×
大卫·加马尼克;李泉

求高斯随机矩阵的一个子矩阵。 （英语） Zbl 1401.68120号

Ann.统计。 46，No.6A，2511-2561（2018）.
摘要：我们考虑了用i.i.d.标准高斯项（平均项较大）求（n次n）矩阵的（k次k）子矩阵的问题。它显示在[S.巴米迪等，Probab。理论关联。Fields 168，No.3–4，919–983（2017；Zbl 1371.60010号)]使用非构造方法，当（k=o（log n/log n））时，a（k乘以k）子矩阵的最大平均值为（2（1+o（1））\sqrt{\log n/k}，具有高概率（w.h.p.）。在同一篇论文中，有证据表明，一种称为常数（k）的最大平均子矩阵（Largest Average Submatrix，LAS}）的自然贪婪算法应该产生一个平均项最多为（1+o（1））的矩阵，即大约小于全局最优值的（sqrt{2}），尽管没有提供这一事实的正式证明。{}本文证明了当（k）为常数且（n）增长时，（mathcal{LAS}）算法产生的矩阵的平均项确实是（（1+o（1））sqrt{2\log n/k}）w.h.p。然后，通过与随机图中的寻找集团问题进行类比，我们提出了一个简单的贪婪算法，该算法产生一个具有渐近相同平均值的\（k+o（1））\sqrt｛2\logn/k｝\）w.h.p.的\（k=o（\logn）\）矩阵。由于贪婪算法是在随机图中查找团的最著名的算法，人们很容易相信，克服这两种算法所遭受的因子（sqrt{2}）性能差距可能是非常困难的。令人惊讶的是，我们构造了一个非常简单的算法，它为（k=o（（logn）^{1.5}）生成了一个平均值为（1+o{k}（1）+o（1））（4/3）的矩阵，也就是说，当（k）增长时，其渐近因子为（4/3。{}为了深入了解这个问题的算法难度，并受到自旋玻璃理论中方法的启发，我们对具有固定值的平均值渐近（（1+o（1））alpha\sqrt{2\log n/k}）的矩阵进行了所谓的期望重叠分析。重叠对应于实现该值的矩阵对的公共行数和公共列数（有关详细信息，请参阅本文）。我们在数值上发现了一个有趣的相变：当（α）重叠空间是（[0,1]^{2}）的连续子集时，而（α）标志着不连续的开始，因此，模型在适当定义的\（\alpha>\alpha^\ast\）时显示了重叠间隙特性（OGP）。我们推测，观察到的（alpha>alpha^\ast）OGP也标志着算法硬度的开始——不存在多项式时间算法来寻找平均值至少为\（1+o（1））\alpha\sqrt{2\log n/k}的矩阵，而\（alpha>alpha^\ ast）和\（k）是\（n）的轻度增长函数。

引用于6文件

MSC公司：

65年第68季度 算法和问题复杂性分析
60对20 随机矩阵（概率方面）
60二氧化碳 组合概率
87年第68季度 计算机科学中的概率（算法分析、随机结构、相变等）

关键词：

随机矩阵;随机图;最大集团;子矩阵检测;计算复杂度;重叠间隙特性

引文：

Zbl 1371.60010号

软件：

拉斯
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Gamarnik}和\textit{Q.Li}，Ann.Stat.46，No.6A，2511--2561（2018；Zbl 1401.68120）
全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得

参考文献：

[1] Achlioptas，D.和Coja-Oghlan，A.（2008）。来自相变的算法障碍。2008年第49届IEEE计算机科学基础年会793–802。IEEE，纽约。
[2] Achlioptas，D.、Coja-Oghlan，A.和Ricci-Tersenghi，F.（2011年）。关于随机约束满足问题的解空间几何。随机结构算法38 251–268·Zbl 1217.68156号 ·doi:10.1002/rsa.20323
[3] Alon，N.、Krivelevich，M.和Sudakov，B.（1998年）。在随机图中找到一个大的隐藏集团。随机结构算法13 457–466·Zbl 0959.05082号 ·doi:10.1002/（SICI）1098-2418（199810/12）13:3/4<457:：AID-RSA14>3.0.CO；2伏
[4] Berthet，Q.和Rigollet，P.（2013）。稀疏主成分检测的复杂性理论下限。学习理论会议1046–1066。
[5] Berthet，Q.和Rigollet，P.（2013）。高维稀疏主成分的最优检测。《统计年鉴》41 1780年至1815年·Zbl 1277.62155号 ·doi:10.1214/13-AOS1127
[6] 巴米迪，S.、戴伊，P.S.和诺贝尔，A.B.（2012）。高斯随机矩阵中大平均子矩阵检测问题的能量景观。预印本。可在arXiv:12121.2284上获得·Zbl 1371.60010号 ·doi:10.1007/s00440-017-0766-0
[7] Coja-Oghlan，A.和Efthymiou，C.（2011年）。关于随机图中的独立集。第二十二届ACM-SIAM离散算法研讨会论文集136-144。费城SIAM·Zbl 1376.05139号
[8] Fortunato，S.（2010年）。图中的社区检测。物理学。代表486 75–174。
[9] Gamarnik，D.和Sudan，M.（2014）。稀疏随机图上局部算法的极限。第五届理论计算机科学创新会议论文集369-376。纽约ACM·Zbl 1365.05277号
[10] Gamarnik，D.和Sudan，M.（2014）。随机NAE-K-SAT问题的调查传播引导抽取算法的性能。预打印。可从arXiv:1402.0052获取。
[11] Gamarnik，D.和Zadik，I.（2017年）。二元系数的高维回归。估计平方误差和相变。预印本。可从arXiv:1701.04455获得。
[12] Karp，R.M.（1976年）。一些组合搜索算法的概率分析。算法与复杂性：新方向和最新结果1-19·Zbl 0368.68035号
[13] Leadbetter，M.R.、Lindgren，G.和Rootzén，H.（1983年）。随机序列和过程的极值及其相关性质。纽约州施普林格·Zbl 0518.60021号
[14] Madeira，S.C.和Oliveira，A.L.（2004）。生物数据分析的双聚类算法：综述。IEEE/ACM传输。计算。生物。生物信息。1 24–45。
[15] Montanari，A.（2015）。在稀疏图中查找一个社区。《联邦统计物理杂志》161 273–299·Zbl 1327.82091号 ·doi:10.1007/s10955-015-1338-2
[16] Rahman，M.和Virág，B.（2014）。独立集的局部算法是半最优的。预打印。可从arXiv:1402.0485获取。
[17] Shabalin，A.A.、Weigman，V.J.、Perou，C.M.和Nobel，A.B.（2009年）。在高维数据中发现较大的平均子矩阵。附录申请。统计数字985–1012·Zbl 1196.62087号 ·doi:10.1214/09-AOAS239
[18] Sun，X.和Nobel，A.B.（2013）。关于高斯随机矩阵中大平均和ANOVA-fit子矩阵的最大尺寸。Bernoulli19 275-294·Zbl 1259.62062号 ·文件编号：10.3150/11-BEJ394
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。