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用Barvinok算法的代数摄动变量进行计算。(英语) Zbl 1396.90049号
摘要:我们提出了Barvinok算法的一个变体,用于计算由有理不等式给出的非空点多面体中整数点的短有理母函数(P:=\{x\in\mathbb{R}^n:a x\leq b\})。这种有理母函数的主要用途是计算\(P\)中整数点的数目。
我们的变体是基于对不等式的右侧(b\in\mathbb{Q}^m\)进行代数扰动,用\(b峎i+\tau^i\)替换每个\(b峎i\),其中\(\tau\)被认为是任意小的正实不定数。因此,我们右手边向量的元素变成了\(\tau\)中多项式的有序环\(\mathbb{Q}[\tau]\)的元素。把代数扰动多面体表示为\(P(\tau)\subset\mathbb{R}[\tau]^n\),我们很容易发现:(i)\(P(\tau)\)总是全维的,(ii)\(P(\tau)\)总是简单的,(iii)\(P(\tau)\)包含与\(P\)相同的整数点。与Barvinok算法的其他版本不同,我们将不得不在\(\mathbb{Q}[\tau]\)中进行一些运算。但是,因为(i)如果输入的多面体不是全维的,我们就不需要对它进行预处理,并且因为(ii)我们不需要在多面体的顶点处三角化切锥。
我们详细介绍了Barvinok算法的扰动变量,描述了在\(\mathsf{Mathematica})中开发的概念证明实现,并给出了计算实验结果。
理学硕士:
90摄氏度 整数规划
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全文: 内政部
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