金建明 电磁学中的有限元方法。第3版。 （英语） Zbl 1419.78001号 新泽西州霍博肯：John Wiley&Sons（ISBN 978-1-118-57136-1/hbk）。xxix，846页。(2014). 本书对电磁学中的有限元进行了全面的概述。第三版（大约在第一版之后20年[纽约，NY:Wiley（1993；Zbl 0823.65124号)]第二版出版后12年[纽约，NY:Wiley（2002；Zbl 1001.78001号)])考虑到这些时期计算电磁学领域的显著发展。特别是，处理实际工程问题需要使用现代计算机技术通过高效算法解决大规模和更复杂的问题。从20世纪80年代处理几百个变量的离散化二维问题到今天处理数十亿个变量的三维现实问题，这一进展就是这种发展的特征。首先，我们简要回顾了第三版的变化，以供熟悉第一版的读者阅读。第三版中的主要新主题是：（i）使用二维有限元的多导体传输线（第4.6节），（ii）轴对称天线的分析（第4.6部分），（iii）三角形和四面体单元的高阶层次向量元素（第8.7节）对称有限元-边界积分公式（第10.7节），（v）时域有限元方法的基本修订（第12章），（vi）周期结构的有限元分析（新的第13章），以及（vii）大型电磁问题有限元分析的区域组合方法（新第14章）。除了这些新的部分外，其他章节也在第三版中进行了扩展和更新，特别是通过天线、微波器件、电机应用、微波集成电路、光子器件、周期结构、相控阵天线、介质光栅和机电设备的例子，举几个例子。前两个版本中的FORTRAN代码已被伪代码取代，理由是年轻一代不再精通FORTRAN。删除了早期版本中关于矩方法和快速求解器的章节。作者向感兴趣的读者介绍了他的书《电磁场理论与计算》，其中包含了矩和快速求解器方法的扩展版本。这本846+xxix页的长书由内容、三个版本的序言、15章组成，分为节和小节、5个附录和10页的相关术语索引。每一章都有一个总结。各章和附录均由自己的参考章节完成。练习包含在章节中。毕业课本的目的是在对理论进行详细推导的基础上，通过一些示例问题进行说明，对有限元法（FEM）在电磁学中的理论和应用进行全面概述。第一章从向量分析的基本概念和定理开始。麦克斯韦方程的基本形式是以积分形式表示的。微分公式是从积分形式导出的。本构关系、界面条件、边界条件（BCs），包括完全导电表面和非完全导电表面，以及辐射条件都得到了表示。特别考虑了静电、静磁和时谐麦克斯韦方程。标量势用于静电问题的公式化。静磁问题是用矢量势来描述的。导出了泊松方程、标量方程（也称为亥姆霍兹方程）和矢量波方程。定义了开放区域散射问题所需的雷达散射截面。另一个主题是基于惠更斯原理从封闭曲面上的场计算外部场。引入的概念将用于以下有限元方法。尽管如此，作者还提到，与非均匀介质相比，如果在无限均匀介质中已知源，则可以通过计算适当的积分来计算解。为了更完整地描述电磁理论，作者参考了其他教科书。在第二章中，作者在对已有50多年历史的有限元法进行了一些历史性评论之后，描述了求解边值问题的主要经典方法：里兹法、伽辽金法、点配置法（也称为点匹配法）、子域配置法和最小二乘法。为了准备有限元，将这些方法应用于具有已知精确解的泊松方程（具有BCs的一维二阶微分方程）的简单边值问题。在给定的BCs（变分问题）下，其最小值对应于泊松方程的泛函（F）被公式化以应用里兹方法。导出了（F）为最小值的必要条件。未知函数是用带有未知常数的多项式展开的（试函数类型的一种可能性），这些常数是根据产生未知系数的对称线性代数方程组的最小条件确定的。对于简单的泊松方程，使用加权残差方程（Galerkin方法）中未知函数的相同展开式，得到与Ritz方法相同的结果。尽管如此，应该提到的是，一般来说，对于Galerkin方法，与Ritz方法相比，线性代数系统的矩阵不一定对称。如果Galerkin方法的算子与所考虑的泊松方程中的算子一样是自共轭的，那么这两种方法给出的方程是相同的。如果试探函数构成了问题解决的完整基础，则上述方法的结果与所考虑的情况下的精确解一致。否则，应用不同的加权残差法，可以获得可能不同的近似解。对于许多问题，不可能选择在整个解决方案域中定义的试验函数。为了克服这个困难，将整个域划分为几个小的子域，并在每个子域上定义试验函数。对于所选的泊松方程，将一维域（区间）划分为五个子域，结果得到了区间点的精确值（对于本例，但并非总是如此），但由于区间数量有限，其他点的差异很小。这就是本书的主要主题FEM（Ritz FEM或变分FEM和Galerkin FEM）。在介绍之后，作者再次描述了有限元法的基本步骤：（i）域的细分，（ii）选择具有未知系数的简单插值函数，（iii）建立具有有限个未知系数的方程组，（iv）求解方程。将域细分为元素（一维情况下的短线段（1D）、二维情况下的三角形和矩形、四面体、矩形砖和三维情况下的三角棱镜）会影响存储要求、计算时间和结果的准确性。在所谓的网格生成软件中，域离散化通常与其他步骤分开。通常，选择一阶、二阶或更高阶多项式作为插值函数。顺序决定了元素中的节点数。方程组的公式是通过变分法或伽辽金法进行的，其中考虑了BCs。在第2章对有限元法进行了一般介绍之后，在第3、4和5章中分别对一、二和三维情况下的节点有限元法分析进行了详细描述。根据基本概念，第3章考虑了一般的一维BVP，其中包含了标准的一维拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹方程。解域被划分为短线段，并使用线性多项式或线性元素（一阶元素）。尽管在这种情况下不需要局部编号，但作者使用它来获得与二维和三维FEM一致的公式。考虑到齐次Neumann BCs、Dirichlet BCs和第三类BCs，建立所选问题的变分形式，给出了基本方程的推导和方程组的组装。还讨论了Galerkin方法的相应步骤。最后一步是求解线性方程组，对于对角占优的对称三对角系统，可以使用高斯消去法进行求解，而无需旋转。对于金属支撑介质板的平面波反射，将有限元近似与精确结果进行了比较。另一个例子是光滑凸阻抗圆柱的散射。对于相应的计算机程序，作者指的是期刊出版物。线性代数系统的简单公式和小带宽是使用一阶元素的优点，但需要大量元素才能获得良好的精度。更具成本效益的是应用高阶元素。详细介绍了二次和三次单元有限元法，包括用高斯-勒根德求积公式计算单元矩阵。第三章通过色散分析完成。从电磁波传播有限元相位误差的累积特性是数值误差的主要来源这一说法出发，考虑了一阶、二阶、三阶和四阶单元的色散关系，它将数值波数与精确波数和离散长度联系起来。通过算例证明了高阶有限元解的高阶收敛速度。在第4章中，使用简单的三角形单元，将有限元方法直接扩展到一般二维BVP的二维空间。有限元法用于各种电磁问题，例如二维和非对称情况下的静电和静磁问题、准静态问题（多导体传输线的分析）、，时间谐波问题（应用吸收边界条件的散射分析、非均匀介质中的场、轴对称天线的辐射）等等。介绍了二次三角形单元，包括上一章中相应的精度考虑。给出了四阶三角形单元及其节点编号方案。此外，还引入了边可以弯曲的等参元。等参单元的概念也适用于具有直边的四边形单元。第五章是三维有限元分析。与前两章相对应，我们使用简单的四面体元素讨论了一般的三维标量问题。考虑了高阶等参元，包括棱镜元和六面体元。这些方法被应用于静电和静磁问题以及时间谐波问题。有限元法在时谐问题中的应用涉及向量场。考虑了三个困难：（i）域包含不连续界面。提出了克服困难的想法。（ii）将有限元法应用于三维向量场问题，会出现不满足发散条件的非物理解或所谓的伪解。我们采用了几种方法来消除伪解。（iii）一些实际问题包括导电角和边的场奇异性。讨论了可能的解决方法。最后，作者提到了一种新型的有限元，即向量有限元，用它可以用更优雅的方式克服上述困难。向量有限元是第8章的主题。第6章介绍了电磁学的变分原理。首先，作者讨论了变分法的优缺点。变分法为物理问题提供了很好的解释，并且其优雅的公式在数学上得到了完善。该方法的一个主要缺点是需要一个变分公式，该公式必须首先为偏微分方程（PDE）找到或不存在，尤其是在电动力学中。相反，Galerkin的方法直接从微分方程开始。然而，电动力学的一些问题可以用变分法解决。作者提出了许多这样的方法，并指出许多研究人员并不知道这些方法。证明了如果用标准变分原理构造最小值对应于BVP的泛函，则问题的微分算子必须是自共轭正定的。在理论证明之后，将标准变分原理详细应用于泊松方程和矢量波动方程，结果是算子本身和边界算子必须是实的，边界条件必须是齐次的。为了将变分法也应用于具有复杂算子的电磁学问题（如涉及有耗介质的问题）和非均匀边界条件，导出了修正的变分原理。此外，对于具有非自共轭算子的各向异性介质问题，引入了更一般的变分原理。另一个主题是通过更通用的变分方法处理不连续界面的问题，这里以电阻片为例进行了说明，第7章讨论了另一类边值问题，即特征值问题（EVP）。与第3章至第5章中讨论的BVP相比，管理PDE和BC是同质的，也就是说，EVP中没有任何来源或练习。用有限元法求解EVP，得到了具有N个特征值和N个相应特征向量的N阶广义特征方程（GEV）。GEV可以通过数值线性代数的著名直接或迭代方法求解。电磁学中EVP的例子包括封闭和开放结构中的波传播以及空腔共振的处理。详细考虑了使用标量公式的均匀、非均匀和各向异性波导。针对介电常数/磁导率张量不可对角化的特性，建立了更一般的各向异性介质的矢量公式。还讨论了通过添加惩罚项或消除（z）分量来消除虚假模式的方法，包括这些方法的其他限制。有限元法在有耗波导中的应用（仅在本文中简要概述）通常会产生复杂的EVP。除了迄今为止处理过的具有金属外壳的封闭波导外，还必须考虑用于微波集成电路和光传输技术的所谓开放波导（微带线、光纤、各种介质波导）。与封闭波导相比，现在的分析必须适用于无限域。概述了使用足够大的虚拟边界来封闭边界，以及使用所谓的无限元素，将整个区域划分为内部区域和外部区域，最后一个区域具有无限区域。最后，讨论了三维腔的分析，包括杂散模式的消除。如第5章所述，作者参考第8章中提出的向量有限元，以现代方式防止虚假模态。第8章介绍了向量有限元法（VFEM）（或边缘元素），在前面的最后几章中已经考虑过，该方法将自由度分配给边缘而不是节点。历史上，电磁铁（也称为Nedelec元件）的VFEM时代始于1980年[J.C.内德雷克，数字。方法。35, 315–341 (1980;Zbl 0419.65069号)]，尽管这些元件已经由H.惠特尼[几何积分理论。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1957；Zbl 0023.28204号)]. 此外，作者提到了独立的尝试，并避免了Nedelec元素的命名。除其他外，新方法的重要性在于自然地克服了第5章和第7章中遇到的严重缺陷（缺乏对发散条件、奇点等的强制执行）。（由于这些独特的特性，节点有限元法在矢量电磁方程中的应用可能被视为过时的方法。）作者从（xy）平面中边缘元素（矩形、三角形和四边形元素）的二维公式开始。矩形单元内的场是沿第i条边的切向场与相应基函数的乘积之和。基函数满足发散条件，保证切向场在所有元素边上的连续性，是一阶元素。取\（z）与基函数的叉积，得到一组新的向量基函数，保证了正规连续性。此外，它们具有零旋度和非零散度，用于表示表面电流密度，称为屋顶基函数。应用不像矩形单元那样简单的方法，推导了三角形单元的相应性质。基本函数也适用于柱坐标。上述新基函数集的相应柱坐标公式称为Rao-Wilson-Glisson基函数。坐标变换用于构造四边形元素的矢量基函数，其缺点是需要进行数值积分来计算矩阵元素，并且通常会丢失无散度的特性。元素矩阵的计算需要计算积分，积分可以在矩形和三对角元素的情况下解析求解。文中概述了矢量矩形和三对角单元的色散误差与一阶一维节点单元相同。重新审视第7章中通过节点单元处理的波导问题，表明当应用边缘单元时，困难（杂散模式、横向场分量奇异的电介质和导电边缘的处理）消失了。考虑到矩形砖单元和四面体单元，以简单的方式将二维情况扩展到三维情况。此外，还考虑了六面体边缘元素（也称为扭曲砖元素），与上一个元素相比，这些元素没有散度。与二维情况类似，第7章中的示例被重新审视，以表明节点元素的缺点消失了。作者考虑了插值和层次向量基函数。插值基函数是在元素上的点上定义的，因此它们在除一个点外的所有点处都消失。与层次基函数相比，其优点是：（i）系数可以物理地解释为插值点处的场的分量，（ii）矩阵系统具有更好的条件，（iii）边界条件可以更容易地公式化，（iv）简化了任意阶基函数的实现。将新函数添加到低阶函数中，形成高阶基函数。它们不是在点上定义的，但可以用于创建与插值基函数不同的自适应算法。层次向量函数随着阶数的增加越来越相似。这导致了有限元矩阵的病态化。这些缺点可以通过高阶基函数的正交化来减少，例如通过使用Gram-Schmidt正交化方法。因为对于向量元素，未知数与边而不是节点相关，所以需要新的编号。为了使用现有节点有限元软件包的这一部分，作者提出了两种有效的编号方案来转换节点编号。第9章专门讨论吸收边界条件，也称为辐射边界条件。开放区域辐射和散射问题必须用人工边界截断，以限制计算区域，使边界的非物理反射最小化。作者首先基于平面波入射到xy平面上，详细推导了二维平面和曲面边界的一阶、二阶和高阶ABC（也称为一阶或二阶Padé条件）。将理论扩展到三维场，基于平面波的反射讨论了其性能，描述了散射问题的有限元公式，并推导了自适应方法，目的是提高精度和减少计算域，将吸收边界尽可能靠近散射体。本章的第二部分涵盖基于材料的ABC。计算域被截断为物理虚拟吸收器，而不是数学ABC。最后，考虑了可以吸收所有频率波的著名的完全匹配层（PML）。PML在连续空间无反射，但在离散空间无反射。因此，讨论了克服相应伪反射的方法，例如将PML与ABC相结合或使用互补PML。有限元-边界积分方法（FEBIM）是第10章的主题。许多电磁散射和辐射问题都定义在一个开放的无限域中。将FEM与ABC结合使用，可以得到稀疏线性系统，稀疏矩阵求解器可以有效地求解该系统，但开放无限域必须在远离源区域的地方截断。如前几章所述，这将产生更多未知量，并需要更精细的网格以避免更高的色散误差。使用边界积分方程方法（BIM），由于索末菲辐射条件得到了精确的满足，因此可以减少离散区域。BIM的应用导致了具有全矩阵的线性系统，其缺点是需要高的计算机时间和内存。因此，开发了一种混合技术FEBIM，它将这两种方法结合在一起，引入了一个包围源域的虚拟边界。内部区域由FEM处理，外部区域由BIM处理。第11章中描述的“有限元本征函数展开法”与FEBIM的不同之处在于，外部场使用了另一种公式，现在由本征函数的展开表示，而不是由边界积分方程表示。作者将本征函数展开的传统分析方法与有限元法一起用于开放域场问题的数值应用，例如具有杂端口的微波器件和自由空间中的散射。在前面的章节中，处理过的有限元方法基本上涵盖了频域问题。作者指出，即使是时域问题，也可以通过使用傅里叶变换和傅里叶逆变换的频域解来处理，但不同频率的频域解会带来额外的成本。然而，有许多问题，例如时变介质中的非平稳和非线性电磁问题，都是通过“时域有限元分析”（FETD）解决的。第12章专门介绍FETD。作者从离散时域的有限差分格式开始，如前向、后向和中心差分格式以及考虑到相应稳定性问题的Newmark方法。合并了电磁频率色散介质的建模。讨论了无限介质中散射和辐射等开放区域问题的截断方法（吸附边界条件、完全匹配层、边界积分方程和波导端口边界条件）。例如，FETD与电路求解器相结合。混合场路分析用于小型和大型问题，而对于最后一个问题，则处理所谓的“双场域分解”和“元素级方法”。本章的另一个主题是间断Galerkin时域方法。第13章致力于周期结构的分析。作者首先列出了周期结构的广泛应用，如波导滤波器、光学光栅、光子晶体和超材料等。无限周期结构的分析可以简化为计算其单元上的场。基于Floquet的这一定理，导出了频域和时域二维和三维问题的有限元方法，包括类导弹导体目标散射的数值分析。第14章的主题是“大规模分析的区域分解”。工程电磁问题变得越来越大，越来越复杂。并行计算和新的计算机体系结构（如图形处理单元）为解决大规模问题提供了可能。区域分解方法将计算域划分为若干子域，而数值方法（如FEM）大致可以在每个子域的单独处理器上执行。作者介绍了Schwarz和Schur补方法作为基本的分解域格式，并描述了跨子域执行的不同有限元方法，包括每种方法的示例。最后一章“有限元方程的求解”专门讨论如何求解有限元公式的最终结果，即线性代数方程组和特征值问题。本章包含分解方法的经典描述、共轭梯度法（包括预处理）以及标准和广义特征值问题的求解方法，包括对LINPACK和EISPACK的引用，后者后来被LAPACK所取代，LAPACKs是为更高级的计算而设计的。值得一提的是，提出了两种所谓的“快速扫频计算”方法：“渐近波形评估”和“自适应解空间投影”，用于减少需要计算宽频带的电磁应用的计算时间。在五个附录中，感兴趣的读者可以找到一些关于基本向量恒等式、积分定理、复值问题的Ritz过程、格林函数、奇异积分求值和一些特殊函数的补充。审核人：乔治·赫伯梅尔（柏林） 引用于45文件 MSC公司： 78-01 与光学和电磁理论相关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 78M10个 有限元、伽辽金及相关方法在光学和电磁理论中的应用 78M15型 边界元法在光学和电磁理论问题中的应用 78A25型 电磁理论（通用） 78A30型 静电和磁力静力学 78A40型 光学和电磁理论中的波和辐射 78A45型 衍射、散射 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65平方英尺 线性系统和矩阵反演的直接数值方法 65层10 线性系统的迭代数值方法 2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算 65Z05个 科学应用 2005年5月 并行数值计算 关键词：麦克斯韦方程组；静电学；静磁学；时间谐波问题；波动方程；边值问题；里兹法；伽辽金法；节点有限元；高阶元素；等参元素；伪解；变分公式；波导管；腔；向量有限元；吸收边界条件；有限元边界积分法、有限元本征函数展开法；有限元时域分析；周期性结构；区域分解；有限元方程的求解 引文：Zbl 0419.65069号；Zbl 0023.28204号；Zbl 0823.65124号；Zbl 1001.78001号 软件：LAPACK公司；EISPACK公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.-M.Jin}，电磁学中的有限元方法。第三版，新泽西州霍博肯：John Wiley\&Sons（2014年；Zbl 1419.78001）