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二聚体模型和Calabi-Yau代数。 (英语) Zbl 1237.14002号

内存。美国数学。Soc公司。1011,vii,86 p.(2012)。
本文利用代数几何和同调代数的技巧,结合弦理论的思想,构造了一类三维Calabi-Yau代数,它是Gorenstein仿射三重体的非交换爬升分解。一个\(n\)维Calabi-Yau流形\(X\)的一个特征性质是\(D(X):=D^b(\mathrm{coh}(X))上的移位函子的\(n\)次方是\(X\)上相干槽轮的有界导出范畴,是Serre函子。也就是说,存在一种自然同构\[\文本{宏}_{D(X)}(A,B)\cong\text{霍姆}_{D(X)}(B,A[n])^\ast,\;\对于D(X)中的所有A、B。\]Calabi-Yau代数背后的思想是在代数(A\)上写下条件,使得\(D(A):=D^b(\mathrm{mod}(A)),\(A)上模的有界派生范畴,具有相同的性质。
研究奇点分辨率的一种方法是考虑其派生类别。特别令人感兴趣的是复曲面Gorenstein奇点的隐晦解决方案。Bondal和Orlov推测,如果(f_1:Y_1\rightarrow X\)和(f_2:Y_2\rightarrow X\)是爬升分辨率,则存在导出的等价(D(Y_1)\cong D(Y_2)\)。这意味着crepant分辨率的导出类别是奇点的不变量。
倾斜束\(T\)是一种确定导出等价性\(D(Y)\cong D(A)\)的束,其中\(A=\text{End}(T)\)。在这种情况下,可以将代数(A)视为奇点的一种非交换爬虫分解(NCCR)。
给定一个NCCR\(a\),一个(可交换的)crepant分解\(Y\),使得\(D(Y)\cong D(a)\)可以构造为某种稳定\(a\-表示的模空间。这是对麦凯通信的概括。
如果\(X=\text{Spec}(R)\)是一个Gorenstein奇点,那么任何crepant分辨率都是Calabi-Yau变种。因此,如果\(A\)是NCCR,它必须是Calabi-Yau代数。(A)的中心也必须是奇点的坐标环(R)。因此,任何以复曲面Gorenstein三重体的坐标环为中心的三维Calabi-Yau代数都可能是一个NCCR(X=\text{Spec}(R))。
Bocklandt证明了全局维3的每个分次Calabi-Yau代数都同构于一个超势代数。这样的代数(A=mathbb C Q/(dW))是箭图(Q)的路径代数通过关系理想((dW。它编码了一些关于合子的信息。Calabi-Yau条件实际上等价于说,所有的syzygies都可以从超势中获得。
为了从Calabi-Yau流形构造代数,作者使用了二聚体模型的概念。二聚体模型是紧(定向)黎曼曲面(Y)的有限二分拼接。特别有趣的是2-环面的平铺,其中二聚体模型可以被视为平面的双周期平铺。还考虑了双重平铺,其中面对顶点是双重的,边对边是双重的。此对偶平铺的边继承了二聚体模型的双部分性的方向。通常选择此选项,以便箭头沿顺时针方向绕白色顶点的双面旋转。因此,双重平铺是一个带有面的颤动(Q\)。这个颤动的面编码了一个超势,所以每个二聚体模型都有一个超位代数(a=mathbb C Q/(dW))。特别重要的是用于从二聚体模型构造交换环(R=mathbb C[X]\)的二聚体模式中的完美匹配。那么,\(R\)是仿射复曲面Gorenstein三重\(X\)的三个变量中的坐标环。作者描述了二聚体模型的条件,使其超势代数为Calabi-Yau。一致性条件是一种强类型的非简并条件,根据箭图的泛覆盖(Q)上称为之字形流的特殊路径的交集性质,给出了二聚体模型几何一致的充要条件。几何一致性意味着锯齿形流动实际上就像直线一样。
作者在几何一致的二聚体模型中研究了Z字形流动的一些性质。他以一种非常明确的方式构建了一组由全球之字形扇形中的二维锥体索引的完美匹配。事实证明,这些都是完美的匹配。此外,可以看出,这种形式的每个完美匹配都对应于重数为1的顶点。
引入了(非交换,仿射,正规)复曲面代数的概念。希望它们在非对易代数几何中发挥类似于代数几何中双曲面变体的作用。作者证明了每个二聚体模型都有一个自然关联的复曲面代数B,而且该代数的中心是以上述方式关联到二聚体模式的环R。因此,一个给定的二聚体模型有两个非交换代数(a)和(B),并且存在一个自然代数同态(mathfrak h:a\rightarrow B)。如果这个映射是同构的,则二聚体模式称为代数一致。代数一致性和几何一致性是本文研究的两个一致性条件。一个重要的结果是几何一致的二聚体模型在代数上是一致的。这在很大程度上取决于完美匹配的定义。本文的主要结果是以下定理:
1) 如果环面上的二聚体模型在代数上是一致的,那么从它得到的代数(a)是全局维为3的Calabi-Yau代数。
2) 给定圆环上代数一致的二聚体模型,由此得到的代数(a)是与该二聚体模式相关的(交换)环(R)的NCCR。
3) 每个Gorenstein仿射复曲面的三倍都包含一个NCCR,该NCCR可以通过几何一致的二聚体模型获得。
这本书很明确;它给出了所有的定义,包含了清晰的证明,是关于这个主题的优秀文本。

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参考文献:

[1] Klaus Altmann和Lutz Hille,箭矢提供的强异常序列,Algebr。代表。理论2(1999),第1期,第1-17页·Zbl 0951.16006号 ·doi:10.1023/A:1009990727521
[2] A.安布罗西奥,http://planetmath.org/百科全书/证明BirkoffVonNumannTheorem.html。
[3] Garrett Birkhoff,《线性代数的三个观察》,美国国立大学。Tucumán。Revista A.5(1946),147-151(西班牙语)·兹比尔0060.07906
[4] Raf Bocklandt,3维的分次Calabi-Yau代数,J.Pure Appl。《代数》212(2008),第1期,第14-32页·Zbl 1132.16017号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2007.03.009
[5] R.Bocklandt,Calabi-Yau代数与加权箭状多面体,预印本arXiv:0905.0232v1·兹比尔1278.16017
[6] 汤姆·布里奇兰德(Tom Bridgeland)、阿拉斯泰尔·金(Alastair King)和迈尔斯·里德(Miles Reid),《麦凯函件作为派生范畴的等价物》(The McKay corresponsibility as a equivalent of derived categories),J。数学。Soc.14(2001),第3期,535-554(电子版)·Zbl 0966.14028号 ·doi:10.1090/S0894-0347-01-00368-X
[7] David A.Buchsbaum和David Eisenbud,什么使复杂精确?,《代数杂志》25(1973),259-268·Zbl 0264.13007号
[8] D.Cox和G.Barthel,《复曲面的几何变化》,《2000年暑期学校的讲稿》,格勒诺布尔,2000年。
[9] V.I.Danilov,《复曲面变体的几何》,Uspekhi Mat.Nauk 33(1978),第2期(200),85-134,247(俄语)。
[10] B.Davison,薄膜瓷砖的一致性条件,预印arXiv:0812:4185v1·Zbl 1250.14028号
[11] Günter Ewald,组合凸性和代数几何,数学研究生教材,第168卷,Springer-Verlag,纽约,1996年·Zbl 0869.52001
[12] Sebastián Franco、Amihay Hanany、David Vegh、Brian Wecht和Kristian D.Kennaway,Brane二聚体和颤动规范理论,高能物理学杂志。1(2006),096,48页(电子版)。 ·doi:10.1088/1126-6708/2006/01/096
[13] 威廉·富尔顿,《复曲面变体介绍》,《数学研究年鉴》,第131卷,普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿,1993年。威廉·H·罗弗几何讲座·Zbl 0813.14039号
[14] V.Ginzburg,Calabi-Yau代数,预印本arXiv:math。AG/0612139。
[15] 丹尼尔·古洛塔(Daniel R.Gulotta),有序二聚体,(R)电荷,以及高效的逆算法,《高能物理学杂志》(J.High Energy Phys)。10 (2008), 014, 31. ·兹比尔1245.81091 ·doi:10.1088/1126-6708/2008/10/014
[16] P.Hall,《论子集的代表》,J.London Math。1935年10月26日至30日·Zbl 0010.34503号
[17] Amihay Hanany、Christopher P.Herzog和David Vegh,《Brane tilings and excellence collections》,《高能物理杂志》。7(2006),001,44页(电子版)。 ·doi:10.1088/1126-6708/2006/07/001
[18] A.Hanany和K.D.Kennaway,二聚体模型和复曲面图,预印arXiv:hep-th/0503149。
[19] 阿米海·哈纳尼(Amihay Hanany)和大卫·维格(David Vegh),《绗缝、瓷砖、薄膜和菱形》(Quivers,tilings,branes and rhombi),高能物理学杂志。10(2007),029,35·doi:10.1088/1126-6708/2007/10/029
[20] 罗宾·哈特肖恩(Robin Hartshorne),《代数几何》(Algebraic geometry),斯普林格·弗拉格(Springer-Verlag),纽约海德堡出版社,1977年。数学研究生论文,第52期·Zbl 0367.14001号
[21] Lutz Hille,Toric箭形变种,代数和模,II(Geiranger,1996)CMS Conf.Proc。,第24卷,美国。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,1998年,第311-325页·Zbl 0937.14039号
[22] A.Ishii和K.Ueda,关于与膜贴片相关的箭袋表示的模空间,预印本arXiv:0710.1898
[23] A.Ishii和K.Ueda,Dimer模型和McKay特殊通信,预印本arXiv:09050059·Zbl 1338.14019号
[24] Birger Iversen,滑轮的同调,Universitext,Springer-Verlag,柏林,1986年·Zbl 1272.55001号
[25] R.A.Jarvis,《关于平面上有限点集凸壳的识别》,《信息处理快报》2:1821。(1973) ·Zbl 0256.68041号
[26] Kristian D.Kennaway,Brane tilings,国际。现代物理学杂志。A 22(2007),第18期,2977-3038·Zbl 1141.81328号 ·doi:10.1142/S0217751X07036877
[27] 理查德·凯尼恩(Richard Kenyon),《二聚体模型简介》,概率论学派和会议,ICTP Lect。注释,十七,Abdus Salam Int.Cent。理论。物理。,的里雅斯特,2004年,第267-304页(电子版)·Zbl 1076.82025号
[28] Richard Kenyon和Jean-Marc Schlenker,平面四元图的菱形嵌入,Trans。阿默尔。数学。Soc.357(2005),第9号,3443-3458(电子版)(英文,附英文和法文摘要)·Zbl 1062.05045号 ·doi:10.1090/S0002-9947-04-03545-7
[29] A.King,一些有理曲面上的倾斜束,预打印http://www.maths.bath.ac.uk/masadk/papers,1997年。
[30] S.Mozgovoy和M.Reineke,关于膜贴片产生的非对易Donaldson-Thomas不变量,预印本arXiv:0809:0117·Zbl 1191.14008号
[31] Mircea Mustaţ,关于复曲面簇的消失定理,东北数学。J.(2)54(2002),第3期,451-470·Zbl 1092.14064号
[32] D.G.Northcott,《有限自由分辨率》,剑桥大学出版社,剑桥-纽约-墨尔本,1976年。剑桥数学丛书,第71期·Zbl 0328.13010号
[33] J.T.Stafford和M.Van den Bergh,非交换分解和有理奇点,密歇根数学。J.57(2008),659-674。纪念梅尔文·霍克斯特的特别卷·Zbl 1177.14026号 ·doi:10.1307/mmj/1220879430
[34] Jan Stienstra,双变量超几何系统,颤动、二聚体和二聚体,模形式和弦对偶,Fields Inst.Commun。,第54卷,美国。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,2008年,第125-161页·Zbl 1166.33001号
[35] J.Stienstra,通过二元动力学计算主行列式,预印本arXiv:0901.3681·Zbl 1215.82012年
[36] Balázs Szendrõi,非交换Donaldson-Thomas不变量和针叶树,Geom。白杨。12(2008),第2期,1171-1202·Zbl 1143.14034号 ·doi:10.2140/gt.2008年12月1171日
[37] 米歇尔·范登·伯格(Michel van den Bergh),《非交换性可怖决议》(Non-co-mutative creant resolutions),尼尔斯·亨利克·阿贝尔(Niels Henrik Abel)的遗产,施普林格(Springer),柏林,2004年,第749-770页·Zbl 1082.14005号
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