穆罕默德·陶菲克·达米尔;大卫·卡普克 实二次域中理想格的圆整扭曲。 （英语） Zbl 1442.11102号 J.数论 196, 168-196 (2019). 理想格作为密码学和编码理论的一种新工具，现已成为人们关注的焦点。这篇写得很好、很有趣的论文着眼于由实二次域产生的格。如果存在元素基，则这些二次理想格称为完备格，这两个元素都具有最短范数。如果我们把这里的格想象成\（M\mathbb{Z}^2），其中\（M）是基矩阵，那么格的扭曲是\（DM\mathbb{Z}^2）{SL}_2（mathbb{R}）是一个对角矩阵。这里有各种有趣的结果，它们使用了一组经过深思熟虑的定义，如“双稳基”、“好基”等。其中一个主要结果是枚举（使用显式计算）任何给定理想晶格的所有完美扭曲。证明了格的完备扭曲的等价类集合与良好基的等价类之间存在一个双射（这些是可以扭曲以生成完备格的基）。另一个值得一提的结果是构造了无限族完美扭曲的理想格，其中球面填充半径和最小乘积距离都很大。这些例子来自所谓的Markoff理想。作者使用了评论家的结果[J.数字理论131，No.81420-1428（2011；Zbl 1229.11147号)]这表明Markoff理想类正是那些达到最小值（在实二次域中的所有理想类中）的可能理想范数界\（1+[frac{\sqrt{d}}{3}]\）的类，其中\（d\）是基础二次域的判别式。Markoff理想的这一性质使它们成为所有理想格中可能具有最大最小乘积距离的理想格。此外，这些理想的全面扭曲产生了良好的球体填充性能。审核人：安妮莎·斯里尼瓦桑（马德里） 引用于1审查引用于2文件 MSC公司： 2006年11月 晶格和凸体（数论方面） 11时31分 格状包装和覆盖（数值理论方面） 第11页12 全局环和域上的二次型 11兰特 二次扩展 关键词：格子;圆格子;理想格;实二次域;标记编号 引文：兹伯利1229.11147 软件：SageMath公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.T.Damir}和\textit{D.Karpuk}，J.数论196，168--196（2019；Zbl 1442.11102） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 北卡罗来纳州安肯尼。；乔拉，S。；Hasse，H.，关于分圆域的最大实子域的类数，J.Reine Angew。数学。（克雷勒斯J.），217，217-220，（1965）·Zbl 0128.03501号 [2] Bayer-Fluckinger，E.公司。；Oggier，F。；维特博，E.，《代数晶格星座：性能界限》，IEEE Trans。通知。理论，52，1，319-327，（2006）·兹比尔1182.94060 [3] Bayer-Fluckinger，E.公司。；Suarez，I.，完全实数域上的理想格和欧几里德极小，Arch。数学。，86, 3, 217-225, (2006) ·Zbl 1137.11046号 [4] Bayer-Fluckinger，E.，《格与数域》，Contemp。数学。，241, 69-84, (1999) ·Zbl 0951.11016号 [5] Bayer-Fluckinger，E.公司。；Nebe，G.，关于实数域的欧几里德极小值，J.Théor。Nombres Bordeaux，17437-454，（2005年）·Zbl 1161.11032号 [6] 贝尔菲奥雷，J.-C。；Rekaya，G。；Viterbo，E.，《黄金码：具有非零行列式的（2乘2）全速率空时码》，IEEE Trans。通知。理论，51,41432-1436，（2005）·Zbl 1285.94123号 [7] Boutros，J。；维特博，E。；拉斯特罗，C。；Belfiore，J.-C.，《瑞利衰落和高斯信道的良好晶格星座》，IEEE Trans。通知。理论，42，2，502-518，（1996）·Zbl 0855.94018号 [8] 卡塞尔斯，J.，《丢番图近似导论》，（1957年），剑桥大学出版社·Zbl 0077.04801 [9] 康威，J。；Sloane，N.，《球形填料、晶格和组》，（1999），Springer-Verlag纽约公司·Zbl 0915.52003号 [10] Fukshansky，L。；彼得森，K.，《关于完备理想格》，《国际数论》，8，1，189-206，（2012）·Zbl 1292.11077号 [11] Fukshansky，L。；亨肖，G。；老挝，P。；普林斯，M。；太阳，X。；Whitehead，S.，《关于完备理想格——II》，《国际数论》，9，1，139-154，（2013）·Zbl 1296.11085号 [12] Heath-Brown，D.，多项式的无幂值，Q.J.数学。，64, 1, 177-188, (2013) ·Zbl 1287.11114号 [13] 雅各布森，M.J。；卢克斯，R.F。；Williams，H.C.，二次域调节器边界的研究，实验数学。，211-225年4月3日，（1995年）·Zbl 0859.11057号 [14] Lang，S.，代数数论，（1986），Springer-Verlag纽约公司·Zbl 0601.12001号 [15] 莱文，M。；美国夏皮拉。；Weiss，B.，对角线群和完备格的闭轨道，群Geom。动态。，10, 4, 1211-1225, (2016) ·Zbl 1368.22005年 [16] Martinet，J.，《欧几里德空间中的完美格》，（2003），柏林-海德堡出版社·Zbl 1017.11031号 [17] McMullen，C.，双曲流形、离散群和遍历理论，课程笔记，（2017），在线阅读 [18] McMullen，C.，Minkowski猜想，完备格和拓扑维，J.Amer。数学。Soc.，18，711-734，（2005）·Zbl 1132.11034号 [19] Oggier，F。；Viterbo，E.，瑞利衰落信道的代数数论和代码设计，Commun。Inf.理论，1，3，333-416，（2004）·Zbl 1137.94014号 [20] Ricci，G.，Ricerche aritmetiche sui polinomi，Rend。循环。数学。巴勒莫，57，433-475，（1933） [21] Srinivasan，A.，使用Markoff定理改进实二次阶的Minkowski界，J.数论，131，8，1420-1428，（2011）·Zbl 1229.11147号 [22] Sage Developers，（2018），SageMath，Sage数学软件系统（8.2版） [23] Voronoi，G.，《四分之一形式参数的新应用：二分之一形式的固有应用》，J.Reine Angew。数学。（克雷勒斯J.），13397-178，（1908） [24] Voronoi，G.，《连续参数的新应用：2 sur quelques propriés des formes quadriques positives parfaites》，J.Reine Angew。数学。（克雷勒斯J.），134198-287，（1908） 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。