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W.Frank摩尔;马克·罗杰斯;Sather-Wagstaff，肖恩

单调理想及其分解。 （英语） Zbl 1476.13002号

Universitext（通用文本）查姆：施普林格（ISBN 978-3-319-96874-2/pbk；978-3-3169-96876-6/电子书）。第二十四、387页。(2018).
本书面向学习了抽象代数基础课程（包括多项式环和理想）的高级本科生和研究生。其目的是将它们引入到具有交换环（R\）中系数的多项式环（R[x_1，\ldots，x_d]\）中理想的分解。它特别关注单项式理想（由形式为\（\mathbf{x}^u=x_1^{u_1}\cdotsx_d^{u_d}\）的单项式生成的理想，其中\（{mathbf}u}=（u_1，\ldots，u_d）\ in \mathbb{Z}^d\））。一般来说，单项式理想及其分解的意义在于，它们以令人难以置信的方式与数学的其他领域相联系，例如代数组合学、几何学、图论和拓扑学。本书被认为是对单项式理想的温和介绍，分为四个部分：
第一部分概括地阐述了单项理想。更确切地说，第1章给出了多项式环（R[x_1，\ldots，x_d]\）中单项式理想的基本性质。子集\（I\子集R[x_1，\ldots，x_d]\）是多项式环中的单项式理想，被定义为可以由变量\（x_1、\ldot，x_d\）上的单项数生成的理想。本章对上述概念进行了分析。此外，本章还介绍了积分域的概念、单项式理想的生成元集和诺以太环的概念。第二章主要讨论单项式理想的运算。特别地，它给出了单项式理想的交集，其中单项式的理想被分解。使用至少公共倍数描述单项式理想交集的生成序列。本章还介绍了唯一分解域和单项根。本章最后介绍了一些其他的结构，例如单项式理想的括号幂。第三章研究了（m）-不可约理想，它是最简单的单项式理想。本章还包含一些关于不可约分解的实际计算的材料。它们的效用是由于每个单项式理想都有一个（m）-不可约分解，正如本章所证明的那样。
第二部分致力于展示单项式理想与其他研究领域之间的一些联系。特别是，第4章描述了单项式理想、图论和组合学之间的一些相互作用。首先，重点讨论了单项式理想的三种特殊情况，即简单图的边理想、Stanley-Reisner理想和单纯复形的面理想，它们是“无平方”单项式的理想。其次，给出了图和边理想以及边理想的分解。然后，介绍了单形复形及其Stanley-Reisner理想及其分解。本章最后介绍了面理想及其分解，以及形成单项式生成序列到不可约分解的过程，反之亦然，称为“亚历山大对偶”。第5章描述了前几章中提出的概念与数学和工程其他领域之间的一些相互作用。首先，给出了Krull维数，作为环大小的度量。其次，讨论了顶点覆盖和“相量测量单位”（PMU）问题。下一节将介绍斯坦利著名的上限猜想解。本章最后介绍了希尔伯特函数和初始理想以及单项式理想的分解。
第三部分介绍了实际计算不可约分解的技术。这些技术分为两类：用于计算一般单项式理想类的分解，以及用于对两个或多个输入理想进行分解并将其组合以构造由输入理想构建的理想的分解。第六章，重点讨论单项式理想的参数分解及其计算技术。所提出的技术包括：角元素、在两个变量中寻找角元素、一般的角元素、一些理想幂的分解和一种新的技术，这是当前的研究领域，称为“麦考利逆系统”。参数理想是单项式理想的另一种情况，具有计算（m）-不可约分解的合理算法，本文也对其进行了研究。最后一章，即第7章，讨论了计算（m）-不可约分解问题的两个方面，给出了计算这些（m）不可约的分解的两个算法。特别地，它着重于单项根、理想的方括号幂、理想之和、冒号理想、理想的饱和、理想的广义方括号幂和理想乘积的（m）-不可约分解。
最后，教材包含两个附录。第一章介绍了重要的代数概念：环、理想和相关的构造，以供复习。第二章介绍了计算机代数系统“Macaulay 2”，它是研究环和理想的一个非常有用的工具。
所有章节都包含练习和Macaulay 2材料，用于对提出的概念进行计算探索。
审核人：克里斯托斯·塔塔基斯（米提里尼）

引用于5文件

MSC公司：

13-02 交换代数的研究综述（专著、调查文章）
13页第10页 Gröbner基地；理想和模块的其他基础（例如Janet和border基础）
13第20页 计算同调代数
13层55 由单项式理想定义的交换环；斯坦利·雷斯纳面环；单纯复形
13-04 与交换代数有关的问题的软件、源代码等

关键词：

多项式环;诺特环;单项式理想;不可约理想;分解;单纯复形;图理想;斯坦利·雷斯纳理想;刻面理想;决议;参数分解;麦考莱2

软件：

多面体;麦考利2;EdgeIdeals公司;可可;单一
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{W.F.Moore}等人，单项式理想及其分解。查姆：施普林格（2018；Zbl 1476.13002）
全文： 内政部