丹尼尔·罗伯茨 线性系统代数分析方法的最新进展。 （英语） Zbl 1348.93078号 多维系统。信号处理。 26，第2期，349-388（2015）. 摘要：本文从代数的角度讨论了线性泛函方程组。我们介绍并概述了一小群人最近的工作，其中包括本文作者，他们研究了确定此类系统结构特性的有效方法。我们关注行为的参数化，即在适当的信号空间中的解集，这相当于许多控制理论情况下的可控性。线性系统的平坦性对应于内射参数化的存在。使用代数分析方法，我们将线性系统与算子环上的模相关联。对于线性偏微分方程组，我们选择微分算子环；对于多维离散线性系统，选择移位算子环；对线性微分时滞系统，选择这些算子的组合等。这类环是Ore代数，它允许Janet基或Gröbner基计算。模理论和同调代数可以通过系统模有效地应用于研究线性系统，其解释依赖于方程和解之间的对偶性。特别是，针对不同类型的算子代数，如Weyl代数，讨论了计算有限生成自由模的基（即计算线性系统的平坦输出）的问题。本文总结了在此背景下开发的计算机代数软件包的一些工作。 引用于10文件 MSC公司： 93B25型 代数方法 93二氧化碳 控制理论中的线性系统 68瓦30 符号计算和代数计算 关键词：线性函数方程组;系统论;控制论;代数分析;同调代数;线性偏微分方程;珍妮特基地;Gröbner碱 软件：Ore模块;复数;霍马格;珍妮特;差异托马斯;奎伦·苏斯林;矿石形态;喷气式飞机;纯度过滤;D模块 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Robertz}，多维系统。信号处理。26，第2号，349--388（2015；Zbl 1348.93078） 全文： 内政部 链接 参考文献： [1] Avanessoff，D.和Pomet，J.-B.（2007年）。双输入系统的平坦度和Monge参数化，具有4个状态的控制仿射或具有3个状态的通用。ESAIM：控制、优化和变分计算，13（2），237-264（电子版）·Zbl 1178.93037号 [2] Barakat，M.（2001年）。喷气式飞机。形式微分几何的MAPLE包。V.G.Ganzha、E.W.Mayr和E.V.Vorozhtsov（编辑），《科学计算中的计算机代数CASC 2001》（第1-12页）。柏林：斯普林格·Zbl 1020.68108号 [3] 巴拉卡特，M.（2010年）。纯度过滤和精细自治结构。2010年，匈牙利布达佩斯，第19届网络与系统数学理论国际研讨会（MTNS 2010）论文集。另见E.Zerz（编辑）《代数系统理论、行为和代码》（第1-6页）。亚琛：Shaker-Verlag·Zbl 1253.16006号 [4] Barakat，M.和Robertz，D.（2008年）。homalg：同调代数的元包。代数及其应用杂志，7（3），299-317·Zbl 1151.13306号 ·doi:10.1142/S0219498808002813 [5] Björk，J.-E.（1979）。微分算子环。《北荷兰数学图书馆》第21卷。阿姆斯特丹：North-Holland Publishing Co·Zbl 0499.13009号 [6] Blinkov，Y.A.、Cid，C.F.、Gerdt，V.P.、Plesken，W.和Robertz，D.（2003）MAPLE包“Janet”：I.多项式系统。二、。线性偏微分方程。V.G.Ganzha，E.W.Mayr，E.V.Vorozhtsov（编辑）《第六届科学计算中的计算机代数国际研讨会论文集》（第31-40页，第41-54页）。帕索（德国），2003年。http://wwwb.math.rwth-aachen.de/Janet ·兹比尔0777.93005 [7] Boudellioua，M.S.和Quadrat，A.（2010年）。线性函数系统的Serre约化。计算机科学中的数学，4（2-3），289-312·Zbl 1275.16003号 ·doi:10.1007/s11786-010-0057-y [8] Boulier，F.、Lazard，D.、Ollivier，F.和Petitot，M.（2009年）。计算有限生成微分理想根的表示。工程、通信和计算中的应用代数，20（1），73-121·Zbl 1185.12003年 ·doi:10.1007/s00200-009-0091-7 [9] Bourbaki，N.（1980年）。阿尔盖布，第10章。阿尔盖布同源性。巴黎：马森·Zbl 0455.18010号 [10] Bourlès，H.和Oberst，U.（2012年）。常系数偏微分差分方程解析线性系统的消去法、基本原理和对偶性。控制、信号和系统数学，24（4），351-402·Zbl 1253.93031号 ·doi:10.1007/s00498-012-0089-8 [11] Buchberger，B.（2006年）。求零维多项式理想剩余类环的基元的算法。符号计算杂志，41（3-4），475-511。由迈克尔·艾布拉姆森（Michael P.Abramson）翻译自1965年的德语原文·Zbl 1158.01307号 [12] Caro，N.和Levcovitz，D.（2010年）。关于斯塔福德的一个定理。马塞马提卡教堂（Cadernos de Mathemática），第1163-70页。 [13] Chakhar，A.、Cluzeau，T.和Quadrat，A.（2011年）。某些非线性偏微分系统的代数分析方法。第七届多维（nD）系统国际研讨会论文集。法国：普瓦捷·Zbl 0747.13020号 [14] Chyzak，F.（1998）。计算公式中的完整函数。法国帕莱索：Ecole Polytechnique博士论文·Zbl 1030.93012号 [15] Chyzak，F.、Quadrat，A.和Robertz，D.（2005）。Ore代数上线性控制系统参数化的有效算法。工程、通信和计算中的应用代数，16（5），319-376·Zbl 1109.93018号 ·doi:10.1007/s00200-005-0188-6 [16] Chyzak F.、Quadrat A.和Robertz D.（2007年）。OreModules：多维线性系统研究的符号包。在J.Chiasson，J.-J.Loiseau（编辑）《时滞系统的应用》中。《控制与信息科学讲义》第352卷（第233-264页）。柏林：施普林格http://wwwb.math.rwth-aachen.de/Ore模块 ·Zbl 1248.93006号 [17] Chyzak，F.和Salvy，B.（1998年）。Ore代数中的非交换消去证明了多元恒等式。符号计算杂志，26187-227·Zbl 0944.05006号 ·doi:10.1006/jsco.1998.0207 [18] Cluzeau，T.和Quadrat，A.（2008年）。一类线性函数系统的因子分解。线性代数及其应用，428（1），324-381·Zbl 1131.15011号 ·doi:10.1016/j.laa.2007.07.008 [19] Cluzeau，T.和Quadrat，A.（2009年）。OreMorphisms：一个同调代数包，用于分解、约简线性函数系统。在J.-J.Loiseau、W.Michiels、S.-I.Niculescu、R.Sipahi（编辑）《时滞系统的主题》中。《控制与信息科学讲义》第388卷（第179-194页）。柏林施普林格。另请参阅http://www-sop.inria.fr/members/Alban.Quadrat/OreMorphisms或http://perso.ensil.unilim.fr/cluzeau/OreMorphisms网站 ·Zbl 1082.94017号 [20] Cluzeau，T.和Quadrat，A.（2012年）。具有完整伴随的线性偏微分系统的Serre约化。符号计算杂志，47（10），1192-1213·Zbl 1252.35016号 ·doi:10.1016/j.jsc.2011.12.041 [21] Cohn，P.M.（2006）。自由理想环与一般环中的局部化。新数学专著第3卷。剑桥：剑桥大学出版社·兹比尔1114.16001 [22] Coutinho，S.C.和Holland，M.P.（1988年）。微分算子环的模结构。伦敦数学学会学报，57417-432·Zbl 0627.16020号 ·doi:10.1112/plms/s3-57.3.417 [23] Diop，S.（1992）。微分代数决策方法及其在系统理论中的一些应用。理论计算机科学，98，137-161。形式幂级数的代数和计算机理论方面的第二次研讨会（巴黎，1990年）·Zbl 0768.93014号 [24] Ehrenpreis，L.（1970年）。几个复变量的傅里叶分析。《纯粹与应用数学》第十七卷。纽约-朗登-悉尼：威利国际科学出版社，威利·Zbl 0195.10401号 [25] 艾森巴德（1995）。交换代数。数学研究生论文第150卷。纽约：斯普林格。以代数几何的观点·Zbl 0819.13001号 [26] Fabiaáska，A.（2009年）。小组和模块演示的算法分析。德国：亚琛RWTH大学博士论文。本论文可在http://darwin.bth.rwth-aachen.de/opus3/volltexte/2009/2950。QuillenSuslin项目(http://wwwb.math.rwth-aachen.de/KuillenSusslin) ·Zbl 1253.20033号 [27] Fabiaáska，A.和Quadrat，A.（2006年）。具有常系数的平面多维线性系统等价于可控的一维线性系统。第17届网络与系统数学理论国际研讨会论文集（MTNS 2006）（第560-582页）。京都：日本·Zbl 0963.93015号 [28] Fabiaáska，A.和Quadrat，A.（2007年）。奎伦·苏斯林定理在多维系统理论中的应用。在H.Park&G.Regensburger（编辑）中，Gröbner以控制理论和信号处理为基础。计算和应用数学氡系列第3卷（第23-106页）。柏林：Walter de Gruyter·Zbl 1197.13011号 [29] 弗利斯，M。；AC安托拉斯（编辑），《可控性重温》，463-474（1991），柏林·Zbl 0777.93005号 ·doi:10.1007/978-3-662-08546-2_26 [30] Fliess，M.、Lévine，J.、Martin，P.和Rouchon，P..（1995年）。非线性系统的平坦性和缺陷：介绍性理论和示例。《国际控制杂志》，61（6），1327-1361·Zbl 0838.93022号 ·doi:10.1080/00207179508921959 [31] Fliess，M.和Mounier，H.（1998年）。线性时滞系统的能控性和能观性：代数方法。ESAIM：控制。最优化与变分法，3301-314·Zbl 0908.93013号 ·doi:10.1051/cocv:1998111 [32] Freund，E.（1971）。时间变量Mehrgrößensysteme。运筹学和数学系统课堂讲稿第57卷。海德堡：施普林格·Zbl 0229.93003号 [33] Fröhler，S.和Oberst，U.（1998年）。连续时变线性系统。《系统与控制快报》，35（2），97-110·Zbl 0909.93041号 ·doi:10.1016/S0167-6911（98）00041-3 [34] Gago-Vargas，J.（2003）。\[A_n（k）\]An（k）中投影模的基。符号计算杂志，36（6），845-853·Zbl 1052.16005号 ·doi:10.1016/S0747-7171（03）00063-4 [35] Gallego，C.和Lezama，O.（2011年）。\[\sigma\text{-}PBW\]σ-PBW扩展理想的Gröbner基。代数通信，39（1），50-75·Zbl 1259.16053号 ·doi:10.1080/00927870903431209 [36] 副总裁Gerdt；Cojocaru，S.（编辑）；Pfister，G.（编辑）；Ufnarovski，V.（编辑），计算Gröbner基的对合算法，199-225（2005），阿姆斯特丹·兹比尔1104.13012 [37] Gluesing-Luerssen，H.（2002）。具有相称时滞的线性时滞微分系统：代数方法。数学课堂讲稿第1770卷。柏林：斯普林格·Zbl 0989.34001号 [38] 格里戈列夫，D Yu。(1989). 常微分闭域理论中量词消去的复杂性。扎普。诺什。塞姆·列宁格勒。奥特尔。Mat.Inst.Steklov公司。（LOMI），176，53-67·Zbl 0703.03011号 [39] Guo，L.、Regensburger，G.和Rosenkranz，M.（2014）。关于积分微分代数。《纯粹与应用代数杂志》，218（3），456-473·Zbl 1310.16019号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2013.06.015 [40] Hillebrand，A.和Schmale，W.（2001年）。走向斯塔福德定理的有效版本。符号计算杂志，32，699-716·Zbl 1015.16030号 ·doi:10.1006/jsco.2001.0491 [41] Janet，M.（1929）。Leçons sur les systèmes d’équations aux dérivées partielles河岸系方程。Cahiers Scientifiques公司。IV、 巴黎：高蒂尔别墅·Zbl 0838.93022号 [42] Janet，M.（1971）。P.Zervos等人的蒙日问题。牛市。科学。数学。(2), 95, 15-26. ·Zbl 0211.30401号 [43] Kandri-Rody，A.和Weispfenning，V.（1990年）。可解型代数中的非交换Gröbner基。符号计算杂志，9（1），1-26·Zbl 0715.16010号 ·doi:10.1016/S0747-7171（08）80003-X [44] Kashiwara，M.（1995）。偏微分方程组的代数研究，第63卷。法国（N.S.）：梅姆。Soc.数学·Zbl 0877.35003号 [45] Kredel，H.（1993）。可解多项式环。亚琛：Shaker·Zbl 0790.16027号 [46] Lam，T.Y.（1999）。关于模块和环的讲座。数学研究生教材第189卷。纽约：斯普林格·Zbl 0911.16001号 [47] Lam，T.Y.（2006）。射影模的Serre问题。施普林格数学专著。柏林：斯普林格·Zbl 1101.13001号 ·doi:10.1007/978-3-540-34575-6 [48] Lange-Hegermann，M.和Robertz，D.（2013年）。参数非线性控制系统的Thomas分解。第五届系统结构与控制研讨会论文集（第291-296页）。法国：格勒诺布尔·Zbl 0908.93013号 [49] Levandovskyy，V.（2005）。多项式代数的非交换计算机代数：Gröbner基，应用和实现。德国：凯泽斯劳滕大学博士论文。本论文可在http://kluedo.ub.uni-kl.de/voltext/2005/1883 [50] Levandovskyy，V.和Zerz，E.（2005）。线性控制系统结构分析的计算机代数方法。《应用数学与力学学报》（PAMM）。威利-维奇。另请参阅http://www.math.rwth-aachen.de/Eva.Zerz/CLIPS/ ·Zbl 1391.93003号 [51] Lévine，J.（2011）。关于微分平面度的充要条件。工程、通信和计算中的应用代数，22（1），47-90·Zbl 1239.93027号 ·doi:10.1007/s00200-010-0137-x [52] Leykin，A.（2004年）。Stafford两个定理的算法证明。符号计算杂志，38，1535-1550·Zbl 1130.16304号 ·doi:10.1016/j.jsc.2004.07.003 [53] Leykin，A.和Tsai，H.Dmodules-\[D\]D-modules的算法。Macaulay 2包，http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2网站/ ·Zbl 0944.05006号 [54] Logar，A.和Sturmfels，B.（1992年）。Quillen-Suslin定理的算法。代数杂志，145（1），231-239·Zbl 0747.13020号 ·doi:10.1016/0021-8693（92）90189-S [55] Lombardi，H.和Yengui，I.（2005年）。Suslin的单模行约简算法。符号计算杂志，30（6），707-717·Zbl 1120.13034号 ·doi:10.1016/j.jsc.2005.01.004文件 [56] Lu，P.，Liu，M.，&Oberst，U.（2004）。拟鲁棒环上的线性递归数组、线性系统和多维循环码。《数学应用学报》，80175-198年·Zbl 1082.94017号 ·doi:10.1023/B:ACAP.000013854.77539.53 [57] Malgrange，B.Systèmes différentielsá系数常数。Séminaire Bourbaki，2461962-64，11页·兹比尔0141.27304 [58] McConnell，J.C.和Robson，J.C（2000）。非交换Noetherian环。美国数学学会普罗维登斯，RI。与L.W.Small合作。1987年版的修订·Zbl 0644.16008号 [59] Mounier，H.（1995）。《森林体系结构的属性：传统与习俗的方面》（Propriétés structurelles des systèmes lin airesáretards：Aspects the oriques et pratiques）。法国：奥赛大学博士论文·Zbl 0627.16020号 [60] Mounier，H.、Rudolph，J.、Petitot，M.和Fliess，M.（1995）。作为线性延迟系统的柔性杆。第三届欧洲控制会议论文集，意大利：罗马·兹比尔1253.93031 [61] Oberst，U.（1990年）。多维常线性系统。《数学应用学报》，20，1-175·Zbl 0715.93014号 ·doi:10.1007/BF00046908 [62] Oldenburg，J.和Marquardt，W.（2002年）。动态优化中的平坦度和高阶微分模型表示。计算机与化学工程，26（3），385-400·doi:10.1016/S0098-1354（01）00752-9 [63] Palamodov，V.P.（1970年）。常系数线性微分算子。A.A.Brown从俄语翻译而来。《德国数学杂志》第168卷。纽约：斯普林格·Zbl 0191.43401号 [64] Park，H.和Woodburn，C.（1995）。多项式环的Suslin稳定性定理的算法证明。代数杂志，178（1），277-298·Zbl 0841.19001号 ·doi:10.1006/jabr.1995.1349 [65] Pillai，H.K.和Shankar，S.（1998年）。分布式系统控制的行为方法。SIAM控制与优化杂志，37（2），388-408·Zbl 0919.93020号 ·doi:10.1137/S0363012997321784 [66] Polderman，J.W.和Willems，J.C.（1998年）。数学系统理论导论。应用数学课文第26卷。纽约：斯普林格。行为方法·Zbl 0940.93002号 [67] Pommaret，J.-F.（1978年）。偏微分方程组和李伪群。数学及其应用第14卷。纽约：Gordon&Breach科学出版社·Zbl 0418.35028号 [68] Pommaret，J.-F.（1995）。Dualitédifférentielle等应用。巴黎科学学院，Série 1。《数学》（Mathématique），第320期，第1225-1230页·兹伯利0863.93016 [69] Pommaret，J.-F.（2001）偏微分控制理论。数学及其应用第530卷。多德雷赫特：Kluwer学术出版集团。第一卷数学工具；第二卷。控制系统·Zbl 1079.93001号 [70] Pommaret，J.-F.和Quadrat，A.（1999a）。线性多维控制系统的代数分析。IMA数学控制与信息杂志，16（3），275-297·Zbl 1158.93319号 ·doi:10.1093/imamci/16.3.275 [71] Pommaret，J.-F.和Quadrat，A.（1999b）。线性多维控制系统的局部化和参数化。《系统与控制快报》，37（4），247-260·Zbl 0948.93016号 ·doi:10.1016/S0167-6911（99）00030-4 [72] Pommaret，J.-F.和Quadrat，A.（2000年）。线性控制系统的等效性。MTNS 2000会议记录。法国：佩皮尼昂·Zbl 1120.93312号 [73] Pommaret，J.-F.和Quadrat A.（2003）多维控制系统行为的函数方法。国际应用数学与计算机科学杂志，13（1），7-13。多维系统和迭代学习控制（Czocha Castle，2000）·兹比尔1040.93510 [74] Pommaret，J.-F.和Quadrat，A.（2004年）。多维最优控制的微分算子方法。《国际控制杂志》，77，821-836·Zbl 1136.93359号 ·doi:10.1080/00207170410001726813 [75] Quadrat，A.（1999）。从多维角度分析控制系统。法国：博士论文，国立桥与桥学院·Zbl 1131.15011号 [76] Quadrat，A.（2010年A）。系统与结构：构建性分析系统的数学方法。法国：《习惯论》，索菲亚·安蒂波利斯尼斯大学·兹比尔1151.13306 [77] Quadrat，A.（2010年b）。构造代数分析及其应用简介。《CIRM课程》，第1卷，第2卷：《国家计算形式之旅》（第281-471页）。另请参阅http://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00506104/fr/ ·Zbl 1106.93019号 [78] Quadrat，A.（2013）。线性功能系统的分级过滤。《数学应用学报》，127，27-86·Zbl 1327.16037号 ·doi:10.1007/s10440-012-9791-2 [79] Quadrat，A.和Regensburger，G.（2013年）。普通积分微分算子的多项式解和零化子。第五届系统结构与控制研讨会论文集（第303-308页）。法国：格勒诺布尔。 [80] Quadrat，A.和Robertz，D.（2005a）。对不可控多维线性系统的所有解进行参数化。第16届国际会计师联合会世界大会会议记录。捷克共和国：布拉格·Zbl 1109.93018号 [81] Quadrat，A.和Robertz，D.（2005年b）。关于稳定自由行为的爆破。第44届IEEE决策与控制会议和ECC 2005欧洲控制会议记录（第1541-1546页）。西班牙：塞维利亚。 [82] Quadrat，A.和Robertz，D.（2006a）。一类变系数多维线性系统平坦输出的构造性计算。第17届网络与系统数学理论国际研讨会论文集（MTNS 2006）（第583-595页）。京都：日本·Zbl 1252.35016号 [83] Quadrat，A.和Robertz，D.（2006b）。关于Monge问题和多维最优控制。第17届网络与系统数学理论国际研讨会论文集（MTNS 2006）（第596-605页）。京都：日本·Zbl 1131.15011号 [84] Quadrat，A.和Robertz，D.（2007年）。Weyl代数上自由模的基的计算。符号计算杂志，42（11-12），1113-1141。斯塔福德项目(http://wwwb.math.rwth-aachen.de/Ore模块) ·Zbl 1137.16002号 [85] Quadrat，A.和Robertz，D.（2008）。多维线性系统的Baer扩张问题。第18届网络和系统数学理论国际研讨会论文集（MTNS 2008）。美国：弗吉尼亚理工大学，弗吉尼亚州布莱克斯堡·Zbl 0841.19001号 [86] Quadrat，A.和Robertz，D.（2010年）。线性解析常微分系统的能控性和微分平坦性。第19届网络与系统数学理论国际研讨会（MTNS 2010）会议记录匈牙利：布达佩斯。另见E.Zerz（编辑），代数系统理论、行为和代码（第23-30页）。亚琛·沙克·Zbl 1215.93020号 [87] Quadrat，A.和Robertz，D.（2013年）。线性偏微分系统的斯塔福德约化。第五届系统结构与控制研讨会论文集（第309-314页）。格勒诺布尔：法国。 [88] Quadrat，A.和Robertz，D.（即将出现）。构造性地研究了偏微分算子环的模结构。数学应用学报·Zbl 1311.16019号 [89] Quillen，D.（1976年）。多项式环上的投影模。《数学发明》，第36卷，第167-171页·兹伯利0337.13011 ·doi:10.1007/BF01390008 [90] Robertz，D.（2006年）。控制理论的形式化计算方法。德国亚琛理工大学博士论文。本论文可在http://darwin.bth.rwth-aachen.de/opus/volltexte/2006/1586 [91] Robertz，D.（2007年）。Janet基础和应用程序。在M.Rosenkranz，D.Wang（编辑）中，Gróbner以符号分析为基础。计算和应用数学氡系列第2卷（第139-168页）。柏林：Walter de Gruyter·Zbl 1130.13019号 [92] Robertz，D.（2012年）。PDE的形式算法消除。Aachen RWTH大学数学、计算机科学和自然科学学院接受了Habilitationsschrift。已提交发布·Zbl 0394.16001号 [93] Rotman，J.J.（2009）。同调代数导论（第二版）。纽约：Universitext。斯普林格·Zbl 1157.18001号 ·doi:10.1007/b98977 [94] Serre，J.-P.（1958）《模块投影与纤维矢量》。在Séminaire P.Dubreil，M.-L.（编辑）Dubreil-Jacotin et C.Pisot，1957/58，Fasc。2，第23届博览会，《数学竞赛》（第1-18页）·Zbl 0132.41202号 [95] Stafford，J.T.（1978年）。Weyl代数的模结构。《伦敦数学学会杂志》，第18期，第429-442页·Zbl 0394.16001号 ·doi:10.1112/jlms/s2-18.3429 [96] Suslin，A.A.（1976年）。多项式环上的投影模是自由的。多克。阿卡德。瑙克。S.S.S.R.，第229页，第1063-1066页·Zbl 0354.13010号 [97] Wang，D.（2001）。消除方法。符号计算的文本和专著。维也纳：施普林格·Zbl 0964.13014号 [98] Wood，J.（2000）。nD系统理论中的模块和行为。多维系统与信号处理，11（1-2），11-48·Zbl 0963.93015号 ·doi:10.1023/A:1008430528456 [99] Zervos，P.（1932年）。蒙日问题。数学科学博物馆。第三章。Gauthier-Villars。 [100] Zerz，E.（2000年）。多维线性系统理论的主题。控制与信息科学讲座笔记第256卷。伦敦：斯普林格·Zbl 1002.93002号 [101] Zerz，E.（2001年）。行为线性系统理论中的扩展模块。多维系统与信号处理，12（3-4），309-327。特刊：Gröbner基在多维系统和信号处理中的应用·Zbl 1031.93061号 [102] Zerz，E.（2006年）。线性时变系统的代数分析方法。IMA数学控制与信息杂志，23113-126·Zbl 1106.93019号 ·doi:10.1093/imamci/dni047 [103] Zerz，E.和Lomadze，V.（2001年）。具有多维行为的互连和分解问题的建设性解决方案。SIAM控制与优化杂志，401072-1086·Zbl 1030.93012号 ·doi:10.1137/S0363012900374749 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。