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彩色平面图计数:代数性结果。 (英语) 兹比尔1223.05123

摘要:我们讨论了正确着色平面图的枚举,或者更准确地说,根平面图的枚举\(M\)由其色多项式\(\chi_{M}(q)\)加权,并由顶点和面的数量计数。我们证明了当\(q\neq 0,4\)为\(2+2\cos(j\pi/m)\)形式时,对于整数\(j\)和\(m\),相关的生成函数是代数的。这包括两个整数值\(q=2\)和\(q=3\)。我们将其推广到由Potts多项式(P_{M}(q,nu))加权的平面映射,该多项式根据单色边的数量计算所有(q)-着色(正确或不正确)。然后,我们证明了平面三角剖分的类似结果,从而推广了Tutte处理其适当(q)-着色的一些结果。
在统计物理术语中,我们研究的问题在于求解随机平面晶格上的Potts模型。从技术角度来看,这意味着用两个“催化”变量求解非线性方程。据我们所知,这是自Tutte对正确着色三角剖分的出色解决方案以来,首次求解此类方程。

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05C30号 图论中的枚举
05年10月 平面图;图论的几何和拓扑方面
05C15号 图和超图的着色

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