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动力学严格数值导论:一般函数分析设置和一个强制混沌的例子。 (英语) Zbl 1405.37005号

van den Berg,Jan Bouwe(编辑)等人,《动力学中的严格数值学》。AMS短期课程,美国华盛顿州西雅图,2016年1月4日至5日。课堂讲稿。普罗维登斯,RI:美国数学学会(AMS)(ISBN 978-1-4704-2814-3/hbk;978-1-4744-4729-8/电子书)。应用数学专题讨论会论文集74,1-25(2018)。
概述:本文概述了动力系统中严格计算的一些基本概念。我们经常在计算机上模拟动力学,或计算偏微分方程的数值解。这提供了非常详细、刺激性的信息。然而,如果我们能确定屏幕上看到的内容确实代表了问题的解决方案,那么数学洞察力和影响力将得到更大的提高。特别是,计算的严格验证允许这些对象用作定理的组成部分。
在过去的几十年里,计算机辅助动力学证明的发展取得了巨大进步。一种方法是基于功能分析设置。本文的目的是介绍这种严格计算方法的基本思想。作为中心示例,我们使用在描述流体动力学模式形成的非线性常微分方程中寻找特定周期轨道的问题。这个简单的设置将技术性保持在最低限度。然而,这个单一周期轨道的严格计算意味着通过拓扑参数的混沌行为(在某种意义上类似于区间映射的“周期3意味着混沌”)。
关于整个系列,请参见[兹比尔1396.37003].

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37-04 与动力学系统和遍历理论有关的问题的软件、源代码等
3700万 动力系统的逼近方法和数值处理
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参考文献:

[1] 肯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel);Haken,Wolfgang,《每个平面图都是四色的》,《当代数学》98,xvi+741 pp.(1989),美国数学学会,普罗维登斯,RI·Zbl 0681.05027号 ·doi:10.1090/conm/098
[2] 阿莱、辛;威廉·凯利斯(William Kalies);广岛市Kokubu;康斯坦丁·米柴科夫;Oka,Hiroe;Pilarczyk,Pawe \l,多参数系统全局动力学分析的数据库模式,SIAM J.Appl。动态。系统。,8, 3, 757-789 (2009) ·兹比尔1186.37021 ·doi:10.1137/080734935
[3] Gianni Arioli;Koch,Hans,耗散系统稳态解研究的计算机辅助方法,应用于Kuramoto-Sivashinski方程,Arch。定额。机械。分析。,197, 3, 1033-1051 (2010) ·Zbl 1231.35016号 ·doi:10.1007/s00205-010-0309-7
[4] Gianni Arioli;Koch,Hans,耗散偏微分方程的积分:案例研究,SIAM J.Appl。动态。系统。,9, 3, 1119-1133 (2010) ·Zbl 1298.37071号 ·doi:10.1137/10078298X
[5] 马克西姆·布列登;Jean-Philippe Lessard;Vanica,Matthieu,PDE系统稳态的全局分岔图,通过严格数值:一个三分量反应扩散系统,Acta Appl。数学。,128, 113-152 (2013) ·Zbl 1277.65088号 ·doi:10.1007/s10440-013-9823-6
[6] 布鲁尔,B。;霍拉克,J。;麦肯纳,P.J。;Plum,M.,非线性支撑梁中行波的计算机辅助存在性和多重性证明,J.微分方程,224,1,60-97(2006)·Zbl 1104.34034号 ·doi:10.1016/j.jde.2005.07.016
[7] CAPD:动力学的计算机辅助证明,严格数值的软件包,http://capd.ii.uj.edu.pl/。
[8] 罗伯托·卡斯泰利;Lessard,Jean-Philippe,Floquet理论中的严格算术:计算稳定和不稳定的周期轨道束,SIAM J.Appl。动态。系统。,12, 1, 204-245 (2013) ·Zbl 1293.37033号 ·doi:10.1137/120873960
[9] 查尔斯·康利(Charles Conley),《孤立不变集和莫尔斯指数》(Isolated invariant set and Morse index),哥伦比亚银行管理学院数学区域会议系列38,iii+89 pp.(1978),美国数学学会,普罗维登斯,R.I·Zbl 0397.34056号
[10] M.C.Cross和P.C.Hohenberg,平衡外的图案形成,修订版。物理学。65(1993),第3期,851-1112·Zbl 1371.37001号
[11] 天,莎拉;Kalies,William D.,具有光滑非线性的积分微分方程全局动力学的严格计算,SIAM J.Numer。分析。,51, 6, 2957-2983 (2013) ·兹比尔1288.37030 ·数字对象标识代码:10.1137/120903129
[12] 天,莎拉;Jean-Philippe Lessard;Mischaikow,Konstantin,PDE平衡的验证延续,SIAM J.Numer。分析。,45, 4, 1398-1424 (2007) ·Zbl 1151.65074号 ·数字对象标识代码:10.1137/050645968
[13] Devaney,Robert L.,Hamilton系统中的同宿轨道,J.微分方程,21,2,431-438(1976)·Zbl 0343.58005号 ·doi:10.1016/0022-0396(76)90130-3
[14] 马西奥·加梅罗;Lessard,Jean-Philippe,通过一维估计实现高维偏微分方程的高效严格数值,SIAM J.Numer。分析。,51, 4, 2063-2087 (2013) ·Zbl 1277.65084号 ·数字对象标识代码:10.1137/10836651
[15] Ghrist,R.W。;范登伯格,J.B。;Vandervorst,R.C.,编织物空间的Morse理论和拉格朗日动力学,发明。数学。,152, 2, 369-432 (2003) ·Zbl 1017.37031号 ·doi:10.1007/s00222-002-0277-0
[16] 《开普勒猜想的证明》,《数学年鉴》。(2), 162, 3, 1065-1185 (2005) ·Zbl 1096.52010年 ·doi:10.4007/annals.2005.162.1065
[17] 莫里斯·赫施。;斯蒂芬·斯梅尔(Stephen Smale);Devaney,Robert L.,《微分方程、动力系统和混沌导论》,xiv+418页(2013),爱思唯尔/学术出版社,阿姆斯特丹·Zbl 1239.37001号 ·doi:10.1016/B978-0-12-382010-5.00001-4
[18] 阿兰·亨格里亚(Allan Hungria);Jean-Philippe Lessard;Mireles James,J.D.,微分方程解析解的严格数值:半径多项式方法,数学。公司。,85, 299, 1427-1459 (2016) ·Zbl 1332.65114号 ·doi:10.1090/com/3046
[19] Kalies,W.D。;Kwapisz,J。;VanderVorst,R.C.A.M.,哈密顿鞍-焦点平衡点之间稳定连接的同伦类,Comm.Math。物理。,193, 2, 337-371 (1998) ·兹伯利0908.34034 ·doi:10.1007/s002200050332
[20] 威廉·凯利斯(William D.Kalies)。;康斯坦丁·米柴科夫;Vandervorst,Robert C.A.M.,吸引子的格结构I,J.Compute。动态。,1, 2, 307-338 (2014) ·Zbl 1346.37013号
[21] 奥斯卡·E·兰福德,III,《费根鲍姆猜想的计算机辅助证明》,布尔。阿默尔。数学。Soc.(N.S.),第6、3、427-434页(1982年)·Zbl 0487.58017号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X
[22] 范登伯格(van den Berg)、扬·布韦(Jan Bouwe);Lessard,Jean-Philippe,《通过严格数值实现混沌编织解:Swift-Hohenberg方程中的混沌》,SIAM J.Appl。动态。系统。,7, 3, 988-1031 (2008) ·Zbl 1408.37062号 ·doi:10.1137/070709128
[23] Jean-Philippe Lessard;Christian Reinhardt,《使用切比雪夫级数求解非线性微分方程的严格数值》,SIAM J.Numer。分析。,52,1,1-22(2014)·Zbl 1290.65060号 ·数字对象标识码:10.1137/13090883X
[24] Li,T.Y。;詹姆斯·约克(James A.Yorke),第三阶段意味着混乱,阿默(Amer)。数学。月刊,82,10,985-992(1975)·Zbl 0351.92021号 ·doi:10.2307/2318254
[25] Nakao,Mitsuhiro T.,常微分方程和偏微分方程解的数值验证方法,数值。功能。分析。最佳。,22, 3-4, 321-356 (2001) ·Zbl 1106.65315号 ·doi:10.1081/NFA-100105107
[26] 诺顿,道格拉斯·E,动力系统的基本定理,评论。数学。卡罗琳大学。,36, 3, 585-597 (1995) ·Zbl 0847.58049号
[27] 尼尔·罗伯逊(Neil Robertson);丹尼尔·桑德斯;保罗·西摩;托马斯,罗宾,四色定理,J.组合理论。B、 70、1、2-44(1997)·Zbl 0883.05056号 ·doi:10.1006/jctb.1997.1750
[28] 可靠计算的发展,1998年9月22日至25日在布达佩斯举行的GAMM-IMACS科学计算、计算机算术和验证数值国际研讨会(SCAN-98)论文集,viii+402 pp.(1999),Kluwer Academic Publishers,Dordrecht·兹比尔0933.00041 ·doi:10.1007/978-94-017-1247-7
[29] Salamon、Dietmar、Morse理论、Conley指数和Floer同源性、Bull。伦敦数学。《社会学杂志》,22,2,113-140(1990)·Zbl 0709.58011号 ·doi:10.1112/blms/222.113
[30] 伊芙琳·桑德;Wanner,Thomas,验证鞍节点分岔及其在晶格动力学系统中的应用,SIAM J.Appl。动态。系统。,15, 3, 1690-1733 (2016) ·Zbl 1414.35115号 ·doi:10.1137/16M1061011
[31] \v Sarkovs\cprime ki\u\i,O.M.,线到自身的连续映射的循环共存,乌克兰。Mat.\v Z.,16,61-71(1964)·Zbl 0122.17504号
[32] \v Sil\cprime nikov,L.P.,可数周期运动集存在的一个例子,Dokl。阿卡德。诺克SSSR,160,558-561(1965)
[33] S.H.Strogatz,《非线性动力学和混沌:在物理、生物、化学和工程中的应用》,《非线性研究》,威斯特维尤出版社,剑桥(马萨诸塞州),1994年。
[34] J.Swift和P.C.Hohenberg,对流不稳定时的流体动力学波动,物理学。修订版A 15(1977),编号1,319-328。
[35] Thurston,William P.,《关于曲面微分同态的几何和动力学》,布尔。阿默尔。数学。Soc.(N.S.),19,2,417-431(1988)·Zbl 0674.57008号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6
[36] 沃里克·塔克(Warwick Tucker),一个严格的常微分方程求解器和斯梅尔的第14个问题,已被发现。计算。数学。,2, 1, 53-117 (2002) ·Zbl 1047.37012号
[37] 范登伯格,J.B。;Groothedde,C.M。;Williams,J.F.,Ginzburg-Landau问题径向对称局部解的严格计算,SIAM J.Appl。动态。系统。,14, 1, 423-447 (2015) ·Zbl 1319.34048号 ·数字对象标识代码:10.1137/140987973
[38] Jan Bouwe van den Berg,MATLAB代码,“动力学严格数值导论:一般函数分析设置和强制混沌的示例”,2017年,
网址:http://www.math.vu.nl/janbouwe/code/introrignumdyn/
. ·Zbl 1405.37005号
[39] 范登伯格(van den Berg)、扬·布韦(Jan Bouwe);德什涅斯,安德里亚;Jean-Philippe Lessard;Mireles James,Jason D.,《通过严格计算实现六边形和滚动的静态共存》,SIAM J.Appl。动态。系统。,942-979年2月14日(2015年)·Zbl 1371.37036号 ·doi:10.1137/140984506
[40] 范登伯格(van den Berg)、扬·布韦(Jan Bouwe);Lessard,Jean-Philippe,《通过严格数值实现混沌编织解:Swift-Hohenberg方程中的混沌》,SIAM J.Appl。动态。系统。,7, 3, 988-1031 (2008) ·Zbl 1408.37062号 ·doi:10.1137/070709128
[41] 范登伯格(van den Berg)、扬·布韦(Jan Bouwe);Jean-Philippe Lessard;Mischaikow,Konstantin,使用严格分支跟踪的全局平滑解曲线,数学。公司。,79, 271, 1565-1584 (2010) ·Zbl 1206.37045号 ·doi:10.1090/S0025-5718-10-02325-2
[42] Thomas Wanner,《计算机辅助分叉图验证与材料科学应用》,2017年,即将出版·Zbl 1406.35040号
[43] Zgliczy’nski,Piotr,耗散偏微分方程的严格数值。二、。Kuramoto-Sivashinsky PDE的周期轨道——计算机辅助证明。计算。数学。,4, 2, 157-185 (2004) ·兹比尔1066.65105 ·doi:10.1007/s10208-002-0080-8
[44] Zgliczy’nski,Piotr,覆盖关系,锥条件和稳定流形定理,微分方程,246,5,1774-1819(2009)·Zbl 1185.37045号 ·doi:10.1016/j.jde.2008.12.019
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