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Clifford透视图中的(E_8)几何体。 (英语) Zbl 1368.52006号

小结:本文从Clifford的观点出发,用三种互补的方法研究了(E_8)的几何。首先,在早期的工作中,我展示了如何使用Clifford技术从3D根系统构造四维例外根系统,方法是在3D Clifford-代数的4D偶子代数中构造它们;例如,二十面体根系(H_3)产生了最大的(因此也是例外的)非晶体学根系(H _4)。阿诺德的三位一体和麦凯对应暗示二十面体和(E_8)之间可能存在间接联系。其次,在一个相关的结构中,我现在第一次明确了这种联系:在三维空间的8D Clifford代数中,二十面体群(H_3)的120个元素被240个8分量对象双重覆盖,赋予“约化内积”的对象正是(E_8)根系。先前已知\(E_8)分裂成\(H_4)不变子空间,我们讨论了这两个图之间的折叠构造。这种折叠是用于构造Coxeter平面的折叠的部分版本,所以第三,我们在Clifford代数框架中讨论Coxeter面的几何。我们提倡将Clifford代数中的Coxeter versor完全分解为描述正交平面中旋转的双向量指数,旋转角度给出正确的指数,这比通常的复化和搜索复特征值的方法提供了更多的几何见解。特别地,我们显式地发现了2D、3D和4D根系统(D_6)和(E_8)的这些因子分解,它们的Coxeter versor因子为(W=\exp(\frac{\pi}{30}B_C)\exp(分形{11\pi}{30}B_2)\exp(\frac{7\pi}{30}B_3)\exp(\frac{13\pi}{30}B_4)\). 这明确地描述了4个正交平面中的30倍旋转,其正确的指数({{1,7,11,13,17,19,23,29}})完全由因式分解代数产生。

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52号B10 三维多面体
52号B12 特殊多边形(线性规划、中心对称等)
52号B15 多面体的对称性
15A66型 Clifford代数,旋量
20层55 反射群和共振器群(群论方面)
17对22 根系统
14E16号 麦凯通信

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