安德烈·杜杰拉；胡安·卡洛斯·佩拉尔 椭圆曲线来自Heron三角形。 （英语） Zbl 1305.14017号 落基山J.数学。 44，第4期，1145-1160（2014）. Heron三角形是具有有理边\（a）、\（b）、\和有理面积\（Q）的三角形。描述Heron三角形的四元组（（A，b，c，Q）可以按以下方式参数化\[（*）开始{cases}a=n（k^2+m^2）；\\b=m（k^2+n^2）\；\c=（m+n）（mn-k^2）\；\\Q=kmn（m+n）（mn-k^2）\结束{案例}\]对于某些正整数\（k），\（m），\。对于Heron三角形，可以联想到椭圆曲线\[E_{（a，b，c）}\，：\，y^2=（x+ab）（x+ac）（x+bc）\]其等级超过\（\mathbb{Q}\）至少为2。作者将（E_{（a，b，c）}变换为（y^2=x^3+Ax^2+Bx）型曲线，并根据参数化（*）写入（a\）和（b\）。然后，通过对参数施加一些条件，他们能够找到秩至少为3、4或5的显式曲线族（以及相应的三角形）：例如，为了得到（-mn（1+m^2）（-2+mn）（1+n^2）作为（y^2=x^3+Ax^2+Bx）上一点的（x）坐标，他们找到了替换（m=frac{2}{n（1+/omega^2）}\)（对于一个新参数\（\omega \），它最终描述了秩至少为3的族）。然后，作者证明了新发现的有理点的独立性，并（使用Mestre-Nagao和产生的筛选方法和用mwrank公司)通过专门化秩为5的族中的参数来提供秩为9和10的曲线的明确示例。审核人：安德烈亚·班迪尼（帕尔马） 引用于1审查引用于10文件 MSC公司： 14H52型 椭圆曲线 11G05号 全局场上的椭圆曲线 关键词：椭圆曲线的秩；苍鹭三角形 软件：电子数据；mwrank公司；PARI/GP公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Dujella}和\textit{J.C.Peral}，洛基山J.数学。44，第4号，1145--1160（2014；Zbl 1305.14017） 全文： 内政部 欧几里得 参考文献： [1] J.Aguirre、A.Dujella和J.Peral，《关于有理丢番图三元组椭圆曲线的秩》，《落基山数学杂志》。42（2012），1759-1776·Zbl 1293.11074号 ·doi:10.1216/RMJ-2012-42-6-1759 [2] A.Bremner，《苍鹭三角》，《数学年鉴》。通知。33 (2006), 15-21. ·Zbl 1135.11315号 [3] R.H.Buchholz和R.L.Ratbun，具有两个有理中位数的无限Heron三角形集，Amer。数学。月份。104 (1997), 107-115. ·Zbl 0873.11022号 ·doi:10.2307/2974977 [4] G.Campbell和E.H.Goins，Heron三角形，丢番图问题和椭圆曲线， [5] J.Cremona，模椭圆曲线的算法，剑桥大学出版社，剑桥，1997年·Zbl 0872.14041号 [6] A.Dujella，关于Diophantine三元组诱导的椭圆曲线的Mordell-Weil群，Glas。材料42（2007），3-18·Zbl 1137.11038号 ·doi:10.3336克/平方米42.1.01 [7] --《丢番图三元组与带三个非平凡扭点的高阶椭圆曲线的构造》，《落基山数学杂志》。30 (2000), 157-164. ·Zbl 0989.11032号 ·doi:10.1216/rmjm/1022008982 [8] --《丢番图元组和椭圆曲线》，J.Th.Nomb。《波尔多》13（2001），111-124·Zbl 1046.11034号 ·doi:10.5802/jtnb.308 [9] A.Dujella和J.C.Peral，Diophantine三元组诱导的高阶扭转椭圆曲线。数学。17 (2014), 282-288. ·兹比尔1293.11075 ·doi:10.1112/S14615701400023 [10] L.E.Dickson，《数论史》，卡内基研究所，华盛顿，1919年·JFM 47.010.04标准 [11] N.J.Fine，关于有理三角形，Amer。数学。月份。83 (1976), 517-521. ·Zbl 0341.10016号 ·doi:10.2307/2319348 [12] E.H.Goins和D.Maddox，通过椭圆曲线的Heron三角形，《落基山数学杂志》。36 (2006), 1511-1526. ·兹比尔1137.11039 ·doi:10.1216/rmjm/1181069379 [13] I.Gusić和P.Tadić，关于特化同态的内射性的一点注记，Glas。材料47（2012），265-275·Zbl 1300.11060号 [14] F.A.Izadi、F.Khoshnam和K.Nabardi，由Heron三角形产生的一类新的正秩椭圆曲线，预印本，arXiv：·Zbl 1294.11089号 [15] A.V.Kramer和F.Luca，关于Heron三角形的一些结果，Acta Acad。佩德。农业。26 (2000), 1-10. ·Zbl 1062.11019号 [16] R.van Luijk，与Heron三角形相关的椭圆（K3）曲面，J.Num.Theor。123 (2007), 92-119. ·Zbl 1160.14029号 ·doi:10.1016/j.jnt.2006.06.006 [17] J.-F.Mestre，《公共建筑》（Construction de courbes elliptiques sur）（mathbb{Q}）de rang（geq 12），C.R.Acad。科学。巴黎295（1982），643-644·Zbl 0541.14027号 [18] K.Nagao，秩为（geq 20）的（mathbb{Q}）上椭圆曲线的一个例子，Proc。日本Acad。数学。科学。69 (1993) 291-293. ·Zbl 0794.14014号 ·doi:10.3792/pjaa.69.291 [19] PARI/GP，2.4.0版，波尔多，2008年，http://pari.math.u-bordeaux.fr。 [20] D.J.Rusin，等面积有理三角形，纽约数学杂志。4 (1998) 1-15. ·Zbl 0893.11009号 [21] J.H.Silverman，《椭圆曲线算术高级主题》，施普林格出版社，纽约，1994年·Zbl 0911.14015号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。