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矩阵群计算的实用模型。 (英语) Zbl 1317.20002号

在有限群的计算问题中,通常通过从一些更大的已知群中提供一组生成元来非常经济地描述群(G);例如,生成器是来自对称群的置换,或来自有限域上一般线性群的矩阵。然后,目的是使用这种描述来确定(G)的各种群论性质,例如:序、Sylow子群、可解性、简单性等。20世纪60年代,查尔斯·西姆斯引入了基和强生成集的概念来处理(当时的)非常大的群。该技术基于(G)的子群链的存在性,在该链中,与组的大小相比,连续指数较小。当\(G\)是一个置换群时,这种子群链通过计算稳定器自然发生,Sims的思想在用这种群进行计算时一直是核心。然而,对于矩阵群,Sims的方法往往会失败,因为没有合适的子群链;例如,在一些矩阵群中,每个极大子群都有一个大指数。这导致了“矩阵群识别程序”[参见C.R.利德姆-格林,in:分组与计算III。美国俄亥俄州哥伦布市俄亥俄州立大学国际会议论文集,1999年。柏林:Walter de Gruyter。俄亥俄州立大学数学。Res.Inst.出版。8, 229-247 (2001;Zbl 1052.20034号)]其中,子群链被一个次正规子群链取代,识别因子群起着核心作用。
在本文中,作者定义了一个复合树,使(G)是一个完全二叉树,其顶点由(G)的次正规部分标记。根被标记为\(G),一个非叶节点被标记为_(H),例如,有两个子节点\(H_0\)和\(H_1\),以及一个相关的精确序列\(H_0\hookrightarrow H\twoheadrightarrow-H_1\)。树是递归构造的,使用的数据结构可以在\(G\)的部分中进行重写。为(G)的特征序列构造合成树的过程使用了关于简单群及其自同构的详细知识。算法及其实现结合了许多作者的工作,并涉及技术细节。这些算法已经在MAGMA中实现,本文最后描述了该程序在解决一些挑战性问题方面的工作情况。

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20-04 群论相关问题的软件、源代码等
20G40型 有限域上的线性代数群
20B40码 计算方法(排列组)(MSC2010)
68瓦30 符号计算和代数计算
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