器是书籍的补充[5]。仪器。今天，幸存下来的中世纪天文和计时仪器不再在图书馆，而是在世界各地的博物馆和收藏品中[6]。一些博物馆在收藏中世纪英国天文仪器方面有着独特的优势，他们的藏品可以让人了解到现存物体的实物制品和理想机械之间的数学仪器类型3535。然而，这些乐器很少有详细的出处记录，也很少与特定的地点或人群相关，因此很难考虑它们可能（或可能）被用于什么目的。将博物馆藏品中保存的乐器与幸存的手稿文本进行比较，也可以看出有些制作和使用的乐器往往没有保存下来，例如圆柱形表盘，根据常见的复制文本，它应该由黄杨木制成[7]。一些复杂的乐器可能很少被制造出来，另一方面，有些乐器可能被广泛使用，但却没有被记录下来，比如沙漏和简单的指南针刻度盘[1]。考古学。2005年，我们发现了一个星盘象限，这表明考古证据有助于我们理解中世纪时期的天文仪器。该仪器特别罕见，因为它是在计划挖掘期间发现的，因此记录了完整的背景和文件。它是在坎特伯雷一家旅馆的挖掘中发现的，阿格尼丝之家可追溯到十三世纪。这件乐器本身的历史可以追溯到1388年，这为朝圣者在朝圣旅行时确实随身携带这类乐器提供了诱人的可能性[4]。特别是对英国来说，有一种资源可以用来调查考古学证据对我们理解中世纪天文和计时仪器的使用和用户有何贡献：便携式古物计划（PAS）。这一自愿方案记录了一些不需要作为宝藏处理的小发现，这些发现通常是由金属检测人员发现的。记录的物品通常是人们在全国各地走动时丢失的物品的“零星发现”，而不是故意隐藏的物品。该计划不仅记录了发现物，还促进了金属探测器社区的良好实践，包括需要获得土地所有者的许可，以及记录发现物的背景和准确位置的重要性[11]。PAS数据库中记录的物品包括数十万枚硬币、75000多个带扣和胸针，以及一小群110件中世纪和后中世纪时期记录为日晷的物品。记录到的最有趣的物体之一是另一个象限，是一位金属侦探在树篱中发现的——他说他知道这是一个重要的物体，因为他看过坎特伯雷象限发现的新闻故事。在大多数情况下，会记录这些物体的发现点，以及识别该物体的基本信息。这些发现提供了新的证据，可以与博物馆收藏的幸存天文和计时仪器进行比较，以开始评估便携式仪器是否真的被随身携带，或者它们是否更经常呆在图书馆、机构或保存它们的房子里。3536Oberwolfach报告58/2017结论。我认为，这种对考古信息的分析，再加上书面资料和博物馆藏品中的物品，表明了一种比以前所了解的更为复杂的使用模式。从有限的考古数据中，几乎没有证据表明这一时期的典型天文仪器——星盘被随身携带，考虑到博物馆中保存的黄铜星盘的大小和重量，这可能并不令人惊讶。纸或木制星盘可能更便于携带，但无论是在博物馆还是埋在地下，这些星盘都不太可能保存下来。另一方面，有许多发现表明，简单的指南针刻度盘可能已经相当普遍地被使用和携带，尽管这些很少被写在手稿文本中。我的论文最后指出，在这两个更为明确的案例中，有有趣的证据表明，另外两种英国中世纪天文仪器——象限和航海日晷——都被随身携带并写在手稿中，并在修道院和大学等学术环境中进行研究。将考古证据与书面资料相结合，并对幸存物体进行仔细研究，这表明它们可能是中世纪英格兰的工具，为普莱斯所讨论的有形模型提供了实例，但它们也是人们随身携带的实用物品，不会留在图书馆和私人书房。还有工作要做，以评估人们在随身携带这些乐器时使用这些乐器的情况——它们是装饰性的、象征性的，还是实际用于计时的，但有一些手稿证据表明了后者，我将在未来的工作中以及在本文的较长版本中对此进行扩展，用于发布。工具书类 [126] D.J.Boullin，《沙漏的图像研究》，《Nuncius 4》（1989），第67-85页。 [127] S.Cavanaugh，《英国私有图书》，1300-1450，宾夕法尼亚大学博士论文，1980年。 [128] P.D.Clarke（编辑），剑桥大学和学院图书馆，伦敦：大英图书馆与大英学院联合，2002年。 [129] E.Dekker，“用他敏锐的语言追求十四行诗”：坎特伯雷的新象限，《科学年鉴》65（2008），201-220。 [130] C.Eagleton，John Whethamstede，圣奥尔本斯修道院院长，关于文科及其工具的发现。或者，为什么天文仪器在中世纪晚期的图书馆里？，Mediaevalia 29（2008），109-136。 [131] D.A.King，《中世纪天文仪器：编目》，《科学仪器学会杂志》31（1991），第3-7页。 [132] C.Kren，《中世纪晚期的旅行者拨号盘：千年虫，技术与文化》18（1977），419-435。 [133] F.Maddison，《中世纪科学仪器与十五和十六世纪导航仪器的发展》，Agrupamento de Estudos de Cartografia Antiga 30（1969），60 p.《材料制品与理想机械之间的数学仪器》3537 [134] J.D.North，《乔叟的宇宙》，牛津：克拉伦登出版社，1988年。 [135] D.J.de Solla Price，《哲学机制和机械哲学：科学仪器哲学的一些注释》，Annali dell’Instituto e Museo di Storia della Scienceza di Firenze 5（1980），75-85。 [136] 网址：https://www.finds.org.uk早期的现代光学图表是数学工具吗？阿里安娜·博雷利什么是数学仪器？当然，在某种程度上，这个问题的答案是武断的。如果我们将数学仪器主要定义为可以在博物馆货架上展示的材料、三维艺术品，那么光学图表将被排除在外。然而，如果数学仪器是根据其功能来定义的，那么光学图可能适合，因为它们与广泛被公认为数学仪器的许多仪器发挥着相同的作用。就像测量工具、机械时钟、地图或星盘一样，光学图表也是“工具”，因为它们构成了一种概念化现象的方式，例如景观、时间或天体运动，使它们在认知上和实际操作上都是可操作的。它们是“数学的”，因为概念化利用了位于（以某种方式定义的）数学实践领域内的预先存在的概念。这个案例研究是为了支持一个更一般的论点，即“数学工具”的概念可以有效地扩展到物质制品或理想机器（如指南针、时钟或计算机）之外，也可以表示出明显较少的“物质”工具，如图表或符号形式主义。我的关键假设是，在数学和所有其他文化活动中，不存在无实体的知识。即使是最抽象的概念，只有以某种感官上可感知的方式表达，如口头或书面文字、公式、图表、计算机程序或材料工具，才能成为科学、历史或哲学讨论的对象。当然，一种形式和另一种形式之间的转换是可能的，但在大多数情况下，这需要将内容适应新的形式，正如现代早期几何和代数实践中经常讨论的那样。从这个角度来看数学实践，使我们能够弥合物质工具和表现方式之间的鸿沟，因为前者和后者都是构建、操作和表现数学知识的工具，因此与数学知识有着直观的联系。在所有数学领域的研究中都应考虑到这种认知星座，但在重建自然现象的“数学化”或“几何化”过程时，它们至关重要，由于经验和用来研究它的特定数学工具之间的相互作用，常常形成了新兴的物理数学框架。就文艺复兴晚期的光学而言，新的、高度非平凡的光学体验是根据绘制光学图的少量规则慢慢概念化的。这些规则起源于古代和中世纪的光学传统中的3538Oberwolfach报告58/2017，但这些图表很快就占据了自己的认识生命。最终，这些发展导致了我们今天所说的“几何光学”，其核心概念只能通过图解规则来理解，尽管在我们今天看来，它们可能是从物理现象中直接抽象出来的。光学图表在古代已经存在[5]。它们是表示和概念化光学经验的几何结构，以使其与欧几里德几何兼容。古代光学图表工作原理的一个简单示例是用于定位反射或折射图像的所谓“cathetus规则”，如图1所示，其中物体O的反射或折射映像O'由眼睛E在两条线的交点处看到：（A）（的延伸）到达E（图中的连续线）和（b）“cathetus线”的反射或折射光线，即垂直于穿过物体O的反射/折射表面（图中虚线）。cathetus法则有助于解释为什么我们在镜子中看到物体，就好像它与镜子的距离相同，但在镜子之外，以及为什么我们在水下看到物体，好像它们比现实中更接近表面。当然，现代光学理论认为这个规则毫无意义，但这并没有减损这样一个事实，即对于这些特定的情况，它似乎工作得很好，因此相关的图表在其当代文化和历史背景下作为数学工具发挥作用，允许概念化，并解释了平面反射和折射的简单现象。图1.平面反射（左侧）和平面折射（右侧）的cathetus规则。E=眼睛，O=物体；水平线=反射或折射平面；在中世纪以前，只有平面上的反射和折射被系统地研究过，但在中世纪晚期，在材料人工制品和理想机器之间的透明、均匀的数学仪器3539“晶体”玻璃被开发出来，并用它制成光学器件，例如球面镜和透镜，它们产生了新的视觉体验，如倒置、放大或缩小，或“悬挂在空中”的图像。在文艺复兴时期，各种学者和从业者试图调整光学图来概念化新的体验，以类似于同一时期的实验精神进行工作，这导致了一系列新的天文占星术和测量或测量工具。本文讨论了促成这些发展的三位主要作者：弗朗西斯科·毛罗利科（Francesco Maurolico，1494-1575）、乔瓦尼·巴蒂斯塔·德尔拉·波尔塔（Giovanni Battista Della Porta，约1535-1615）和约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1594-1630）。根据Riccardo Bell´e[1]的分析，我认为Maurolico修改了与玻璃球折射有关的光学图，目的是将欧几里德几何应用于新光学现象的分析。另一方面，Della Porta在他的论文《折射论》（1593年）和手稿《望远镜论》（约1610-15年）中，对应用欧几里德几何学并不感兴趣，而是对制定能够概念化新光学体验的新图解规则感兴趣，例如玻璃透镜产生的倒影。cathetus规则已经成功地适用于1550年左右球面镜的处理（[4]，[5]），而Della Porta基于这一结果处理玻璃球体和透镜。虽然这一步在后天看来可能相当简单，但任何熟悉这些人工制品可能的各种光学体验的人都知道，它们远远超出了今天“真实”和“虚拟”图像的几何光学术语所能轻松掌握的范围。正如最初的卡西图斯法则一样，试图用几何术语概念化人们通过透镜所看到的一切几乎是显而易见的，而德尔拉·波尔塔引入了一些经验上成功的（如果有限的话）规则，以沿着这条路迈出最初的步伐（[2]，[3]）。在他的论文和手稿中，他都表现出了作为沟通者的高超技巧，引导读者沿着一条新的感知和认知道路前进，这条道路是在使用他新的、改编的光学图时开辟的，他试图在其中制定一条适用于双球面透镜的凯西特斯规则。从这个意义上来说，在望远镜上现存的手稿的最后一个版本的开头，可以找到一段特别重要的段落。在这篇文章中，Della Porta描述了通过双凸透镜观察物体，同时将其从观察者移向物体的经历，但他这样做并不是使用一种策略，而是使用三种不同的策略，一种接着一种：（1）对所见事物的定性印象的口头描述（首先物体直立，然后模糊，然后倒置），（2）光学图，以及（3）与经验和图表相关的口头描述。通过这种方式，视觉和身体体验最终被概念化为标准化的光学几何程序。这是一个基本的概念创新，它将光学图表转化为更强大的数学仪器，并为后来的所有发展铺平了道路。约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）在他的论文《屈光不正》（1611）中混合了毛罗利科（Maurolico）和德尔拉·波尔塔（Della Porta）的方法，他将针对3540欧几里德论证的《奥伯沃法赫报告58/2017》（Oberwolfach Report 58/2017）的图表与几何表示经验的图表结合起来，但这些图表并未用作证明的基础，而不是提供经验的几何化。我相信，所建议的数学工具概念的扩展可能不仅代表了数学和物理实践历史研究中富有成效的启发式方法，同时也加深了对过去几十年来计算方法和数学实践之间出现的紧张关系的理解，这些方法和实践仍然与符号形式主义有关，自现代以来，符号形式主义被视为代表数学知识的“透明”、“客观”工具。工具书类 [137] R.Bell´e、Francesco Maurolico、Giambattista Della Porta及其折射理论，收录于：《Giambattesta Della Porta:重新评估的光学》，A.Borrelli、G.Hon、Y.Zik（编辑），169-200，柏林：施普林格出版社，2017年。 [138] A.Borrelli，《用光学物体思考：Giovan Battista Della Porta光学著作中的玻璃球、透镜和折射》，《早期现代研究杂志》3（2014），38-60。 [139] A.Borrelli，G.B.Della Porta光学著作中cathetus线的启发式功能，收录于：Giambattista Della Porta:A Reassement的光学，A.Borreli，G.Hon，Y.Zik（编辑），57-96，柏林：施普林格出版社，2017年。 [140] S.Dupr´e，《奥索尼奥的镜子和伽利略的透镜：望远镜和16世纪的实用光学知识》，Galilaeana 2（2005），145-180。 [141] A.M.Smith，《从视觉到光：从古代光学到现代光学的转变》，芝加哥：芝加哥大学出版社，2015年。从德国的学术到实践领域：20世纪头几十年里数学工具的使用和发展Renate Tobies本讲座讨论了数学工具作为德国大学应用数学改革计划的一部分。它特别考虑了戈廷根大学和耶拿大学的培训项目，积极鼓励参与者参与仪器理论。该领域训练有素的学生随后在工业实验室使用仪器，并随后利用他们的专业知识开发新设备[5]。Felix Klein（1849-1925）受到他在美国的经历以及法国和英国应用数学发展的影响，在19世纪90年代大力推广这一领域，在他担任爱尔兰根大学年轻教授期间，他已经意识到数学工具的重要性。1873年参加英国科学促进会会议后，克莱因利用他的数学研讨会[2]提供了一些新设备的详细信息：奥劳斯·亨里奇模型、潮汐预测机器以及将圆周运动转化为直线运动的机械设备。几个月后，他设法获得资金购买了一台介于材料制品和理想机器之间的数学仪器3541机械计算器，1868年查尔斯·泽维尔·托马斯（Charles Xavier Thomas）设计的“算术”仪，随后他向学生们阐述了它的操作。他还提出了一种由雅各布·阿姆斯勒（Jakob Amsler，1823-1912）设计和建造的极地求积仪并在其他研究所推广使用。大约二十年后，克莱因又有机会推广这一领域。他认识到数字、图形和工具方法在解决不同学科的问题方面发挥着重要作用。他的灵感来源于他的前博士生弗里德里希·席林（Friedrich Schilling，1868-1950）所写的《Uber die Nomographie von M.d'Ocagne》一书。Schilling的作品发表于1900年，仅在莫里斯·德·奥卡涅（Maurice d'Ocagne，1862-1938）的开创性著作《法制特征》（Trait´e de nomographie）发表一年后出现。克莱恩还强调了约翰·佩里（18501920）的著作、《实用数学》（第三版，伦敦，1899年；德语版，维也纳，1903年）和《工程师微积分》（第三版，伦敦，1899年；德语版，莱比锡：B.G.Teubner，1902年）的重要性。佩里通过对桌子和机械仪器使用的培训传播了一种实验室方法，这种方法在其他地方得到了进一步发展。例如，在他的《实用数学》一书中，佩里向更多的读者解释了如何使用计算尺。所谓的“佩里运动”无疑影响了德国大学的应用数学教学，尤其是在哥伦丁和耶拿。克莱恩的计划包括了一些对数学仪器的发展非常重要的关键元素：伟大事业Encyklop的启动，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，Encyklop的诞生，均包含第一卷和第二卷中关于仪器的文章1898年，建立了一个由科学家和经济实力雄厚的实业家组成的新型社会，即G¨ottinger Vereinigung zur F¨orderung der angewandten Physik und Mathematik[G¨lottingen Association for The Promotion of Applied Physics and Mathematics]，它可以支持工具方法的使用为未来教师引入新的考试规则，其中首次包括应用数学（数字、图形和工具方法）1901年，Zeitschrift f¨ur Mathematik und Physik[数学和物理杂志]转变为专门用于应用数学的杂志，仪器被视为这一类型的子组件1904年，哥伦丁大学（University of G¨ottingen）设立了应用数学教授职位，最初任职者是卡尔·伦格（Carl Runge，1865-1927），他实际上是德国大学在该领域的第一位全职教授在哥伦丁大学发起应用数学跨学科研究研讨会，包括仪器的使用和讨论。卡尔·隆格（Carl Runge）全力支持克莱因（Klein）的改革计划，以促进应用数学。他按照物理和化学常见的实验室课程设计了应用数学课程，并将指导3542《奥伯沃夫巴赫报告》58/2017，他的学生不仅要应用数值方法，还要使用绘图表和绘图板、罗盘、滑尺、四位数对数表，其他桌子、机械计算器和各种其他仪器。为了便于演示，不仅在哥伦丁大学，而且在著名的卡尔蔡司基金会支持耶拿大学各研究所的演讲厅里，都布置了大型的滑尺。数学教授Robert Haußner（1863-1948）并不是耶拿大学唯一支持克莱恩项目的学者。豪纳的前任奥古斯特·古兹默（August Gutzmer，1860-1924）在普鲁士法规颁布两年后，已经为未来的教师制定了新的考试规定，其中包括应用数学。在耶拿的一些应用数学教授职位的临时任命后，包括威廉·库塔（Wilhelm Kutta）（1867-1944）（以求解常微分方程的龙格-库塔程序而闻名）两年的任期，克莱因的前博士生马克斯·温克尔曼（Max Winkelmann，1879-1946），1911年，他成为了一位更长期、更成功的现任总统[1]。在德国大学的研究研讨会上，讨论了几种数学、机械和物理仪器。该程序中的主要仪器之一是谐波分析仪，它在傅里叶分析中有应用。然而，当时该仪器的价格高得令人望而却步，因此并非所有德国大学都能负担得起。那些成功收购分析仪的公司通常会获得与行业相关的某种形式的外部资金支持，典型的赞助商是G¨ottingen应用物理和数学促进协会（G¨lottingen Association for the Promotion of Applied Physics and Mathematics）。因此，在G¨ottingen大学，克莱因能够在1902年夏季学期的一次演讲中详细解释谐波分析仪的操作；有趣的是，这个讲座成为了他著名著作《高等初等数学》第三卷的基础。该仪器也是克莱恩应用数学（电气技术）研讨会的中心，他与卡尔·隆格、应用力学教授路德维希·普兰德尔（1875-1953）和应用电学教授赫尔曼·西奥多·西蒙（1870-1918）共同主持了该研讨会[6]。耶拿大学是德国第二所在应用数学教学项目中使用谐波分析仪的大学。Clemens Thaer（1883-1974）于1909年在耶拿大学完成了博士后学位（Habilitation），后来因翻译《欧几里得元素》而闻名，他发表了一篇关于谐波分析仪准确性的论文[3]。他写道，耶拿大学数学研究所于1909年收到了其谐波分析仪作为贵重礼物。在这里，重要的地区性光学行业，特别是上述卡尔蔡司基金会，为当地大学学院的设施提供了支持。由于德国的专业数学家长期忽视这些问题，19世纪期间，工业工程师已经独立开发出解决技术问题的工具方法。为了学习和更好地理解这些方法，1907年暑假期间，卡尔·隆格（Carl Runge）的数学仪器（Material Artifacts and Ideal Machines）3543在工业环境中呆了九天。他的东道主是一家桥梁建筑公司，该公司是纽伦堡一家著名机械厂的附属公司，该厂的董事是上述G–ottingen应用物理和数学促进协会的创始成员之一。在这里，Runge第一手学习了新的特殊方法，并将其融入了他的应用数学愿景中。他与数学学校的同事们一起开发了求解方程的表格算法，为谐波分析的几个Rechenschablonen（计算模板）、工具和方法奠定了基础，这些工具和方法后来将被科学家和工程师用于处理特殊问题。美国数学家乔治·坎贝尔（George A.Campbell，1870-1954）曾在G¨ottingen与费利克斯·克莱恩（Felix Klein）、维也纳与路德维希·博尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）、巴黎与亨利·彭卡（Henri Poincar´e，1854-1912）一起学习，成为开发定量数学方法并将其应用于远程电报和电话（贝尔电话系统）问题的先驱。他的女同事伊迪丝·克拉克（Edith Clarke，1883-1959）因设计一种以她的名字命名的重要设备而闻名于世，即“克拉克计算器”（1921/1925年，专利号：1552113）。作为通用电气（General Electric）的一员，她设计了这个图形设备，用于求解输电线路中电流、电压和阻抗的方程。值得注意的是，该设备求解线性方程的速度是以前方法的十倍。工业研究人员还使用和开发了特殊仪器和设备，包括德国电气公司的特殊滑尺；例如，柏林的欧司朗公司设计了特殊的幻灯片规则。关于从20世纪20年代到第二次世界大战结束，柏林电气公司工业数学的进一步发展，请参见[4]。工具书类 [142] T.Bischof，Angewandte Mathematik und die Ans¨atze des mathematich-naturwissenschaftlichen Frauenstudiums in Th¨uringen，Wissenschaffliche Hausarbeit im Ersten Staatsexamen，Friedrich-Schiller-Universit¨at Jena，2013年。 [143] F.Klein等人，《Felix Klein数学研讨会协议》，第1卷。尼德斯大学（Nieders）——国立和大学（Staats und University）——图书馆（ibliothek G）——奥廷根。 [144] C.Thaer，？Uber die Genauigkeit des Harmonischen分析家von Coradi，in：数学研讨会zu Jena，Bericht？Uber das Jahr von Ostern 1909 bis Ostern 1910，11-16，Jena：University？ats-Buchdruckerei G.Neuenhahn，1910。 [145] R.Tobies、Iris Runge。《生活在数学、科学和工业的十字路口》，巴塞尔：Birkh¨auser，2012年。 [146] R.Tobies，《20世纪上半叶作为应用数学组成部分的数学工具：从大学培训到工业》，载于：《科学、工程和生产计算》。《第二次工业革命的数学工具》，K.Kleine（编辑），91-101，Norderstedt:Books on Demand，2013年。 [147] R.Tobies，《高等教育研讨会》，Elektrotechnik innerhalb der Lehre von angewandter Mathematik an der University–G¨ottingen，1905年，收录于：Mathematak und Anwendungen（论坛14），M.Fothe，M.Schmitz，B.Skorsetz，R.Tobees（编辑），42-49，Bad Berka:Thillm，2014年。3544Oberwolfach报告58/2017从模拟到数字数学仪器：20世纪50年代和60年代用机器进行数学实践的例子Loɋc Petitgirard数字计算机的兴起改变了整个数学实践，但在20世纪50年，全世界只有少数科学家才能使用这种仪器；主要是那些发明计算机供自己使用的数学家和物理学家。当时，一场“数字革命”几乎没有列入议程，它既不是一场即时的变革，也不是一场全面的变革。在这里，我们想从现代计算机诞生之初，在两个不同的领域中，解决数学仪器中的“并行”变换：“动力系统”理论和“傅里叶变换”光学。我们选择这些领域是因为它们不是严格意义上的“数学”学科：这两个领域都处理非常实际的问题，需要密集的计算以及高度数学理论。围绕这些问题聚集的社区是异质的，基本上包括数学家、物理学家和工程师。在这里，我们将重点介绍专用数学仪器（通常是模拟设备）的使用、作用和发明，以及它们在面对数字革命时的演变。（1） 动力系统理论。我们关注的是动力学系统广泛而长期历史上的一个里程碑，在这个里程碑中，数学工具被定期用于计算和可视化动力学。20世纪50年代初，在法国南部（马赛）的一个实验室里，一小群物理学家聚集在西奥多·沃格尔周围，参与数学发展和工程问题[7]。这个小组设计了一个他们称之为“理论动力学”的项目，其中包括许多要素：明确的经验认识论（即“实验数学”），为数学研究开发特定（模拟）工具，以及对实际动力学问题的兴趣。他们的仪器可以是机械的，也可以是电子的，他们可以提供动力系统的拓扑和几何信息，特别是用其他方法无法获得的“相图”。Michel Jean（Vogel的一名博士生）的工作就是这种模拟实践的一个很好的例子，他构思并使用了Duffing方程的机械模拟7:d2xdx I+2f+ax+bx3=C cos（ωt+）。在他的博士学位中，Jean正在寻找某些微分方程的周期解。这是该机器的优势之一：能够在相平面中呈现动力学的图形细节，提供一些关于动力学的几何见解，并有助于识别周期解。测量值7遵循Jean符号，x是圆盘的旋转角度；I代表惯性动量；f=阻尼系数；ω=强制拍；a、 b和C由机器的特性决定，包括磁盘受到产生福柯电流的磁场的影响，从而抑制旋转。工作振荡器上材料工件和理想机器之间的数学仪器3545，无需任何补充计算，以图形方式报告。在这个相位图中，出现了两个焦点A1和A2（渐近稳定）和一个鞍点C（条件稳定）。图1.机械振荡器和相位图面对来自数字计算机的日益激烈的竞争（我们必须记住，当时模拟计算机通常比数字计算机效率更高），必须强调小组的“模拟实践”，因为它们是基于一种权衡：不需要“高”精确的结果，但相当快速的图形表示。当第一台数字计算机进入他们的实验室时，他们迅速开发出用于动力学研究的新技术；具有新建模可能性的新工具，用于探索动力学的不同方面，增强但不取代现有的模拟系统。他们采用数字技术对于保持实践的连续性和对机器的理解至关重要。直到最近，这项关于“理论动力学”的工作仍然相对未知，但自20世纪30年代以来，模拟计算方法和策略就一直存在。我研究了尼古拉斯·米诺尔斯基在控制数学中的想法，以及他受V.Bush“微分分析器”启发的“动态模拟”计算设备[6]；20世纪60年代后期，E.Lorenz的气象（基本上是数学）工作在某种意义上是微分系统数学理论和数字计算之间的对话，导致了混沌理论中所谓的“Lorenz吸引子”；O.R¨ossler在1975年之后对混沌吸引子的模拟计算机渲染等[5]。动力系统的整个历史由数学理论组成，数学理论将数学家和许多其他专业（如物理学家、工程师、化学家和生物学家）开发的计算/可视化实践联系起来。（2） 傅里叶变换光谱学。我们的第二个关注点涉及一个不同的物理领域，但在同一时间段内：光学，或者更准确地说，3546Oberwolfach报告58/2017红外光谱学。在这里，我们将重点放在20世纪发展起来的一种仪器实践上，其关键是在20世纪50年代，当时P.Fellgett（英国剑桥）和P.Jacquinot（法国CNRS Bellevue）独立构思了红外“傅里叶变换”光谱学[4]。这种分光镜包括通过迈克尔逊干涉仪照亮分析样品的红外参考源。获得红外光谱可以测量样品在每个适当波长下对入射红外光的漫反射程度。该光谱给出了样品的分子“指纹”，这是开发此类仪器的主要动机8。然而，在20世纪50年代，这仍然是一个“梦想”。其中一个主要原因是光谱分析需要计算所有测量的完整傅里叶变换（因为光束通过组合不同波长的干涉仪）；没有明确的理论断言该FTIR光谱仪将提供预期的光谱（尽管Fellgett和Jacquinot铺平了道路）。当时，傅里叶变换的数学理论并不神秘，但为了获得光谱，对傅里叶转换进行合理实用的计算是一个挑战。然而，傅里叶分析的文化和实践并不局限于数学，尤其是在相关的法国物理学家中，他们熟悉二战后不久发展起来的“傅里叶光学”[3]。傅里叶光学提供了用光学方法模拟计算傅里叶变换的方法。它可以完成这项工作，但它是一个非常复杂的设备。计算傅里叶逆变换的动机导致了工具性的“创造性”，使用了“现成的”分析仪（光学或甚至机械系统，如19589年使用的斯特朗和瓦纳斯）、光学设备，当然还有电子模拟设备；后来使用了一些混合系统10。“数字计算机”的功能非常不同。在20世纪50年代初，即使使用当时最强大的主机，也不可能以数字方式计算出完整的频谱。当然，这种变化很快，在1966年“快速傅里叶变换”算法达到顶峰（顺便提一下，这使得FTIR光谱仪成为一种快速、易于使用、易于使用的仪器）。多年来，正如他们回忆的那样，法国物理学家“可悲地对数字技术一无所知”[2]。但一旦突破了数字障碍（因为他们遇到了国际光谱学家，试图使用计算机），他们就将FTIR集成并转换为数字：J.Connes（Jacquiot的博士生）给出了该仪器的第一个完整数学理论，特别关注于1960年计算傅立叶变换的方法。从模拟设备过渡到8 FTIR光谱仪是当今世界各地实验室（化学、生物、工业实验室等）中普遍使用的、易于使用且价格低廉的仪器。9从1956年起，由约翰·斯特朗（John Strong）和乔治·凡纳（Georges Vanasse）（美国）领导的小组推广了许多不同的计算系统。凭借Idealab作为一家仪器制造商，他们培育并商业化了“Idealab-Fourier Transform模拟计算机”。10混合专用傅里叶变换计算机FTC-100于1967年发布。材料制品和理想机器之间的数学仪器3547数字仪器不是线性的，它是由积累的专业知识、光学的物质文化以及一系列数学、数字和物理突破组成的。（3） 开放式问题。这两个案例研究对1950年前后定义数学工具的基本概念提出了许多问题。模拟仪器、模拟实践和文化广泛而多样。数字计算机的“影响”在不同背景下也有很大不同。这是一个彻底的改变吗？这种演变的暂时性也是一个需要解决的重要问题。比较模拟和数字声音非常“具有回顾性”，正如C.Care在他的书[1]中所述，他在书中明确强调了从20世纪50年代到70年代从模拟到数字的建模实践的连续性。总之，数字技术一出现，“模拟文化”似乎就没有被抹杀。这似乎不是一个简单的从一个到另一个的变化问题，而是一个杂交和适应的过程。傅里叶变换红外（FTIR）的历史通常集中在FFT算法上：但必须记住，FTIR核心的干涉仪是首先对（输入）光束进行数学（模拟）变换的仪器（在输出时通过数值计算进行反向变换！）。它表明，这种工具的物质基础是混合的，漫长而曲折的理论和数学发展是必要的，这表明数学的重要性与日俱增，即使在远离纯数学的领域也是如此。工具书类 [148] C.Care，《建模技术：电气模拟、工程实践和模拟计算的发展》，伦敦：施普林格出版社，2010年。 [149] P.Connes、Pierre Jacquinot和傅里叶变换光谱法的起源，《物理学报II》，2（1992），565-571。 [150] P.M.Duffieux，《傅里叶等人的应用》，Rennes:Imprimeries Oberthur，1946年。 [151] S.Johnston，《傅里叶变换红外：不断发展的技术》，纽约：霍伍德出版社，1991年。 [152] L.Petitgirard，《混沌：社会经济问题》。《哲学》、《书信》、《情感、历史与影响研究所》（1880-2000），里昂卢米埃大学博士论文，2004年。 [153] L.Petitgirard，L'ing’enieur Nicolas Minorsky（1885-1970）et les mathematiques pour L'ing’enerie navale，la th’eorie du control et les振荡non’eaires，Revue d’historie des mathematicques 21（2015），173-216·Zbl 1334.01024号 [154] L.Petitgirard，《机器类比与数学数学系统》，《emes dynamicques:le groupe de“Dynamicique th’eorique”de th’eodore Vogel’a Marseille（法国），1948-1964年，《合成评论》，2018年出版。3548Oberwolfach报告58/2017滑尺简史马克·托马斯滑尺使用了三个半世纪，其历史可分为四个时期。1） 英国1614-1815：开始。1614年约翰·纳皮尔（John Napier）计算对数后，爱德蒙·冈特（Edmund Gunter）于1620年发明了冈特线（Gunter’s line），这是一种对数刻度，与一对除法器一起使用。1624年，威廉·奥特雷德（William Oughtred）制作了第一个圆滑尺，1627年埃德蒙·温盖特（Edmund Wingate）紧随其后，建立了第一个线性滑尺。对数在短短15年的时间内诞生了这样一个工具，这是非常不寻常的，但在许多方面，它只是对紧迫要求的必要回应。在早期，滑尺是专门的，最重要的应用是在木材和计量行业。在木料场，木匠的计算尺（考格肖）很常见，在计量中，消费税官员主要用于计算含酒精液体的税（埃弗拉德）。在海军应用中，一些当代水手基本上使用了冈特的线条。直到19世纪初，滑尺几乎只在英国使用，英国约有50名制造商。它们在欧洲大陆是众所周知的，但几乎没有使用过，而且在其他地方当然也没有生产尺的制造商。1780年左右，詹姆斯·瓦特（James Watt）在他的Soho工厂开始使用改进过的称为“Soho规则”的计算尺。这个日期非常重要，因为它标志着滑尺成为一般计算而非特定应用的工具。2） 抵达法国：1815-1851年。1815年春，工程师地理学家Edme-Franöcois Jomard被派往伦敦，讨论1799-1801年波拿巴埃及战役后返回英国的埃及古董。约马尔注意到英国正在取得重大的工业进步，并发现了计算尺。他对这种新仪器的潜力非常热情，因此，在他返回法国后，他向一些法国科学家介绍了该规则的一个例子，并要求法国最好的仪器制造商之一Lenoir以合理的价格制造和销售这些滑尺。1820年，第一条法国滑尺问世。乔马尔的天才在于他认识到规则需要便宜到所有人都能负担得起，他的抱负是应该教会所有的学生使用乐器。Lenoir，然后是Mabire和Graft（Lenoir去世后）制作了质量非常好的滑尺，但直到1851年，两项重大发展改变了一切，他们的使用才得到充分的赞赏和利用。陆军工兵团的一位年轻军官Am´ed´ee Mannheim改变了刻度尺上刻度的位置，使其成为一种更精确、更有效的工具；事实上，这种增强是所有现代滑尺（曼海姆型）的基础。此外，法国政府决定，掌握使用滑尺的知识是进入“Ecole polytechnique”和“Saint-Cyr军用数学仪器-材料制品与理想机械”3549学院的先决条件。这两件事推动了计算尺在法国的普及，在19世纪下半叶，其通用性显著增加，与法国同期的工业化齐头并进。格雷夫特仍然是法国高质量滑尺的主要制造商，其次是酒馆格雷夫特，酒馆格雷夫是格雷夫特的女婿。3） 扩散：1851-1900。1865年，丹尼特和佩普（亚里士多德饰）开始从法国向德国引进滑尺，然后在1870-71年与法国的战争后开始制定自己的规则。1878年，雀巢和1892年，法伯（现在的法伯卡斯特尔）开始制定规则。当时，一些规则被赛璐珞覆盖，使得它们比木头更便宜、更容易使用。从1887年起，凯菲尔和埃瑟将规则从法国和德国引入美国，然后从1895年起开始制定自己的规则。1895年左右，在日本，Hemmi开始用竹子制作滑尺，因为欧洲的木材与日本的气候不相适应。因此，我们可以看到，滑动法则的传播几乎与每个国家的工业化紧密相连；它显然是工业时代的工具。4） 二十世纪：所有工业化国家普遍使用的滑动法则。最伟大的制造商是美国的Keuffel和Esser、日本的Hemmi-Sun和德国的Faber-Castell，他们都使用工业制造方法来生产高质量的规则。然而，全世界有数百家制造商。20世纪制定的规则根据科学技术的进步进行了调整：有专门处理混凝土科学、化学、无线电、电子、飞机、原子武器等领域计算的规则。二战后，产量最高的制造商每年生产数十万条规则。即使是执行阿波罗任务的宇航员也配备了计算尺，以防电脑出现故障，不过谢天谢地，他们似乎并不需要使用这些计算尺。在法国，Graphoplex公司成为最著名的制造商。然而，在20世纪70年代，出现了电子计算器。一些人最初在他们的代号中对计算尺表示敬意，例如，在TI SR-50中，“SR”代表“计算尺”，但仅仅几年后，随着电子元件变得相对便宜，计算尺被遗忘，其电子等效物被取代。结论。计算尺可以被视为工业时代的计算工具。出生于17世纪，由詹姆斯·瓦特（James Watt）推动，它的传播伴随着世界工业化，直到现在象征着后工业化、数字时代的电子机器的发明。3550Oberwolfach报告58/2017参考文献 [155] P.M.Hopp，《幻灯片规则：他们的历史、模型和创造者》，门丹（新泽西州）：阿斯特拉格尔出版社，1998年。 [156] M.Thomas，《法国的滑尺介绍》，《公认社会杂志》20（2）（2011），1-7。 [157] M.Thomas，《La r’egle a calcul，instrument de l’ere industrielle:le rˆole de La France》，南特大学博士论文，2014年。 [158] M.Thomas，La r’egle’a calcul，historie d’un instrument oubli’e，利摩日：利摩日大学出版社，2018年·兹伯利1414.01001 [159] A.Turner，《从快乐和利润到科学和安全：Etienne Lenoir与法国精密仪器制造的变革》，1760-1830，剑桥：惠普尔科学史博物馆，1989年。地下几何学及其仪器：关于近代早期实用几何学，托马斯·莫雷尔（Thomas Morel）的地下勘测员（称为Markscheider）活跃于近代早期德国国家的金属矿。他们必须解决水资源枯竭、竖井和廊道挖掘等难题，并使用几何仪器进行探索。我的目的是比较学者们写的东西和数学实践者们做的东西，这里集中在一个特定的任务上：计算Seigerteuffe或测量的垂直深度。De Re Metallica（1556）中描述的仪器分析。乔治亚斯·阿格里科拉（1494-1555）不是数学家，也不是采矿工程师。16世纪上半叶，他是一名活跃在萨克森州的医生，今天被人们记住的是他的《金属图书馆十二》（De Re Metallica Libri XII）。这项工作不仅收集了采矿、冶炼、冶金和地球科学方面的知识，还收集了地下几何学方面的知识。他的一般原理很简单：“每种测量方法都取决于三角形的测量。应该布置一个小三角形，并且必须从中计算出一个较大的三角形”[1]。给出的插图（见图1）看起来非常精确，阿格里科拉详细描述了这个过程。然而，由于一些原因，整个过程并不现实。我似乎非常清楚，阿格里科拉在这里按照几何学实践的传统为他的作品题词：读者看到的是三角形的几何学，而不是矿山的实际几何学。如果有人放弃阿格里科拉的工作与现有实践完全脱节的假设，我们可以制定一个更慷慨的假设，并将他的工作视为隐喻。实际上，练习者必须解三角形，从斜边和垂直角度获得cathetus（他们的语言中为“Seigerteuffe”）和base（“Sohle”）。然而，当试图找出这些知识是如何产生的时，事情变得复杂起来。阿格里科拉（Agricola）在他的《金属评论》（De Re Metallica）中描述并展示了一张测量杆的图片，称它实际上是与半圆一起使用的。材料人工制品和理想机器之间的数学工具3551图1.根据G.Agricola[1，p.90]，地下几何的一般原理。如果你考虑一下，作者给出的有些模糊的解释是有道理的，正如他的英语（现代）翻译所做的那样，棍子的刻度尺可以被看作是一个刻有木头的余弦表。20世纪对这些工具的分析得出了关于其地位和存在的相互矛盾的结论；一种观点认为它们是阿格里科拉想象力和学识的产物，而另一种观点则认为阿格里科勒泄露了一个秘密[8,2]。这种仪器似乎不太可能是由测量员常规设计的。但仪器可以用于测量程序，而无需了解任何三角法或掌握嵌入式算法。例如，这就是曼索·福克斯（Menso Folkerts）在葡萄酒计量方面的表现，这是早期现代实用数学的另一个学科[3]。表作为工具：Markscheider传统中的正弦表。因此，正如人们有时所说的那样，阿格里科拉的文本不仅仅是对他所看到的内容的描述。它看起来像是从几何学实践传统和确实存在的仪器中借用的伪物理情况的复杂混合物，或者至少是似是而非的。中心问题仍然是：当实践者需要解三角形时，他们做了什么，即从斜边中找到索勒和赛格特夫？需要注意的是，16世纪没有精确的描述，后来的手稿也从未提及阿格里科拉。3552Berwolfach报告58/2017为此，Markscheider需要几样东西。首先，他需要把事情写下来。测量可以看作是一条虚线，必须收集每个点的数据。此操作称为Gruben-Zug，并在表中进行总结。要处理它，需要一个三角表。在17世纪，我们确实知道他们使用正弦表，更准确地说，是西蒙·斯特文（Simon Stevin，1548-1620）和卢多夫·范·塞伦（Ludolf van Ceulen，1540-1610）计算的表。Balthasar R¨osler（1605-1673），一个重要的Markscheider，似乎已经计算出一个表（见图2），可以直接用于野外工作。它与标准正弦表有两个主要区别。首先，它使用撒克逊矿山（Berglachter）的实际测量单位。其次，正弦的结果不仅以抽象的方式给出了一个Lachter的结果（正如人们在参考窦总图时所期望的那样），还计算了常用的倍数和子部分（虽然R¨osler的原始表格似乎没有保存下来，但我们从他的学生那里获得了大量副本，例如[6]）。图2.B.R¨osler计算的正弦表将用于矿山[6，f.8v-9r]经过这种转换，三角表已成为适用于地下几何的工具。正如普通的圆规在17世纪初被修改为完全适合采矿工程的悬挂罗盘（H¨angekompass）一样，S.Stevin制作的表随后被B.R¨osler改编。这可能看起来微不足道，但我确实认为这是至关重要的。它提供了非常精确的实用数学指导。该表实际上被描述为一种工具：给出了零件的名称（spatia，columna）以及一组指令，使任何人都能使用它。有了该表，材料工件和理想机械之间的数学工具3553测量员可以快速“处理”或“解算”测量并获得分辨率。只要具备最低的计算和绘图技能，他们就可以绘制出准确的矿井地图。结论。这个例子显示了理论问题，在我们的例子中，从斜边和角度计算cathetus和基数，可以提供各种实际解决方案。从业者倾向于使用仪器来提高效率，这些设备有多种形式。阿格里科拉的解决方案是一套精心制作的乐器材料，但17世纪的从业者似乎更喜欢使用适合其特定单位和需求的正弦表。另一种实用的解决方案是在18世纪之交开发的纸乐器，由尼古拉斯·沃格特尔（1658-1713）[7]和雅各布·鲁波尔德（1674-1727）[4]提出。这个案例研究很有意义，因为它说明了标准模型是如何完全错误的，在这个模型中，学者们把严肃的科学带给了实践者。地下勘测员能够找到他们认为有用的东西，并根据他们的具体需求进行调整[5]。他们一直在寻找方法来改进自己的方法或调整现有知识以适应他们的特定要求。工具书类 [160] G.阿格里科拉，《自由金属十二世》，巴塞尔：弗罗贝尼乌斯，1556年。 [161] M.-C.Deprez-Masson，《技术与图像：农业金属》，特恩霍特：布雷波尔斯出版社，2006年。 [162] M.Folkerts，Die Entwicklung und Bedeutung der Visierkunst als Beispiel der praktischen Mathematik der fr¨uhen Neuzeit，《人文与技术》18（1974），1-41·Zbl 0299.01003号 [163] J.Leupold，《几何演算剧院》，达斯主义者Schau-Platz der Rechen-und MeßKunst，莱比锡：尊克尔出版社，1727年。 [164] T·莫雷尔，将欧几里得带进矿井。地下几何学发展中的经典资源和本土知识，见：《翻译早期现代科学》，S.Fransen，N.Hodson，K.A.E.Enenkel（eds.），154-181，Leiden:Brill，2017年。 [165] A.Schneider，Neu-Markscheide Buch，手稿，1669年（TU Bergakademie Freiberg，XVII 18）。 [166] N.Voigtel，Geometria Subtracheea oder Markscheide-Kunst，艾斯莱本：迪特泽尔，1686年。 [167] P.Wilski，Lehrbuch der Markscheidekunde，柏林：施普林格出版社，1929年。列线图：第一次世界大战期间发生变化的人工制品Nathalie Daval在1902年，德国数学家Rudolf Mehmke在《数学百科全书》中对当时使用的数学仪器进行了分类[3]。计算工具分为三种主要类型：数值表、图形表和机械。我们将通过研究第一次世界大战期间法国炮兵使用列线图（图表的另一个名称）来关注列线图。在战斗中，无定向炮火是无效且昂贵的，因此要求炮兵精心准备每次射击，以确保3554 Oberwolfach Report 58/2017尽可能准确有效。为此，必须考虑几个重要因素：风速和风向、空气密度的变化、射弹重量等。准备工作需要在尽可能短的时间内进行大量计算。战争开始时，基本数字表的使用很常见，但逐渐引入了新的、更复杂的版本：这些是由刻度线或点组成的图形表，通过简单的图形读取，可以快速确定计算结果。法国工程师莫里斯·德·奥卡涅（Maurice d'Ocagne，18621938）将这些图表命名为“诺模图”，来源于希腊诺模图（law）和gram“e（traced）在战争期间使用的众多诺模图中，我们发现了并发线数据库。这些表格通过刻度曲线以图形方式表示三个或更多变量之间的关系。在他的论文《命名》中。Les calculs usuels effectu´es au moyen des abaques[2]，d'Ocagne阐述了使用这些abaque的一般方法：给定的方程F（α，β，γ）=0被认为是从三个方程F1（x，y，α）=0，F2（x，y，β）=0和F3（x，γ，γ）=0的系统中消除两个辅助变量x和y的结果。然后，初始方程的解对应于在笛卡尔平面Oxy中追踪的三条曲线的交点。《75年经典图册》（Carnet de graphicques pour le canon de 75）一书[1]包含了用于准备射击的弹道元素，因此炮兵在使用列线图时只能进行简单的操作。调整是根据两个主要组成部分进行的：方向和倾斜度。这些参数的计算是使用几个不同的列线图依次完成的：首先是一个列线图，用于计算角度风向平面图（见图1），然后可以计算横向风修正（对漂移的作用）和纵向风修正（在范围上的作用）。为了获得更高的精度和效率，有必要以类似的方式计算许多其他因素的修正值，例如空气密度、火药温度引起的初始速度、根据加农炮和目标的高度差进行的位置修正、在一组加农炮的情况下的收敛，后来，d'Ocagne在图形表领域取得了重大突破，引入了比以前更简单、更可读、更完整的图形。他的想法是用二元性将每条线替换为一个点，以便将三条线的同时转换为三个点的对齐。通过简单对齐两个值来读取第三个值。这些列线图称为“对齐列线图”。例如，炮兵在战争期间使用了这样的列线图，他们使用了一个辅助目标，炮连已经对其开火，然后根据此信息推断出最终目标的相应射击元件。虽然这种计算在传统的数值形式下会很长且很挑剔，但使用对齐列线图可以在几秒钟内完成。“诺模学之父”D'Ocagne曾就读于巴黎高等技术学院。他主要在Ponts et Chauss’ees，Material Artifacts and Ideal Machines之间的数学仪器3555担任工程师。图1。计算风向角计划的诺模图（[1]，第8页）。使用示例：知道射击方向（东方）和风向（24°C=240°C），我们发现风向角平面图为14°C。尤其是法国的整平。战争期间，他成为了一个专门为他创建的法律局的负责人。但他真正的爱好是数学，尤其是几何。他成为了“国家庞特商学院”和“理工学院”的天文学、大地测量学和地形学教师。这种利益二分法有时导致他忽视了自己的工程生涯，转而选择了数学生涯，在数学生涯中，他竭尽全力通过诺模图的发明和传播获得认可。在第一次世界大战开始时，d'Ocagne帮助军官和工程师构建了射击列线图，但他很快意识到需要建立一个更正式的组织。1916年2月，国防公共教育和发明部部长保罗·潘列夫（Paul Painlev´e）责成他开发满足炮兵和航空需求的列线图。1917年1月，当发明国务次卿成立时，在d'Ocagne的指导下成立了一个特别的列线学部门。他的目标之一是为正在使用的许多不同口径的火炮和炸药建立单独的列线图。很快，他收到了来自前线的许多信件，这些信件证实了列线图的有用性；他们大大缩短了确定一次射门初始参数所需的时间（不到5分钟，3556Oberwolfach Report 58/2017，而不是之前的15到20分钟）。然后，针对这一积极反馈，创建了许多列线图。德奥卡涅为炮兵连提供训练，他是有天赋的年轻军官，在前线受伤，帮助他完成任务。他小心翼翼地列出了他寄送珍贵计算器的人的名单，到1918年5月，发送的射击修正列线图在法国大约达到2000个，在美国大约达到300个。使用列线图的好处似乎显而易见，但由于缺乏训练，并且担心错误计算的后果，因此在战争中应用列线图并不总是可能的。事实上，列线图管理局收到了许多信件，表示如果不接受使用列线图的培训，那么尝试使用这些列线图会带来不利影响。事实上，一些电池已经接受了其他技术的培训，这意味着坚持他们所知道的更安全。另一种批评是，用于绘制列线图的文件似乎并不特别坚固，在战场条件下，很快就会变得肮脏和损坏。为这些缺点寻找切实可行的解决方案成为该局工作的另一个重点。多卡涅因其方法收到了许多感谢信，1922年，他在60岁时当选为法国科学院院士，他在法理学局的工作无疑为这一荣誉做出了贡献。工具书类 [168] 《北欧和北欧武装力量大四重奏》（Grand quartier g´en´eral des armées du nord et du nord-est），《75年画报》（Carnet de graphiques pour le canon de 75），巴黎：国家即兴演奏会，1918年（第2版，1921年）。 [169] M.d'Ocagne，Nomographie。《Les calculs usuels effectu’es au moyen des abaques》，巴黎：Gauthier-Villars出版社，1891年。 [170] R.Mehmke，Numerisches Rechnen，摘自：Encyklop–adie der mathematischen Wissenschaften mit Einschlus-ihrer Anwendungen，Bd.1-2，W.F.Meyer（编辑），938-1079，莱比锡：Teubner，1902。 [171] Sous-Secr’etariat d’’’Etat des Inventions，巴黎，1917年。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。