里希特·盖伯特（Jürgen Richter-Gebert） 投影几何透视。通过真实和复杂的几何图形进行引导游览。 （英语） Zbl 1214.51001号 柏林：施普林格出版社（ISBN 978-3-642-17285-4/hbk；978-3-442-17286-1/电子书）。xxii，571页。(2011). 这本写得很好、很详细的书的作者是射影几何方面的专家，尤其是计算射影几何，正如《几何》（Geometries.（Geometrekalküle）Springer-Lehrbuch。柏林：Springer（2009；邮编：1181.00003)]，《互动几何软件灰姑娘》，第1版。2.平台版本。柏林：施普林格（1999；Zbl 0969.51001号)]和众多科学文章显示。除了学生之外，本书的读者应该熟悉初等线性代数，数学家、计算机科学家和物理学家也可以阅读本书。作者介绍了几何结构及其代数对应物之间丰富的相互作用，从而遵循了J.Plücker（1801-1868）和F.Klein（1849-1925）的哲学。定义和定理从来都不是孤立的，它们被耐心地解释，并且总是从计算机实现的角度进行讨论。重点是结构，以便以最优雅的方式表达基本对象和操作。这本书指出了射影几何相对于欧几里德几何、双曲几何和椭圆几何的优点。本书的每一章都以一句格言开头，例如关于复杂投影线的第17章介绍如下：“真实领域中两个真理之间的最短路径通过复杂领域”（J.S.Hadamard（1865-1963））。在大约230幅极具美学意义的、由计算机生成的、部分着色的插图中，许多插图表明，除了严格的抽象概念外，可视化也可以在几何对象的研究中发挥有益的作用。除第一章外，本书分为三个部分。第1章。Pappos定理：九种证明和三种变体：其中九种是通过Pascal定理、Cayley-Bacharach-Chasles定理和Miquel定理得出的。第一部分射影几何。 第2章。投影平面：绘图和透视、公理、最小投影平面。第3章。齐次坐标：真实射影平面、连接和相遇、平行性、对偶性、射影变换、有限射影平面上的基本事实。第4章。线和交比：真实的投影线，交比的基本性质。第5章。用直线上的点进行计算：调和点、射影尺度、从几何到实数、基本定理、其他领域的注释、冯·斯塔特的原始构造、帕普斯定理。第6章。行列式：（本章论证了行列式和多重齐次括号多项式在表示射影不变性质中的重要性）“行列式”观点、普吕克（mu）、不变性质、格拉斯曼-普吕克关系。第7章。更多关于括号代数的内容：从点到行列式，再到后面，一瞥不变理论，投影不变函数，括号代数。第二部分学习和玩几何。 第八章。四边集和提升：四边集、对合和四边集的对称性和推广。第9章。二次曲线及其对偶：二次曲线方程、极点和切线、对偶二次型、二次曲线变换、退化二次曲线、原对偶。第10章。圆锥曲线和透视性：五点圆锥曲线、圆锥曲线和交比、圆锥曲线的透视生成、变换和圆锥曲线、Hesse的“U bertragungsprinzip”、Pascal和Brianchon定理、圆锥曲线上的调和点。第11章。用二次曲线计算：分裂退化二次曲线，“如果”运算的必要性，二次曲线与直线的相交，两个二次曲线的相交，复数的作用，一个切线和四个点。第12章。射影空间：无限元素、齐次坐标和变换、点、平面和线在射影空间中的连接和相交（一个通用系统及其使用方法）。第13章。图表技术：（显示由几何对象和（varepsilon）-张量组成的图表在投影变换下形成不变量）从点、线和矩阵到张量，张量图表，变换的工作原理，（delta）-和-张量，线和点配置的不变量。第14章。使用图表：（给出张量和图表的更高级应用）跟踪条件、Pascal定理、闭合\（\varepsilon\）-循环、二次曲线二次型和切线、实投影\（3\）-空间中的图表、秩\（4\）中的\（\varepsilon\）-\（\delta\）规则、秩\（4\）中的同变线和反变线，张量与普吕克坐标。第15章。构型、定理和括号表达式：Desargues定理、二项式证明、交叉比链和循环、Ceva和Menelaus、粘合Ceva与Menelau斯构型、，第三部分测量。第16章。复数：入门：历史背景、基本定理、复数几何、欧拉公式、复数共轭。第17章。复射影线：几何性质、射影变换、反演和莫比乌斯反射、格拉斯曼-普吕克关系、交角、赤平投影。第18章。欧几里德几何：平面欧几里得几何的圆点（评论者的评论：作者可能会考虑到后面关于凯莱-克莱因几何的章节，避免使用上述名称。）、共圆性、交叉比的稳健性、射影、仿射、相似性、欧几里达变换、垂直度、，拉盖尔公式，距离。第19章。从射影的角度看欧几里德结构：（欧几里得几何是与一对圆点一起的射影几何）镜像、角平分线、圆心、构造圆锥的焦点、逐焦点构造圆锥、三角定理、混合思维（用九点圆证明）。第20章。Cayley-Klein几何：（专注于平面情况）将平面欧几里得几何的圆形点解释为退化的对偶圆锥、距离和角度测量、双曲线、椭圆和抛物线测量，研究双曲线平面中的距离和角度，使用7个有用且描述良好的图形，七种平面Cayley-Klein几何，更粗和更细的分类。第21章。测量和变换：（重点讨论变换、它们的投影不变量以及在这些变换下的测量行为）测量与定向测量，比较测量、反射和极/极对、旋转。第22章。工作中的凯莱·克莱因几何：正交性、构造与隐式表示、共性与差异、中点与角平分线、三角。第23章。圆和圈：通过距离的圆，与基本圆锥曲线的关系，无穷远中心，组织原理（极限情况下的圈，圆的对偶性，常曲率曲线），伽利略几何中的圈（=平面各向同性几何）。第24章。非核素几何：历史插曲：空间的内部几何、欧几里德的假设、高斯、博莱和洛巴切夫斯基、贝尔特拉米和克莱因、贝尔特拉米·克莱因模型、庞加莱。第25章。双曲几何：双曲变换，角度和边界，庞加莱盘，复射影线和庞加雷盘的变换，庞加莱盘中的角度和距离。第26章。双曲几何中的选定主题：庞加莱圆盘中的圆和圈、面积和角度缺陷、（双曲）泰勒斯和（双曲线）毕达哥拉斯、构造规则多边形、对称群（伴随着显示五边形双曲线棋盘的图形）。第27章。我们没有涉及的内容：（简要概述了一些松散的主题）代数射影几何（立方体、Cayley-Bacharach-Chasles定理、Bézout定理、特殊点、对偶性）、射影几何和离散数学（伪线排列）、射影学和量子理论、动态射影几何。审核人：罗尔夫·里辛格（维也纳） 引用于7评论引用于67文件 MSC公司： 51A05号 线性关联几何和射影几何的一般理论 51A25号 线性关联几何中的代数化 2005年5月5日 欧几里德几何（一般）和推广 51M10个 双曲和椭圆几何（一般）及其推广 51-01 与几何学有关的介绍性说明（教科书、教学论文等） 51N15号 射影解析几何 14N15号 经典问题，舒伯特微积分 关键词：圆锥形的;括号代数;格拉斯曼-普吕克关系;黑塞的U bertragungsprinzip;图表技术;Cayley-Klein几何 引文：邮编：1181.00003;Zbl 0969.51001号 软件：灰姑娘 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Richter-Gebert}，射影几何透视。通过真实和复杂的几何图形进行引导游览。柏林：施普林格出版社（2011；Zbl 1214.51001） 全文： 内政部