弗拉基米尔·沃沃德斯基 由宇宙类别定义的C系统上的\（\Pi，\lambda）\）结构。 （英语） Zbl 1383.03056号 理论应用。类别。 32111-121（2017）. 从作者的介绍来看：目前形式的C系统的概念是在[作者，《当代数学》658127-137（2016；Zbl 1452.03040号)]. （C）系统的类型在结构上等价于J.卡特梅尔【广义代数理论和语境范畴。英国牛津：牛津大学（博士论文）（1978）；《纯粹应用逻辑》32，209-243（1986；Zbl 0634.18003号)]但C系统的定义与Cartmell的基本定义略有不同。在本文中，扩展了从[作者，Theory Appl.Categ.30，1181-1214（2015；Zbl 1436.03311号); 理论应用。类别。31, 1044–1094 (2016;Zbl 1380.03072号); 理论应用。类别。32, 53–112 (2017;兹比尔1453.03067)]，我们继续考虑什么可能是\（C）-系统上最重要的结构——对于句法\（C）-系统来说，对应于依赖乘积\（λ\）-抽象和应用的操作的结构。该结构的第一个C系统公式由J.卡特梅尔[1978年，见上述引文]，作为他所称的强大M.L.结构的一部分。后来研究人员T.斯特里彻【类型理论的语义学。正确性、完整性和独立性结果。巴塞尔：Birkhäuser Verlag（1991；Zbl 0790.68068号)]他将C系统（上下文范畴）和这样的结构称为“具有类型系列产品的上下文范畴”。在[作者，2016，loc.cit.]中，我们介绍了这种结构的另一种形式，我们称之为\（Pi，\lambda）\）结构，并在任何\（C\）-system\（CC\）上的Cartmell-Streicher结构集和\（（Pi、\lambda\）-structures集之间构造了一个双射。在本文中，我们考虑了[the author，2015，loc.cit.]中引入的形式为（CC（mathcal{C}，p））的（C）-系统的情况。它们以函数的方式由一个范畴\（\mathcal{C}\）定义，该范畴带有一个最终对象和一个态射\（p:\tilde{U}\rightarrowU\），以及\（\mathcal{C}\）中所有态射的\（p\）拉回选项。具有这种选择的态射称为\（\mathcal{C}\）中的宇宙。作为一般函数性的推论，我们得到了一个同构结构，它将对应于不同拉回选择和不同最终对象选择的（C）-系统（CC（mathcal{C}，p））连接起来。它允许我们使用只提到\（\mathcal{C}\）和\（p\）的符号\（CC（\matchcal{C}，p）\）。在[作者，2017，loc.cit.]中，已经建立了关于宇宙范畴和（C）-系统（CC（mathcal{C}，p））上预升的许多结果。这些结果是一般性质的，不涉及\（\Pi，\lambda）\）-结构。然而，它们对于本文中介绍的结构非常有用。本文的主要结果——构造2.4，从我们所称的（p，tilde{p}）-结构到（p），以及本质上是（mathcal{C}）中的两个语态，在（CC（mathcal{C}，p）上产生了一个（Pi，lambda）-结构，完成了两个其他语态的拉回。它与[作者，理论应用分类31，1044–1094（2016；Zbl 1380.03072号)]最初在[作者，“类型理论的等价公理和单价模型”，Preprint，arXiv:1402.5556]附有作者2009年版本中给出的证明草图[“字体系统注释”，预印本，https://github.com/vladimirias/old\_注释类型系统]. 它及其所基于的思想是构造Kan单纯形集中Martin-Löf型理论单价模型的最重要的组成部分。鉴于引理2.6，构造2.4不仅可以用于构造（C）-系统上的（Pi，lambda）-结构，还可以证明这种结构不存在。有可能，类似的技术也可以用于类型理论的其他推理规则系统，例如，表明对于给定的宇宙（p），在（CC（mathcal{C}，p））上不存在给定类型的更高归纳类型的模型。在下一节中，我们定义了具有（Pi，lambda）结构的（C）-系统的同态和具有（P，tilde{P}）结构的宇宙范畴的函子，并在定理3.3中证明了我们的构造相对于这些定义是函数的。定理3.3也很有趣，因为它的证明间接使用了[作者，2016，loc.cit.]的几乎所有结果。另一方面，对于这些结果，证明是非常简短和直接的。（\Pi，\lambda）\）-结构对应于推理规则的\（（\ Pi，\ lambda，app，\beta，\eta）\）系统。在[作者，2016，loc.cit.，备注4.4]中，我们概述了与类似系统相对应的结构类别的定义，但没有（β）或（β）规则。这种结构表现为\（\Pi，\lambda）\）结构的自然变体。本文的结果允许在形式为（CC（mathcal{C}，p）的（C）-系统上构造（Pi，lambda）-结构并有时对其进行分类所需的直接修改。人们可能会想，这篇论文的结构与早期的R.A.G.西利[Math.Proc.Camb.Filos.Soc.95，33-48（1984；Zbl 0539.03048号)]通过P.克莱兰堡和P.迪布杰【数学结构计算科学》24，第6期，文章ID e240606，54页（2014；Zbl 1342.03046号)]. 这个问题需要进一步研究。本文的方法是完全构造性的，实际上几乎完全是代数的。本文的写作风格与之前的文章相同。其形式化的主要预期基础是Zermelo-Fraenkel理论。然而，它也可以在单价基础（如UniMath）的现有正式系统中进行形式化。与常见用法相反，作者使用了书写作文的图解顺序，即给定语素\（f:X\rightarrow Y\）和\（g:Y\rightarrow Z\），复合词用\（f\circ g\）表示，而不是通常的\（g\circf \）。审核人：Partha Ghosh（约翰内斯堡） 引用于9文件 MSC公司： 03楼50 构造系统的元数学 18 C50 形式语言的范畴语义 03B15号机组 高阶逻辑；类型理论（MSC2010） 18日第15天 闭范畴（闭单体和笛卡尔闭范畴等） 关键词：类型理论;上下文类别;宇宙范畴;从属产品;类型族的乘积 引文：Zbl 0634.18003号;Zbl 0790.68068号;Zbl 0539.03048号;兹比尔1342.03046;Zbl 1452.03040号;Zbl 1436.03311号;Zbl 1380.03072号;Zbl 1453.03067号 软件：大学数学;github PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{V.Voevodsky}，理论应用。类别。32113-121（2017；Zbl 1383.03056） 全文： arXiv公司 EMIS公司 参考文献： [1] 约翰·卡特梅尔。广义代数理论和上下文范畴。牛津大学博士论文，1978年。网址：http://www.cs.ru.nl/spitters/Cartmell.pdf·Zbl 0634.18003号 [2] 约翰·卡特梅尔。广义代数理论和上下文范畴。Ann.纯粹应用。逻辑，32（3）：209-2431986·Zbl 0634.18003号 [3] Pierre Clairambault和Peter Dybjer。局部笛卡尔闭范畴与Martin-L¨of类型理论的双等价性。数学。结构计算。科学。，24（6）：e240606，54，2014·Zbl 1342.03046号 [4] R.A.G.西利。局部笛卡尔闭范畴和类型理论。数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.，95（1）：33-481984年·Zbl 0539.03048号 [5] 托马斯·斯特里彻。类型理论的语义学。理论计算机科学进展。Birkh¨auser Boston Inc.，马萨诸塞州波士顿，1991年。正确性、完整性和独立性的结果，由Martin Wirsing引言·Zbl 0790.68068号 [6] 弗拉基米尔·沃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）。关于类型系统的注释。2009-2012.https://github.com/vladimirias/old_notes_on_type_systems。 [7] 弗拉基米尔·沃沃德斯基。类型理论的等价公理和单叶模型。arXiv 1402.5556，第1-11页，2010年。http://arxiv.org/abs/1402.5556。 [8] 弗拉基米尔·沃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）。由宇宙范畴定义的C系统。理论应用。类别。，30(37):1181-1215, 2015.http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/30/37/30-37.pdf。 ·Zbl 1436.03311号 [9] 弗拉基米尔·沃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）。C系统上类型族和（∏，λ）-结构的乘积。理论应用。类别。，31（36）：1044-10942016年。网址：http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/31/36/31-36.pdf·Zbl 1380.03072号 [10] 弗拉基米尔·沃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）。C系的子系和正则商。《数学及其应用会议》（科威特市，2014年），当代数学第658期，第127-137页，2016年·Zbl 1452.03040号 [11] 弗拉基米尔·沃沃德斯基（Vladimir Voevodsky）。由宇宙类别定义的C系统：预升。理论应用。类别。，32(3):53 - 112, 2017.http://www.tac.mta。 ·Zbl 1453.03067号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。