卡门·格雷;迈克尔·欣兹 利用任意有限元离散化对演化方程进行POD降阶建模。 （英文） Zbl 1404.65264号 高级计算。数学。 44，第6期，1941-1978（2018）. 总结：本工作的主要重点是在非线性抛物线演化问题的模型降阶离线阶段，利用适当的正交分解（POD-MOR）将快照计算的空间自适应性包括在内。我们考虑生活在不同有限元空间中的快照，这意味着在完全离散的设置中，快照是不同长度的向量。从数值角度来看，这导致了一个问题，即无法执行通常使用快照矩阵奇异值分解的POD程序。为了克服这个问题，我们在这里使用相关矩阵的特征系统（快照Gramian）构建POD模型/基，该系统是从连续的角度出发的，并且是显式设置的，例如，无需将快照插值到公共有限元空间中。这种方法的一个优点是，矩阵的组装只需要计算公共希尔伯特空间中快照的内积。这使得快照的空间离散化具有很大的灵活性。对所得POD解与真实解之间的误差分析表明，降阶解的精度可以通过空间和时间离散化误差以及POD误差来估计。最后，为了说明我们的方法的可行性，我们给出了一个Cahn-Hilliard系统的测试用例，该系统使用了自适应层次网格和两组线性热方程设置，使用嵌套和非嵌套网格。 引用于15文件 MSC公司： 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 35K90型 抽象抛物方程 65千5 数值数学规划方法 35K05美元 热量方程式 35K55型 非线性抛物方程 关键词：模型降阶;真正交分解;自适应有限元离散化;偏微分方程;演化方程 软件：FEniCS公司;SyFi系统;阿尔伯塔 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Gräßle}和\textit{M.Hinze}，高级计算。数学。1941-1978年第6号第44页（2018年；兹bl 1404.65264） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Abels，H.：粘性不可压缩流体两相流的扩散界面模型。Max-Planck Institute für Mathematik in den Naturwissenschaften，第36页。演讲稿，莱比锡（2007） [2] Abels，H。；Garcke，H。；Grün，G.，《不同密度不可压缩两相流的热力学一致、框架无关扩散界面模型》，数学。模型方法应用。科学。，22, 40, (2012) ·Zbl 1242.76342号 ·doi:10.1142/S021820511500138 [3] Afanasiev，K.，Hinze，M.：使用适当的正交分解对尾流进行自适应控制。形状优化和优化设计（剑桥，1999），《纯粹与应用》讲义。数学。，第216卷，第317-332页。Dekker，纽约（2001）·兹比尔1013.76028 [4] Ainsworth，M.，Oden，J.T.：有限元分析中的后验误差估计，第37页。威利（2011）·Zbl 1008.65076号 [5] 阿里，M。；斯泰赫，K。；Urban，K.，基于自适应快照计算的简化基方法，高级计算。数学。，43, 257-294, (2017) ·Zbl 1379.65087号 ·doi:10.1007/s10444-016-9485-9 [6] Alla，A。；Kutz，JN，通过动态模式分解降低非线性模型阶数，SIAM J.Sci。计算。，39, 778-796, (2017) ·Zbl 1373.65090号 ·doi:10.1137/16M1059308 [7] 阿尔奈，MS；布莱希塔，J。；Hake，J。；Johansson，A。；Kehlet，B。；Logg，A。；Richardson，C。；Ring，J。；罗杰斯，ME；威尔斯，GN，FEniCS项目1.5版，Arch。数字。软质。，2015年9月23日 [8] Astrid，P。；Weiland，S。；Willcox，K。；Backx，T.，通过适当的正交分解描述的模型中的缺失点估计，IEE-Trans。自动化。控制，53，2237-2251，（2008）·Zbl 1367.93110号 ·doi:10.1109/TAC.2008.2006102 [9] 布维，JF；Elliott，CM，非光滑自由能相分离的Cahn-Hilliard梯度理论，第一部分：数学。分析。Eur.J.应用。数学。，2, 233-280, (1991) ·Zbl 0797.35172号 [10] Barrault，M。；马代，Y。；Nguyen，北卡罗来纳州；Patera，AT，《一种“经验插值”方法：在偏微分方程高效降基离散化中的应用》，C.R.Acad。科学。巴黎，爵士。，一、 667-672（2004）·Zbl 1061.65118号 ·doi:10.1016/j.crma.2004.08.006 [11] 本纳，P。；Rannacher，R.，第三部分自适应性和模型简化简介。PDE约束优化趋势，国际。数字。数学。，165, 249-250, (2014) ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-319-05083-6_16 [12] Chen，Y.：非线性系统的模型降阶。麻省理工学院硕士论文（1999） [13] Chen，L.：马里兰州大学Matlab预印本中的创新有限元方法包（2008） [14] 卡恩，JW；Hilliard，JE，非均匀系统的自由能。I.界面自由能，J.Chem。物理。，28, 258-267, (1958) ·兹比尔1431.35066 ·doi:10.1063/1.1744102 [15] Chaturantabut，S。；Sorensen，DC，《通过离散经验插值进行非线性模型简化》，Siam J.Sci。计算。，32, 2737-2764, (2010) ·Zbl 1217.65169号 ·doi:10.1137/090766498 [16] 德马克，Z。；Gugercin，S.，离散经验插值方法的一种新选择算子-改进了先验误差界和扩展，SIAM J.Sci。计算。，38，a631-a648，（2016）·Zbl 1382.65193号 ·doi:10.1137/15M1019271 [17] Eyre，D.J.：无条件梯度稳定时间推进Cahn-Hilliard方程。MRS程序。，第529页（1998年） [18] 方，F。；疼痛，CC；Navon，即时消息；医学博士Piggott；戈曼，GJ；宾夕法尼亚州艾利森；AJ Goddard，《自适应网格海洋模型的降阶建模》，国际期刊Numer。方法。流体，59，827-851，（2009）·Zbl 1155.86004号 ·doi:10.1002/fld.1841 [19] Feng，L.，Zeng，X.，Chiang，C.，Zhou，D.，Fang，Q.：用变分分析进行直接非线性降阶。In：程序。欧洲的设计、自动化和测试，第1530-1591页（2004） [20] Gubisch，M.，Volkwein，S.：线性二次最优控制的适当正交分解。收录：Benner，P.，Cohen，A.，Ohlberger，M.，Willcox，K.（编辑）《模型简化和近似：理论和算法》，第5-66卷。费城SIAM（2017） [21] Hohenberg，PC公司；BI Halperin，《动态临界现象理论》，修订版。物理。，49, 435-479, (1977) ·doi:10.1103/RevModPhys.49.435 [22] Hintermüller，M。；Hinze，M。；Tber，MH，非光滑Cahn-Hilliard问题的基于Moreau-Yosida的自适应有限元求解器，Optim。方法。软质。，26, 777-811, (2011) ·Zbl 1366.74070号 ·doi:10.1080/10556788.2010.549230 [23] Hinze，M。；Kunisch，K.，《含时流体流动的三种控制方法》，《流量，湍流》。库布斯特。，65, 273-298, (2000) ·Zbl 0996.76025号 ·doi:10.1023/A:1011417305739 [24] Hinze，M.，Krenciszek，J.，Pinnau，R:自由边值问题的适当正交分解。汉堡Beiträge zur Angewandten Mathematik（2014） [25] Holmes，P.、Lumley，J.L.、Berkooz，G.、Rowley，C.W.：湍流、相干结构、动力系统和对称。《剑桥力学专著》，剑桥大学出版社（2012）·兹比尔1251.76001 [26] Hinze，M.，Volkwein，S.：使用适当的正交分解对抽象线性二次最优控制问题进行误差估计。技术报告IMA02-05 KFU Graz（2005）·Zbl 1191.49040号 [27] Hinze，M.、Pinnau，R.、Ulbrich，M.和Ulbrich，S.：PDE约束优化。柏林施普林格-弗拉格出版社（2009年）·Zbl 1167.49001号 [28] Kunisch，K。；Volkwein，S.，使用适当正交分解的降阶方法控制Burgers方程，J.Optim。理论应用。，102, 345-371, (1999) ·Zbl 0949.93039号 ·doi:10.1023/A:1021732508059 [29] Kunisch，K。；Volkwein，S.，抛物型问题的Galerkin正正交分解方法，Numer。数学。，90, 117-148, (2001) ·Zbl 1005.65112号 ·doi:10.1007/s002110100282 [30] Kunisch，K。；Volkwein，S.，Galerkin流体动力学一般方程的本征正交分解方法，SIAM J.Numer。分析。，40, 492-515, (2002) ·Zbl 1075.65118号 ·doi:10.1137/S0036142900382612 [31] Lass，O.：耦合非线性PDE系统的降阶建模和参数识别。康斯坦茨大学博士论文（2014） [32] Logg，A.、Mardal，K.-A、Wells，G.（编辑）：用有限元法自动求解微分方程。FEniCS图书，第84卷。施普林格，纽约（2012）·Zbl 1247.65105号 [33] Lassila，T.、Manzoni，A.、Quarteroni，A.、Rozza，G.：流体动力学中的模型降阶：挑战与展望。摘自：Quarteroni，A.，Rozza，G.（编辑）《建模和计算简化的降阶方法》，第9卷，第235-274页。施普林格MS&A系列（2014）·Zbl 1395.76058号 [34] 李，YT；Requicha，AA，计算固体体积和其他积分性质的算法。已知方法和未决问题，Commun。美国医学会，25，635-641，（1982）·数字对象标识代码：10.1145/358628.358643 [35] Lumley，J.L.：非均匀湍流的结构。收录：Yaglom，A.M.，Tatarski，V.I.（编辑）《大气湍流和无线电传播》，第166-178页，Nauka（1967） [36] Massing，A。；Larson，M。；Logg，A.，《三维非匹配和重叠网格上有限元方法的高效实现》，SIAM J.Sci。计算。，35年，约23-c.47年（2013年）·Zbl 1264.65194号 ·数字对象标识码：10.1137/1085949X [37] Mirtich，B.，《多面体质量特性的快速准确计算》，J.Graph。工具，131-50，（1996）·doi:10.1080/10867651.1996.10487458 [38] Nguyen，北卡罗来纳州；帕特拉，AT；Peraire，J.，参数化函数有效逼近的“最佳点”插值方法，国际数字杂志。方法。工程师，73，521-543，（2008）·Zbl 1163.65009号 ·doi:10.1002/nme.2086 [39] Pazy，A.：线性算子半群及其在偏微分方程中的应用。纽约州施普林格市（1983年）·Zbl 0516.47023号 ·doi:10.1007/978-1-4612-5561-1 [40] Phillips，J.R.：非线性电路宏模型的自动提取。In：程序。定制集成电路会议，第451-454页（2000） [41] Phillips，J.R.，基于投影的弱非线性时变系统模型简化方法，IEEE集成电路和系统计算机辅助设计汇刊，22，171-187，（2003）·doi:10.1109/TCAD.2002.806605 [42] Pinnau，R.：通过适当的正交分解进行模型简化。收录：Schilder，W.H.A.，van der Vorst，H.（编辑）《模型降阶：理论、研究方向和应用》，第96-109页。施普林格（2008）·Zbl 1154.93012号 [43] Raymond，太平绅士；Zidani，H.，Hamiltonian Pontryagin关于半线性抛物方程控制问题的原理，应用。数学。最佳。，39, 143-177, (1999) ·Zbl 0922.49013号 ·doi:10.1007/s002459900102 [44] Reed，M.，Simon，B.：现代数学物理方法。一： 功能分析。学术出版社（1980）·Zbl 0459.46001号 [45] Rewienski，M。；White，J.，《非线性电路和微机械器件模型降阶和快速仿真的轨迹分段线性方法》，IEEE集成电路和系统计算机辅助设计汇刊，22，155-170，（2003）·doi:10.1109/TCAD.2002.806601 [46] Schmidt，A.，Siebert，K.G.：自适应有限元软件的设计：有限元工具箱ALBERTA。计算科学与工程课堂讲稿，第42页。施普林格（2005）·兹比尔1068.65138 [47] Singler，JR，抛物线偏微分方程降阶模型的新POD误差表达式、误差界和渐近结果，SIAM J.Numer。分析。，52, 852-876, (2014) ·Zbl 1298.65140号 ·数字对象标识代码：10.1137/120886947 [48] Sirovich，L.，湍流和相干结构动力学。第I-II部分，夸脱。申请。数学。，十六、561-590（1987）·Zbl 0676.76047号 ·doi:10.1090/qam/910462 [49] 乌尔曼，S。；Rotkvic，M。；Lang，J.，POD-Galerkin使用自适应有限元快照进行降阶建模，J.Compute。物理。，325244-258（2016）·Zbl 1375.35031号 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.08.018 [50] Volkwein，S.，使用适当正交分解的相场模型的最优控制，Z.Angew。数学。机械。，81, 83-97, (2001) ·Zbl 1007.49019号 ·doi:10.1002/1521-4001（200102）81:2<83:：AID-ZAMM83>3.0.CO；2-右 [51] Volkwein，S.：《恰当正交分解：理论与降阶建模》，康斯坦茨大学，讲稿（2013） [52] Whang，Z.，基于插值系数有限元法的非线性模型简化：半线性抛物方程，数值。方法。部分。微分方程，311713-1741，（2015）·Zbl 1334.65159号 ·doi:10.1002/num.21961 [53] Yagi，A.：抽象抛物型演化方程及其应用。施普林格数学专著（2010）·Zbl 1190.35004号 [54] Yano，M.，最小残差混合约化基方法：精确残差证明和同时有限元约化基精化，ESAIM:M2AN，50，163-185，（2016）·Zbl 1335.65095号 ·doi:10.1051/m2安/2015039 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。