龚春叶;鲍伟民;唐国建;姜月文;刘杰 分数阶微分方程和潜在解的计算挑战：综述。 （英语） Zbl 1394.65072号 数学。问题。工程师。 2015年，文章ID 258265，13 p.（2015）. 摘要：我们从计算机科学的角度综述了分数阶微分方程，特别是其数值解的计算成本。与采用有限差分方法的经典偏微分方程的（O（MN）相比，时间分数、空间分数和时空分数方程的计算复杂性为（O（N^2M））、（O（NM^2）和（O（NM+N）），其中，（M）、（N）是空间网格点的数目和时间步长。这一挑战的潜在解决方案包括但不限于并行计算、内存访问优化（分数预计算算子）、短内存原理、基于快速傅里叶变换（FFT）的解决方案、交替方向隐式方法、多重网格方法和预处理技术。讨论了空间分数导数和时间分数导数的这些解之间的关系。作者指出，应将并行计算技术视为克服这一挑战的基本方法，并应注意分数杀手应用、高性能迭代方法、高阶格式和蒙特卡罗方法。由于高维变阶分数方程的计算量更大，数学和计算机科学领域的研究人员有机会发明分数微积分领域的基石。 引用于10文件 MSC公司： 6500万06 含偏微分方程初值和初边值问题的有限差分方法 35兰特 分数阶偏微分方程 软件：百万分位数;JASMIN公司;FODE公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Gong}等人，《数学》。问题。Eng.2015，文章ID 258265，13 p.（2015；Zbl 1394.65072） 全文： DOI程序 参考文献： [1] Klages，R。；氡，G。；Sokolov，I.，《异常运输：基础与应用》，（2008），德国威尼海姆：威利-VCH，德国威尼海姆 [2] Nigmatullin，R.R。；Omay，T。；Baleanu，D.，《关于经济中分数滤波与传统滤波的比较》，《非线性科学与数值模拟中的通信》，第15、4、979-986页，（2010）·Zbl 1221.91040号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2009.05.027 [3] Podlubny，I.，分数阶微分方程，（1999），美国加利福尼亚州圣地亚哥：学术出版社，美国加州圣地亚哥·Zbl 0918.34010号 [4] Maione，G。；Punzi，A.，结合差分进化和粒子群优化来调整和实现分数阶控制器，动力系统的数学和计算机建模，19，3，277-299，（2013）·Zbl 1278.93116号 ·doi:10.1080/13873954.2012.745006 [5] 巴利亚努，D。；Golmankhaneh，A.K。；Nigmatullin，R。；Golmankhaneh，A.K.，分数牛顿力学，中欧物理杂志，8，1，120-125，（2010）·数字对象标识代码：10.2478/s11534-009-0085-x [6] 法尔赫斯，C。；莫泽，M。；Sabatier，J.，相称分数阶系统的伪状态反馈镇定，Automatica，46，10，1730-1734，（2010）·Zbl 1204.93094号 ·doi:10.1016/j.automatica.2010.06.038 [7] 拉杰夫；Kushwaha，M.，分数阶扩散方程控制的极限情形Stefan问题的同伦摄动方法，应用数学建模，37，5，3589-3599，（2013）·兹比尔1352.65414 ·doi:10.1016/j.apm.2012.07.047 [8] 舒默，R。；Meerschaert，M.M。；Baeumer，B.，《模拟地球表面输运的分数平流弥散方程》，《地球物理研究杂志：地球表面》，114，4，（2009）·doi:10.1029/2008JF001246 [9] Maione，G.，三角域中分数算子的高速数字实现，IEEE自动控制汇刊，56，3697-702，（2011）·Zbl 1368.93096号 ·doi:10.1109/TAC.2010.2101134 [10] 龚，C。；Bao，W。；唐·G。；最小值C。；Liu，J.，分数阶常微分方程生成的toeplitz-plus-band三角系统的一种有效迭代方法，工程数学问题，2014，（2014）·Zbl 1407.65039号 ·doi:10.1155/2014/194249 [11] Trigeasou，J.C。；Maamri，N。；Sabatier，J。；Oustaloup，A.，分数阶微分方程稳定性的Lyapunov方法，信号处理，91，3，437-445，（2011）·Zbl 1203.94059号 ·doi:10.1016/j.sigpro.2010.04.024 [12] Sabatier，J。；莫泽，M。；Farges，C.，分数阶系统的LMI稳定性条件，计算机与应用数学，59，5，1594-1609，（2010）·Zbl 1189.34020号 ·doi:10.1016/j.camwa.2009.08.003 [13] Maione，G.，关于分数阶离散导数和积分算子的Laguerre有理逼近，IEEE自动控制汇刊，58，6，1579-1585，（2013）·Zbl 1369.93404号 ·doi:10.1109/TAC.2013.2244273 [14] 姜浩。；刘，F。；特纳，I。；Burrage，K.，有限域中多项时间分数阶扩散波/扩散方程的分析解，《计算机与数学应用》，64，10，3377-3388，（2012）·Zbl 1268.35124号 ·doi:10.1016/j.camwa.2012.02.042 [15] Alipour先生。；Baleanu，D.，用BPs运算矩阵求解非线性分数阶微分方程组的近似解析解，数学物理进展，2013，（2013）·Zbl 1273.34004号 ·doi:10.1155/2013/954015 [16] Saha Ray，S.，空间分数阶扩散方程的两步adomian分解法解析解，非线性科学与数值模拟中的通信，14，4，1295-1306，（2009）·Zbl 1221.65284号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2008.01.010 [17] 莫马尼，S。；Odibat，Z.，线性分数阶偏微分方程同伦摄动法与变分迭代法的比较，计算机与数学及其应用，54，7-8，910-919，（2007）·兹比尔1141.65398 ·doi:10.1016/j.camwa.2006.12.037 [18] 陈，S。；刘，F。；Anh，V.，一维分数阶渗流方程的新型隐式有限差分方法，数值算法，56，4，517-535，（2011）·兹比尔1429.65180 ·doi:10.1007/s11075-010-9402-0 [19] 严，J。；Tan，G.-M。；Sun，N.-H.，为多核集群优化非结构化网格上的并行Sn扫描，计算机科学与技术杂志，28，4，657-670，（2013）·doi:10.1007/s11390-013-1366-9 [20] Yang，H.等人。；Cai，X.C.，非定常不可压缩流动分布式控制的并行全隐式双网格方法，流体数值方法国际期刊，72，1，1-21，（2013）·Zbl 1455.76050号 ·doi:10.1002/fld.3729 [21] 刘，X。；顾，T。；Hang，X。；Sheng，Z.，分布式并行环境中大型线性系统的QMRCGSTAB方法的并行版本，应用数学与计算，172,2744-752，（2006）·Zbl 1088.65030号 ·doi:10.1016/j.amc.2004.11.028 [22] Ming，D.，一种适用于在图形处理单元（GPU）上实现的并行可实现区域构造方法，计算机与化学工程，67，103-120，（2014）·doi:10.1016/j.compchemeng.2014.04.001 [23] 廖，X。；肖，L。；杨，C。；Lu，Y.，Milkyway-2超级计算机：系统与应用，计算机科学前沿，8，3，345-356，（2014）·文件编号：10.1007/s11704-014-3501-3 [24] 徐，W。；卢，Y。；李强。；周，E。；宋，Z。；Dong，Y。；张伟。；Wei博士。；张，X。；陈，H。；Xing，J。；Yuan，Y.，MilkyWay-2超级计算机中的混合层次存储系统，计算机科学前沿，8，3，367-377，（2014） [25] 阿科特，F。；da Silva，A.F.，《PSIM:图形处理单元上的模块化粒子系统》，IEEE拉丁美洲汇刊，12，2，321-329，（2014）·doi:10.1109/TLA.2014.6749555 [26] 彭尼库克，S.J。；哈蒙德，S.D。；贾维斯，S.A。；Mudalige，G.R.，NASLU基准的MPI/CUDA混合实现的性能分析，ACM SIGMETRICS性能评估审查，38，4，23-29，（2011）·数字对象标识代码：10.1145/1964218.1964223 [27] Mu，D。；陈，P。；Wang，L.，使用图形处理单元（GPU）加速地震波传播模拟的非连续Galerkin方法-单GPU实现，计算机与地球科学，51，282-292，（2013）·doi:10.1016/j.cageo.2012.07.017 [28] Mauger，S。；威尔第，G.C。；贝尔热，L。；Skupin，S.，GPU加速了SBS有源介质中自聚焦激光束的全空间和时间分辨率数值模拟，计算物理杂志，235，606-625，（2013）·doi:10.1016/j.jp.2012.10.034 [29] 马查多，J.T。；Kiryakova，V。；Mainardi，F.，《分数微积分的近代史》，《非线性科学与数值模拟通信》，16，3，1140-1153，（2011）·Zbl 1221.26002号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027 [30] Tenreiro Machado，J.A。；Kiryakova，V。；Mainardi，F.，关于分数微积分近代历史的海报，分数微积分与应用分析，13，3，329-334，（2010）·Zbl 1221.26013号 [31] Loverro，A.，《分数微积分：工程师的历史、定义和应用》，46556，（2004），美国印第安纳州圣母院：美国印第安纳省圣母院航空航天和机械工程部 [32] Nishimoto，K.，《Nishimoto's Fractional Calculus的精髓（21世纪的微积分）：任意阶的积分与微分》，（1991），笛卡尔出版社·Zbl 0798.26007号 [33] 崔M.，二维时间分数阶扩散方程的紧致交替方向隐式方法，计算物理杂志，231,62621-2633，（2012）·Zbl 1242.65158号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.12.010 [34] 张伟。；蔡，X。；Holm，S.，《时间分馏热方程和负绝对温度》，《计算机与数学应用》，67，1，164-171，（2014）·Zbl 1346.35223号 ·doi:10.1016/j.camwa.2013.11.007 [35] Yang，Q.杨。；刘，F。；Turner，I.，带Riesz空间分数阶导数的分数阶偏微分方程的数值方法，应用数学建模：工程与环境系统的模拟与计算，34，1，200-218，（2010）·Zbl 1185.65200号 ·doi:10.1016/j.apm.2009.04.006 [36] 赵，J。；肖，J。；Xu，Y.，有限域中多项时空Riesz分数阶对流扩散方程的有限元方法，抽象与应用分析，2013，（2013）·Zbl 1275.65064号 ·doi:10.1155/2013/868035 [37] Lin，Y。；Xu，C.，时间分数阶扩散方程的有限差分/谱近似，计算物理杂志，225，2，1533-1552，（2007）·Zbl 1126.65121号 ·doi:10.1016/j.jp.2007.02.001 [38] Tadjeran，C。；Meerschaert，M.M.，二维分数扩散方程的二阶精确数值方法，计算物理杂志，220，2，813-823，（2007）·Zbl 1113.65124号 ·doi:10.1016/j.jcp.2006.05.030 [39] 新泽西州福特。；肖，J。；Yan，Y.，时空分形电报方程数值方法的稳定性，应用数学中的计算方法，12，3，273-288，（2012）·兹比尔1284.65154 ·doi:10.2478/cmam-2012-0009 [40] Chang，T.，有界lipschitz域中分数阶laplace方程的边界积分算子，积分方程和算子理论，72，3，345-361，（2012）·兹比尔1243.31008 ·doi:10.1007/s00020-012-1945-0 [41] Jumarie，G.，一些分数阶Black-Scholes方程在粗粒度空间和时间中的推导和解。默顿最佳投资组合的应用，计算机与数学与应用，59，3，1142-1164，（2010）·Zbl 1189.91230号 ·doi:10.1016/j.camwa.2009.05.015 [42] 斯特拉卡，P。；Meerschaert，M.M。；McGough，R.J。；周瑜，带衰减的分数阶波动方程，分数阶微积分与应用分析，16，1，262-272，（2013）·Zbl 1328.35284号 ·doi:10.2478/s13540-013-0016-9 [43] Deng，W.，空间和时间分数阶Fokker-Planck方程的有限元方法，SIAM数值分析杂志，47，1，204-226，（2008）·Zbl 1416.65344号 ·doi:10.1137/080714130 [44] 莫马尼，S。；Odibat，Z.，用Adomian分解法解析时间分数阶Navier-Stokes方程，应用数学与计算，177,2488-494，（2006）·Zbl 1096.65131号 ·doi:10.1016/j.amc.2005.11.025 [45] Herzallah，医学硕士。；Baleanu，D.，重新审视分数欧拉-拉格朗日方程，非线性动力学，69，3，977-982，（2012）·Zbl 1256.26004号 ·doi:10.1007/s11071-011-0319-5 [46] Saichev，A.I。；Zaslavsky，G.M.，分数动力学方程：解与应用，混沌，7，4，753-764，（1997）·Zbl 0933.37029号 ·数字对象标识代码：10.1063/116272 [47] 文昌，T。；文晓，P。；Mingyu，X.，关于两平行板之间分数Maxwell模型粘弹性流体非定常流动的注记，国际非线性力学杂志，38，5，645-650，（2003）·Zbl 1346.76009号 ·doi:10.1016/S0020-7462（01）00121-4 [48] El-Nabulsi，R.A.，分数玻尔兹曼输运方程，计算机和数学及其应用，62，3，1568-1575，（2011）·Zbl 1228.82075号 ·doi:10.1016/j.camwa.2011.03.040 [49] Diethem，K.，Caputo型分数导数数值逼近的一些非经典方法的研究，数值算法，47，4361-390，（2008）·Zbl 1144.65017号 ·doi:10.1007/s11075-008-9193-8 [50] 迪瑟姆，K。；新泽西州福特。；Freed，A.D.，分数阶微分方程数值解的预测-校正方法，非线性动力学，29，1–4，3-22，（2002）·兹比尔1009.65049 ·doi:10.1023/A:1016592219341 [51] Cui，M.，分数阶扩散方程的紧致有限差分法，计算物理杂志，228，20，7792-7804，（2009）·Zbl 1179.65107号 ·doi:10.1016/j.jcp.2009.07.021 [52] 新泽西州福特。；肖，J。；Yan，Y.，时间分数阶偏微分方程的有限元方法，分数阶微积分与应用分析，14，3，454-474，（2011）·Zbl 1273.65142号 ·doi:10.2478/s13540-011-0028-2 [53] 张，X。；刘杰。；Wen，J。；唐，B。；He，Y.，用LDG方法分析一维时间分数阶Tricomi型方程，数值算法，63，1，143-164，（2013）·Zbl 1269.65103号 ·doi:10.1007/s11075-012-9617-3 [54] 穆斯塔法，K。；McLean，W.，不连续Galerkin的一致收敛性，应用于分数阶扩散方程的时间步长方法，IMA数值分析杂志，32，3，906-925，（2012）·Zbl 1327.65177号 ·doi:10.1093/imanum/drr027 [55] Yang，Q.杨。；特纳，I。；刘，F。；Ilić，M.，求解二维时空分数扩散方程的新型数值方法，SIAM科学计算杂志，33，3，1159-1180，（2011）·Zbl 1229.35315号 ·数字对象标识代码：10.1137/100800634 [56] Hejazi，H。；莫罗尼，T。；Liu，F.，求解双边时空分数阶对流扩散方程的有限体积法，中欧物理杂志，11，10，1275-1283，（2013）·doi:10.2478/s11534-013-0317-y [57] Hejazi，H。；莫罗尼，T。；Liu，F.，空间分数阶对流扩散方程有限体积法的稳定性和收敛性，计算与应用数学杂志，255，684-697，（2014）·Zbl 1291.65280号 ·doi:10.1016/j.cam.2013.06.039 [58] Momani，S.，分数KdV方程的显式和数值解，模拟中的数学和计算机，70，2，110-118，（2005）·兹比尔1119.65394 ·doi:10.1016/j.matcom.2005.05.001 [59] 唐，B。；江，C。；朱浩，合流超几何光束的分数傅里叶变换，《物理快报》A，376，38-39，2627-2631，（2012）·doi:10.1016/j.physleta.2012.07.017 [60] 苔草，A.R。；Dorao，C.A.，分数阶对流扩散方程解的最小二乘谱方法，计算物理杂志，232，33-45，（2013）·doi:10.1016/j.jcp.2012.04.050 [61] Shirzadi，A。；Ling，L。；Abbasbandy，S.，二维分数时间对流扩散反应方程的无网格模拟，边界元工程分析，36，11，1522-1527，（2012）·Zbl 1352.65263号 ·doi:10.1016/j.enganabound.2012.05.005 [62] 刘，Q。；刘，F。；特纳，I。；Anh，V。；Gu，Y.T.，用于建模分形移动/固定运输模型的RBF无网格方法，应用数学与计算，226336-347，（2014）·Zbl 1354.65204号 ·doi:10.1016/j.amc.2013.10.008 [63] 刘，Q。；顾义堂。；庄，P。；刘，F。；Nie，Y.F.，时间分数阶扩散方程的隐式RBF无网格方法，计算力学，48，1，1-12，（2011）·Zbl 1377.76025号 ·doi:10.1007/s00466-011-0573-x [64] Garrappa，R.，分数线性系统的Adams指数积分器家族，计算机与数学应用，66，5，717-727，（2013）·Zbl 1350.65078号 ·doi:10.1016/j.camwa.2013.01.022 [65] 加拉帕，R。；Popolizio，M.，分数阶问题的广义指数时间差分方法，计算机与数学应用，62，3，876-890，（2011）·Zbl 1228.65235号 ·doi:10.1016/j.camwa.2011.04.054 [66] Fulger，D。；Scalas，E。；Germano，G.，产生时空分数扩散方程随机解的非耦合连续时间随机游动的蒙特卡罗模拟，《物理评论》E，77，2，（2008）·doi:10.103/物理版本E.77.021122 [67] 龚，C。；Bao，W。；唐·G。；姜瑜。；Liu，J.，二维时间分数阶扩散方程的隐式差分并行算法，科学世界杂志，2014，（2014）·doi:10.1155/2014/219580 [68] 穆里略，J.Q。；Yuste，S.B.，《求解caputo形式分数扩散和扩散波方程的显式差分方法》，《计算与非线性动力学杂志》，6，2，（2011）·doi:10.115/1.4002687 [69] 龚，C。；Bao，W。；唐·G。；杨，B。；Liu，J.，Caputo分数反应扩散方程的有效并行解，超级计算杂志，68，3，1521-1537，（2014）·doi:10.1007/s11227-014-1123-z [70] Tadjeran，C。；Meerschaert，M.M。；Schefler，H.P.，分数扩散方程的二阶精确数值近似，计算物理杂志，213，1，205-213，（2006）·Zbl 1089.65089号 ·doi:10.1016/j.jcp.2005.08.008 [71] Meerschaert，M.M。；Benson，D.A。；谢夫勒，H.-P。；Becker-Kern，P.，《异常随机游走极限的控制方程和解》，《物理评论》E，66，6，（2002）·doi:10.1103/PhysRevE.66.060102 [72] 梅茨勒，R。；Klafter，J.，《随机漫步末尾的餐厅：用分数动力学描述反常输运的最新进展》，《物理学杂志A：数学与一般》，37，31，R161-R208，（2004）·2018年5月10日 ·doi:10.1088/0305-4470/37/31/R01 [73] Miller，K.S。；Ross，B.，《分数微积分和分数微分方程导论》，（1993），美国纽约州纽约市：John Wiley&Sons，美国纽约市·Zbl 0789.26002号 [74] 沈，S。；刘，F。；Anh，V。；Turner，I.，《Riesz分数阶对流扩散方程的基本解和数值解》，IMA应用数学杂志，73，6，850-872，（2008）·Zbl 1179.37073号 ·doi:10.1093/imamat/hxn033 [75] 切利克，C。；Duman，M.，带Riesz分数导数的分数阶扩散方程的Crank-Nicolson方法，计算物理杂志，231,41743-1750，（2012）·Zbl 1242.65157号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.11.008 [76] 陈，J。；Liu，F.，Riesz分数阶反应扩散方程数值逼近的稳定性和收敛性分析，厦门大学学报，45，4，466-469，（2006）·Zbl 1106.65114号 [77] 龚，C。；Bao，W。；Tang，G.，Riesz分数阶反应扩散方程的显式有限差分并行算法，分数阶微积分与应用分析，16，3，654-669，（2013）·Zbl 1312.65134号 ·doi:10.2478/s13540-013-0041-8 [78] Yildirim，A。；Koçak，H.，解时空分数阶平流扩散方程的同伦摄动方法，《水资源进展》，32，12，1711-1716，（2009）·doi:10.1016/j.advwatres.2009.09.003 [79] 沈，S。；刘，F。；Anh，V.，时空Riesz-Caputo分数平流扩散方程的数值近似和求解技术，数值算法，56，3833-403，（2011）·Zbl 1214.65046号 ·doi:10.1007/s11075-010-9393-x [80] 刘，F。；庄，P。；Anh，V。；特纳，I。；Burrage，K.，时空分数阶平流扩散方程差分方法的稳定性和收敛性，应用数学与计算，191，1，12-20，（2007）·Zbl 1193.76093号 ·doi:10.1016/j.amc.2006.08.162 [81] 陈，C.-M。；Liu，F.，解三维空间伽利略不变分数阶对流扩散方程的数值近似方法，应用数学与计算杂志，30，1-2，219-236，（2009）·Zbl 1177.26009号 ·doi:10.1007/s12190-008-0168-7 [82] Mustapha，K.，子扩散方程的隐式有限差分时间步进方法，通过有限元进行空间离散化，IMA数值分析杂志，31，27197-739，（2011）·Zbl 1219.65091号 ·doi:10.1093/imanum/drp057 [83] 黄，J。；聂，N。；唐毅，空间分数阶扩散方程的二阶有限差分谱方法，科学中国数学，57，6，1303-1317，（2014）·Zbl 1305.65185号 ·doi:10.1007/s11425-013-4716-8 [84] 庄，P。；刘，F。；Anh，V。；Turner，I.，带非线性源项的变阶分数阶对流扩散方程的数值方法，SIAM数值分析杂志，47，3，1760-1781，（2009）·Zbl 1204.26013号 ·数字对象标识代码：10.1137/080730597 [85] 崔，M.，二维时间分数阶扩散方程高阶紧致交替方向隐式格式的收敛性分析，数值算法，62，3，383-409，（2013）·Zbl 1264.65143号 ·doi:10.1007/s11075-012-9589-3 [86] Wang，H。；Basu，T.S.，二维空间分数扩散方程的快速有限差分方法，SIAM科学计算杂志，34，5，A2444-A2458，（2012）·Zbl 1256.35194号 ·数字对象标识码：10.1137/12086491X [87] 庄，P。；Liu，F.，二维时间分数阶扩散方程的有限差分近似，算法与计算技术杂志，1，1，1-15，（2007） [88] Sun，H。；Chen，W。；Chen，Y.，反常扩散建模中的变阶分数阶微分算子，物理A：统计力学及其应用，388，21，4586-4592，（2009）·doi:10.1016/j.physa.2009.07.024 [89] 廖，X.，MilkyWay-2：重返世界第一，计算机科学前沿，8，343-344，（2014）·doi:10.1007/s11704-014-4901-0 [90] 彭尼库克，S.J。；哈蒙德博士。；Mudalige，G.R。；赖特，S.A。；Jarvis，S.A.，《关于使用分布式多核心架构加速波前应用》，《计算机杂志》，55，2138-153，（2012）·doi:10.1093/comjnl/bxr073 [91] 徐，Q。；Yu，G.-L。；王凯。；Sun，J.-L.，三维有限差分中子扩散计算方法中gpu加速算法的研究，核科学与技术，25，1，（2014）·doi:10.13538/j.1001-8042/nst.25.010501 [92] 罗莎，M。；Warsa，J.S。；Perks，M.，多群的单元化块高斯-赛德尔迭代方法S_{N}混合并行计算机体系结构上的传输，核科学与工程，174,3209-226，（2013） [93] Jha，A.K。；Kupinski，医学硕士。；Barrett，H.H。；克拉克森，E。；Hartman，J.H.，非均匀介质中模型光传输的三维Neumann-series方法，美国光学学会杂志A，29，9，1885-1899，（2012）·doi:10.1364/JOSAA.29.001885 [94] 徐，C。；邓，X。；张，L。；姜瑜。；曹伟。；方，J。；Che，Y。；Wang，Y。；Liu，W.，在天河-1A超级计算机上并行三维多块结构网格的高阶CFD软件，超级计算。超级计算，计算机科学讲稿，7905，（2013），德国柏林：施普林格，德国柏林 [95] 王玉霞。；张，L.-L。；Liu，W.，在天河1A超级计算机上高效并行实现大规模三维结构化网格CFD应用，计算机与流体，80，1，244-250，（2013）·doi:10.1016/j.compfluid.2012.03.003 [96] 吴琼。；杨，C。；Tang，T。；Xiao，L.，在PB级非均匀系统上开发分子动力学的层次并行性，并行与分布式计算杂志，73，12，1592-1604，（2013）·doi:10.1016/j.jpdc.2013.07.015 [97] 陈，F。；沈，J.，矩形域椭圆方程的GPU并行谱方法，计算物理杂志，250555-564，（2013）·Zbl 1349.65641号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.05.031 [98] 莫，Z。；张，A。；曹，X。；刘，Q。；Xu，X。；安·H。；裴，W。；Zhu，S.，JASMIN：科学计算的并行软件基础设施，中国计算机科学前沿，4，4，480-488，（2010）·doi:10.1007/s11704-010-0120-5 [99] 徐，C。；邓，X。；张，L。；方，J。；王，G。；姜瑜。；曹伟。；Che，Y。；Wang，Y。；王，Z。；刘伟。；Cheng，X.，合作CPU和GPU在天河一号A超级计算机上进行大规模高阶CFD模拟，用于复杂网格，计算物理杂志，278275-297，（2014）·Zbl 1349.76655号 [100] 陈，R。；Wu，Y。；严，Z。；Zhao，Y。；Cai，X.-C.，高雷诺数下三维非定常不可压缩流动的平行域分解方法，科学计算杂志，58，2275-289，（2014）·Zbl 1298.76057号 ·数字对象标识代码：10.1007/s10915-013-9732-x [101] Yang，H.等人。；杨，C。；Cai，X.-C.，用混合阶离散化的并行区域分解方法求解立方球上示踪剂传输问题的完全隐式解，科学计算杂志，（2014）·Zbl 1299.76165号 ·doi:10.1007/s10915-014-9828-y [102] 杨，C。；曹，J。；Cai，X.C.，立方球上浅水方程的全隐式区域分解算法，SIAM科学计算杂志，32，1，418-438，（2010）·Zbl 1410.76309号 ·doi:10.1137/080727348 [103] 龚，C。；Bao，W。；唐·G。；姜瑜。；Liu，J.，时间分数阶反应扩散方程的区域分解方法，科学世界杂志，2014，（2014）·doi:10.1155/2014/681707 [104] Diethelm，K.，分数微分方程数值解的高效并行算法，分数微积分与应用分析，14，3，475-490，（2011）·Zbl 1273.65101号 ·doi:10.2478/s13540-011-0029-1 [105] 龚，C。；刘杰。；Chi，L。；黄，H。；方，J。；龚，Z.，GPU使用离散坐标法加速模拟3D确定性粒子输运，计算物理杂志，230，15，6010-6022，（2011）·Zbl 1221.82085号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.04.010 [106] 龚，C。；刘杰。；龚，Z。；秦，J。；谢，J。；Hsu，C.-H。；Yang，L。；Park，J。；Yeo，S.-S.，为图形处理器单元优化Sweep3D，并行处理的算法和架构。并行处理的算法和架构，计算机科学课堂讲稿，6081416-426，（2010），德国柏林：施普林格，德国柏林 [107] 甘，X。；刘，C。；王，Z。；沈，L。；朱，Q。；刘杰。；Chi，L。；Yan，Y。；Yu，B.，使用CUDA加速GOR算法，应用数学与信息科学，7，2，563-567，（2013）·doi:10.12785/amis/072L28 [108] 龚，C。；刘杰。；黄，H。；龚，Z.，GPU上非结构化网格的粒子输运，计算机物理通信，183，3，588-593，（2012）·doi:10.1016/j.cpc.2011.12.002 [109] 甘，X。；王，Z。；沈，L。；朱琦，GPU数据布局修剪，应用数学与信息科学，5，2，129-138，（2011） [110] 张伟。；魏伟（Wei，W.）。；Cai，X.，分数Adams-Bashfort-Moulton方法串行和并行实现的性能建模，分数微积分和应用分析，17，3，617-637，（2014）·兹比尔1307.65105 ·doi:10.2478/s13540-014-0189-x [111] 刘杰。；龚，C。；Bao，W。；唐，G。；姜瑜，在GPU上求解Caputo分数阶反应扩散方程，自然与社会离散动力学，2014，（2014）·Zbl 1422.65164号 ·doi:10.1155/2014/820162 [112] Xu，Y。；He，Z.，求解分数阶Abel微分方程的短时记忆原理，计算机与数学应用，62，12，4796-4805，（2011）·Zbl 1236.34008号 ·doi:10.1016/j.camwa.2011.10.071 [113] Deng，W.，分数阶微分方程的短时记忆原理和预测校正方法，计算与应用数学杂志，206，1，174-188，（2007）·Zbl 1121.65128号 ·doi:10.1016/j.cam.2006.06.008 [114] 新泽西州福特。；辛普森，A.C.，分数阶微分方程的数值解：速度与精度，数值算法，26，4，333-346，（2001）·Zbl 0976.65062号 ·doi:10.1023/A:1016601312158 [115] 曹海良。；李，X。；邓，Z.-H。；Qin，Y.，分数阶模型的控制导向快速数值方法，控制理论与应用，28，5，715-721，（2011） [116] Wang，H。；王凯。；Sircar，T.，A直达O（运行）(N个日志N个)分数阶扩散方程的有限差分法，计算物理杂志，229，21，8095-8104，（2010）·Zbl 1198.65176号 ·doi:10.1016/j.jcp.2010.07.011 [117] Wang，H。；王凯、安O（运行）(N日志N个)二维分数阶扩散方程的交替方向有限差分法，计算物理杂志，230，21，7830-7839，（2011）·Zbl 1229.65165号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.07.003 [118] Wang，H。；Du，N.，稳态空分扩散方程的超快速预条件迭代法，计算物理杂志，240，49-57，（2013）·兹比尔1287.65100 ·doi:10.1016/j.jcp.2012.07.045 [119] 香港庞。；Sun，H.-W.，分数阶扩散方程的多重网格方法，计算物理杂志，231,2693-703，（2012）·Zbl 1243.65117号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.10.005 [120] Zhou，Z。；Wu，H.，分数阶对流-弥散方程边值问题的有限元多重网格法，应用数学杂志，2013，（2013）·兹比尔1271.35069 ·doi:10.1155/2013/385463 [121] 雷，S.-L。；Sun，H.-W.，分数扩散方程的循环预处理器，计算物理杂志，242715-725，（2013）·Zbl 1297.65095号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.02.025 [122] 莫罗尼，T。；Yang，Q.，双边非线性空分扩散方程的带预条件，计算机与数学及其应用，66，5，659-667，（2013）·Zbl 1346.35219号 ·doi:10.1016/j.camwa.2013.01.048 [123] 莫罗尼，T。；Yang，Q.，使用快速泊松预条件有效求解双边非线性空分扩散方程，计算物理杂志，246304-317，（2013）·Zbl 1349.65398号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.03.029 [124] Tenreiro Machado，J.A.，《分数导数：有理近似的概率解释和频率响应》，《非线性科学和数值模拟中的通信》，第14期，第9-10期，第3492-3497页，（2009年）·doi:10.1016/j.cnsns.2009.02.004 [125] 林，F.-R。；杨世伟。；Jin，X.-Q.，分数阶扩散方程的预处理迭代方法，计算物理杂志，256109-117，（2014）·Zbl 1349.65314号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.07.040 [126] 邓，W。；杜，S。；Wu，Y.，分数阶微分方程的高阶有限差分WENO格式，《应用数学快报》，26，3，362-366，（2013）·Zbl 1259.65128号 ·doi:10.1016/j.aml.2012.10.005 [127] 周，H。；田伟。；Deng，W.，空间分数阶扩散方程的拟紧有限差分格式，科学计算杂志，56，1，45-66，（2013）·Zbl 1278.65130号 ·doi:10.1007/s10915-012-9661-0 [128] Lubich，C.，离散分数阶微积分，SIAM数学分析杂志，17，3，704-719，（1986）·Zbl 0624.65015号 ·doi:10.1137/0517050 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。