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在三维晶格中,行走仅限于正八分位。 (英语) Zbl 1354.05006号

摘要:许多最近的论文讨论了限定在正象限内的指定步长的二维行走的计数。对于步骤在\({0,\pm1\}^{2}\)中的行走,分类现在已经完成:生成函数是D-有限的当且仅当与步骤集相关联的某个群是有限的。在本文中,我们探讨了限制在正八分位上的三维行走的类似问题。第一个困难是它们的数量:我们必须检查\({0,\pm1\}^{3})中不少于11074225个步长集(而不是象限情况中的79个)。我们关注最多有六个步骤的35548。我们对它们应用了一种综合方法,首先是实验性的,然后是严格的。在实验方面,我们尝试猜测微分方程。我们还尝试确定关联群是否有限。我们发现最大的有限群的阶数为48,较大的群的阶至少为200,我们认为它们是无限的。在这些中没有检测到微分方程案例。在严格的方面,我们应用三种主要技术来证明D-有限性。早期应用于象限行走的代数核方法在许多情况下都有效。某些更具挑战性的案例有一个特殊的哈达玛结构,它允许我们通过简化为较小维度的问题来解决这些问题。最后,对于两种特殊情况,我们不得不求助于计算机代数证明。我们用这些技巧证明了所有猜测的微分方程。这给我们留下了正好19个非常有趣的步骤集,对于这些步骤集,群是有限的,但生成函数的性质仍然不清楚。

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2015年1月5日 精确枚举问题,生成函数
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