×

无因次矩阵未知数中的凸性和半定规划。 (英语) Zbl 1334.90103号

Anjos,Miguel F.(编辑)等,《半定、二次曲线和多项式优化手册》。纽约州纽约市:施普林格出版社(ISBN 978-1-4614-0768-3/hbk;978-1-461/0769-0/电子书)。《运筹学与管理科学国际丛书》166、377-405(2012)。
摘要:半定规划的主要应用之一在于线性系统和控制理论。这个主题中的许多问题,至少是教科书中的经典问题,都以矩阵为变量,并且公式中自然包含矩阵中的非交换多项式。这些多项式仅取决于系统布局,不随所涉及矩阵的大小而变化,因此此类问题称为“无量纲”。最近,对无量纲问题的分析导致了非交换(nc)实代数几何(RAG)的发展,它与凸性相结合,产生了无量纲半定规划。本文调查了在非交换集和nc SDP中已知的凸性,并包括对nc RAG的简要调查。通常,非交换情况的定性性质比它们的标量对应物——\({\mathbb{R}}}^{g}\)中的变量——的定性性质要干净得多。事实上,我们描述了在几种自然情况下,矩阵变量与标量变量的相关性是如何产生一个漂亮的结构的。
关于整个系列,请参见[Zbl 1235.90002号].

MSC公司:

90立方厘米22 半定规划
90 C90 数学规划的应用

软件:

NCAlgebra大学
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用

参考文献:

[1] Arveson,W.,C^*-代数的子代数,数学学报,123,141-224(1969)·Zbl 0194.15701号 ·doi:10.1007/BF02392388
[2] Arveson,W.,C^*-代数的子代数,II。《数学学报》,128,3-4,271-308(1972)·Zbl 0245.46098号 ·doi:10.1007/BF02392166
[3] Arveson,W.,《非对易Choquet边界》,《美国数学学会杂志》,21,4,1065-1084(2008)·兹比尔1207.46052 ·doi:10.1090/S0894-0347-07-00570-X
[4] Bochnack,J.,Coste,M.,Roy,M.-F.:实代数几何。Ergebnisse der Mathematik和ihrer Grenzgebiete。3.《Folge数学现代调查系列》,第36卷。柏林施普林格-弗拉格出版社(1998年)·Zbl 0912.14023号
[5] 球,JA;格伦瓦尔德,G。;Malakorn,T.,结构化非交换多维线性系统和鲁棒控制的有界实引理,多维系统和信号处理,17,2-3,119-150(2006)·Zbl 1125.93334号 ·doi:10.1007/s11045-005-6730-7
[6] Burgdorf,S.,Klep,I.:截断弯矩问题。发表在《算子理论杂志》上,http://arxiv.org/abs/1001.3679 ·Zbl 1260.47016号
[7] 布莱彻,DP;Le Merdy,C.,《算子代数及其模-算子空间方法》,伦敦数学学会专著(2004),牛津:克拉伦登出版社牛津大学出版社·Zbl 1061.47002号 ·doi:10.1093/acprof:oso/9780198526599.001.001
[8] Bessis,D。;穆萨,P。;Villani,M.,量子统计力学中泛函积分的单调收敛变分逼近,数学物理杂志,16,11,2318-2325(1975)·兹比尔0976.82501 ·doi:10.1063/1.522463
[9] Ben-Tal,A。;Nemirovski,A.,关于区间不确定性影响的不确定线性矩阵不等式的可处理近似,SIAM优化杂志,12,3,811-833(2002)·Zbl 1008.90034号 ·doi:10.1137/S1052623400374756
[10] JF卡米诺;JW赫尔顿;斯凯尔顿,RE;Ye,J.,矩阵不等式:自动确定凸性的符号过程,积分方程和算子理论,46,4,399-454(2003)·Zbl 1046.68139号 ·doi:10.1007/s00020-001-1147-7
[11] 卡武塔,K。;克莱普,I。;Povh,J.,NCSOStools:使用非对易多项式进行符号和数值计算的计算机代数系统,优化方法和软件,26,3,363-380(2011)·Zbl 1226.90063号 ·doi:10.1080/10556788.2010.544312
[12] Connes,A.,内射因子的分类。案例{II}1,{II}∞,{III}λ,λ≠1,数学年鉴,104,73-115(1976)·Zbl 0343.46042号 ·doi:10.2307/1971057
[13] 埃夫罗斯,EG;Winkler,S.,矩阵凸性:双极定理和Hahn-Banach定理的算子类比,函数分析杂志,144,1,117-152(1997)·Zbl 0897.46046号 ·doi:10.1006/jfan.1996.2958
[14] 干草,DM;JW赫尔顿;A.Lim。;McCullough,S.,非交换部分矩阵凸性,印第安纳大学数学杂志,57,6,2815-2842(2008)·Zbl 1171.15020号 ·doi:10.1512/iumj.2008.57.3638
[15] Helton,JW,“正”非交换多项式是平方和,《数学年鉴》,156,2675-694(2002)·Zbl 1033.12001年 ·doi:10.2307/3597203
[16] Helton,J.W.,de Oliveira,M.C.,Stankus,M.,Miller,R.L.:NCAlgebra,2010年发行版。可从以下位置获得http://math.ucsd.edu/ncalg(2010)
[17] JW赫尔顿;克莱普,I。;McCullough,S.,非交换铅笔球之间的分析映射,数学分析与应用杂志,376,2,407-428(2011)·Zbl 1210.47039号 ·doi:10.1016/j.jma..2010.11.040
[18] Helton,J.W.,Klep,I.,McCullough,S.:线性矩阵不等式的矩阵松弛。预打印,可从http://arxiv.org/abs/1003.0908 ·兹比尔1272.15012
[19] JW赫尔顿;克莱普,I。;McCullough,S.,《正确的自由分析图》,《功能分析杂志》,260,5,1476-1490(2011)·Zbl 1215.47011号 ·doi:10.1016/j.jfa.2010.11.007
[20] JW赫尔顿;克莱普,I。;McCullough,S。;Slinglend,N.,非交换球映射,函数分析杂志,257,1,47-87(2009)·Zbl 1179.47012号 ·doi:10.1016/j.jfa.2009.03.008
[21] Helton,J.W.,McCullough,S.:每个自由基本凸半代数集都有一个LMI表示。预打印,可从http://arxiv.org/abs/0908.4352 ·Zbl 1260.14011号
[22] JW赫尔顿;McCullough,S.,凸非交换多项式具有二次或二次以下,SIAM矩阵分析与应用杂志,25,4,1124-1139(2003)·Zbl 1102.47009号 ·doi:10.1137/S0895479803421999
[23] JW赫尔顿;McCullough,S.,非交换多项式的正态分布,美国数学学会学报,356,9,3721-3737(2004)·Zbl 1071.47005号 ·doi:10.1090/S0002-9947-04-03433-6
[24] JW赫尔顿;McCullough,SA;Putinar,M.,《等轴测上的非交换位置信号源》,《Für Die Reine Und Angewandte Mathematik杂志》,568,71-80(2004)·Zbl 1039.47004号
[25] JW赫尔顿;McCullough,S。;Putinar,M.,自由*-代数中的非负遗传多项式,Mathematische Zeitschrift,250,3,515-522(2005)·Zbl 1103.47012号 ·doi:10.1007/s00209-004-0758-5
[26] JW赫尔顿;McCullough,S。;Putinar,M.,《自由*-代数的强控制》,Mathematische Zeitschrift,255,3579-596(2007)·兹比尔1117.47010 ·doi:10.1007/s00209-006-0032-0
[27] JW赫尔顿;McCullough,SA;Vinnikov,V.,线性矩阵不等式产生的非交换凸性,泛函分析杂志,240,105-191(2006)·Zbl 1135.47005号 ·doi:10.1016/j.jfa.2006.03.018
[28] JW赫尔顿;M.普蒂纳。;巴科尼,M。;Gheondea,A。;M.普蒂纳。;Rovnyak,J.,标量和矩阵变量中的正多项式,谱定理和优化,算子理论,结构化矩阵和扩张。《纪念提比略·君士坦丁斯库的一卷》,229-306(2007),布加勒斯特:布加勒st的Theta·Zbl 1199.47001号
[29] JW赫尔顿;Vinnikov,V.,集的线性矩阵不等式表示,《纯粹与应用数学通讯》,60,5,654-674(2007)·Zbl 1116.15016号 ·doi:10.1002/cpa.20155年
[30] 克莱普,I。;Schweighofer,M.,非交互性变量多项式的nichtnegativestellensatz,以色列数学杂志,161,1,17-27(2007)·Zbl 1171.47060号 ·文件编号:10.1007/s11856-007-0070-2
[31] 克莱普,I。;Schweighofer,M.,Connes的嵌入猜想和厄米特平方和,《数学进展》,2171816-1837(2008)·Zbl 1184.46055号 ·doi:10.1016/j.aim.2007.09016
[32] 克莱普,I。;Schweighofer,M.,Hermitian平方和和BMV猜想,统计物理杂志,133,4,739-760(2008)·Zbl 1158.15018号 ·doi:10.1007/s10955-008-9632-x
[33] Kaliuzhnyi-Verbovetskyi,DS;Vinnikov,V.,有理函数的奇异性和最小因式分解:非交换和交换设置,线性代数及其应用,430,4,869-889(2009)·Zbl 1217.47032号 ·doi:10.1016/j.laa.2008.08.027
[34] Lasserre,JB,多项式全局优化与矩问题,SIAM优化杂志,11,3,796-817(2001)·Zbl 1010.90061号 ·doi:10.1137/S1052623400366802
[35] Lewis,A.S.,Parrilo,P.A.,Ramana,M.V.:Lax猜想是正确的。美国数学学会的进展133(9),2495-2499(2005)·Zbl 1073.90029号
[36] McCullough,S.,多个非交换变量中算子值多项式的因式分解,线性代数及其应用,326,1-3,193-203(2001)·Zbl 0980.47024号 ·doi:10.1016/S0024-3795(00)00285-8
[37] Navascués,M.,Pironio,s.,Acín,A.:非交换多项式优化的SDP松弛。本卷·Zbl 1334.90113号
[38] Parrilo,P.A.:鲁棒性和优化中的结构化半定程序和半代数几何方法。加州理工学院博士论文(2000年)
[39] Paulsen,V.,《完全有界映射和算子代数》,剑桥高等数学研究(2002),剑桥:剑桥大学出版社,剑桥·Zbl 1029.47003号
[40] Prestel,A.,Delzell,C.N.:正多项式。从希尔伯特的第17个问题到实代数。施普林格数学专著。施普林格,柏林(2001)·Zbl 0987.13016号
[41] Pisier,G.,《算子空间理论导论》,伦敦数学学会讲座笔记系列(2003),剑桥:剑桥大学出版社,剑桥·Zbl 1093.46001号 ·doi:10.1017/CBO9781107360235
[42] 皮罗尼奥,S。;纳瓦斯克,M。;Acín,A.,非交互性变量多项式优化问题的收敛松弛,SIAM优化杂志,20,5,2157-2180(2010)·Zbl 1228.90073号 ·doi:10.1137/090760155
[43] Popescu,G.,《非交换变换与自由复调和函数》,《数学进展》,220,3,831-893(2009)·Zbl 1169.47010号 ·doi:10.1016/j.aim.2008.09.019
[44] Popescu,G.,B(H)^n,II单位球上的自由全纯函数。功能分析杂志,258,5,1513-1578(2010)·Zbl 1197.47014号 ·doi:10.1016/j.jfa.2009.10.014
[45] Putinar,M.,紧半代数集上的正多项式,印第安纳大学数学期刊,42,3,969-984(1993)·Zbl 0796.12002号 ·doi:10.1512/iumj.1993.42.42045
[46] Schmüdgen,K.,《Weyl代数的严格正解》,《数学》。《年鉴》,331,4779-794(2005)·Zbl 1137.47030号 ·doi:10.1007/s00208-004-0604-4
[47] Schmüdgen,K.,Savchuk,Y.:*代数的无界诱导表示。预打印,http://arxiv.org/abs/0806.2428 ·Zbl 1410.16037号
[48] 斯凯尔顿,RE;川崎,T。;Grigoriadis,KM,《线性控制设计的统一代数方法》(1998),伦敦:泰勒和弗朗西斯系统与控制系列丛书。伦敦Taylor&Francis有限公司
[49] Voiculescu,D.,《自由分析问题II:格拉斯曼完形和起源的级数展开》,《Für Die Reine Und Angewandte Mathematik杂志》,645,155-236(2010)·Zbl 1228.46058号
[50] Voiculescu,D.,自由分析问题。I.π余代数的对偶变换,国际数学研究通告,16,793-822(2004)·Zbl 1084.46053号 ·doi:10.1155/S1073792804132443
[51] Voiculescu,D.:自由概率方面。第十四届国际数学物理大会,第145-157页。世界科学。出版物。,新泽西州哈肯萨克(2005)
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。