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霍瓦诺夫型同调的横向不变量。(英语) Zbl 1409.57004号
具有完全不可积平面分布(xi)的三维光滑流形称为接触3流形。将\(\mathbb S^1\)的多个副本平滑地嵌入\(M\)中,称为\(M\)中的链接。如果某个链接与\(\xi\)没有任何相切的地方,则称其为与\(\xi\)相切的交叉。(M,xi)中的两个横向链环,如果它们是环境同位素,通过一个单参数的横链族,它们是等价的。
在经典连接理论中,Alexander和Markov的著名定理断言,(\mathbb R^3\)中的任何有向链路都可以表示为辫子的闭合,并且所有这些表示都与有限的组合移动序列相关。横向连杆是低维接触拓扑学研究的中心对象。在横向链环理论中,也有类似的结果:第一个结果说明所有的横向链环都可以表示为闭合的辫子,第二个结果提供了一套完整的组合运动,所有这些辫子的闭合表示同一个横链。
《阿斯特里斯克》第107/10887-161页(1983年;Zbl 0573.58022)],D、 班纳金总结了这些结果,指出任何横向连接是横向同位素的编织物的闭合。此外,两个编织物代表相同的横向连接当且仅当它们由编织关系、共轭、正稳定和正失稳的有限序列关联。这些移动称为横向马尔可夫移动。《地理》杂志2005年第149-149页;Zbl 1084.57011)],D、 巴尔纳坦提出了霍瓦诺夫的同调理论和一个本质的改变方法,允许一个实质性的概括缠结。霍瓦诺夫的构建始于一个形式复杂的连接图的平滑和它们之间的协同关系。
本文介绍了一类产生于Khovanov型同调的横向不变量,即从给定的Frobenius代数中用Khovanov结构得到的全链同调理论。对于环上的Frobenius代数(\mathcal{F}\)来说,有一种方法可以将一个链复形(C\{\mathcal{F}}^\bullet(D,R)与每个有向链图相关联,它是组合定义的,可以被赋予二次分级或过滤。
在[Math.Res.Lett.13,No.4,571–586(2006年;Zbl 1143.57006)],O、 普拉梅涅夫斯卡亚定义了标准同调域中横链的一个不变量,取该链的Khovanov同调值。对于辫子\(B\),它的Plamenevskaya不变量是一个二阶的同调类\([\psi(B)]\),在\(\widehat B\)的Khovanov同调中,\(\text{sl}(B)=w(B)-B(B)\)是辫子\(B\)的自连接数,\(w\)表示书写,而\(B\)是编织索引。这个同调类是不变的,在这个意义上,两个辫子\(B\)和\(B'\)的\((\Phi\\ Sigma)\*[\psi(B')]=[\psi(B')]\,其中\(\Phi\\ Sigma\)表示与\(\Sigma\)相关联的映射。在[Quantum Topol.6,第3号,475–513(2015年;Zbl 1327.57010)],R、 利普希茨,L.Ng,和S、 萨卡介绍了两个横向不变量,它们是Plamenevskaya不变量的精化。它们是与Frobenius代数相关联的Khovanov型同调。与\(\text{TLee}\)相关联的链复合物是自然过滤的,用\({\mathcal{F}}}u iC^\bullet{\text{TLee}}}\)这个过滤表示。Lipshitz-Ng-Sarkar(LNS)不变量是\({\mathcal{F}}}{\text{sl}(B)}C^0{\text{TLee}}(\widehat B,R)中的两个元素\(\psi^+(B)\)和\(\psi^-(B)\)。
本文的目的是研究霍瓦诺夫型同系物中包含的横向信息。作者首先提供了一种在Khovanov型同调中产生横向不变量的机制,推广了Plamenevskaya和LNS不变量。给出了如何与环上的每个有向连接图(D)和每个Frobenius代数(\mathcal{F})相关联,这两个循环由\(\beta{\mathcal{F}(D,R)\)和\(\overline\beta{\mathcal{F}(D,R)\)表示的环。
本文的一个主要结果表明,如果\(\mathcal{F})是Frobenius代数,那么对于一个辫子\(B\)存在两个可能相等的圈\(\beta{\mathcal{F}(B)=\beta(\widehat B,R)\),\(\overline\beta{\mathcal{F}}(B)=\overline\beta(\widehat B,R)\在C^0{\mathcal{F}}(\widehat B,R)\)中,如果辫子\(B \)和\(B’\)是由一个横向马尔可夫马尔可夫序列\(\西格玛\)序列\(\西格玛\)横向马尔可夫移动的序列\(\西格玛\)相联系的话,那么,那么地图\(\Phi UU \ Sigma:Sigma:C ^\Bulle{\ mathcal{F}}(\widehat B,R)的地图\(\widehat B,R)到C^(R)与})之间数学{F}(\widehat B',R)\),由\(\Sigma\)诱导的是\(\Phi\\Sigma(\beta\{\mathcal{F}(B))=\beta{\mathcal{F}}(B')\),\(\Phi\\ Sigma(\overline\beta{\mathcal{F}(B))=\overline\beta{\mathcal{F}(B')\)。此外,如果\(\西格玛\)由一个单一的负负稳定化组成,则\((x U1-x U2)Phi Sigma(\beta{\mathcal{F}}(B))=\pm\beta{\mathcal{F}}(B))=\pm\beta{\mathcal{F}}(B)+d{\数学{F}}}x \ \,\(x U1-x U2)的φ西格玛(\overline\beta{\mathcal{F}}(B’))=\pm\上天天{F}}(B’)的(B’)的{对于一些\(x,y\在C^\bullet{\mathcal{F}}}(B')+d{\mathcal{F}}}(B')\),其中\(x_1\)和\(x_2\)是环\(R\)中某个2次多项式的两个零点。循环\(\beta{\mathcal{F}}(B)\)和\(\overline\beta{\mathcal{F}}(B')\)称为\(B{\mathcal{F}}\)—不变量。Plamenevskaya不变量下的循环\(\psi(B)\)属于这个家族,因为\(\beta{\text{Kh}}(B)=\overline\beta{\text{Kh}}(B)=\psi(B)\)\(\psi(B)\)被称为Plamenevskaya不变量。类似地,\(\text{LNS}\)不变量\(\psi^+(B)\)和\(\psi^-(B)\)分别是\(\beta{\text{TLee}}(B)\)和\(\overline\beta{\text{TLee}}(B)\)。据说\(x{\mathcal{F}})是一个Plamenevskaya类型不变量,如果它是一个函数,在C^\bullet{\mathcal{F}(\widehat B,R)\)中为每个辫子分配链\(B\)的链\(x{\mathcal{F}(B\)满足某些附加条件。
第二个主要结果是本文第二个主要结果说明,如果\(\mathcal{F}\)是\(R \)上的Frobenius代数代数,那么对于Plamenevskaya类型不变不变\(x{\mathcal{{{F}}\)的Plamenevskaya类型不变\(x{\mathcal{{F}}(B)中的任何一种(R=R(B)在R\中存在\(R=R(B)使得\(x{\mathcal{mathcal{F}(F}(B)}(B)\)或\(x{\mathcal{{F{F}(F}}}(B)的}(\overline\beta{\mathcal{F}}(B)\,用于每个编织物\(B\)。特别地,对于横向编织物,Plamenevskaya型不变量和\(R\)-值不变量之间存在一个双射。

理学硕士:
57平方米25 (3)球体中的结和连接(MSC2010)
57平方米27 节点和\(3\)-流形的不变量(MSC2010)
57兰特 高维或任意维辛接触拓扑
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全文: 内政部
参考文献:
[1] Bar Natan,D.,《缠结和共线的霍瓦诺夫同调》,Geom。白杨。,943-1499,(2005年)·Zbl 1084.57011
[2] D、 巴尔纳坦等等。结图集,http://katlas.org/wiki/。 ·Zbl 0898.57001
[三] Bennequin,D.,《普法夫的请求和条件》,阿斯特里斯克,1107-108,(1983)·Zbl 0573.58022
[4] 伯曼,J。;Menw,Menw,Geom稳定组。白杨。,10413-540,(2006年)·Zbl 1128.57003
[5] 伯曼,J。;Menasco,W.,《编织群中的稳定化II:结的横向简单性》,Geom。白杨。,1425-1452年,(2006年)·Zbl 1130.57005
[6] Cavallo,A.,关于链的切片亏格和一些一致不变量,J.结理论分支,24,4,28,(2015)·Zbl 1317.57002
[7] J、 Cha和C.Livingston,KnotInfo,http://www.indiana.edu/knotinfo/。
[8] C、 Collari,《来自Khovanov的变形的横向不变量\(\mathfrak{s}\mathfrak{l}U 2\)-和\(\mathfrak{s}\mathfrak{l}U 3\)—同调系统,博士论文,费尔恩泽大学(2016)。
[9] Etnyre,J.B.,结理论手册,Legendrian和横向结,105-186,(2005),Elsevier B.V.:Elsevier B.V.,阿姆斯特丹·Zbl 1095.57006
[10] 埃特纳,J.B。;Honda,K.,《布线和横向简单性》,Ann。数学。,16231005-1333,(2005年)·Zbl 1104.57012
[11] Jacobsson,M.,《从Khovanov同调中得到的链环协序不变量》,Algebr。Geom公司。白杨。,1211-1251年,(2004年)·Zbl 1072.57018号
[12] Kadison,L.,Frobenius扩张的新例子,14,x+84,(1999),美国数学学会:美国数学学会,普罗维登斯,RI·Zbl 0929.16036
[13] 《琼斯多项式的分类》,杜克数学。J、 ,101359-426,(2000年)·Zbl 0960.57005
[14] Khovanov,M.,链接同源性和Frobenius扩展,基金。材料。,190179-190,(2006年)·Zbl 1101.57004
[15] Krasner,D.,Khovanov-Rozansky同源性计算,基金。数学。,203,1,75-95,(2009年)·Zbl 1170.57007号
[16] 李,E。S.,《霍瓦诺夫不变量的自同态》,高级数学。,1972554-586,(2005年)·Zbl 1080.57015
[17] 利普希茨,R。;Ng,L。;Sarkar,S.,霍瓦诺夫同调的横向不变量,量子拓扑学。,6475-513,(2015年)·Zbl 1327.57010
[18] 麦凯,M。;特纳,P。;Vaz,P.,《关于拉斯穆森结不变量的注记》,J.结理论分支,16,3,333-344,(2007)·Zbl 1135.57006
[19] Ng,L。;奥兹瓦特,P。;Thurston,D.,《由结-浮体同源性区分的横向结》,J.Symplect。几何。,2008年4月14日,第461页·Zbl 1173.57007号
[20] 奥列夫科夫。;谢维希欣,V.,横向连杆的马尔可夫定理,J.结理论分支,12,7,905-913,(2003)·Zbl 1046.57007号
[21] Plamenevskaya,O.,《横向结与霍瓦诺夫同调》,数学。Res.Lett。,13,4571-586,(2006年)·Zbl 1143.57006
[22] O、 Plamenvskaya,《横向不变量与右转向》,arXiv:1509.01732。
[23] Polyak,M.,最小集生成Reidemeister移动,量子拓扑学。,1,4,399-411,(2010年)·Zbl 1229.57012
[24] Rasmussen,J.,Khovanov同源性和切片属,发明。数学。,182,2419-447,(2010年)·Zbl 1211.57009
[25] A、 舒马科维奇,霍瓦诺夫同调的扭转,http://arXiv.org/abs/math/0405474v1(2004年)。
[26] Turner,P.,计算Bar-Natan的特征二Khovanov同调,J.结理论分支,681335-1356,(2006)·57015.ZB1114
[27] P、 特纳,关于霍瓦诺夫同源性的五次讲座,http://arXiv.org/abs/math/0606464v1(2006年)。
[28] N、 褶皱,横结的马尔可夫定理,http://www.arXiv.org/abs/math.GT/0202055(2002年)。
[29] 《计算拓扑》,第16卷,(2005),剑桥大学出版社:剑桥大学出版社·Zbl 1065.68001
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