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求解图上划分问题的扰动扩散过程。 (英语) Zbl 1408.05003号

Paderborn:帕德博恩大学,Fakultät für Elektrotechnik,Informatik und Mathematik(Diss.)。x、 139页。(2008年)。
摘要:本文的主题是无向图(G=(V,E))稠密区域的检测。稠密区域是节点\(V^\prime\subset V\)的子集,在\(V^\prime\)中的节点之间有很多边,在\(V\setminus V^\prime\)中的节点只有很少的边。这些区域的识别有助于解决图划分问题和相关的聚类任务。GPP要求将\(V)划分为\(k)大小相等的子域(簇),以使簇间边的数量最小化。涉及GPP相关问题的应用程序有很多;它们包括并行数值模拟、网络分析、电路设计和生物信息学中的基因分析。
GPP和相关分区问题的所有相关公式都是NP难的,因此没有已知的多项式时间算法。最先进的图形分区库在多级框架中使用本地节点交换启发法,并在极短的时间内生成好的解决方案。然而,计算出的分区不一定能满足所有用户的需求。这包括选择适当的目标函数和计算子域的形状。此外,由于其顺序性,最流行的分区启发式算法很难并行化,这对于它们在并行应用程序中有效地用作负载平衡器是必要的。对于不需要平衡簇大小的图聚类问题,没有一种方法既高效又能在许多不同的应用程序中提供高质量的结果,而且理论上也很容易理解。
为了克服这些缺点,我们引入了扰动扩散方案FOS/C。它能够区分稠密和稀疏图区域,我们通过它与随机游动的关系来解释这一点。FOS/C与\(k)-均值相关框架Bubble的结合产生了迭代和固有的并行(重新)划分/聚类算法Bubble-FOS/C。在我们对FOS/C和Bubble_FOS/C的理论研究中,我们检查了随机游走关系及其与输入图拉普拉斯矩阵伪逆的联系。除其他外,导出的结果导致了FOS/C的一个增强的求解过程,并证明了Bubble-FOS/C收敛到一个局部最优解,该局部最优解可以用一个势函数来表征。
由于Bubble-FOS/C需要求解多个线性系统,我们构造了一个高效的代数多重网格求解器,其图形层次结构同时用于分区的多级改进过程。尽管我们的代数多重网格方法比以前的实现快得多,Bubble-FOS/C的运行时间仍然很长。因此,它在图划分实验中所经历的非常好的解质量很难在实践中得到利用。我们讨论了进一步的加速方法,但它们要么不总是成功的,要么实现起来非常复杂。
这就是为什么我们在下一步中开发一种更快、更容易的分区改进方法。该方法基于不同的扰动扩散过程,仅限于图的局部区域,并且具有高度的并行性。通过在基于两种不同层次结构构造方法的多级框架中将该新技术与Bubble-FOS/C耦合,我们获得了用于(重新)划分和聚类图的新启发式DibaP。与Bubble-FOS/C相比,DibaP显示出相当大的加速度,同时保留了较慢算法的积极特性。对流行的基准图进行的大量实验表明,对来自数值模拟的图进行划分具有非常好的性能。DibaP计算出的结果始终比最先进的库METIS和Jostle更好。此外,使用我们的新算法,我们改进了六个广泛使用的基准图的大量已知分区。在通过重分区和图聚类实现负载平衡的相关问题中,DibaP在许多情况下还提高了最先进程序的解决质量。
迄今为止,我们的工作包括关于图(重)划分和图聚类的实践和理论进展,这些进展是通过开发新的成功的启发式算法和对这些算法的一些重要特性进行理论分析而实现的。

MSC公司:

2002年5月 与组合学有关的研究综述(专著、调查文章)
05C70号 具有特殊属性的边子集(因子分解、匹配、分区、覆盖和打包等)
05C42号 密度(韧性等)
2017年第68季度 问题的计算难度(下限、完备性、近似难度等)
05C85号 图形算法(图论方面)
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