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杰弗里·布洛克。；内森·邓菲尔德。

双曲3-流形上同调的范数。 （英语） Zbl 1379.57023号

发明。数学。 210，第2期，531-558（2017）.
通过Mostow刚性，每个闭合双曲3流形支持一个唯一的双曲结构（直到等距）。因此，由双曲度量定义的流形的所有不变量都是拓扑不变量。特别地，（de-Rham）上同调类调和表示的范数是拓扑不变量。
本文比较了闭双曲3-流形第一上同调的两个范数：拓扑定义的Thurston范数和几何定义的L^2调和范数。特别地，作者证明了对于任何闭双曲3-流形（M）和H^1（M；mathbb{R}）中的任何（φ），以下不等式成立：\[\frac｛\pi｝｛\sqrt｛\text｛vol｝（M）｝｝\|\phi\|_{Th｝\leq\|\phi\|_{L^2｝\leq\frac｛10\pi｝｛\sqrt｛\text｛inj｝（M）｝\|\phi\|_{Th｝。\]这里，\（text{vol}（M）\）是\（M\）的双曲线体积，\（\text{inj}（M）\）则是\（M）的内射半径。
（φ2}）的证明使用了两个辅助范数：最小面积范数和调和范数。最小面积范数与瑟斯顿范数密切相关，而调和（L^1）范数与调和（L~2）范数紧密相关。通过证明这两个辅助范数彼此相等，作者证明了期望不等式。
对于另一个不等式（φL^2}），作者需要通过其L^2范数控制调和形式的（L^2{）范数。他们首先在（mathbb{H}^3）中的球上得到这样的控制：对于半径为（r）、中心为（p）的球（B=B（r））中的任何调和1-形式（alpha），\[|\alpha_p|\leq\frac{1}{\sqrt{\nu（r）}}\|\alpha\|_{L^2（B）}\]holds，其中\（nu（r）\）是\（r）的显式函数。通过使用M.卡勒和P.B.沙伦[以色列数学杂志190、445–475（2012；Zbl 1257.57022号)]对于所有正（b_1）双曲流形，0.29是Margulis数\[\|\阿尔法{L^{infty}}\leq\frac{5}{\sqrt{text{inj}（M）}}\]对于闭双曲3-流形（M）上的任何调和1-型。然后，通过简单的计算，这个不等式意味着所需的不等式。
作者还举例说明了上述不等式的一些定量方面是尖锐的。对于不等式\（\|\phi\|_{L^2}\geq\frac{\pi}{\sqrt{\text{vol}（M）}}\ |\phi\ |_{Th}\），只能改进常数\（\pi\）；对于不等式\（\|\phi\|{L^2}\leq\frac{10\pi}{\sqrt{\text{inj}（M）}}\ |\phi \ |{Th}\），有这样的例子：\文本{inj}（M_n）\至0\）。
本文还构造了另一类有趣的闭双曲3-流形。作者构造了一类在内射半径上具有普适下界的双曲3-流形，其中（b_1（M_n）=1，且（H^1（Mnn；mathbb{Z}）的生成元的Thurston范数相对于流形的体积呈指数增长。由于常规估计意味着总有一个整数上同调类，其Thurston范数受体积的指数函数的限制，因此这一系列示例表明，此估计无法得到实质性改进。这类例子还与著名的猜想有关，即固定算术双曲3-流形同余覆盖的同调扭的渐近增长等于其双曲体积除以\（6\pi\）。
审核人：孙洪斌（皮斯卡塔韦）

引用于1审查
引用于7文件

MSC公司：

57M50型 低维流形上的一般几何结构
55N99型 代数拓扑中的同调和上同调理论

关键词：

双曲线3流形；瑟斯顿范数；调和范数

引文：

兹比尔1257.57022

软件：

快照Py；希克莫特；旋风
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.F.Brock}和\textit{N.M.Dunfield}，发明。数学。210，第2号，531--558（2017；Zbl 1379.57023）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Bell，M.、Hall，T.、Schleimer，S.：Twister（计算机软件）。https://bitbucket.org/Mark_Bell/twister网站/ ·Zbl 0395.57011号
[2] Bergeron，N.，ŞengüN，H.M.，Venkatesh，A.：算术流形的扭同调增长和循环复杂性。杜克大学数学。J.165，1629-1693（2016）。arXiv:1401.6989·Zbl 1351.11031号
[3] Brock，J.，Minsky，Y.，Namazi，H.，Souto，J.：双曲3-流形的有界组合和统一模型。J.白杨。9, 451-501 (2016). arXiv:1312.2293号·Zbl 1353.51014号
[4] Brock，J.F.，Dunfield，N.M.：双曲整数同调3-球的内射半径。地理。拓扑。19, 497-523 (2015). arXiv公司：1304.0391·Zbl 1312.57022号
[5] Brown，K.S.：树、估价和Bieri-Neumann-Strebel不变量。发明。数学。90, 479-504 (1987) ·Zbl 0663.20033号 ·doi:10.1007/BF01389176
[6] Cheeger，J.：解析扭转和热方程。安。数学。109(2), 259-322 (1979) ·Zbl 0412.58026号 ·doi:10.2307/1971113
[7] Culler，M.、Dunfield，N.M.、Goerner，M.和Weeks，J.R.：SnapPy v2.3，一个研究3流形几何和拓扑的计算机程序。http://snapy.computop.org ·Zbl 0892.53015号
[8] Culler，M.，Shalen，P.B.：Haken流形的Margulis数。以色列。数学杂志。190, 445-475 (2012). arXiv:1006.3467·Zbl 1257.57022号 ·doi:10.1007/s11856-011-0189-z
[9] Eliashberg，Y.M.，Thurston，W.P.：矛盾。收录于：《大学系列讲座》，第13卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI（1998）·Zbl 0893.53001号
[10] Elstrodt，J.，Grunewald，F.，Mennicke，J.：作用于双曲空间的群，调和分析和数论。收录于：施普林格数学专著。柏林施普林格（1998）·Zbl 0888.11001号
[11] Freedman，M.，Hass，J.，Scott，P.：流形中的最小面积不可压缩曲面。发明。数学。71, 609-642 (1983) ·Zbl 0482.53045号 ·doi:10.1007/BF02095997
[12] Gabai，D.：Foliations和\[33\]-流形的拓扑。J.差异。地理。18, 445-503 (1983) ·Zbl 0533.57013号 ·doi:10.4310/jdg/1214437784
[13] Hass，J.：在\[33\]-流形上的同调类和群作用中使面积最小化的曲面。数学。Z.199501-509（1988）·Zbl 0715.57005号 ·doi:10.1007/BF01161639
[14] Hass，J.：[33\]-流形中的非轴对称曲面。密歇根州数学。J.42，357-365（1995）·Zbl 0862.57011号 ·doi:10.1307/mmj/1029005233
[15] Hoffman，N.，Ichihara，K.，Kashiwagi，M.，Masai，H.，Oishi，S.，Takayasu，A.：双曲3-流形的验证计算。实验数学。2016年6月25日至78日。arXiv:1310.3410·Zbl 1337.57044号
[16] Kronheimer，P.B.，Mrowka，T.S.：单极和接触结构。发明。数学。130, 209-255 (1997) ·Zbl 0892.53015号 ·doi:10.1007/s002220050183
[17] Kronheimer，P.B.，Mrowka，T.S.：标量曲率和瑟斯顿范数。数学。Res.Lett公司。4, 931-937 (1997) ·Zbl 0892.57011号 ·doi:10.4310/MRL.1997.v4.n6.a12
[18] Long，D.D.，Reid，A.W.：双曲流形群的单商。程序。美国数学。Soc.126877-880（1998年）·Zbl 0891.57012号 ·doi:10.1090/S0002-9939-98-04458-X
[19] McMullen，C.T.：《重整化和在圆上纤维的3-流形》，《数学研究年鉴》，第142卷。普林斯顿大学出版社，普林斯顿（1996）·Zbl 0860.58002号
[20] Meyerhoff，R.：双曲流形体积的下限。可以。数学杂志。39, 1038-1056 (1987) ·Zbl 0694.5705号 ·doi:10.4153/CJM-1987-053-6
[21] Minemura，K.：实双曲空间上的调和函数。广岛数学。J.3121-151（1973年）·Zbl 0274.31004号
[22] Minsky，Y.N.：Kleinian群的有界几何。发明。数学。146, 143-192 (2001). arXiv:数学/0105078·Zbl 1061.37026号
[23] Morgan，F.：《几何测量理论：初学者指南》，第4版。爱思唯尔/学术出版社，阿姆斯特丹（2009）·Zbl 1179.49050号
[24] Müller，W.：黎曼流形的解析扭转和\[R\]R-扭转。高级数学。28, 233-305 (1978) ·Zbl 0395.57011号 ·doi:10.1016/0001-8708（78）90116-0
[25] Namazi，H.：Heegaard分裂和双曲线几何。耶鲁大学博士论文（2005）
[26] 纽曼，W。D.，Zagier，D.：双曲三流形的体积。拓扑24，307-332（1985）·Zbl 0589.57015号 ·doi:10.1016/0040-9383（85）90004-7
[27] Schoen，R.：三维流形中稳定极小曲面的估计。在：极小子流形研讨会，《数学研究年鉴》第103卷，第111-126页。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿（1983）·Zbl 0532.53042号
[28] Stallings，J.：关于纤维化某些[33]-歧管。参见：《3流形拓扑及相关主题》（乔治亚大学研究所学报，1961年），第95-100页。普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格伍德悬崖（Englewood Cliffs）（1962年）·Zbl 1246.57049号
[29] 陶布斯，\[C.H.:{\rm SW}\Rightarrow{\rm-Gr}\]SW⇒Gr：从Seiberg-Writed方程到伪孔形曲线。美国数学杂志。Soc.9845-918（1996）·Zbl 0867.53025号 ·doi:10.1090/S0894-0347-96-00211-1
[30] 瑟斯顿，W.P.：。3流形的几何和拓扑，1978年，2002年。摘自：课堂讲稿，第360页。http://www.msri.org/publications/books/gt3m ·Zbl 0274.31004号
[31] 瑟斯顿，W.P.：\[33\]-流形同调的范数。内存。美国数学。Soc.59（i-vi），99-130（1986）·Zbl 0585.57006号
[32] 瑟斯顿，WP；Levy，S.（编辑），《三维几何与拓扑》，第1期（1997年），普林斯顿·Zbl 0873.57001号
[33] Tian，G.：负曲率流形上的pinching定理（1990）。预打印
[34] Uhlenbeck，K.：双曲3-流形中曲面的最小嵌入（1980）。预打印·Zbl 0589.57015号
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