×
阿达·博拉列维;贾斯珀·范·杜恩马伦;简·德雷斯马;Michiel E.Hochstenbach。;波尔州普莱斯滕亚克

统一的行列式表示。 （英语） Zbl 1387.13062号

SIAM J.应用。代数几何。 第1期，第415-441页（2017年）.
设\（K\）是一个字段，\（d，n\in\mathbbZ_{\geq0}\）。设\（K[x_1，\ldots，x_n]\）是\（K\）上的多项式环，设\（p_｛n，d｝=\sum_｛\alpha｝c_｛\alpha｝x^｛\alpha｝\）是至多次数的多项式。这里，\（alpha=（\alpha_1，\ldots，\alpha_n）\ in \mathbb Z^n_{\geq0}\）是一个多索引，例如\（sum_{i=1}^n\alpha_i\leqd），并且\（x^{\alpha}\）表示单项式\（\prod_{i=1{^nx_i^{\alpha_i}\）。A类行列式表示of（p_{n，d}）是一个在\（x_1，\ldots，x_n\）中具有仿射线性项的\（n次n）-矩阵\（M），使得\（\det（M）=p\）；整数\（N\）是大小代表性。最小可能大小称为确定性复杂性第页，共页。最近，由于它与复杂性理论、优化和科学计算等多个领域的联系，这一概念已成为基本概念。例如，代数复杂性中最深奥的猜想之一是Valiant猜想，它指出一个（m乘m）-矩阵的永久性不会在\（m\）中接受尺寸多项式的确定表示。（这个猜想也可以在表示理论和永久数和行列式的轨道闭包的背景下重新表述。）在这篇有趣的论文中，作者研究了行列式表示的一种变体。他们不是研究单个多项式的表示，而是寻求多项式子空间的行列式表示。A类一致行列式表示of（p_｛n，d｝\）是一个在\（x_1，\ldots，x_n，c_｛\alpha｝\）中有项的\（n\times n\）-矩阵\（M\），在这两组变量中的每一组变量中的次数最多为一，使得\（\det（M）=p_｛n，d｝\）。这样的矩阵（M）给出了至多（d）次的所有多项式的表示。对于\（n，d\in\mathbbZ{\geq0}\），\（p_{n，d}\）中的数字\（n^{*}（n，d）\表示一致行列式表示的最小大小。设（M）是（p_{n，d}）的一致行列式表示。设\（M=M_0+M_1\），其中\（M_0\）是不包含任何变量\（c_{\alpha}\）的矩阵。它们表明，对于K^n中的每一点（上划线{x}=（上划线}，ldots，上划线{x_n}），（M_0（上划线[x}））是奇异的（引理2.5）。因此，他们很好地将一致表示理论与经典的奇异矩阵空间; 在第3节中解释了这种联系。主要结果如下。对于每个整数（n，geq 2），存在正常数（C_1，C_2），取决于（n），例如（C_1d^{n/2}\leq n^{*}（n，d）\leq C_2d^{n/2}）（定理1.3）。这些边界通过以下方式改进了以前的结果R.夸雷兹【线性代数应用436，第9期，3462–3660（2012；Zbl 1238.47010号)]. 它们显示小的（N）和（d）的显式值\（N^{*}（N，d）\）。他们证明了（N^{*}（2,2）=3）（命题5.1）和（N^}（3,2）=4）（命题5.2）。第7节是本文的计算部分。在这里，他们将本文的结果应用于基于B.普列斯滕亚克和M.E.Hochstenbach先生[SIAM J.Sci.Compute.38，No.2，A765–A788（2016；Zbl 1376.65056号)]. 作者最后提出了这项工作中出现的几个问题。最后，附录A描述了一种基于定理1.3的证明计算给定多项式的行列式表示的算法。
审核人：Emanuele Ventura（大学站）

引用于6文件

MSC公司：

第13页，共15页 求解多项式系统；结果
2004年6月65日 多项式方程根的数值计算
2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算
65层50 稀疏矩阵的计算方法

关键词：

行列式表示;一致行列式表示;多项式方程组;多参数矩阵特征值问题;奇异矩阵空间

引文：

Zbl 1238.47010号;Zbl 1376.65056号

软件：

NACLab公司;支持某人;MultiParEig（多参数）;贝尔蒂尼实验室;BiRoots公司;PHC包;数学软件;PHClab公司;贝尔蒂尼
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Boralevi}等人，SIAM J.Appl。代数几何。1，编号1415-441（2017；兹bl 1387.13062）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] F.V.Atkinson，{多参数特征值问题：矩阵和紧算子}，SIAM Rev.，15（1973），第678-679页。
[2] D.J.Bates、J.H.Hauenstein、A.J.Sommese和C.W.Wampler，《贝尔蒂尼：数值代数几何软件》，在线阅读·Zbl 1143.65344号
[3] A.Beauville，{行列式超曲面}，密歇根数学。J.，48（2000），第39-64页·Zbl 1076.14534号
[4] A.Boralevi、D.Faenzi和E.Mezzetti，｛\it常秩矩阵和瞬子丛的线性空间｝，高级数学。，248（2013），第895-920页·Zbl 1291.14063号
[5] N.Bourbaki，{\it E⁄leíments de matheмmatique.Fasc.XXXIV.Groupes et algèbres de Lie.Chapitre IV:Groupes de Coxeter et syste \768]mes de Tits。ChapitreV：Groupes engendreís par des re⁄flexions.Chapitere VI：syste mes de racines}，Actuale s Scientifiques et Industrielles 1337，赫尔曼，巴黎，1968年·Zbl 0186.33001号
[6] P.Braöndeín，{确定代表性的障碍}，高级数学。，226（2011），第1202-1212页·Zbl 1219.90121号
[7] P.Buörgisser、C.Ikenmeyer和G.Panova，{几何复杂性理论中没有出现障碍}，2016年IEEE第57届计算机科学基础年会，IEEE，2016·Zbl 1401.68088号
[8] C.de Seguins Pazzis，{\it秩有界于}以下的矩阵的大仿射空间，线性代数应用。，437（2012），第499-518页·Zbl 1242.15002号
[9] L.E.Dickson，{可表示为线性元素行列式的所有一般齐次多项式的确定}，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，22（1921），第167-179页·财务报表48.0099.02
[10] J.Dieudonne⁄，{\it Sur une geкneкralisation du groupe orthogonal àquatre variables}，Arch。数学。，1（1949年），第282-287页·Zbl 0032.10601号
[11] A.C.Dixon，《关于将三元四次型简化为对称行列式的注记》，Proc。剑桥菲洛斯。《社会学杂志》，11（1900-1902），第350-351页·JFM 33.0140.04标准
[12] J.Draisma，{不可逆矩阵的小极大空间}，Bull。伦敦数学。Soc.，38（2006），第764-776页·Zbl 1112.15019号
[13] D.Eisenbud和J.Harris，{低秩矩阵的向量空间}，《数学高级》。，70（1988），第135-155页·Zbl 0657.15013号
[14] P.Fillmore、C.Laurie和H.Radjavi，《关于零行列式的矩阵空间》，《线性与多线性代数》，18（1985），第255-266页·Zbl 0592.15008号
[15] H.Flanders，关于秩有界的线性变换的空间，J.London Math。Soc.，37（1962），第10-16页·Zbl 0101.25403号
[16] Y.Guan和J.Verschelde，{it PHClab:PHCpack}的MATLAB/Octave接口，《代数几何软件》，IMA卷数学。申请。148，施普林格，纽约，2008年，第15-32页·Zbl 1148.68578号
[17] J.W.Helton和V.Vinnikov，{集的线性矩阵不等式表示}，Comm.Pure Appl。数学。，60（2007），第654-674页·兹伯利1116.15016
[18] M.E.Hochstenbach，T.Košir和B.Plestenjak，{双参数特征值问题的Jacobi-Davidson型方法}，SIAM J.矩阵分析。申请。，26（2004），第477-497页·Zbl 1077.65036号
[19] J.Huíttenhain和P.Lairez，《3乘3行列式多项式轨道的边界》，预印本，2015年·Zbl 1352.14031号
[20] B.Ilic和J.M.Landsberg，{关于对称简并轨迹，常秩对称矩阵空间和对偶变种}，数学。《年鉴》，314（1999），第159-174页·Zbl 0949.14028号
[21] Y.Ishitsuka和T.Ito，{关于素数费马曲线的对称行列式表示}，《国际数论》，12（2016），第955-967页·Zbl 1415.11062号
[22] J.-B.Lasserre、M.Laurent、B.Mourrain、P.Rostalski和P.Treíbuchet，《矩矩阵、边界基和实根计算》，J.符号计算。，51（2013），第63-85页·Zbl 1276.13021号
[23] R.Lebreton、E.Mehrabi和E.Schost，《关于求解二元系统的复杂性：非奇异解的情况》，载《第38届符号与代数计算国际研讨会论文集》，ISSAC’13，ACM，纽约，2013年，第251-258页·兹比尔1360.68941
[24] A.S.Lewis、P.A.Parrilo和M.V.Ramana，《拉克斯猜想是真的》，Proc。阿默尔。数学。Soc.，133（2005），第2495-2499页·Zbl 1073.90029号
[25] L.Manivel和E.Mezzetti，{\it关于常秩斜对称矩阵}的线性空间，Manuscripta Math。，117（2005），第319-331页·Zbl 1084.14050号
[26] E.Mehrabi和Eí。Schost，{\it求解整数上二元多项式系统}的软最优蒙特卡罗算法，J.Complex。，34（2016），第78-128页·Zbl 1352.68299号
[27] B.Mourrain和K.Schmuídgen，{（*\）-代数}中的平面扩张，Proc。阿默尔。数学。Soc.，144（2016），第4873-4885页·Zbl 1364.46047号
[28] A.Muhič和B.Plestenjak，{关于二次双参数特征值问题及其线性化}，线性代数应用。，432（2010），第2529-2542页·兹比尔1189.65070
[29] K.D.Mulmuley和M.Sohoni，{几何复杂性理论。I.P与NP及相关问题的方法}，SIAM J.Compute。，31（2001），第496-526页·Zbl 0992.03048号
[30] K.D.Mulmuley和M.Sohoni，{几何复杂性理论。II.类变体嵌入的明确障碍}，SIAM J.Compute。，38（2008），第1175-1206页·Zbl 1168.03030号
[31] Y.Nakatsukasa、V.Noferini和A.Townsend，{it通过Bezout结果}计算两个二元函数的公共零点，Numer。数学。，129（2015），第181-209页·Zbl 1308.65076号
[32] A.Newell，{\it BertiniLab:求解多项式系统的工具箱，MATLAB中央文件交换}·Zbl 1333.65054号
[33] B.Plestenjak，{\it BiRoots，MATLAB中央文件交换}，（2015）。
[34] B.Plestenjak和M.E.Hochstenbach，{通过行列式表示的二元多项式系统的根}，SIAM J.Sci。计算。，38（2016），第A765-A788页·Zbl 1376.65056号
[35] R.Quarez，{多项式的对称行列式表示}，线性代数应用。，436（2012），第3642-3660页·Zbl 1238.47010号
[36] L.Robol、R.Vandebril和P.van Dooren，{it各种基中矩阵多项式的结构线性化框架}，SIAM J.矩阵分析。申请。，38（2017），第188-216页·Zbl 1365.15028号
[37] A.Sidorenko，{关于Tura∧n numbers}，我们知道和不知道的内容，图组合，11（1995），第179-199页·兹比尔0839.0050
[38] J.Sylvester，{关于满足秩条件的线性变换空间的维数}，线性代数应用。，78（1986），第1-10页·Zbl 0588.15002号
[39] L.G.Valiant，《计算永久性的复杂性》，Theoret。计算。科学。，8（1979），第189-201页·Zbl 0415.68008号
[40] J.Verschelde，{算法795:PHCpack:用同伦延拓法求解多项式系统的通用解算器}，ACM Trans。数学。软质。，25（1999），第251-276页·Zbl 0961.65047号
[41] D.G.Wagner，{多元稳定多项式：理论与应用}，布尔。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），48（2011），第53-84页·Zbl 1207.32006号
[42] R.Westwick，{\it定秩矩阵空间}，线性和多线性代数，20（1987），第171-174页·Zbl 0611.15002号
[43] Wolfram Research，Inc.，｛\it Mathematica，9.0版｝，伊利诺伊州香槟市，2012年。
[44] Z.Zeng和T.-Y.Li，{它是NAClab:数值代数计算的Matlab工具箱}，ACM Commun。计算。《代数》，47（2014），第170-173页。
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。