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保罗·布雷丁；萨拉·卡利什尼克；伯恩德·斯图尔姆费尔斯；马德琳·温斯坦

从样本中学习代数变化。 （英语） Zbl 1481.13040号

修订材料完成。 31，第3号，545-593（2018）.
假设在实欧几里德空间中从未知代数簇（即多元多项式方程的零轨迹）中给出点的样本。本文的目的是从取样点中确定未知品种的特征。正如作者所指出的，这是“数据科学和代数几何接口上的一个基本问题”作者调查了广泛的文献，并提出了一些新的算法来解决这些问题。从那些开始学习数据科学和代数几何技术的人到寻找不同方法尝试的专家，本文在许多层面上都是有用的参考。特别有用的是第2节中的一长串示例以及第7节中描述的附带软件（读者可以公开获得）。
作者提出了五个关于未知品种的问题，围绕这五个品种组织论文：
1
（V）的维数是多少？
2
哪些多项式在（V）上消失？
三。
（V）的度数是多少？
4
（V）的不可约分量是什么？
5
（V）的同源群是什么？

在第三节中，作者考虑了流形学习领域中标准的维数估计问题[J.A.李和M.Verleysen先生，非线性降维。纽约州纽约市：Springer（2007；兹比尔1128.68024)]. 作者调查了六种不同的维度估计方法。这些是非线性主成分分析、盒子计数、关联维数、持久同源曲线维数[H.亚当斯等，阿贝尔交响乐团。15, 1–31 (2020;Zbl 1448.62211号)]，最大似然估计[E.莱文纳和P.Bickel先生，“内在维度的最大似然估计”，高级神经信息处理。系统。17，777–784（2004）]，以及方差估计分析[迪亚斯先生等，《多元分析杂志》。173, 229–247 (2019;Zbl 1422.62182号)]. 作者在一个尺寸图灵感来自持久同源的条形码。
在第4节中，作者继续进行持久同源性，这是拓扑数据分析的主要内容[G.卡尔森，公牛。美国数学。Soc.，新Ser。46，第2期，255–308（2009年；Zbl 1172.62002号)]. 作者探索使用样本点处未知变量的切线空间（V）来获得椭球体，以细化Vietoris-Rips复合体球体的常规输入。（一旦知道一些方程，就可以估计切线空间——这是第5节考虑的问题。）作者还指出了达到流形的同调学习[P.尼约吉等人，《离散计算》。地理。39，编号1-3，419-441（2008年；兹比尔1148.68048)].
第五节分析了未知变量（V）的方程求解问题。当寻找消失在一组点上的次数为d的多项式方程时，这里的标准方法是通过应用第d个Veronese映射将问题“线性化”。在该映射下，消失在点上的度为d的超曲面空间成为线性空间，更准确地说，它们是范德蒙矩阵（这是一个矩阵，其列记录了Veronese地图下采样点的图像）。作者概述了计算该内核的三种标准方法；对于以浮点坐标给出的采样点，用数字方式进行此操作尤其重要。作者指出，这里的一个问题是，范德蒙德矩阵是出了名的病态矩阵[V.Y.潘，SIAM J.矩阵分析。申请。37，第2期，676–694页（2016年；Zbl 1382.15008号)]. 在试图找到稀疏的方程并通过选择多项式的正交基来避免ill-条件化，这可能会破坏任何所需的稀疏表示。
在第6节中，作者描述了从第5节中导出的方程中提取有关变量（V）的有意义信息的方法。这是计算代数几何的领域。主要得益于Groebner基，符号方法现在在符号计算机代数系统中得到了很好的应用，例如麦考利2,可可、和单一。最近，数值代数几何，是一个不断发展的领域。软件贝尔蒂尼实现这些数值方法（最近同伦Continuation.jl中的包朱莉娅). 作者描述了如何使用这些软件包来解决给定样本的剩余问题（\（V\）的程度、\（V\）的不可约分量等）
最后，第7节使用朱莉娅作者开发的包名为学习代数变化。作者提供了使用该软件包的分步指导。
审核人：迈克尔·迪帕斯奎尔（斯蒂尔沃特）

引用于20文件

MSC公司：

13第25页 交换代数的应用（例如，统计、控制理论、优化等）
14第25页 实代数簇的拓扑
62J02型 一般非线性回归
55N31号 持久同源性及其应用，拓扑数据分析
62R40型 拓扑数据分析

关键词：

实代数几何；点云数据；持久同源性；插值

引文：

Zbl 1128.68024号；Zbl 1448.62211号；Zbl 1422.62182号；Zbl 1172.62002号；Zbl 1148.68048号；Zbl 1382.15008号

软件：

同伦延续；学习代数变化；朱莉娅；单一；埃雷内；javaPlex公司；可可；麦考利2；MC工具箱；贝尔蒂尼
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.Breiding}等人，修订版材料完成。31，第3号，545--593（2018；Zbl 1481.13040）
全文： 内政部 arXiv公司

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