艾曼纽尔·布雷拉德（编辑）;迈克尔·霍奇曼（编辑）;巴勃罗·什默金（编辑） 工作会议：加性组合学、熵和分形几何。2017年10月8日至13日举行的工作会议摘要。（Arbeitsgemeinschaft：加性组合学、熵和分形几何。） （英语） Zbl 1409.00074号 Oberwolfach代表。 14，第4期，2847-2905（2017）。 小结：研讨会的目的是调查分形几何的最新发展，特别是与平面自相似集的投影和切片有关的发展，以及直线上自相似度量的维数和绝对连续性，特别是伯努利卷积。这些方法结合了遍历理论、可加组合学和代数数论。会谈是对结果的高级描述，针对的是在实际分析、遍历理论和维度理论方面背景最低的混合受众。 MSC公司： 00亿05 讲座摘要集 00时25分 杂项特定利益的会议记录 28A80型 分形 28A75号 长度、面积、体积、其他几何测量理论 37A25型 遍历性、混合、混合速率 28-06 与测量和集成有关的会议记录、会议记录、收藏等 11-06 与数论有关的会议记录、会议记录、收藏品等 软件：GCLC公司;Z轴 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Breuillard}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.14，No.4，2847--2905（2017；Zbl 1409.00074） 全文： 内政部 参考文献： [1] K.Falconer，《分形几何：数学基础和应用》，John Wiley&Sons出版社，2004年·兹伯利0689.28003 [2] M.Hochman，《关于具有重叠的自相似集和熵的逆定理》，《数学年鉴》。180773-822，（2014年）·Zbl 1337.28015号 [3] M.Hochman，P.Shmerkin，局部熵平均值和分形测度的投影，《数学年鉴》，175 1001-1059·Zbl 1251.28008号 [4] P.Mattila，《欧几里德空间中集合与测度的几何》，剑桥大学出版社，第44卷，（1995年）·Zbl 0819.28004号 [5] 乔丹。Marstrand，分数维平面集的一些基本几何性质，《伦敦数学学会学报》3（1954），257-302·Zbl 0056.05504号 [6] P.Shmerkin，《关于Furstenberg的交集猜想、自相似测度和卷积的Lq范数》，预印本2016·Zbl 1426.11079号 [7] J.Bougain，《关于Erd-os-Volkmann和Katz-Tao环猜想》，Geom。功能。分析。13(2003), 334-365. ·Zbl 1115.11049号 [8] J.Bougain，《离散化和积与投影定理》，J.Ana。数学。112 (2010), 193-1236. ·Zbl 1234.11012号 [9] W.T.Gowers，关于长度为四的算术级数的Szemer’edi定理的新证明。，地理。功能。分析。8 (1998), 529-551. ·Zbl 0907.11005号 [10] A.Iosevich，O.Roche-Newton，M Rudnev，关于双线性形式的离散值，预印本·Zbl 1406.52034号 [11] N.Katz，T.Tao，《Falconer和Furstenburg猜想之间的一些联系》，纽约数学杂志。7 (2001), 148-187. [12] S.V.Konyagin，I.D.Shkredov，R中汇总产品的新结果，Tr.Mat.Inst.Steklova 294（2016），87-98·Zbl 1371.11027号 [13] J.Solymosi，通过求和限定乘法能量，高级数学。222 (2009), 402– 4088. 熵导论阿伽门农·扎菲罗普洛斯我们定义了概率测度相对于划分的熵的概念，以及概率测度的熵维。我们研究熵维和其他维概念之间的联系。1.定义和基本性质设p=（pi）ibe为概率向量。p的熵由X H（p）=−pilog pi定义。关于基础空间X的分区α的概率测度µ的熵定义为X H（µ，α）=-µ（a）logµ（a）。A∈α给定分区β时，µ相对于分区α的条件熵由X H（µ，α|β）=µ（B）H（μB，α），B∈βArbeitsgemeinschaft定义：组合学、熵和分形几何2855，其中µB表示µ对集B的正规化限制。此外，给定两个分区α，β-它们的连接α∨β被定义为最粗的公共求精，即α∨α={AB:A∈α，B∈β}。如上所定义的熵满足以下性质：•0≤H（µ，α）≤log|α|，H（μ，α）=0 iffα是一个平凡划分，H（Φ，α）=log|α|iffµ（a）=1/|α|对于所有a∈α。•H（µ，α∧β）=H（µ，α）+H（µ，β|α）。•H（µ，α∨β）≤H如果µ，Γ是概率测度，且0<λ<1，则H（λµ+（1−λ）Γ，α）≥λH（µ，α）+（1−λ）H（Γ，α）。•如果p=（pi）ki=1是概率向量，并且µ1，那么，µkare概率测度！Xk Xk Hpiµi，α≤piH（µi、α）+H（p）。i=1i=12。熵维数从现在起，正整数d≥1被认为是固定的。我们定义Rd的n级并元划分为kDn=1，k1+1×。×kd，kd+1:k 2n2n2n 2n1，kd∈Z。概率测度µ的n阶熵定义为1 Hn（µ）=H（µ，Dn）。最后，我们定义了µ乘dimeµ=limHn（µ）的熵维数，n→∞ 如果存在限制。只要存在dimeµ，它就是[0，d]中的数字。以下命题显示了测度的熵维数与其支持集的盒维数之间的关系。提议1。设µ为概率测度。如果存在两个尺寸，则dimeµ≤dimBsupp（µ）。下面的定理显示了概率测度的点态维数和熵维数之间的联系。2856Oberwolfach报告47/2017定理1。设µ是Rd中紧支撑的概率测度。如果µ是精确的维数，几乎处处有维数α，那么dimeµ=α。更一般地，如果点x∈supp（µ）处µ的点态维数为α（x），则Z dimeµ=α（x）dµ（x）。3.自相似测度的熵维除了精确维测度外，某些自相似测度也存在熵维。定理2。设Φ={φi}i∈Ibe是Rd中相似的迭代函数系，µ=Pi∈Ipiφi*µ是自相似测度。熵维数dimeµ存在。工具书类 [14] 范爱华、刘嘉星、惠饶：一项测量的不同维度之间的关系。数学，135（3）：191-2012002·Zbl 0996.28001号 [15] Y.Peres，B.Solomyak：自洽测度的LqDimensions和熵维数的存在性。印第安纳大学数学杂志，49（4），1603-1621（2000）。检索自http://www.jstor.org/stable/24901114 ·Zbl 0978.28004号 [16] 彼得·沃尔特斯（Peter Walters:An Introduction to Ergodic Theory）：《遍历理论导论》第79卷，《数学研究生文集》，Springer-Verlag，New York，1982 CP Processes丹尼尔·格拉斯科克（Daniel Glasscock）。CP过程大致来说是一个在缩放动力学下概率测度空间上的保测度动力系统。Harry Furstenberg[1]于1970年引入CP过程，作为研究2x和3x（mod 1）动力学之间关系的工具，最近他们被用来解决Furstenberg关于投影维数和在这些动力学下不变的乘积集切片的一些原始猜想[4,6]。在本次讲座中，我们定义了CP过程，给出了一些基本示例和属性，并粗略概述了它们的使用方式。动力学通过反复放大概率测度的一部分来研究分形几何中的问题。为了放大µ（I）>0的区间I⊆[0，1]上的µ∈P（[0，1]），我们将µ限制为I，通过将I发送到[0，1]的唯一同位论向前推µ，并重新规范化，使这种向前推成为概率测度。目标是通过反复放大和理解，例如，通过P（[0,1]）的轨迹，深入了解µ的精细结构。我们可以通过构建一个与µ相关的CP过程并将该过程的良好特性转移回µ来实现这一目标。CP过程可以动态地描述为度量保持系统，也可以概率地描述为随机过程。我们将使用动力学语言，遵循Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2857 [17] ; 有关随机游动和马尔可夫链语言中CP过程的介绍，请参见[3，第6节]。1.树上的CP过程我们将在符号树上定义CP过程。符号设置很有帮助，因为在完全断开的空间上测量的缩放地图是连续的。在欧几里德设置和符号设置之间来回传递结果有其自身的复杂性，但我们在此不讨论这些问题。固定b≥2和d≥1，并设∧={0，…，b−1}d。用σ表示：∧N→ ∧n左移（σw）n=wn+1。对于v∈∧n，设[v]={w∈∧n|w1··wn=v}。对于µ[v]>0的µ∈P（∧N）和v∈∧，通过放大[v]上的µ并缩放：σN∗（µ[v]）µv=，即对于所有气缸组[u]⊆N，µv[u]=µ[u]，定义测量µv∈P。µ[v]µ[v]P∞几何编码映射γ：∧N→ [0，1]d由w7定义→n=1wn/b连接符号和欧几里德设置；测量µv对应于通过放大b-adic立方体γ[v]上的γ*µ并进行缩放得到的欧几里德测量。CP过程将被定义为X=P（∧N）×∧N的子集上的保持测度的动力系统，该子集是一对测度的空间，可放大测度，并有一个点指示放大的位置。在P（∧N）的弱-*拓扑内，集X是一个紧的可度量拓扑空间。在子集X=（µ，w）∈Xµ[w1··wn]>0上，对于所有n∈n=（µ）∈X|w∈suppµ，我们定义了缩放映射T:X→ X乘以T（µ，w）=µw1，σw。一个（base-b）CP分布是一个Borel概率测度Q∈P（X），它是T不变的，并且是自适应的（定义见下一段）。A（base-b）CP过程是一个保测度动力系统（X，b，Q，T），其中b是X上的Borelσ-代数，Q是CP分布。X或P（∧N）上的概率测度称为分布，以便将其与较小空间（如∧N。）上的测度区分开来。投影π1:X→ P（P（∧N））允许我们将分布Q∈P（X）与其测度边缘Q=（π1）*Q∈P（P（λN）。如果对于所有f∈C（X），ZZZ f（µ，w）dQ。适应性意味着“对于Q-a.e.（µ，w）”可以与“对于Q.a.e.µ，对于µ-a.e.w.”互换。给定P∈P（P（∧N）），存在唯一的适应性分布Q∈P；如果Q是自适应的，那么Q（X）=1，所以Q∈P（X）。由于CP分布（根据定义）是自适应的，因此通常将其称为在P（P（∧N））上受支持，并将suppQ写入平均suppQ。2858 Oberwolfach报告47/2017 CP分布的最简单示例是支持单一度量的CP分布；很容易证明，当且仅当存在CP分布Q，使得suppQ={µ}时，µ∈P（∧N）是乘积测度。这个例子已经证明了Q的T不变性和suppQ中度量的精细尺度结构之间的基本联系。作为一个相关的例子，如果µ，ν∈P（∧N）是这样的，对于所有λ∈∧，µλ=ν和νλ=µ，那么具有测量边缘（δµ+δν）/2的自适应分布是CP分布。我们将在这里提到另外两个CP发行版示例。对于σ-不变测度µR∈P（∧N），Q=δδwdµ（w）的自适应分布Q是完全支持点质量的CP分布。Furstenberg在[2，第409页]中用预测方法描述了该示例的扩展。2.微尺度分布和维数给定一个测度µ∈P（∧N）和一个点w∈suppµ，上面提到的µ到P（λN）的轨迹是（µw1··wn）N∈N，概率测度序列在w附近以µ表示。微米是这种轨迹的极限点。如果µ具有动力学或组合起源，则其微观测量通常可以与自身相关。下面的引理给出了一个例子。引理1。如果Φ∈P（∧N）是σ-不变的，ν是µ的微观度量，则suppν⊆suppµ。μ在w处的微观测量分布的集nMD（µ，w）是nPn−1i=0δTi（μ，w）oinP（X）的一组极限点。微测量分布支持μ的微测量值。正如Krylov和Bogolioubov的定理一样，集合MD（µ，w）通过P（X）的紧性是非空的，并且每个元素都是T不变的，前提是它在X上得到支持。下面的定理说，大多数情况下，这个警告都得到了满足。定理1（[5，定理28]）。对于所有ε∈P（∧N），对于µ-a.e.w∈∧N，MD（µ，w）的每个元素都是CP分布。因此，微观测量分布提供了丰富的CP分布阵列。关于遍历CP分布的两个有用事实——（X，B，Q，T）是遍历的Q——很快从定理1得出：由于几乎每个点对于遍历测度都是通用的，如果Q是遍历的，那么对于Q-a.e（µ，w），MD（µ，w）＝{Q}；CP分布的遍历分解中的遍历分量本身就是CP分布。后一个事实很有用，因为它允许我们集中精力研究遍历CP分布R。遍历CP分布Q的维数为dim Q=Hν，C1dQ（ν），P（∧N）中测度相对于分区C1=[λ]|λ∈∧的Q-平均Shannon熵。支持遍历CP分布的度量具有良好的维数特性，如以下定理所示。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2859定理2（[2]，定理2.1]）。设Q是遍历CP分布。Q典型测量值µ是精确尺寸，dimµ=dim Q：对于µ-a.e.w∈∧N，logµ[w1··wn]lim=dim Q.N→∞n结合微观测量分布背后的思想和定理2，我们可以从测量µ构造一个遍历CP过程，该过程支持µ的微观测量，并且维度从下面限定。定理3（[4，定理7.10]）。设φ∈P（∧N）。存在维数至少为lim-supn的遍历CP分布→∞H（µ，Cn）n，其中Cn=[v]|v∈∧n，支持µ的微观测量。关于CP过程（如定理3中产生的过程），可以说得更多，而不是关于它们产生的具体度量；这将在一定程度上成为以下会谈的主题。然后，这些CP过程的一些属性通过结果（例如引理1中的结果）传递回原始测量µ。工具书类 [18] H.Furstenberg，《康托集的交集和半群的横截性》，摘自《分析中的问题》（Sympos.Salomon Bochner，R.C.Gunning（Ed.）），普林斯顿大学出版社，50:7040（1970），41-59·Zbl 0208.32203号 [19] H.Furstenberg，遍历分形测度与维数守恒，遍历理论动力学。系统，28（2008），405-422·Zbl 1154.37322号 [20] M.Hochman，《动力学、分形几何和度量数理论讲座》，《现代动力学杂志》8（2015），437-497·Zbl 1314.28008号 [21] M.Hochman，P.Shmerkin，局部熵平均值，《数学年鉴》175（2012），1001-1059·Zbl 1251.28008号 [22] P.Shmerkin，遍历几何测度理论，未出版，可应要求提供（2012） [23] M.Wu，Furstenberg关于×p和×q不变集交集猜想的证明，ArXiv电子印刷品，https://arxiv.org/abs/1609.08053Furstenberg的维数守恒定理和局部熵平均值Simion Filip由于Furstenberg[Fur08]和Hochman&Shmerkin[HS12]，这篇演讲发展了关于CP过程的结果。第一个基本结果是关于树上措施的投影。假设X，Y是两棵树，π：X×Y→ X是第一个因子的投影。X×Y上的测度θ产生X上的前推测度π*θ，也产生了X∈X的条件测度θX。Furstenberg的结果[Fur08，§3]表明，对于来自CP的随机测度，投影测度的维数和条件测度的维数加起来等于测度θ的总维数。2860 Oberwolfach Report 47/2017定理[Furstenberg维数守恒]对于遍历CP过程，对于度量θ，投影π∗θ是精确的维数，与纤维状条件度量θx一样，我们得到了dimθ=dimπ＊θ+dimσx。该定理的证明包括以下步骤。首先，对于任何CP过程，都有一个可观察的（第一级分区的熵），其Birkhoff平均值给出了度量的维数。根据这种结构，使用纤维熵，给出了一个类似于但不完全等于Birkhoff和的表达式的dimθxin项的公式。解开表达式并应用Birkhoff遍历定理的变体意味着最终结果。Furstenberg用他的结果表明，对于投影π：Rm1+m2，自相似分形A⊂Rm1+m2的维数守恒成立→ 即，从一个自相似分形开始，他构建了一个CP过程，并根据所讨论的投影进行了调整。应用上述定理意味着在以下意义上的维数守恒：存在δ>0，使得δ+dimx∈Rm1:dimπ−1（x）≤δ≥dim A。按照惯例，空集的维数为−∞。讨论的下一个结果要归功于Hochman&Shmerkin[HS12，§4]，它是在以后的会谈中证明预期和实际维度一致性的进一步结果的关键工具。用于计算CP过程测度维数的Birkhoff和现在被局部熵平均值所取代。熵平均的优点是可以根据局部量进行估计。结果适用于树上的任何度量，而不仅仅是来自CP进程的度量。对于树x中的点x，我们将其视为树中无穷远处的点，用[xn1]表示包含x的n级圆柱体。然后我们有：定理[Local Entropy Averages]假设µ是树x上的测度，对于µ-a.即x∈x，我们有lim-inf−logµ（[xn1'）≥αn→∞n那么我们有dimΦ≥α。这个定理还有一个相对版本，在估计投影尺寸时很有用。为了描述它，表示对于x∈x和水平n圆柱集[xn1]，由µ（[xn1λ]）µ[xn]（λ）：=1µ→ Y和X上的概率测度µ，假设N−1 1X NH（f∗（µ[xn1]））≥αk=0，对于µ-a.e.X，则我们有dimf∗µ≥α。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2861这个定理的证明是通过找到一个“随机”截面σ：Y→ 投影图f:X的X→ 是的。在每根光纤中均匀随机选择截面，并将之前的结果应用于测量σ*f*µ；然后通过求平均值得出f*µ维数的下限。参考文献[Fur08]FurstenbergH.-“遍历分形测量和维数守恒”。遍及理论动力。系统28no.2，（2008）405-422。http://dx.doi.org/10.1017/S014338570800084。[HS12]霍奇曼&ShmerkinP公司-“分形测度的局部平均值和投影”。数学年鉴。（2） 175第3号，（2012）1001-1059。http://dx.doi.org/10.4007/annals.2012.175.3.1。Hochman-Shmerkin投影定理Laurent Dufloux本文基于[1]；为了简化说明，我们将自己限制在2维，并且跳过了本文中关于Gibbs测度乘积的部分。我们首先说明霍奇曼-什莫金投影定理。然后将该结果应用于具有稠密旋转的自相似测度以及×2和×3不变测度的乘积，从而解决了Furstenberg.1的一个猜想。投影定理在前面的讨论中，CP分布是在树中定义的；欧氏空间中CP分布的定义基本上是相同的，嵌套的并元分区扮演着嵌套圆柱的角色。有关更一般的定义，请参见[1]。如果P是R2中的CP分布，并且π是从R2到R2某一直线的正交投影，那么我们让ZEP（π）=dP（µ）dim（π*µ）。定理1（[1]定理8.1和8.2）。设P是维数为α∈[0，2]的遍历CP分布。（1） 对于几乎每个π，EP（π）=inf{α，1}。（2） 如果π是固定的，则P-几乎每µ的EP（π）=dim（π*µ）。（3） 对于P-几乎每µ，每π的dim（π*µ）≥EP（µ）。（4） 映射π7→ EP（π）是下半连续的。这个结果的证明依赖于局部熵平均界和Marstrand的投影定理（对于第一个语句）。主要的一点是，局部熵平均界，以及随机µ的（统计）“自相似”特性，允许在固定尺度上考虑投影度量的熵，这“本质上”是π的连续函数。2862Berwolfach报告47/2017 2。自相似测度的投影考虑一个IFS{fi；i∈∧}，其中∧是有限的，R2的最终收缩相似性。我们假设该IFS满足强分离条件，即X是IFS的吸引子，fPi（X）是两两不相交的。设µ为自相似测度，即µ=ipi（fi）*µ，其中（pi）是具有严格正分量的概率向量。定理2（[1]，定理1.6）。假设图的旋转部分生成SO（2）的稠密半群。那么对于从R2到R的任何线性投影π，dim（π*µ）=inf{1，dim。证明。可以构造一个遍历的CP-分布P，该分布P满足以下性质：对于P-几乎每个ν，存在仿射相似性S，使得µ对于S*ν是绝对连续的。定理1的应用表明，在给定ε>0的情况下，使得π*µ具有维数至少为inf{1，dim（µ）}−ε的投影π集是稠密和开放的，而关于fithen旋转部分的假设意味着实际上dim每个π的−ε。自相似集投影的相应结果遵循自相似测度的定理。3.弗斯滕贝格猜想下列结果已陈述，但在谈话过程中未被证明：定理3（[1]，定理1.3）。设µ（resp.ν）是[0，1]上的一个×2（resp×3）不变测度。设θ为乘积测度θ=⊗ν。然后，对于不是坐标投影之一的每个正交投影π，dim（π*θ）=inf{1，dim。这是对Furstenberg处理集合而非测度的猜想的强化。集合的表述遵循测度的表述，使用变分原理。这个证明很有技术性。它依赖于定理1（更准确地说，是非遍历CP分布的这个结果的一个版本）和“广义”CP分布的构造，其中并元分区被一系列分区替换为有界偏心矩形。测度θ不受非形式乘积变换（×2，×3）的影响；为了能够以一种有意义的方式放大θ，人们被引导构建一个生活在非理性旋转之上的动力学系统，并且缩放过程是该旋转之上的偏斜乘积。工具书类 [24] Michael Hochman和Pablo Shmerkin，局部熵平均值和分形测度的投影。数学安。(2), 175(3):1001-1059, 2012. Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵与分形几何2863 Wu对Furstenberg交集猜想的证明Tom Kempton这篇演讲基于Wu[1]的最新工作，他在其中证明了以下定理，最初由Furstenberg猜想。定理1。如果A，B⊂[0，1]分别在×p，×q下是闭的和不变的，并且iflog plog q∈q，那么对于所有实数u和v，/dimH（（uA+v）≠B）≤max{0，dimH（A）+dim H（B）−1。我们重点讨论了一个特例，A是中间的13Cantor集，B是中间的12Cantor集。这在符号上更简单，可以画出好的图片，但实际上并不比证明完整定理容易多少。集合（uA+v）νB可以被认为（直到仿射坐标变化）是通过乘积集A×B的切片。吴的证明表明，如果有一个切片穿过上盒维数γ的A×B，那么（1）对于勒贝格几乎每个θ，都存在一个切片lθ穿过A×B且斜率θ和dimH（lθ（A×B））≥γ。（2） 此外，可以选择这些切片lθ，以便有一个小盒子维数的集合C⊂a×B，使得每个lθ与B相交（实际语句稍微复杂一些，但遵循这个思想）（3）将1和2放在一起，就可以得出a×B的维数必须至少为1+γ。第1部分最初由Furstenberg证明。该证明涉及构建至少通过Hausdorff维数的A×B支撑在薄片上的CP链。演讲的大部分时间都花在了证明第一部分，以及说明第一部分和第二部分加在一起如何足以展示第三部分。参考文献｝ [25] Wu，Furstenberg关于×p和×q不变集交集猜想的证明，（arXiv:1609.08053）一些可加组合学Thomas F.Bloom 1。可加组合学导论我介绍了可加组合的一些基本工具和概念，在传统的集合加法上下文中，以熵的形式，后者特别遵循了陶[2]的论文。设G是一个交换群，为了方便起见，我将其取为有限，设A，B⊂G。求和集A+B定义为A+B={A+B:A∈A，B∈B}。在本次演讲中，我将讨论和集大小之间的不等式，以及通过知道这些大小很小可以推断出什么样的结构信息。2864Oberwolfach Report 47/2017（1）平凡恒等式不等式：集合大小之间有一个非常有用的关系族，其中最有用的是由于Ruzsa引起的以下集合不等式，通常称为Ruzsa三角不等式：|a−C||B|≤|a–B||B−C|，这是因为平凡恒等式（a−b）+（b−c）=a−c意味着映射（a−c，b）7→ （a−b，b−c）是一种注入（为每个a−c∈a−c选择一个唯一的代表）。（2） 覆盖引理：通常是下面讨论的逆定理证明的起点，这些引理表明具有较小和集的集合可以被少量的平移有效覆盖。再次，经典的例子是由于Ruzsa：如果|A+B|≤K|B|，则A最多包含在B−B的K平移的并集中。证明只是取一个集X⊂A的极大值，使得平移X+B对所有X∈X是成对不相交的。（3）Pl¨unnecke不等式：假设|A+A|比|A|小。由于集合加法是一种平滑操作，我们希望在更多的加法下保持这个属性，例如|a+a+a|继续很小，等等。这是由以下Pl¨unnecke不等式严格规定的：如果|a+a |≤K | a|，那么对于所有t≥2 |tA|≤Kt|a|，其中tA=a+·+a是a的t倍和。（4）逆定理：如果|A+A|A|，我们可以推断出关于A的什么结构信息？如果A在多维算术级数中是稠密的，那么这样的不等式显然成立。Freiman-Ruzsa逆定理表明，这是唯一的可能性，使我们能够从相当弱的统计信息中推断出强代数结构。我们稍后将更深入地讨论后两个主题。加法组合学的另外两个重要方面是Balog-Szemer’ediGowers定理和和积现象，将在单独的会谈中讨论。2.熵类比设X是取G值的随机变量。如果X是从某个a⊂G均匀采样的，则熵H（X）正好是log|a|。这导致我们提出与上一节中类似的问题，但现在考虑任意随机变量。例如，如果H（X+X）−H（X）很小，我们可以推断出关于X的什么？是否存在类似于Ruzsa三角形不等式的集合不等式？重要的是要注意组合世界和熵世界之间的一个重要区别——即使X从A均匀采样，X+X也不一定从A+A均匀采样。相反，相应的概率测度与1A*1A成正比，后者比1A+A平滑得多。Arbeitsgemeinschaft：组合数学，熵，和分形几何2865例如，考虑集A，它是Z2中沿正交轴的两个算术级数的并集。从A+A均匀采样几乎肯定会在长方体上的整数格子内给出一个点，而根据1A∗1进行采样则会在轴上给出一个正概率点。虽然和集的基数和随机变量和的熵之间的关系很密切，但两者一般都不能从另一个推导出来，而且两者必须并行发展。关于熵H（X），我们需要的重要事实是，它是一个非负的量，然而我们对其他随机变量进行条件处理，条件处理会降低熵，H（X|Y）≤H（X），并且我们有链式规则H（X| Y）+H（Y）=H（X，Y）。由此可以直接推导出子模不等式：如果X和Y都单独确定Z，并且联合分布（X，Y）确定W，则H（Z）+H（W）≤H（X）+H（Y）。这有两个重要后果。（1） Ruzsa三角形不等式：设X，Y，Z为独立随机变量。由于（X−Y，Y−Z）和（X，Z）各自独立地确定X−Z，并且（X，X−Y，Z，Y−的Z）确定（X，Y，Z），H（X-Z）+H（X，Y，Z）≤H（X-Y，Y-Z）+H（X，Z），其中通过独立性H（X-Z）+H。（2） Kaimanovich-Vershik不等式：这是Pl¨unnecke不等式的熵类似。设X，Y，Z为独立随机变量。由于（X+Y，Z）和（X，Y+Z。特别是，如果H（X+Y）≤H（X）+log K，则如果Y1，Ytare独立地采样Y的副本，然后迭代上述得到H（X+Y1+··+Yt）≤H（X）+t log K。这个不等式在随后的讨论中会多次有用。3.Pl¨unnecke不等式与前面关于基数的熵不等式直接类似的是，如果A、B、C是任何有限集，那么|A+B+C||A|≤|A+B ||A+C|。然而，这个不等式是错误的，因为和集的基数远不如随机变量和的熵稳健。Petridis观察到，如果我们能够传递到某个子集A′⊂A，但仅以B为条件，那么2866Oberwolfach报告47/2017就是这样。也就是说，对于任何集合A、B，都有A′⊂A（取决于B），因此对于所有集合C|A′+B+C||A|≤|A+B||A′+C|。Petridis仅使用初等组合数学就给出了这一事实的一个非常优雅的证明。普伦克不等式是这个不等式的简单推导。4.逆定理|A+A|如何比|A|小？为了方便起见，我们现在假设G=Z。很容易检查d-维算术级数就是一个例子：秩d的级数是一些整数ai，ni的形状P={a0+a1n1+·+adnd:0≤ni<ni}的集合。无论参数选择如何，|P+P|≤2d|P|。此外，如果A是P的任何一个大子集，那么由于一些微不足道的原因，它也必须有小的加倍。弗雷曼和鲁兹萨的一个重要而深刻的结果是，反过来也成立。也就是说，|A+A|≤K|A|当且仅当存在秩d≪K1的级数P，使得A⊂P和|A|≫K|P|。Tao证明了以下自然熵类比：如果H（X+X）≤H（X）+log K，则存在秩d≪K1的级数P，使得X的传输距离接近μP，这是P的统一度量。也就是说，存在一些Z（可能依赖于X），使得H（Z）≪K1和X+Z≡µP。该证明首先简化为X接近某集合A上的一致测度的情况，然后调用前面的Freiman-Ruzsa逆结果。工具书类 [26] G.Petridis，分组乘积集的Pl¨unnecke型估计的新证明，组合数学，32（2012），721-733·Zbl 1291.11127号 [27] 陶涛，香农熵的和集与逆和集理论，组合概率。计算。19(2010) 603-639. ·Zbl 1239.11015号 [28] T.Tao和V.Vu，《加性组合学》，剑桥大学出版社（2006）。Hochman关于卷积下熵增长的逆定理Mikolaj Fraczyk Hochman逆定理，在[1]中引入，描述了概率测度µ的多尺度结构，[0，1）上的ν，其中卷积的尺度2−n−熵Φ*ν非常接近于µ的尺度2–n−熵值。为了使声明更精确，我们在尺度2−）熵以及其他必要的概念下面定义了。Arbeitsgemeinschaft：组合学、熵和分形几何2867 0.1。符号。0.1.1. 二元分区。设I是I上概率测度空间在R.WriteP（I）中的一个区间。对于n∈Z，我们将R的分区Dnof给定为Gkk+12n，2n。k∈Z如果x∈R，我们为包含x的Dn中的唯一单元写Dn（x）。对于测度u∈P（R）和单元D∈Dm，如果μ（D）6=0，我们写1µ（D）µ| DµD:=（TD）*µD，其中TD:D→ [0，1）是D和[0，1]之间唯一的双射同调。测量µDis，称为µ的原始D分量，而µD是µ的重标D分量。对于x∈R，我们采用约定µx，i=µDi（x）和µx，i=¦Di。0.1.2。熵，几乎是原子的，几乎是统一的度量。设u∈P（R）。标度2−nis下µ的归一化熵定义为Z 11 nnR−log（µ（Dm（x））dx。设ε>0，m≥0。我们说，如果Hm（µ）≤ε，则测量µ∈P（[0，1））是（ε，m）-原子的；如果Hm。概率和期望值。我们采用以下约定：设A⊂P（[0,1））为事件，设f:P（R）→ R是一个可测量的函数。对于测度µ，ν∈P（R），我们写下P（µx，i∈A）：=µ。当涉及两个或多个度量时，我们将其分量度量视为独立的随机变量。特别是Z E（f（µx，i∗νy，j））：=f（¦Μx，i*νj，y）dµ（x）dν（y）。0.2. 逆定理。正如我们在第一段中所解释的，霍奇曼逆定理描述了[0，1）上测度µ，ν的结构，因此对于n大和δ很小，我们有Hn（µ*ν）≤Hn（¦Μ)并且ν支撑在小球上，或者当ν是原子的并且µ是任何概率测度时。让我们举一个更复杂的例子。2868Oberwolfach报告47/2017 0.2.1。令人鼓舞的例子。固定δ>0和一个自然数n，当δ很小时，它必须很大，比如n>>δ−1。我们将在[0，1）上构造一个概率测度µ，其性质是Hn（µ*µ）≤Hn（μ）+δ。选择k≤δn，然后选择自然数1=a1<b1<a2<b2<…<ak<bk=n。考虑形式为q=2mn，0≤m<2的有理数的集合∑，对于i=1，…k，q仅在区间[aPi，bi）的位置上有非零二进制数字。我们选择数字ai，bi:=ki=1（bi−ai）（即数字不固定的位置数）的大小大致为N/2。度量µ定义为∑上的归一化计数度量。∑的基数为2N，原子之间的距离至少为2−nso，我们可以计算标度2−n−熵，如下所示Hn（µ）=n1H（µ）=1nlog 2N=Nn～12。为了估计卷积µ*µ的熵，我们将简单地限定µ*¦µ支撑的基数。设x，y∈∑，我们声称对于i=1，…，k，x+y之和只能在区间[ai−1，bi）中的位置上有非零的二进制数字。实际上，如果x+y的第m−th位是非零的，那么x或y之一的第m–th位+第1位必须是非零。因此，∑中数字的非零位数只能出现在Ski=1[ai−1，bi）中的位置，这意味着有界|∑+∑|≤2N+k。因此Hn（µ*µ + δ. 我们以µ的多尺度分析结束这一段。选择相对n较小的m。我们对重标分量的刻度-2−m结构感兴趣，测量值µx，j，j=1，n.结果表明，当刻度j在[ai，bi−m）内时，重标分量µx，iare在刻度2−mas下尽可能均匀，即Hm（µx、i）=1。另一方面，当标度j为[bi，ai+1−m）时，则在标度2−mi时测量µx，iare原子量。这种二分性不成立的标度集包含在联合Sk i=1（[ai−m，ai）ν[bi−m，bi）中，因此其基数约为2km≤2δnm。我们看到，对于m小于n的情况，均匀性和原子性之间的二分性在1到n之间的大多数标度下成立。逆定理表明，当我们稍微放松统一性和原子性的概念时，只要Hn（μ*µ）≤Hn（µ）+δ，这种二分法几乎在所有尺度上都适用。0.2.2. 定理的陈述。定理1（定理2.7和定理4.11[1]）。对于每个ε>0和整数m≥1，存在一个δ=δ（ε，m）>0，因此对于每个n>n（ε、δ，m），以下情况成立。如果µ，ν∈P（[0,1））和Hn（µ*ν）<Hn（¦Μ）+δ，则存在与|IνJ|>（1−ε）n不相交的子集I，J⊂{1，…，n}，使得对于k∈I，Pµx，kis（ε，m）−uniform>1− [29] M.Hochman，《关于具有重叠的自相似集和熵的逆定理》，《数学年鉴》180（2014），773-822。关于具有重叠Amir Algom的自相似测度的Hochman定理我演讲的目的是讨论Hochman的方法（参见[1]），该方法使用上一节课中证明的熵逆定理计算自相似测度和集合的维数。设Φ={φi}i∈∧，|∧|≥2是实线性压缩的有限族；也就是说，对于每个i∈∧，映射φi:R→ R由φi（x）=ri·x+aiwhere|ri|<1和ai∈R定义（记住Φ被称为迭代函数系统-IFS）。为了避免琐碎的事情，我们假设至少有两种不同的收缩。让X表示Φ的吸引子（这样一个集的存在已经在前面的讨论中建立）。设µ是与Φ和非退化概率向量（pi）i∈∧相关的自相似测度。对于R上的Borel概率测度θ，我们表示dimθ=inf{dim a:θ（a）>0}。这个概念有时被称为低Hausdorff维数。还有其他维度的概念，但对于自相似度量，即精确维度，大多数主要概念是一致的。这次演讲的目的是讨论Hochman计算自相似度量µ维数的方法。自相似测度维数理论的经典方法是对Φ施加一些分离条件（例如强分离条件），并推导出dim X=s−dim X（后者表示相似维数）。类似地（再次假设Φ有一定的分离），dimµ=s−dim¦Μ（后者表示前一次演讲中介绍的自相似度量µ的相似维数）。当图像φi（X）有显著的重叠时，计算尺寸变得困难，而且已知的要少得多。霍奇曼方法的主要优势在于，在这种情况下，它能够生成有关度量μ的小尺度几何体的非平凡信息。i=i1…in∈∧nwrite•φi=φi1的符号◦ ... ◦ φin，称之为柱面图ri=ri1··rin，φi的收缩比类似地，我们给出了概率向量（pi）i∈∧，我们将其写成pi=pi1··pin。设n∈n，固定i6=j∈∧n。我们用dn（i，j）=|φi（0）−φj（0）|定义了一般圆柱i，j之间的距离，如果ri=rj，则表示dn（i，j）=∞。我们定义∆n=min{d（i，j）：i6=j∈∧n}。2870Oberwolfach报告47/2017我们注意到以下观察结果：•如果我们在R中选取任何其他点，定义不变。•Φ中的精确重叠是当且仅当某些n的∆n=0时。•∆n→ 指数为0。•∆n可能有一个指数下界：如果图像φi（X）不相交，在OSC下，或者例如当Φ的参数是代数时，就会发生这种情况。在我的演讲中，关于自相似度量的主要结果如下：定理1。如果µ是R上的自相似度量，且dimµ<min（1，s−dim¦Μ），则∆n→ 0超指数，即limn−log∆nn=∞。结论是关于∆n，它是由IFS决定的，而不是由度量决定的。因此，如果结论不成立，那么对于Φ的每个自相似度量，dimµ=s−dim¦Μ。此外，对于吸引子X，同样的说法仍然成立，即如果dim X<min（1，s−dim X），则∆n→ 0超指数。定理1是从关于µ的有限近似的熵的更定量结果中导出的，我们现在对其进行描述。回忆一下•我们写下H（µ，E）表示关于分区E的测度µ的Shannon熵，写下H，E | F表示F上的条件熵。•对于n∈Z，R的并矢分划为长度为2−nis kk+12n，2n）的区间：k∈Z [30] M.Hochman，《关于具有重叠的自相似集和熵的逆定理》，《数学年鉴》。第二辑180（2014），773-822。Bernoulli卷积的背景Korn´elia H´era P∞对于λ∈（0，1），设νλ是n=0±λn的分布，其中符号是以概率12独立选择的。它可以写成无穷卷积νλ=∗∞n=012（δ-λn+δλn），因此测度ν∧称为伯努利卷积（BC）。自20世纪30年代以来，人们对它们进行了研究，揭示了它们与调和分析、代数数理论、动力系统和Hausdorff维数估计之间惊人的联系。在这次演讲中，我们谈到了一些基于[7]的关于不列颠哥伦比亚省的主要古典和现代结果。Jessen和Wintner（1935，[4]）表明，νλ要么是绝对连续的，要么是纯粹奇异的，取决于λ。Kershner和Wintner（1935，[6]）观察到，由于λ∈（0,12）在零Lebesgue测度的Cantor集上得到支持，因此λ∈（0,12）是奇异的，并且在[-2，2]上是一致的。关于BC的主要问题如下：问题1。对于哪些参数λ∈（12，1）是νλ绝对连续的？如果绝对连续性成立，我们对密度能说什么？2872Berwolfach报告47/2017 BC的以下特性有助于更好地理解其结构。我们将使用符号fµ表示µ乘以f：fµ=µ◦ f−1.（1）νλ可以被刻画为满足11ν∧=S−1νλ的唯一概率测度，其中Si（x）=λx+i对于i=1，−1。因此，νλ是权重为12的IFS{S−1，S1}的自相似测度。（2） 让Ω={−1，1}N，µ=（12,12）N伯努利测度Ω, 和X∞πλ：Ω→ R、 ω→ωnλn。n=0，则νλ=πλµ。当应用几何测量理论的思想时，尤其是在横向方法中，此观点非常有用。（3） R上有限Borel测度ν的傅里叶变换定义为ˆν（u）=R e−2πiuxdν（x）。计算简单，得出Y∞νˆλ（u）=cos（2πλnu）。n=0当使用与数论相关的方法时，该公式很重要。1939年，Erdöos首次回答了问题1。定义1。如果β>1是一个代数整数，使得其最小多项式的所有其他根的模都小于1，则β>1为Pisot数。定理1（Erdños，1939，[1]）。如果λ∈（0,1）{12} ，β=λ1是Pisot数，则νλ是奇异的。Erdos的下一个定理表明，在接近1时，绝对连续性是通用的。定理2（Erdos，1940，[2]）。存在ε>0，因此对于几乎所有λ∈（1−ε，1），νλ是绝对连续的。然而，没有给出邻域1的明确边界。Kahane（1971，[5]）简要概述了这一论点，并指出dim{λ∈（1−ε，1）：νλ是奇异}→ 0作为ε→ 这里和后继中的dim总是表示Hausdorff维数。以下定理被称为“Erdos-Kahane参数”。√定理3。设a=2，b=2，k≥3为任意整数。则dim｛λ∈[b−1，a−1]：ξλ（u）6=O（u−0.02/k）｝的基础）｝。k该定理可以用相应位置的适当常数表示为任意1<a<b<∞。证明本质上是组合的，对论证的阐述可以在[7]中找到。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2873用P表示R上具有无穷幂傅里叶衰减的测度族，即存在σ，C>0，使得所有u∈R的|ˆ（u）|≤C|u|-σ。然后定理3很容易暗示：推论1。dim{λ∈（0,1）：νλεP}=0。/根据定理3，利用νλs的卷积结构，可以得到以下推论，即ˆν∧（u）=\710,;ν的λ2（u）·\710,1;∧2（λu）。推论2。对于任意s>0和m∈N，存在ε>0，使得dνλdim{λ∈（1−ε，1）：密度∈C/m}<s.dx Garsia（1962，[3]）发现了一组显式参数，其绝对连续性成立。定义2。如果β>1是一个代数整数，且其最小多项式的所有根的模都大于1，且最小多项式的常数项为±2，则β>1为Garsia数。定理4（Garsia，1962，[3]）。如果λ∈（12，1），β=1λ是Garsia数，则νλ绝对连续。在1940年Erdõos关于1附近的一般绝对连续性的结果之后，一个明显的问题是，对于最大可能区间（12，1）中的几乎所有λ，λ是否绝对连续。Solomyak[9]在1995年给出了肯定的答案，并且表明对于几乎所有λ∈（12，1），νλ都有L2密度。不久之后，佩雷斯和索洛米亚克[8]给出了一个简化的证明，避免了傅里叶变换的使用。这两种证明都依赖于所谓的横向方法。定理5（Solomyak，1995，[9]）。对于几乎所有λ∈（12，1），νλ是绝对连续的，具有L2密度。在这次演讲中，我们通过展示横截性的基本概念，简要概述了[8]中的证明。工具书类 [31] P.Erdños，关于对称Bernoulli卷积族，Amer。数学杂志。61 (1939), 974-975. [32] P.Erdños，关于伯努利卷积的光滑性，Amer。数学杂志。62 (1940), 180-186. ·Zbl 0022.35403号 [33] A.M.Garsia，伯努利卷积的算术性质，Trans。阿默尔。数学。Soc.102（1962），409-432·Zbl 0103.36502号 [34] B.Jessen，A.Wintner，《分布函数和黎曼-泽塔函数》，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》第38卷（1935年），第48-88页·Zbl 0014.15401号 [35] J.P.Kahane，《确定系列的分布》，《Nombres学术讨论会》[1969年，波尔多]，公牛。社会数学。法国，Memoire textbf25（1971），119-122·Zbl 0234.60002号 [36] R.Kershner，A.Wintner，《关于对称Bernoulli卷积》，Amer。数学杂志。57 (1935), 541-548. ·Zbl 0012.06302号 [37] Y.Peres、W.Schlag和B.Solomyak，《贝努利卷积的六十年》，《分形几何与随机学》，第二期（Greifswald/Koserow，1998），Progr第46卷。概率。，第39-65页。Birkh¨auser，巴塞尔，2000年。2874Oberwolfach报告47/2017·兹比尔0961.42006 [38] Y.Peres，B.Solomyak，伯努利卷积的绝对连续性，一个简单的证明，数学。Res.Lett.公司。，3（2）（1996），231-239.P·Zbl 0867.28001号 [39] B.索洛姆亚克。关于随机数列±λn（Erd–os问题），数学年鉴。142 (1995), 611-625. Pisot和Salem数的代数性质Mark Pollicot 1。定义：Pisot、Salem数和Mahler测度回想一下，代数数β>1是整数系数P（z）多项式的（实）根：=adzd+ad−1zd−1+··+a1z+a0。其中a0，··，ad∈Z，其中ad，a06=0。代数整数β是具有整数系数的（最小）多项式的根，其中前导系数是单位，即ad=1。如果β>1是一个代数整数，那么它的共轭根是相应多项式的其他d−1根α1，··，αd−l，即d−1Y P（z）=（z−β）（z−的αi）。i=1定义1。如果λ的共轭根的模严格小于单位，即，对于i=1，··，d−1，λ是Pisot数。一个较弱的条件是，如果共轭根的模小于或等于单位，即，对于i=1，··，d−1，|αi|≤1，则λ是Salem数。我们还可以定义任意多项式P∈C[z]的Mahler测度（阶数为d，超前系数为ad）。定义2。P（z）的Mahler测度由Y m（P）=|ad||αi|∈R+|αi|>1给出。Mahler度量与与P相关的另一个值有关，称为√高度h（P）=maxi|ai|，由m（P）≤h（P）d+1得出。示例1。P0（x）=x10+x9−x7−x6−x5−x4−x3+x+1的Mahler度量值取m（P）=1.17628。。实际上，这是已知的（非平凡）多项式的最小Mahler度量。2.莱默猜想关于马勒测度的最著名的猜想是由莱默提出的。猜想1（莱默猜想）。存在δ>1，因此对于任何多项式P∈Z[x]，我们都有m（P）≥δ或m（P）=1。此外，示例2中的Salem数应该是m（P）>1最小的数。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2875 3。伯努利卷积给定β>1，我们可以将与0<λ=β−1<1相关的伯努利卷积测度的傅立叶变换写成：Y∞Γbλ（t）=cos（λnt）t∈R。n=0回想一下，Erd¨os在1939年表明，如果β是Pisot，那么bΓλ（t）不趋于零（因此根据黎曼-勒贝格引理，Γλ不是绝对连续的）对于Salem数，我们有以下几点：引理1（bν（t）不会多项式衰减）。如果λ是一个Salem数，那么对于bν（t）和任意ǫ>0，我们可以选择tkր+∞和bν。4.Garsia引理我们有如下界（参见[2]）引理2。设β>1为代数整数。设α1，··，αs−1为共轭根。设σ=#{1≤i≤s−1:|αi|=1}。假设P（x）∈Z[x]是多项式，高度M和次数最多为d，且P（α）6=0，则Q|P（α。假设1<β<2是与d次多项式相对应的Pisot数。存在C=C（β，m）>0，因此如果XXnǫjβ−j6=\491'jβ−的j=1j=1，则（\491]j−j）β−j≥Cβ−n。5.Garsia熵设0<λ<1为任意实数。设0＜p−1＜1且p1＝1−p−1考虑有限卷积（p−1δλ+p1δλ）*（p−1Δλ1 q1，q2，··，比如说qr。2876Oberwolfach报告47/2017定义3（Garsia熵（见[3]））。然后定义Xr Hn=−qjlog qj j=1和Hn Hλ=lim N→+∞N该限制由次创造性参数存在。显然Hλ≤logλ。为了简单起见，我们仅限于p−1=p1=12的情况。定理1（Garsia）。如果β>1是Pisot数，那么对于β=λ−1，我们有Hβ<logλ。事实上，Pisot数可能存在更强的不等式，熵与νλ的维数有关。6.马勒分离引理如果P∈C[z]是一个具有不同根的d次复多项式，则z1，··，zd，则马勒给出了根分离的下界√P sup|zi−zj|≥3|d（P）|i6=jdd/2+1M（P）d−1p，其中|d（P）|=|ad−1d |Qi<j|zi−zj|。设β>1为代数数。定义4。让Pd注意到系数最多为-1，0，1的次数多项式集。这有以下推论。引理3（参见[1]）。设d≥9。设η6=η′是两个代数数，每个代数数都是Pd中多项式的根。然后|η−η′|>2n−4n。7.霍奇曼定理我们可以考虑以下定理和问题（见[4]，定理1.9和问题1.10）。定理2（霍奇曼）。dimνλ=1超出维度0的λ集。此外，dimνλ<1的例外参数是“近似代数的”，即对于每一个0<θ<1且都足够大的d，存在一个多项式pd（x）∈Pn，使得pd（λ）<θd。问题2（霍奇曼）。是否存在一个常数s>0，使得α，β是Pdeitherα=β或|α−β|>sd中多项式的根？上面的引理3至少给出了一些下限（s=d14，依赖于d）。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2877参考文献 [40] Emmanuel Breuillard和Pter Varj´u。关于贝努利卷积的维数。预印本，arXiv:1610.091542016年。 [41] 阿德里亚诺·M·加西亚。伯努利卷积的算术性质。事务处理。阿默尔。数学。Soc.，102:409-4321962年·Zbl 0103.36502号 [42] 阿德里亚诺·M·加西亚。infinite卷积的熵和奇异性。太平洋数学杂志。，1963年11月13日至1169日·Zbl 0126.14901号 [43] 迈克尔·霍克曼。关于具有重叠的自相似集和熵的逆定理。数学年鉴。(2), 180(2):773-822, 2014. ·Zbl 1337.28015号 [44] 拉斐尔·塞勒姆。代数数和傅里叶分析。D.C.Heath and Co.，马萨诸塞州波士顿，1963年，关于BC Ariel Rapaport 1光滑性的Shmerkin定理。给出的主要定理λ∈（0，1）用νλ表示对应于参数λ的无偏Bernoulli卷积。定理1（P.Shmerkin，[1]）。存在E⊂（12，1），dimHE=0，使得νλ对于所有λ∈（12、1）都是绝对连续的E.2。相关维数、能量和傅里叶变换用P（R）表示R上所有紧支撑Borel概率测度的集合。给定µ∈P（R↓0log r它始终保持dimcµ≤dimHµ。对于s≥0，µ的s能量由Z Zdµ（x）dµ|x−y | s不难验证，（2）dimcµ=sup{s≥0：是µ<∞}。µ的傅里叶变换定义为，对于ξ∈R，Z bµ（ξ）=eiξxdµ（x）。众所周知，对于每个0<s<1，存在一个常数c（s）>0，使得Z（3）isµ=cs|ξ|s−1|bµ（ξ）|2dξ。2878 Oberwolfach报告47/2017 3。Shmerkin的光滑引理用D（R）表示P（R）中傅里叶变换至少具有幂衰减的测度类，即D（R，t>0 s.t.|bµ（ξ）|≤C|ξ|−tξ∈R}。引理1。设ν∈D（R）和µ∈P（R）的dimHµ=1，则ν*µ是绝对连续的。证明。由于ν∈D（R），所有ξ∈R都存在C>0和t∈（0,12），其中|bν（ξ）|≤C|ξ|−t。对于n≥1 let，1 En={x∈R:µ（b（x，R））≤r1−t对于所有R∈（0，）}。n根据dimHµ=1，得出µ（∏n≥1En）=1。对于n≥1且µ（En）>0的情况，设置µn=µ（Eµ| En。不难直接从（1）中显示尺寸n）cµn≥1−t。由此和（2）得出I1−2tµ<∞。现在由（3）可知，ZZ|\ν*µn（ξ）|2dξ=|bν（ξ。由于这对每一个足够大的n≥1都成立，所以引理如下。主要定理的证明定理1的证明。给定λ∈（12，1）和k≥2，考虑IFS k−1X{fλ，kw（x）=λkx+{0,1}k−1请注意，log 2k−11 logλk=（1−k）降低了νλ，其中降低了相似维数。还可以观察到，（4）νλ=ν∧k*νλ，k，P，这是因为νλs是j±λkjandνλ的分布，k是Pj∤k±λj的分布。根据Hochman定理，在参数测度族上，存在一个集Ek⊂埃克。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵与分形几何F、。集12，1）：λk∈F [45] Pablo Shmerkin。关于伯努利卷积的绝对连续性的例外集。地理。功能。分析。，24(3):946958, 2014. ·兹伯利1305.28012 [46] 巴勃罗·什默金（Pablo Shmerkin）和鲍里斯·索洛姆亚克（Boris Solomyak）。自相似测度及其投影和卷积的绝对连续性。事务处理。阿默尔。数学。Soc.，368:51255151，2016年·Zbl 1334.28013号 [47] 费多尔·纳扎罗夫（Fedor Nazarov）、尤瓦尔·佩雷斯（Yuval Peres）和巴勃罗·什默金（Pablo Shmerkin）。康托卷积测量无共振。以色列J.数学。，187:93116, 2012. 关于代数参数BC光滑性的Varj´u定理Weikun He这篇演讲基于Varjáu的最新论文[3]。在这个演讲中，log表示以2为底的对数。设0<λ<1。用λ表示带参数λ的伯努利卷积。我们在前面的讨论中已经看到，对于几乎所有λ∈（1/2，1），BCΦλ是绝对连续的。然而，显示显式参数λ的绝对连续性是另一个问题。这里我们考虑代数参数。对于代数数λ，其Mahler测度Mλ定义为其最小多项式的Mahler度量。此前，Garsia证明了，如果λ−1是Mahler测度2的代数整数，那么λ是绝对连续的。这次演讲的主要结果如下。定理1。对于任何ǫ>0，都有c>0，因此以下是正确的。设0<λ<1为代数数。如果1−c min（log Mλ，（log Mλ）−1−ǫ）<λ<1，则关于Lebesgue测度，µλ是绝对连续的。注意，在[3]中，Varj´u证明了有偏Bernoulli卷积Φλ，p的定理1（常数c则取决于ǫ和p）。此外，如果我们将λ限制为代数数集，这些代数数不是{−1，0，1}中系数为的任何多项式的根，那么λ的条件可以替换为完全明确的界限1−10−37（log（Mλ+1））−1（log log（Mλ+2）−3）<λ<1，因此，定理1给出了λ的新的显式例子，其中λ是绝对连续的。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2881我们概述了定理1的证明。证明中使用的主要工具是一定尺度上的平均熵。设X是一个实值随机变量。设r>0为实数。我们定义Z1 jXk H（X；r）=H+tdt 0r，其中H（·）表示香农熵。此外，对于0<r<r′，定义H（X；r|r′）=H（X）-r−H（X，r′）。熵的概念有几个很好的性质，其中包括以下Garsia的绝对连续性准则。当且仅当lim-suplog（1/r）−H（X；r）<+∞时，随机变量对于L类log-L密度的Lebesgue测度是绝对连续的。第页→0+有鉴于此，在定理1的假设下，定理1的证明简化为n≥1足够大时（1）1−H（µλ；2−n|2−n+1）≤1n2的证明。对于区间I⊂（0，1]，我们为随机变量Xξnλn的分布写下µIλn：λn∈I，其中（ξn）是一个独立且同分布的贝努利随机变量序列，取值在{−1，1}中，概率相等。通过这种符号，我们得到了μλ=µIλ1*···*µI∧m*µ。现在，使用这些构建块之间的尺度不变性和迭代卷积，我们预计特定尺度2−nand 2−n+1之间的熵将逐渐向1增加。以下两个定理量化了这种增长。第一个用于高熵状态（H（µ；2−n，2−n+1）大于1减去一个小常数。）定理2。设µ和ν是R上的紧支集概率。设α∈（0，1/2）和R>0是实数。假设对于所有s∈（α3r，α−3r），1−H（µ；s|2s）≤α，而1−H（ν；s| 2s）≥α。然后，1−H（µ∗ν；r|2r）≤108（−logα）3α2。下一个定理用于低熵区（H（¦Μ；2−n，2−n+1）远离0，但前面的定理仍然无效）。2882Berwolfach报告47/2017定理3。给定α∈（0，1/2），存在c=c（α）>0，因此如下成立。设µ和ν是R上的紧支集概率。对于任何负整数σ2<σ1<0和任何实数β∈（0，1/2），如果#{σ∈Z[σ2，σ1]：1−H。工具书类 [48] E.Breuillard和P.Varj´u，伯努利卷积的熵和线性群的均匀指数增长，预印本，arXiv:1610.091542015。 [49] A.M.Garsia，伯努利卷积的算术性质，Trans。阿默尔。数学。Soc.102（1962），409-432·Zbl 0103.36502号 [50] P.Varj´u，代数参数Bernoulli卷积的绝对连续性，Preprint，arXiv:1602.002612016。熵与Mahler测度或Landesberg之间的Breuilard-Varju不等式参数λP∈（0，1）的Bernoulli卷积是以下随机幂级数∞k=0±λk的分布λλ，其中符号±是以等概率独立选择的P。用µ（n）λ表示有限和0≤k≤n−1±λk的分布。μλ的随机游动熵hλ定义为：（n）h（μλ）hλ：=lim n→∞n，其中H（µ（n）λ）是有限支撑测度µ（n）λ的Shannon熵。设πλ（x）=ar·∏i=ri=0（x−λi）=arxr+ar−1xr−1++a0是代数数λ∈Q在Z[x]中的最小多项式，其中λ1。。。，λrits-Galois共轭（包括λ1=λ）。λ的Mahler测度定义为Mλ：=|ar|·∏|λi>1|λi |。由于Emmanuel Breuillard和Peter Varju[1]，本演讲中提出的主要定理如下：定理1。存在一个正常数c>0，使得给定任何代数数λ：c·min（1，log2λ）≤hλ≤min。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2883这个常数可以取为c=0.44。Hochman关于Bernoulli卷积定理的一个特例[3]将具有代数参数λ∈（12，1）的随机游动熵hλ连接到测度Φλ：h dimΦλ=min1的Hausdorff维数，λlog2λ−1 Lehmer的一个著名猜想是，只要λ不是0或单位根，所有代数数的Mahler测度都一致有界远离1。定理2。如果Lehmer猜想成立，则存在一个ε>0，使得对于每一个实代数1−ε<λ<1，Bernoulli卷积dimµλ=1。给出了定理1证明的概要，强调了随机变量的高斯平均熵的作用。工具书类 [51] Emmanuel Breuillard和Pter Varj´u，伯努利卷积的熵和线性群的均匀指数增长，预印本，arXiv:1510.04043v2（2016）。 [52] P´eter Varj´u，伯努利卷积的最新进展，预印本，arXiv:1608.04210（2016）。 [53] 迈克尔·霍奇曼，《关于具有重叠的自相似集和熵的逆定理》，《数学年鉴》。(2), 180(2):773-822, (2014). 伯努利卷积与先验参数，E.Breuillard和P.Varj´u Nicolas de Saxc´E Assume（ξn）n≥0是一个±1值无偏抛硬币序列。给定λ∈（0，1），我们研究了随机变量≥0ξnλn的λλ规律。我们给出了以下结果的证明。定理1（Breuillard-Varj´u）。集合{λ∈（1/2，1）|dimµλ<1}包含在R上的通常拓扑的集合{λ∈Q∈（1/2，1）|dimµλ<1}的闭包中，其中Q表示Q在C1中的代数闭包。Hochman的一个问题对于n≥1，设Pn是次数小于n且系数在{−1，0，1}的多项式集，设En={α∈C|P∈Pn:P（α）=0}。2014年，霍奇曼询问以下断言是否正确：（1）∃A≥0:∀α6=β∈Pn，|α−β|≥e−An。正如霍奇曼所观察到的，En元素之间的这种分离对Bernoulli卷积的维数有很好的影响。2884Oberwolfach报告47/2017定理2（Hochman）。如果（1）成立，那么对于任何超越参数λ∈（1/2，1），dimµλ=1。现在，我们基于Breuillard和Varj´u的思想给出了这个定理的简短证明。以下引理对证明至关重要。T引理1。LetP=nPn。对于每个ε>0，存在k=k（ε）≥0，使得满足P（0）6=0的每个P∈P在盘BC（0，1−ε）内最多有k个根（具有多重性）。定理2的证明，在Breuilard-Varj´u之后。假设（1）成立，并设λ∈（1/2，1），使得dimµλ<1。根据Hochman关于自相似集的结果，这意味着重叠的超指数衰减：∀C≥0，∃N:\8704»N≥N，\8707；Pn∈Pn:|Pn（λ）|≤e−Cn。取ε=1-λ2，设k为引理1给出的数，设C=（A+1）k+log1ε。写Pn=XrQn−ri=1X−αi，如果i>k，则有n−rYYk e−Cn≥|Pn（λ）|=λrε|λ−αi|≥λrλn−r |λ-αi|，i=1i=1，因此存在i∈{1，…，k}，使得|λ-1αi|≤ε−n/ke−Cn/k≤e−n（A+1）。简而言之，我们已经证明：n≥n，α∈En:|α−λ|≤e−n（A+1）。为了得到一个矛盾，进行如下操作：让n0=N。取α∈En0，使|λ−α|：=e−n0B≤e−n 0（A+1）。设n1=n0A+1B+1。设β∈En1be使得|λ−β|≤e−n1（A+1）。特别是，我们必须有β6=α。那么|α−β|≤|α−的λ|+|λ−β|e−n0B+e−n1（A+1）≤2e−n 1（A+1）<e−1A与（1）相矛盾，因为α，β∈En1.2。Mahler的一个结果Pn中多项式根的最佳分离结果是由于Mahler。定理3（马勒）。如果α6=β是En中的元素，则|α−β|≥2n−4n。练习1。使用此分离结果并模拟上一节中的证明，表明如果重叠衰减速度快于e−Cn log thenλ∈Q。可以使用Mahler的分离界证明Breuilard和Varj´u的以下结果的稍弱版本。从现在起，如果I是PR+的某个子集，我们让µIλ表示随机变量≥0的规律；λn∈Iξnλn。此外，H（µ；r）表示度量µ的标度r的熵。最后，对于λ∈（1/2，1），hλ表示λ的Garsia熵。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2885定理4（Breuilard-Varj´u）。固定λ∈（1/2，1）。存在c>0，因此对于所有足够大的n，对于所有r∈（0，n−3n），以下结果成立。（λn，1]假设H（µλ；r）<n，则存在η∈Ensuch，即|η−λ|≤rcand Hη≤n1H。证明草图。考虑族A={P∈Pn||P（λ）|≤r}。使用某些有效版本的欧几里得算法，将所有多项式的最大公约数D写成A:D=P1Q1+··+Pℓ问ℓ, Pi∈A，ℓ ≤ n、 h（Qi）≤2n（2n）！和deg Qi≤n。根据A的定义，这表明|D（λ）|≤n22n（2n）！r≤r1/5，这意味着对于一些仅取决于λ的小常数c>0，存在D的根η，使得|η−λ|≤rc。（详细的参数使用引理1，与第一节中给出的相似。）P对于a∈N，设Ωa={（ω0，…，ωn−1）|ωiλi∈[ar，（a+1）r）}，因此H（µ（λλn，1]；r）=X|Ωa|log2n。2个|Ωa|Pωi-ωi′P如果ω6=ω′∈Ωa、 则P=2xjis in a，因此P（η）=0。因此ωiηi=Pωi′ηi和XX|Ω|2n 2n日志|Ω|= H（µ（λλn，1]；r）。i Pm−1因此，hλ=infmm1H（ξiηi）≤n1H（µ（λλn，1]；r）。利用自相似性增加熵我们现在想简述定理1的证明。感兴趣的读者请参阅Breuillard和Varj´u的原始论文，以获得详细的证明。其思想是使用Varj´u的熵逆定理和Φλ的自相似性来增加上一节中证明的熵的下限。设λ∈（1/2，1。固定ε>0，使尺寸µλ<1−4ε。第一步。选择n0，使得：•r≤λn0，H（µlog 1/rλ；r）≤dimµλ+ε（精确维数）•n≥n0，H（µ（λλn，1]；λ10n|λn）≤nεlog 1/λ（Hochman）•n−3n00/c<τ（与异常代数参数分离）。我们声称（λn0,1]H（λλ；n−3n00|λ10n0）≥εn0log 1/λ。2886 Oberwolfach第47/2017号报告事实上，否则，我们会得到H（µ。但根据定理4，会存在η∈Q，使得|η−λ|<n−3n00/cand dimΦη≤log 1/ηhη≤dimΦλ+4ε<1，这与我们关于λ的荒谬假设相矛盾。假设已经定义了ni，则定义Ki和ni+1，使其具有λKini=n−3nii ni+1=Kini。这样，可以获得递增序列n0，n1。对于每个i，H（µ（λλni，1]；n−3nii|λ10ni）≥εnilog 1/λ。第二步。利用熵的自相似性和Varj´u逆定理，我们从上述下界推导出，对于仅依赖于λ的c>0，对于所有r都足够小且所有p∈{2，…，ni}，H（µ（λλnir，λKinir]；r|λpr）≥cp。（log Ki）（log（2）Ki第三步。由于区间（λnir，λKinir]）是不相交的，我们可以再次应用Varj´u定理，得到H（µ（λλn0r，∧−KN nR]；r|λpr）≥cpX1。（log Ki）（log（2）Ki）2 i≤N结论。总之，只要表明右侧√的和发散就足够了。为此，我们通过归纳法检查log Ki≤i+i0，其中i0=（log K0）2。当i=0时，这一点很明显，然后写入log Ki Ki≤（log Ki）+C Ki C=（log Ki）（1+）Ki≤√i+i0+1。（在最后一行中，我们使用了归纳假设和t7→ （log t）（1+C）是t的递增函数，t足够大。）t Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2887 4。定理的改进版本在Breuilard和Varj´u的论文中，Varjéu的逆定理的应用更为仔细，以便得到关于参数λ满足dimµλ<1时Eno的元素逼近率的定量结果。其结果如下。定理5（Breuillard-Varj´u）。设λ∈（1/2，1]使得dimµλ<1。然后，对于所有ε>0，存在A≥0，使得对于所有足够大的d0，存在d∈[d0，exp（5）（log（5，d0）+A）]和η∈Ed，dimµλ+ε，使得|λ−η|≤exp（−dlog（3）d）。作为推论，我们找到了dimµλ=1的超越参数λ的第一个显式示例。推论1。设λ∈（1/2，1）是一个数，使得对于所有n≫1和所有P∈Pn，|P（λ）|>exp（−dlog（3）d）。那么dimµλ=1。特别地，对于λ∈{ln2，e−1/2，π/4}，一个的维数为Φλ=1。Orponen距离集定理Demi Allen给定平面集K⊂R2，我们考虑其距离集D（K）：={|x−y|：x，y∈K}。具体来说，我们感兴趣的是K和D（K）的大小是如何相关的。我们首先调查这方面的一些经典结果。当K是有限集时，这个问题是Erdos提出的问题的本质。问题（Erdíos）。平面上n个不同的点决定的不同距离f（n）的最小值是多少？Erdíos自己给出了数字f（n）的以下界限。定理（Erdos[2]，1946）。由平面上n个点确定的最小距离数f（n）满足不等式3 121cn n-−-≤f（n）≤√，42log n，其中c是某个普适常数。Erdos的一个猜想是，上面给出的f（n）的下限应与以下意义上的上限相匹配。距离推测。由平面n个点确定的最小距离f（n）满足n f（n）&√，log n 2888 Oberwolfach Report 47/2017，其中我们写a。B意味着存在一些普遍常数c>0，使得A<cB。Guth和Katz最近在证明这一猜想方面取得了一些显著进展。定理（Guth–Katz[5]，2015）。量f（n）满足n log n。考虑到Erdos提出的问题的“连续”版本，出现了度量和维度的概念。关于“连续”问题的一个早期结果是斯坦豪斯的以下定理。定理（Steinhaus[10]，1920）。如果K⊂R2是具有正二维勒贝格测度的平面集，则距离集D（K）包含一个区间[0，ε），对于某些ε>0。20世纪80年代，Falconer证明了集K⊂R2的Hausdorff维数与其距离集D（K）的Hausdorff维数相关的一个结果。定理（Falconer[3]，1985）。如果K⊂R2是任何集合，则dimHD（K）≥dimHK−1。Erdos距离推测的连续模拟归因于Falconer。Falconer距离推测。如果K⊂R2是一个dimHK>1的Borel集，则D（K）具有正长度，即H1（D（K））>0（其中，对于s≥0，H是通常的Hausdorff s测度）。关于一般集合K的Falconer距离猜想，目前最为人所知的结果是由Wolff和Bourgain得出的。定理（Wolff[11]，1999）。如果K⊂R2是Borel，dimHK>43，则D（K）具有正长度。定理（Bourgain[1]，2003）。如果K⊂R2是Borel，dimHK≥1，那么对于某些（小）绝对常数ε>0，dimHD（K）≥12+ε。虽然Wolff和Bourgain的这些定理代表了在证明一般平面集K的Falconer距离猜想方面最著名的进展，但近年来，人们对证明Falconer's距离猜想或改进Wolff与Bourgaine对于特殊类集的结果越来越感兴趣。例如，Orponen[6]（2012）研究了自相似集的问题，Ferguson、Fraser和Sahlsten[4]（2015）考虑了自仿射集。最近，Orponen[7]（2017年）和Shmerkin[8,9]（2017）也研究了Ahlfors-David正则集类。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2889定义。Rdis上的Borel测度µ被称为（s，A）-Ahlfors-David正则，如果对于所有x∈sptµ，rs A≤µ（B（x，r））≤Ars，并且对于某些常数A≥1，0＜r≤diam（sptµ）。Hs可测集K⊂Rd称为（s，A）-Ahlfors-David正则，如果0<Hs（K）<∞，并且限制Hs|KofHsto-K是（s，B）-Ahlfors-David正则。对于这类集合，Orponen证明了关于相应距离集的上盒维数的以下结果。定理（Orponen[7]，2017）。假设∅6=K⊂R2是s≥1的有界H可测（s，a）-Ahlfors-空正则集。则dimBD（K）=1，其中dimB表示上框尺寸。我们在这篇演讲中花了很大一部分时间来讨论这个定理的证明，它依赖于一个仔细的覆盖论证，并且还使用了熵的几个属性。特别是，该证明使用熵的投影定理和熵的多尺度分解来限定投影的熵。工具书类 [54] J.Bougain，《关于Erd-os-Volkmann和Katz-Tao环猜想》，Geom。功能。分析。13（2003），第2期，334-365·Zbl 1115.11049号 [55] P.Erdíos，关于n个点的距离集，Amer。数学。《月刊》第53期（1946年），248-250页·Zbl 0060.34805号 [56] K.J.Falconer，《关于距离集的Hausdorff维数》，Mathematika 32（1985），第2期，206-212·Zbl 0605.28005号 [57] A.Ferguson，J.M.Fraser，T.Sahlsten，（M，n）不变测度的缩放场景，高级数学。268 (2015), 564-602. ·Zbl 1302.28029号 [58] L.Guth，N.H.Katz，《关于平面上不同距离问题的讨论》，《数学年鉴》。（2） 181（2015），第1期，155-190·Zbl 1310.52019年 [59] T.Orponen，《关于自相似集的距离集》，《非线性》第25期（2012年），第6期，1919-1929年·Zbl 1244.28014号 [60] T.Orponen，关于Ahlfors-Divid正则集的距离集，高级数学。307 (2017), 1029-1045. ·Zbl 1355.28018号 [61] 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[这意味着µ的支撑具有至少γ的Hausdorff维数。]设δ>0足够小，并设E⊂[1，2]×[1，2]是一个δ-分离集，对于半径r为δ<r<δε0的每个圆盘B（x，r）|≤rα′|E|，满足|E|=δ-α和|EB（x、r）|。然后存在θ∈suppµ，使得N（πθ（E），δ）≥δ−（α/2+ε）。定理7是使用Balog-Szemer的edi-Gowers定理（和和集不等式）从定理6证明的。这个证明可以用以下方式描述（稍有错误）。假设没有这样的θ。然后在支撑µ上取两个方向；这保证了两个小投影。也就是说，E（在应用仿射映射和最大距离为δ的模移动点之后）包含在乘积B×B中，其中B是δ分离集，|E|≈|B|2。在这种情况下，Balog-Szemer的edi-Gowers定理可以有效地应用于E⊂B×B，以生成乘积集a×a。可以证明，a×a可以被E的几个平移覆盖，并且由于E的投影很小，所以a×a也是如此。然而，这意味着a与定理6相矛盾。定理5（布尔盖因投影定理）是根据定理7，使用标准技术和一些可能不太标准的思想，在[1]中没有解释。详见[3]。工具书类 [77] J.布尔甘。离散的和积定理和投影定理。J.分析。数学。112 (2010), 193-236. ·兹比尔123411012 [78] K.J.福尔科纳。Hausdorff维数和一组特殊的投影。Mathematika 29（1982），第1期，109-115·Zbl 0477.28004号 [79] W.He。离散集的和、积和投影。奥赛巴黎南德大学博士论文（2017年）。 [80] R.考夫曼、P.马蒂拉。Hausdorff维数和例外的线性变换集，Ann.Acad。科学。芬恩。数学。1 (1975), 387-392. ·兹伯利0348.28020 [81] J.M.Marstrand。分数维平面集的一些基本几何性质。程序。伦敦数学。Soc.（3）4（1954），257-302。2896Oberwolfach报告47/2017 Shmerkin关于Lpdimensions的定理及其应用。第一部分Alex Iosevich本演讲的目的是介绍Pablo Shmerkin论文的前半部分，题为“关于Furstenberg交集猜想、自相似测度和卷积Lq范数”。本文结合解析法、几何法和组合法证明了几个涉及集合交集、伯努利卷积等的开放猜想。更准确地说，作者研究了具有自相似结构的测度，他称之为动态驱动的自相似测度，并将一些经典的自相似度量（如伯努利卷积）作为特例包含在内。本文的主要结果给出了这种动态驱动自相似测度的Lq维数的表达式。作为应用，建立了著名的Furstenberg交集猜想。它说，如果A，B是圆[0，1）的闭子集，分别在Tp，Tq下不变，p和q乘法独立，那么dimH（AB）≤max{dimH。在本次讲座中，我们将介绍Lq维的概念，并解释如何使用它来研究Furstenberg交集猜想和有关Bernoulli卷积的相关问题。关键是将Lq维的概念与控制小球大小和纤维大小的弗罗斯特曼指数联系起来。设µ是[0，1]上的Borel概率测度。考虑长度为2−m{j2−m，（j+1）2−m}，j∈Z的区间族，用Dm表示。度量µ的Lq维数定义为P logI∈Dµq（I）lim inf−m。米→∞m（q−1）粗略地说，可以检查一下，在假设Lq维数为s的情况下，可以得出µ（B（x，r））≤Cr（1−1/q）s，从而将Lq维数的概念与通常的Hausdorff维数联系起来。还可以检查在相同的假设下，Lipschitz映射下的光纤的上盒尺寸不能超过s−α，其中α是所述Lipschit映射下的弗罗斯特曼指数µ。这些优雅的观察是作者编织的错综复杂的网络的核心，这使他能够破解上述交叉猜想以及几个相关结果。我们将描述一组动态自驱动模型及其Lq维，建立在Shmerkin论文（定理11.1）的主要结果之上，其他一切都是从该论文中推导出来的。这些度量是根据p-Cantor集建模的，它是以p为基数展开数字位于给定子集中的集合{0，1，…，p−1，p prime。在此过程中，我们将解释如何将上述基本思想与动态自驱动度量的概念相结合，以建立本文的主要机制。Arbeitsgemeinschaft：组合数学、熵和分形几何2897参考} [82] P.Shmerkin，《关于Furstenberg的交集猜想、自相似测度和卷积Lq规范》，2016年预印本。齐次自相似测度的Lq谱和卷积下Lq模衰减的逆定理。在P.Shmerkin Julien Barral Letλ∈（0，1）之后，b∈N≥2，A={0，…，b−1}，P=（pi）i∈Aa概率向量，和（ti）i≈A∈Rb。对于a∈R*+，定义Sa:x∈R7→ 最大值。对于i∈A，定义ξi:x∈R7→ Sλ（x）+ti。对于n∈n且I=i1··in∈AndefineбI=бi1······in和pI=pi1··pin。还定义X X（1）µn=∗n−1i=0Sλi∗pjδtj=pIδi（0）。j∈AI∈An对于m∈N，定义Dm={[k2−m，（k+1）2−m:k∈Z}。用µ表示与p和IFS相关联的唯一齐次自相似概率测度{i:i∈A}，即R上的唯一Borel概率测度，使得Xµ=piµ◦ −1i。i∈A回想一下，µ由唯一的非空紧集KS⊂R支持，使得K=i∈Ai（K）。在不损失一般性的情况下，我们假设K⊂[0，1]。测量值µ也可以用以下形式表示：X（2）µ=*∞i=0Sλi*pjδtj=µn*（Sλn*µ）。j∈A定义µ的Lq谱为凹映射1X（3）τµ：q∈R+7→ lim−log2µ（I）q米→∞m I∈Dm（在[4]中证明了极限确实存在，并从一个次乘性出发）。卷积结构（2）可以用来证明以下深层定理。定理1（P.Shmerkin[5]）。∆n=min{|бI（0）−бJ（0）|：I 6=J∈An}超指数收敛到0作为n→ ∞, 或P！logj∈Apqj∀q≥1，τµ（q）=τ（q，。logλ备注2。（1） 定理1是[5]关于动态驱动自相似测度的主要结果的特例。（2） 在开集条件下，定理1是已知的，它适用于任何维[3]。2898《Oberwolfach报告47/2017》（3）测量值µ是精确的维度[1]，因此其熵维度H（µ）定义明确，等于dim（µ）。另一方面，很容易看出H（µ）≤τ′（1+）总是成立的，dim（µ。因此，定理1暗示了M.Hochman关于齐次自相似测度维数的结果[2]。对于n∈n，设πn:x∈AN7→ x1··xn（0）；然后定义π=limn→∞πn。用ρ表示Bernoulli乘积测度Pi∈Apiδi⊗N，我们得到µ=π*ρ，µN=πN*ρ和kπ−πnk∞=O（λN），由此可知，对于所有q>1的情况，存在Cq>0，使得XXX（4）Cq−1µ≤λ−N<2−m（N）+1。因此，人们可以专注于Sn（q）=PI∈Dµn（I）qm（n）来得到定理1。特别是，因为很容易看到使用Px7的次可加性→ xqthat−m（n）1log2Sn（q）≤loglogλj∈Apqj对于所有q>1，而另一方面，对于任何概率测度，上界q−1成立，我们得到τµ（q）小于等于τ（q。当∆ndo不超指数收敛到0时，相反的不等式来自以下显著事实。定理3（[5]）。设q>1。假设τPµ（q）<q−1和τµ′（q）存在。那么，对于所有R∈N，limn→∞I∈Dµn（I）q=τµ（q）。Rm（n）假设∆ndoes不超指数收敛到0。然后，存在R∈N，使得对于无穷多N，对于所有q>1，I∈DµN（I）q=J∈AnpqJ=Pi∈Apqi N。因此，根据定理3和（4），对于τµ可微的（1，∞，以及离散版本µ的Lq-norms的展平定理。在陈述这个结果之前，我们需要一些新的定义。如果m∈N，则2−m测度是2−mZ∈[0，1]上支持的概率测度。对于R上的任何紧支集Radon测度ν，定义ν（m）=Pk∈Zν（[k2−m，（k+1）2−m）δk2‑m。如果qP≥1，则任何有限支集测度ρ的Lq范数ρ都定义为kρkqq=y∈supp（ρ）ρ（{y}）q。Young不等式kρ∗足够大，kµ（m）kqq≥2−（τµ（q）+定理4（卷积[5]下µ（m）的Lq形式的平坦性）。设σ>0和q>1，使得τ′（q）存在并且τ（q）<q−1。然后，存在ǫ=\491；（σ，q）>0，使得对于足够大的m，如果ν是一个2−m测度并且kνkqq≤2−σ（q−1）m，则kν*µ。定理4被矛盾地证明了。该证明结合了当q>1，τµ′（q）存在时，与“温度”1/q下的µ相关的精细大偏差估计，以及Arbeitsgemeinschaft：组合学、熵和分形几何2899 qτ¦Μ′这是我们在引入新定义后提出的。如果A⊂R和s∈N，则定义Ds（A）={I∈Ds:I∈A6=∅}和Ns（A。如果x∈R，Ds（x）代表唯一的I∈D，假设x∈I。如果a>0，I是一个区间，aI代表与I中心相同且长度为a|I|的区间。如果m∈N，则2−m集是2−mZí[0，1]的子集。让D，ℓ∈ N，设置m=Dℓ. 给定R=（Rs）0≤s≤ℓ−1∈[1，2D]ℓ, 假设2−m集a是（D，ℓ, R） -均匀ifN（s+1）D（A≠I）=Rs所有0≤s≤ℓ − 1和I∈DsD（A），即A具有高度球面树的结构ℓ, 分支数Rsat生成sD，0≤s≤ℓ − 1.当neverkρ*νkqq≥2−mǫqkρkqqq时，以下结果给出了两个2−m-测度ρ和ν的非常精确的结构描述。特别是，它告诉我们，沿着一个尺度的算术序列，要么大部分ν看起来是原子的，要么ρ被限制为携带大部分ρLqnorm的子集时分布得相当均匀。这与[2]中建立的熵增长逆定理的味道类似。定理5（[5]）。设q>1，δ>0且D0∈N。存在ǫ>0且D≥D0，因此如果ℓ 足够大，m=ℓD和ρ和ν是2−m-测度，使得kρ*νkq≥2−mǫkρkq，以下结论成立：通过形式k2−m的适当数字转换ρ和☑后，存在A⊂supp（ρ）和B \8834；supp（ν；（ii）所有x的ρ（{y}）≤2ρ；（iii）x∈12DsD（x）对于所有x∈A≠B且0≤s≤ℓ − 1; （iv）存在RA和RB，因此A和B分别是（D，ℓ, RA）和（D，ℓ, RB）-统一。（v） 对于所有0≤s≤ℓ − 1，RBs=1或RA≥2（1-δ）。对数（kνkqq）对数（kρkqq-1−δm≤D·|{0≤s≤ℓ−1:RsA≥2（1-δ）}|≤−q−1q）+δm。为了证明定理5，P.Shmerkin首先利用不等式kρ∗νkq≥2−mǫkρkqto构造集合A1和B1，从而（i）和（ii）成立，并且A1和A2的加性能量满足了不对称Balog-Szemeredi-Gowers定理的一个略为简化的版本的假设。他还对布尔盖因的小加倍集结构结果进行了漂亮的改进。然后将此结果应用于非对称B-S-G定理产生的小加倍集，在经过一系列精细操作后，得到所需的集合A和B。工具书类 [83] 冯德杰，胡海虎，迭代函数系统的维数理论，Commun。纯应用程序。数学。62 (2009), 1435-1500. ·Zbl 1230.37031号 [84] M.Hochman，《关于具有重叠的自相似集和熵的逆定理》，《数学年鉴》。180 (2014), 773-822. ·Zbl 1337.28015号 [85] K.-S.Lau，S.-M.Ngai，多重分形测度和弱分离条件，高级数学。141(1999), 45-96. 2900Oberwolfach报告47/2017·Zbl 0929.28007号 [86] Y.Peres，B.Solomyak，自我相似度量的Lq维数和熵的存在性，印第安纳大学数学系。J.49（2000），1603-1621·Zbl 0978.28004号 [87] P.Shmerkin先生 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。