×

基于分段时间无关势的任意N能级量子系统的一般跟踪控制。 (英语) 兹比尔1338.81223

摘要:本文提出了一种适用于任意N级系统的跟踪量子控制协议。目标是使可观测值({mathcal O})的期望值遵循预定轨迹(S(t))。因此,我们通过依赖于(M_V)可调参数(例如,偶极条件下激光场的振幅和相位(因此,M_V=2))的外部电势(V)来驱动量子态(Psi(t)范围)的演化。在瞬间(t_n),这些参数可以快速切换到特定值,然后在时间间隔内保持不变。该方法确定哪些参数值集可以产生\(\langle\Psi(t)|{\mathcal O}|\Psi(t)\rangle=S(t)\)。它在数值上是鲁棒的(没有内在发散),并且相对较快,因为我们只需要求解非线性代数方程(而不是耦合的非线性微分方程组)来获得连续\(\Delta t\)的参数。对于给定的(S(t)),获得控制所需的最小(M_V=M_{min})“自由度”是问题难度的一个很好的优点。例如,如果(M_{min}>2)和(V\)是由于激光场(实际应用中的常见上下文),则控制不能无条件实现。正如所讨论和举例说明的那样,在这些情况下,一个可能的程序是在某些有问题(但较短)的时间间隔内放松控制。最后,当现有方法时,可以系统地访问不同的可能解决方案,从而允许以相对简单的方式搜索最佳实现条件。给出了3、4和5能级系统的图示,并与文献中的计算进行了一些比较。

MSC公司:

81问题93 量子控制
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
全文: 内政部

参考文献:

[1] Brif,C.、Chakrabarti,R.、Rabitz,H.:量子现象的控制:过去、未来和未来。新J.Phys。12, 075008 (2010) ·Zbl 1445.81029号 ·doi:10.1088/1367-2630/12/7/075008
[2] Gough,J.(编辑):专刊:量子控制工程原理与应用。哲学。事务处理。R.Soc.A 370(1979)(2012)·Zbl 1353.00011号
[3] Rabitz,H.,de Vivie-Riedle,R.,Motzkus,M.,Kompa,K.:控制量子现象的未来如何?《科学》288824-828(2000)·doi:10.126/科学288.5467.824
[4] Shapiro,M.,Brumer,P.:分子过程的量子控制原理。霍博肯·威利(2003)·兹比尔1247.81006
[5] Gerbasi,D.,Scholes,G.D.,Brumer,P.:半导体量子点中的相干控制:通过双激子控制降低最佳增益阈值。物理。版本B 82125321(2010)·doi:10.1103/PhysRevB.82.125321
[6] Arndt,M.,Juffmann,T.,Vedral,V.:量子物理学与生物学的结合。HFSP J.386-400(2009年)·数字对象标识代码:10.2976/1.3244985
[7] Cai,J.,Guerreschi,G.G.,Briegel,H.J.:化学罗盘中的量子控制和纠缠。物理。修订稿。104, 220502 (2010) ·doi:10.1103/PhysRevLett.104.220502
[8] Rondi,A.、Kiselev,D.、Machado,S.、Extermann,J.、Weber,S.和Bonacina,L.、Wolf,J.和Roslund,J.,Roth,M.和Rabitz,H.:用一致的控制策略鉴别生物分子。Chimia 65,5(2011)·doi:10.2533芝加哥.2011.346
[9] Bardeen,C.J.、Yakovlev,V.V.、Wilson,K.R.、Carpenter,S.D.、Weber,P.M.、Warren,W.S.:分子电子布居转移的反馈量子控制。化学。物理。莱特。280, 151-158 (1997) ·doi:10.1016/S0009-2614(97)01081-6
[10] Beltrani,V.,Domini,J.,Ho,T.,Rabitz,H.:动态同源量子系统的光子试剂控制。化学杂志。物理。126, 094105 (2007) ·数字对象标识代码:10.1063/1.2434177
[11] Meshulach,D.,Silberberg,Y.:飞秒激光脉冲对双光子跃迁的相干量子控制。《自然》396239-242(1998)·doi:10.1038/24329
[12] Lim,J.、Lee,H.、Kim,J.,Lee,S.、Ahn,J.:三能级系统的双光子相干控制模拟的相干瞬态。物理。版本A 83,053429(2011)·doi:10.1103/PhysRevA.83.053429
[13] Bruner,B.D.,Suchowski,H.,Vitanov,N.V.,Silberberg,Y.:三能级原子中的强场时空相干控制。物理。版本A 81,063410(2010)·doi:10.1103/PhysRevA.81.063410
[14] 怀斯曼,H.M.,米尔本,G.J.:《量子测量与控制》。剑桥大学出版社,剑桥(2010)·Zbl 1350.81004号
[15] Dong,D.,Petersen,I.R.:量子控制理论与应用:综述。IET控制理论应用。4, 2651 (2010) ·doi:10.1049/iet-cta.2009.0508
[16] Altafini,C.,Ticozzi,F.:量子系统的建模和控制:简介。IEEE传输。自动。控制571898(2012)·Zbl 1369.81040号 ·doi:10.10109/TAC.2012.2195830
[17] Dong,D.,Chen,C.,Jiang,M.,Wang,L.-C.(编辑):特刊:量子控制和量子信息技术。科学。《世界期刊》2013(2013)
[18] Keyl,M.:量子信息理论基础。物理。代表369、431(2002)·Zbl 0998.81014号 ·doi:10.1016/S0370-1573(02)00266-1
[19] Ladd,T.D.、Jelezko,F.、Laflamme,R.、Nakamura,Y.、Monroe,C.、O'Brien,J.L.:量子计算机。《自然》464,45-53(2010)·doi:10.1038/nature08812
[20] Nielsen,M.A.,Chuang,I.L.:Chuang:量子计算和量子信息。剑桥大学出版社,剑桥(2011)
[21] Bennet,C.H.,DiVincenzo,D.P.:量子信息与计算。《自然》404247-255(2000)·兹比尔1369.81023 ·doi:10.1038/35005001
[22] Craig,N.J.、Taylor,J.M.、Lester,E.A.、Marcus,C.M.、Hanson,M.P.、Gossard,A.C.:耦合量子点系统中的可调谐非局域自旋控制。《科学》23,565-567(2004)·doi:10.1126/science.1095452
[23] Pawela,L.,Puchala,Z.:光谱约束的量子控制。量子信息处理。13, 227-237 (2014) ·Zbl 1291.81168号 ·doi:10.1007/s11128-013-0644-3
[24] Zawadzki,P.:不完美量子信道中乒乓协议操作的改进控制模式。量子信息处理。14, 2589-2598 (2015) ·Zbl 1326.81057号 ·doi:10.1007/s11128-015-0989-x
[25] Bieruk,M.J.,Uys,H.,VanDevender,A.P.,Shiga,N.,Itano,M.W.,Bollinger,J.J.:模型量子存储器中的优化动态解耦。《自然》458996-1000(2009)·doi:10.1038/nature07951
[26] 奥康奈尔,A.D.、霍夫海因茨,M.、安斯曼,M.,Bialczak,R.C.、Lenander,M.和Neeley,M.以及Sank,D.、Wang,H.、Wenner,J.、Martinis,J.和Cleland,N.:机械谐振器的量子基态和单声子控制。《自然》46467-703(2010)·doi:10.1038/nature08967
[27] Reim,K.F.,Michelberger,P.,Lee,K.C.,Nunn,J.,Langford,N.K.,Walmsley,I.A.:室温下的单光子量子存储器。物理。修订稿。107, 053603 (2011) ·doi:10.1103/PhysRevLett.107.053603
[28] Guerra,C.A.E.,Villamizar,D.V.,Rego,L.G.C.:逆优化脉冲序列对量子控制的消相干效应。物理。版本A 86,023411(2012)·doi:10.103/物理版本A.86.023411
[29] Dong,D.,Petersen,I.R.:量子控制理论与应用:综述。IET控制理论应用。4, 2651-2671 (2010) ·兹比尔1211.74041 ·doi:10.1049/iet-cta.2009.0508
[30] Viola,L.,Tannor,D.(编辑):特刊:相干和信息动力学的量子控制理论。《物理学杂志》。B 44(15)(2011年)
[31] Tannor,D.J.,Rice,S.A.:通过控制波包演变来控制化学反应的选择性。化学杂志。物理。83, 5013-5018 (1985) ·数字对象标识代码:10.1063/1.449767
[32] Tannor,D.J.,Kosloff,R.,Rice,S.A.:相干脉冲序列诱导的反应选择性控制:精确的量子力学计算。化学杂志。物理。85, 5805-5820 (1986) ·doi:10.1063/1.451542
[33] Shapiro,M.,Brumer,P.:单分子衰变的激光控制在存在碰撞的情况下产生。化学杂志。物理。96179-6186(1989年)·数字对象标识代码:10.1063/1.456334
[34] Amstrup,B.,Carlson,R.J.,Matro,A.,Rice,S.:使用脉冲整形控制双原子分子的光解:防止最好的成为好的敌人。化学杂志。物理。95, 8019-8027 (1991) ·doi:10.1021/j100174a007
[35] Judson,R.S.,Rabitz,H.:教授激光控制分子。物理。修订稿。68(10), 1500-1503 (1992) ·doi:10.1103/PhysRevLett.68.1500
[36] Weiner,A.M.:使用空间光调制器进行飞秒脉冲整形。科学评论。仪器。71(5), 1929-1960 (2000) ·数字对象标识代码:10.1063/1.1150614
[37] Underwood,J.G.,Spanner,M.,Ivanov,M.J.,Mottershead,J.,Sussman,B.J.,Stolow,A.:交换波包:非微扰量子控制的途径。物理。修订稿。90, 223001 (2003) ·doi:10.1103/PhysRevLett.90.223001
[38] Bandrauk,A.D.,Delfour,M.C.,Le Bris,C.(编辑):量子控制:数学和数值挑战。CRM会议记录和讲稿,第33卷。AMS出版物,普罗维登斯,RI(2003)·Zbl 1030.00043号
[39] Zanardi,P.,Rasetti,M.:全息量子计算。物理。莱特。A 26494-99(1999)·Zbl 0949.81009号 ·doi:10.1016/S0375-9601(99)00803-8
[40] Frenkel,P.E.,Weiner,M.:n能级量子系统中的经典信息存储。Commun公司。数学。物理。340563-574(2015年)·Zbl 1323.81013号 ·doi:10.1007/s00220-015-2463-0
[41] Jaeger,G.:《量子信息:概述》。施普林格,纽约(2007)·Zbl 1166.81001号
[42] Matthews,J.C.F.:《集成光学中的多光子量子信息科学与技术》。柏林施普林格出版社(2013)·doi:10.1007/978-3-642-32870-1
[43] Khaneja,N.、Brockett,R.、Glaser,S.J.:自旋系统中的时间最优控制。物理。版本A 63,032308(2001)·doi:10.1103/PhysRevA.63.032308
[44] Boscain,U.、Charlot,G.、Gauthier,J.、Guérin,S.、Jauslin,R.:双量子系统激光诱导布居转移的最佳控制。数学杂志。物理。43, 2017 (2002) ·Zbl 1059.81195号 ·doi:10.1063/11.465516
[45] Sklarz,S.E.,Tannor,D.J.,Khaneja,N.:量子耗散动力学的最优控制:冷却三能级系统的解析解。物理。版本A 69,053408(2004)·doi:10.1103/PhysRevA.69.053408
[46] Pechen,A.,II'in,N.,Shuang,F.,Rabitz,H.:冯·诺依曼测量的量子控制。物理。修订版A 74,052102(2006)·doi:10.1103/PhysRevA.74.052102
[47] Zhou,X.-Q.,Ralph,T.C.,Kalasuwan,P.,Zhang,M.,Peruzzo,A.,Lanyon,B.P.,O'Brien,J.L.:为任意未知量子操作添加控制。国家公社。2, 413 (2011) ·doi:10.1038/ncomms1392
[48] Araüjo,M.,Feix,A.,Costa,F.,Brukner,C.:量子电路无法控制未知操作。新J.Phys。16, 093026 (2014) ·Zbl 1451.81137号 ·doi:10.1088/1367-2630/16/9/093026
[49] Sugawara,M.:基于强激光场有效分解的多级系统的新量子控制方案。化学杂志。物理。130, 094103 (2009) ·doi:10.1063/1.3079327
[50] Yip,F.L.,Mazziotti,D.A.,Rabitz,H.:实现量子控制的本地时间算法。《物理学杂志》。化学。A 107、7264(2003)·doi:10.1021/jp030313r
[51] Zhu,W.,Rabitz,H.:通过自适应跟踪进行量子控制设计。化学杂志。物理。119, 7 (2003)
[52] Rothman,A.,Ho,T.S.,Rabitz,H.:量子可观测同伦跟踪控制。化学杂志。物理。123, 134104 (2005) ·doi:10.1063/12042456
[53] Ho,T.S.,Rabitz,H.:量子动力学最优控制的加速单调收敛。物理。修订版E 82026703(2010)·doi:10.1103/PhysRevE.82.026703
[54] Salomon,J.,Turicini,G.:关于量子最优控制中局部跟踪过程和单调方案之间的关系。化学杂志。物理。124, 074102 (2006) ·doi:10.1063/1.2170085
[55] Kuhn,J.,da Luz,M.G.E.:控制两级系统的分段时间无关过程。物理。版本A 75,053410(2007)·doi:10.1103/PhysRevA.75.053410
[56] Schirmer,S.G.,Koli,A.,Oi,D.K.L.:受控二能级系统的实验哈密顿量识别。物理。版本A 69,050306(R)(2004)·doi:10.1103/PhysRevA.69.050306
[57] Ho,T.S.,Rabitz,H.,Chu,S.I.:线性偶极相互作用以外的量子动力学控制中单调收敛算法的一般公式。公司。物理。Commun公司。18214-17(2011年)·Zbl 1219.81105号 ·doi:10.1016/j.cpc.2010.08.002
[58] Zhu,W.,Smit,M.,Rabitz,H.:量子动力学观测值跟踪控制中的奇异行为管理。化学杂志。物理。110, 1905 (1999) ·数字对象标识代码:10.1063/1.477857
[59] Peirce,A.P.、Dahleh,M.、Rabitz,H.:量子力学系统的最优控制:存在性、数值近似和应用。物理。修订版A 37,4950(1988)·doi:10.1103/PhysRevA.37.4950
[60] Dahleh,M.,Peirce,A.P.,Rabitz,H.:不确定量子系统的最优控制。物理。修订版A 42,1075(1990)·doi:10.1103/PhysRevA.42.1065
[61] Boscain,U.、Charlot,G.、Gauthier,J.P.、Guérin,S.、Jauslin,H.R.:二能级和三能级量子系统中激光诱导布居转移的最佳控制。数学杂志。物理。43, 2107-2132 (2002) ·Zbl 1059.81195号 ·doi:10.1063/1.1465516
[62] Khaneja,N.,Kehlet,C.,Luy,B.,Glaser,S.J.:磁共振中宽带弛豫优化极化转移。程序。国家。阿卡德。科学。《美国法典》第101卷第14742页(2003年)·doi:10.1073/pnas.040482101
[63] Zhu,W.,Botina,J.,Habitz,H.:种群量子最优控制的快速收敛迭代方法。化学杂志。物理。108, 1953 (1998) ·数字对象标识代码:10.1063/1.475576
[64] Ohtsuki,Y.,Kono,H.,Fujimura,Y.:通过局部设计的最佳脉冲对核波包进行量子控制。化学杂志。物理。1099318(1998年)·doi:10.1063/1.477593
[65] Beltrani,V.,Ghosh,P.,Rabitz,H.:探索量子最佳动力学辨别能力。化学杂志。物理。130, 164112 (2009) ·数字对象标识代码:10.1063/1.3114679
[66] Ho,T.,Rabitz,H.:量子动力学最优控制的加速单调收敛。物理。版本E 82026703(2010)·doi:10.1103/PhysRevE.82.026703
[67] Donovan,A.,Beltrani,V.,Rabitz,H.:利用哈密顿结构操纵的量子控制。物理。化学。化学。物理。13, 7348 (2011) ·Zbl 1415.74048号 ·doi:10.1039/c0cp02234a
[68] Sugny,D.,Kontz,C.:通过激光场和冯·诺依曼测量对三能级量子系统进行最优控制。物理。版本A 77,063420(2008)·doi:10.1103/PhysRevA.77.063420
[69] Reich,D.M.,Ndong,M.,Koch,C.P.:使用Krotov方法的量子控制中的单调收敛优化。化学杂志。物理。136, 104103 (2012) ·数字对象标识代码:10.1063/1.3691827
[70] Maday,Y.,Salomom,J.,Turinici,G.:量子系统的单调准实控制。SIAM J.数字。分析员。45, 2468-2482 (2007) ·Zbl 1153.49005号 ·doi:10.1137/050647086
[71] Borzi,A.,Salomom,J.,Volkweim,S.:有限级量子最优控制问题的公式化和数值解。J.公司。申请。数学。216, 170-197 (2008) ·Zbl 1143.65048号 ·doi:10.1016/j.cam.2007.04.029
[72] Ditz,P.,Borzi,A.:有限能级量子控制计算的级联单调时间离散算法。公司。物理。Commun公司。178, 393-399 (2008) ·Zbl 1196.81141号 ·doi:10.1016/j.cpc.2007.09.007
[73] Von Winckel,G.,Borzi,A.:QUCON:偶极量子控制问题的快速Krylov-Newton代码。公司。物理。Commun公司。181, 2158-2164 (2010) ·Zbl 1219.81122号 ·doi:10.1016/j.cpc.2010.08.023
[74] Wang,Q.,Nakagiri,S.:自由基本粒子的量子数值控制。申请。数学。计算。217, 5695-5701 (2011) ·Zbl 1208.81069号
[75] Jha,A.、Beltrani,V.、Rosenthal,C.、Rabitz,H.:量子系统跟踪控制中的多种解决方案。《物理学杂志》。化学。A 1137667(2009)·doi:10.1021/jp811485j
[76] Chadan,K.,Sabatier,P.C.:量子散射理论中的反问题,第2版。柏林施普林格(1989)·兹伯利0681.35088 ·doi:10.1007/978-3642-83317-5
[77] Suchowski,H.,Natan,A.,Bruner,B.D.,Silberberg,Y.:原子系统的时空相干控制:二维映射中的弱到强场跃迁和对称性破坏。《物理学杂志》。B 41,074008(2008)·doi:10.1088/0953-4075/41/7/074008
[78] Barberoglou,M.,Gray,D.,Magoulakis,E.,Fotakis,C.,Loukakos,P.A.,Stratakis,E.:使用延时飞秒激光双脉冲控制波纹的周期性。选择。《快报》218501(2013)·doi:10.1364/OE.21.018501
[79] Harel,G.,Akulin,V.M.:哈密尔顿量子系统的完全控制:Floquet进化工程。物理。修订稿。82, 1 (1999) ·doi:10.1103/PhysRevLett.82.1
[80] Brion,E.,Carlier,F.,Harel,G.,Akulin,V.M.:非完整量子控制。《物理学杂志》。B 44154001(2011年)·doi:10.1088/0953-4075/44/15/154001
[81] Meyn,K.H.:用平稳迭代法求解待定非线性方程。数字。数学。42, 161-172 (1983) ·Zbl 0497.65026号 ·doi:10.1007/BF01395309
[82] Stiros,S.C.,Saltogianni,V.:具有网格先验约束的欠定方程组的解。SpringerPlus 3145(2014)·doi:10.1186/2193-1801-3-145
[83] Tang,S.M.,Kok,W.C.:求解非线性代数方程组的全局收敛过程。《物理学杂志》。A 182691(1985)·Zbl 0582.65037号 ·doi:10.1088/0305-4470/18/14/020
[84] CC克里斯塔拉;KR杰克逊;Trigg,GL(编辑),《数值方法》(2005),Weinheim
[85] Byrne,G.D.,Hall,C.A.(编辑):非线性代数方程组的数值解。纽约学术出版社(1973)
[86] Dolotin,V.,Morozov,A.:非线性代数导论。世界科学,新加坡(2007)arXiv:hepth/0609022v4·Zbl 1134.15001号
[87] Chein-Shan,L.,Atluri,S.N.:一种求解大型非线性代数方程组的新型时间积分方法。CMES 31、71(2008)·Zbl 1152.65428号
[88] Hosseini,M.M.,Kafash,B.:求解非线性方程组的有效算法。申请。数学。科学。4, 119-142 (2010) ·Zbl 1191.65052号
[89] Amitay,Z.,Gandan,A.,Chuntonov,L.,Rybak,L.:基于对称特性的多通道选择性飞秒相干控制。物理。修订稿。193002(2008年)·doi:10.1103/PhysRevLett.100.193002
[90] Borzi,A.,Stadler,G.,Hohenester,U.:纳米结构中的最佳量子控制:一般三能级系统的理论和应用。物理。修订版A 66,053811(2002)·doi:10.1103/PhysRevA.66.053811
[91] Ning,X.J.:消除快速衰退的五级体系中的人口陷阱。J.选项。《美国社会学杂志》第20期,2363-2369页(2003年)·doi:10.364/JOSAB.20.002363
[92] Schulman,L.S.,Doering,C.R.,Gaveau,B.:多级量子系统中的线性衰变。《物理学杂志》。A 24,2053(1991)·Zbl 0729.35110号 ·doi:10.1088/0305-4470/24/9/015
[93] 舒尔曼,L.S.:量子测量“特殊状态”理论的实验测试。熵14665-686(2012)·兹比尔1296.81034 ·doi:10.3390/e14040665
[94] Press,D.,Ladd,T.D.,Zhang,B.,Yamamoto,Y.:使用超快光脉冲对单个量子点自旋进行完全量子控制。《自然》456218-221(2008)·doi:10.1038/nature07530
[95] Zhuang,C.,Paul,C.R.,Liu,X.,Maneshi,S.,Cruz,L.S.,Steinberg,A.M.:通过双路径量子干涉对光晶格中振动态之间的布居转移进行相干控制。物理。修订稿。111, 233002 (2013) ·doi:10.1103/PhysRevLett.111.233002
[96] Monroe,C.,Meekhof,D.M.,King,B.E.,Itano,W.M.,Wineland,D.J.:基本量子逻辑门的演示。物理。修订稿。75, 355 (1995) ·Zbl 1020.81550号 ·doi:10.1103/PhysRevLett.75.355
[97] Gautam,K.,Rawat,T.K.,Parthasarathy,H.,Sharma,N.:使用微扰谐振子实现常用量子门。数量。信息处理。14, 3257-3277 (2015) ·Zbl 1325.81050号 ·doi:10.1007/s11128-015-1059-0
[98] Seideman,T.、Shapiro,M.、Brumer,P.:分子过程的量子控制。化学杂志。物理。90, 7132 (1989) ·doi:10.1063/1.456243
[99] Fu,H.,Schirmer,S.G.,Solomon,A.I.:有限能级量子系统的完全可控性。《物理学杂志》。A 34,1679(2001)·Zbl 0979.93010号 ·doi:10.1088/0305-4470/34/8/313
[100] 张鹏、沈建清:四能级原子系统中的双控量子干涉。选择。Express 156484(2007年)·doi:10.1364/OE.15.006484
[101] Stowe,M.C.,Peer,A.,Ye,J.:通过光学频率梳的离散光谱整形控制四能级量子相干。物理。修订稿。100, 203001 (2008) ·doi:10.1103/PhysRevLett.100.20030
[102] Anton,M.A.等人:通过控制三脚架五能级原子中的双暗共振实现光学开关。选择。Commun公司。281, 6040 (2008) ·doi:10.1016/j.opatcom.2008.09.014
[103] Wang,Z.等:在五能级原子系统中通过受控自发辐射进行原子定位。安·物理。(纽约)3271132(2012)·Zbl 1243.81235号 ·doi:10.1016/j.aop.2011.12.005
[104] Kompa,K.L.,Levine,R.D.:分子逻辑门。PNAS 98,410-414(2001)·doi:10.1073/pnas.98.2.410
[105] Lorente,N.,Joachim,C.(编辑):分子逻辑门和原子电路的架构和设计。施普林格,柏林(2013)
[106] Waseem,M.、Irfan,M.和Qamar,S.:腔中具有多个控制量子位或多个目标量子位的量子门的实现。数量。信息处理。14, 1869-1887 (2015) ·Zbl 1317.81069号 ·doi:10.1007/s11128-015-0947-7
[107] Ibragimov,N.H.,Ibragimo,R.N.:作为非线性微分方程内部奇异性的不变量解及其用于隐式和数值解的定性分析。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。14, 3537 (2009) ·Zbl 1221.34087号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2009.01.025
[108] Atluri,S.N.,Liu,C.S.,Kuo,C.L.:求解非线性代数方程的修正牛顿法。J.Mar.科学。Technol公司。17, 238 (2009)
[109] 新泽西州海厄姆:《矩阵函数:理论与计算》。SIAM,费城(2008)·Zbl 1167.15001号 ·数字对象标识代码:10.1137/1.9780898717778
[110] Loring,T.A.:用一般谱计算酉矩阵的对数。数字。线性代数应用。21, 744-750 (2014) ·Zbl 1340.65089号 ·doi:10.1002/nla.1927年
[111] 樱井,J.J.:《现代量子力学》,第1版。Addison-Wesley,雷丁(1985)
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。