大卫·J·普拉特。 分析计算（pi（x））。 （英语） Zbl 1336.11078号 数学。计算。 84，第293号，1521-1535（2015）. 从课文中可以看出：计算函数\（\pi（x）\的精确值，该函数计算小于或等于\（x）的素数，自古以来就一直困扰着数学家。早期的方法包括枚举所有小于目标\（x\）的素数（例如，使用Eratosthenes的筛子），然后对它们进行计数。1870年E.梅塞尔[数学年鉴2，636–642（1870；JFM 02.0087.01号)]描述了一种组合方法，他最终用它来手动计算（π（10^9））[数学年鉴25，251-257（1884；JFM 17.0124.01号)]（尽管不太准确）。该算法随后通过以下方式进行了改进D.H.莱默[《数学杂志》第三卷，第381-388页（1959年；Zbl 0086.26201号)]，然后按J.C.拉加里亚斯,V.S.米勒和A.M.奥德利兹科[数学计算.44，537-560（1985；Zbl 0564.10006号)]最近由德莱格利什先生和J.里瓦特[数学计算.65，235–245（1996；Zbl 0869.11068号)]. 2007年，Oliveira e Silva使用该算法计算\（\pi（10^｛23｝）\）。素数定理规定所有方法都依赖于枚举素数的时间复杂度必须为\（\Omega（x\log^{-1}x\). 组合方法的最新体现实现了（O（x^{2/3}）^{-2}x)\).在他们1987年的论文中[J.Algorithms 8，173-191（1987；Zbl 0622.10027号)],J.C.拉加里亚斯和A.M.奥德利兹科描述了一种分析算法具有（以一种形式）时间复杂性\（O（x^{1/2+\varepsilon}）\）。2010年J.Büthe,J.弗兰克,A.乔斯特和T.Kleinjung公司[一种实用的计算（pi（x））.Math.Comput.（即将出现）的分析方法]根据黎曼假设宣布了一个（π（10^{25}）或有条件的值。他们的方法“与Lagarias和Odlyzko描述的方法类似，但使用了Weil显式公式而不是复杂的曲线积分”。本文描述了一种恢复到黎曼显式公式的实现，我们已经用它无条件地计算\（\pi（10^｛24｝）\）。审核人：奥拉夫·尼尼曼（乌芬-斯塔菲尔西） 引用于18文件 MSC公司： 11年35 分析计算 2007年11月 算术函数的值；桌子 关键词：素数计数函数精确值的计算 引文：Zbl 0086.26201号;Zbl 0564.10006号;Zbl 0869.11068号;Zbl 0622.10027号;JFM 02.0087.01号;JFM 17.0124.01号 软件：MPFI公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.J.Platt}，数学。计算。84，No.293，1521--1535（2015；Zbl 1336.11078） 全文： 内政部 arXiv公司 整数序列在线百科全书： 素数<10^n。 参考文献： [1] Apostol，Tom M.，《解析数论导论》，xii+338 pp.（1976），Springer-Verlag:纽约：Springer-Verlag·Zbl 1154.11300号 [2] 阿特金（Arthur O.L.Atkin）。；Daniel J.Bernstein，《使用二元二次型筛选素数》，数学。公司。，73、246、1023-1030（电子版）（2004）·Zbl 1049.11137号 ·doi:10.1090/S0025-5718-03-01501-1 [3] 【Bober2012年】Jonathan Bober，zeta函数零点数据库，2014，\urlwww.lmfdb.org/zeros/zeta/。 [4] 布克，安德鲁·R·阿廷猜想，图灵方法，黎曼假设，实验。数学。，15285-407（2006年）·Zbl 1169.11019号 [5] [Buthe2013a]J.B“uthe，Jens Franke，Alexander Jost，and Thorsten Kleinjung，A practical analysis method for calculation（pi（x）），即将出版·Zbl 1431.11142号 [6] 哈罗德·达文波特（Harold Davenport），乘数理论，《数学研究生课文》74，xiv+177 pp.（2000），施普林格-弗拉格出版社：纽约：施普林格·Zbl 1002.11001号 [7] 德尔·格利什，马克；Rivat，Jo“el，Computing（pi（x））：Meissel，Lehmer，Lagarias，Miller，Odlyzko method，Math.Comp.，65，213，235-245（1996）·兹比尔0869.11068 ·doi:10.1090/S0025-5718-96-00674-6 [8] 威廉·弗洛伊德（William Floyd Galway），《素数函数的分析计算》，173页（2004），ProQuest LLC，密歇根州安阿伯 [9] 杰弗里·拉加里亚斯。；Andrew M.Odlyzko，《计算：一种分析方法》，J.Algorithms，8，2，173-191（1987）·Zbl 0622.10027号 ·doi:10.1016/0196-6774（87）90037-X [10] 杰弗里·拉加里亚斯。；维克多·S·米勒（Victor S.Miller）。；Andrew M.Odlyzko，《计算》（\pi（x））：Meissel-Lehmer方法，数学。公司。，44, 170, 537-560 (1985) ·兹伯利0564.10006 ·doi:10.2307/2007973 [11] Derrick H.Lehmer，《关于小于给定极限的素数的精确数》，伊利诺伊州数学杂志。，3, 381-388 (1959) ·Zbl 0086.26201号 [12] Meissel，Ueber die Bestimmung der Primzahlenmenge innerhalb gegebener Grenzen，数学。安，2，4，636-642（1870）·doi:10.1007/BF01444045 [13] Meissel，Berechnung der Menge von Primzahlen，welche innerhalb der ersten Milliarde nat“urlicher Zahlen vorkommen，数学年鉴，25，2，251-257（1885）·doi:10.1007/BF01446409 [14] Moore，Ramon E.，《区间分析》，xi+145页（1966年），普伦蒂斯·霍尔公司：恩格尔伍德·克利夫斯，新泽西州：普伦蒂斯霍尔公司·Zbl 0176.13301号 [15] [Platt2012]David J.Platt，隔离zeta的一些非平凡零，准备中（2013）·Zbl 1385.11076号 [16] [Revol2002]Nathalie Revol和Fabrice Rouiller，任意精度区间算术库，第十届GAMM-IMACS科学计算、计算机算术和验证数值国际研讨会，2002年·Zbl 1078.65543号 [17] Rosser，Barkley，一些素数函数的显式界，Amer。数学杂志。，63, 211-232 (1941) ·Zbl 0024.25004号 [18] [Open1994]课程团队，《复杂分析手册》，开放大学，1994年。\末端biblist 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。