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(上测Mg)对数正则模型的GIT构造。 (英语) Zbl 1271.14033号

Alexeev,Valery(ed.)等人,《紧模空间和向量丛》。2010年10月21日至24日,美国佐治亚州雅典乔治亚大学举行的紧模和向量束会议。罗得岛普罗维登斯:美国数学学会(AMS)(ISBN 978-0-8218-6899-7/pbk)。《当代数学》56487-106(2012)。
设(C\subset{\mathbb P}^N)是射影曲线,且(m\geq 2)是一个整数,使得(\text{H}^0 mathcal O}_C(l))=0\)for \(l\geq m\)。设(P(l)=chi(C,{mathcal O}_C(l))为(C)的希尔伯特多项式。有人说,(C)是(m)-希尔伯特稳定如果从(text{H}^0({mathbb P}^N,{mathcal O}_{mathbb P}^N}(m))\右)的回注推导出的\({mathbb P{左(超置{P H}^0(C,{mathcal O}_C(m))相对于(text{SL}(N+1))的作用是稳定的。如果这种情况发生在任何一个\(m>>0\)上,那么可以说\(C\)是渐近Hilbert稳定.
D.紧化\(\overline)的Giesecker的GIT构造{M} g(_g)\)在亏格2曲线模空间的基础上,证明了其正则模型为(n)的曲线,渐近Hilbert稳定正是Deligne-Mumford稳定曲线(众所周知,这些曲线只有节点作为奇点,并且每个非奇异有理分量在至少三个点上与曲线的其余部分相交)。其3正则模型渐近Hilbert稳定的曲线正是伪稳定的曲线D.舒伯特《数学写作》78,第3期,297–313(1991;Zbl 0735.14022号)](它们可以有普通的尖端,但不允许有椭圆形的尾部),4经典模型也是如此,如D.海恩I.莫里森【数学研究快报17,第4期,721-729(2010年;Zbl 1271.14065号)]. 此外,通过以下公式识别了双正则模型为任意Hilbert稳定的亏格(g \geq 4)的曲线B.哈塞特D.海恩[数学年鉴(2)177,第3期,911–968(2013;Zbl 1273.14034号)]; 他们被称为h-半稳定并且可以有节点、尖点和tacnodes,但不包括椭圆曲线的某些链。
另一方面,对于小(m)曲线的双正则(分别是三正则if(g=2))模型的(m)-Hilbert稳定性的研究,可以推测地用于完成上测线的对数最小模型程序{M} g(_g)\)(也称为“Hassett-Keel程序”)。本程序旨在实现各种日志规范模型:\[\上划线{\mathcal M}_g(\alpha)=\text{Proj}\left,\]对于\([0,1]\中的alpha\)的某些值,作为模空间。
在本文中,作者列举了几个例子,说明了上述研究中出现的各种技术问题。首先,他们使用由I.莫里森D.斯维纳尔斯基【实验数学.20,第1期,34-56(2011;Zbl 1267.14059号)]基于…的结果G.R.坎普夫[数学年鉴(2)108,第2期,299-316(1978;Zbl 0406.14031号)],将曲线\(C\subet{\mathbb P}^4\)参数化为\[\数值\,:\,{\mathbb P}^1\右箭头{\mathbb P}^4,\;[s,t]\mapsto[s^6,s^4t^2,s^3t^3,s^2t^4,t^6]\]是2-Hilbert半稳定的\(C)是一条具有两个普通尖点的三正则亏格2曲线,在上划线的构造中起着重要作用{M} _2^{ps}\)由D.海恩Y.Lee先生【《数学年鉴》337,第2期,479–488页(2007年;Zbl 1111.14017号)].
然后,他们证明了超平面(H\subet{\mathbb P}^N\)的第(r)次增厚中包含的曲线(C\subet{\mathbb P}^N\)对于(m>(N+1)(r-1)\)是\(m\)-Hilbert不稳定的。
接下来,作者说明了D.Hyeon等人在上述论文中开发的一种方法,该方法基于吸引力盆地通过证明如果(C=D\cup_p R\)是双正则亏格(g\)曲线,并且(R\)亏格2的曲线在节点(p\)中与(D\)相遇,使得(p\是R\的Weierstrass,则(C\)对于(m\leq 5\)是(m\)-Hilbert不稳定的,对于(m=6\)充其量是严格半稳定的。请注意,\(C\)是Deligne-Mumford稳定的。
最后,作者仔细研究了翻转:\[\上划线{\mathcal M}_g\left(\frac{7}{10}+\varepsilon\right)\overset{\Psi}\longrightarrow\oversline{\mathcal M}_g\leaft(\frac{7{10}\right{10}-\varepsilon\右)\]定义见Hassett和Hyeon的上述论文。Hassett和Hyeon表明,(上划线{mathcal M}_g\left(frac{7}{10}+varepsilon\right))可以用Schubert的3-正则商(上划线{M} g(_g)^{ps}\),即\(上划线{mathcal M}_g\左(\frac{7}{10}-\varepsilon\right)\)可以用\(上划线{M} g(_g)^{hs}),并且(上划线{mathcal M}_g\left(frac{7}{10}\right)是Chow稳定双锥曲线Chow簇的商。使用的结果J.Alper,D.I.SmythF.范德威克[“曲线的弱适当模堆栈”,电子版,arXiv:1012.0538号(2010)],被审查论文的作者在\(\overline)的点\(D\cup R_1\cup R_2\)附近局部分析了上述翻转(在étale拓扑中){M} g(_g)^{cs}),其中(D)是亏格(g-2)的光滑曲线,(R_1),(R_2)是在tacnode(p)中相互会合的有理曲线,在nodes(q_1)、(q_2)中会合(D)。它们还表明{M} g(_g)^{mathrm{hs}})不是(gmeq7)的(mathbbQ)阶乘,并推测提出了一种消除这种病理的方法。
关于整个系列,请参见[Zbl 1236.14001号].

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