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杰里米·阿维加德；爱德华·迪安；约翰·穆玛

欧几里得元素的形式系统。 （英语） Zbl 1188.03008号

版本符号。日志。 2，第4期，700-768（2009）.
人们一再注意到，尽管欧几里德元素第一册，演绎地发展了几何学，演绎不能只使用欧几里德所述的通用概念和假设。作为A.塞登堡把它最激进地放在[建筑历史精确科学.14263-295（1975；Zbl 0357.01005号)]：“欧几里德在思想上没有公理系统，也没有公理化地发展几何学元素.”
因此，问题出现了：需要什么公理才能将第一册中的演绎任务转变为从公理而不是“从无到有”开始的？N.米勒【欧几里得和他二十世纪的对手。欧几里得几何逻辑中的图。图的理论和应用研究。芝加哥，伊利诺伊州：芝加哥大学出版社（2007；Zbl 1129.01001号)]以及J.穆玛【直觉形式化。初等几何中古代和现代的证明方法。卡内基梅隆大学博士论文（2006）】提出了这样的系统，这些系统公正地对待欧几里德的工作，特别是他被隐含地视为通过图表推理使用的规则。
在Mumma博士论文的基础上，本文提出了一个新的形式公理系统，即（E），“它精确地说明了可以从[a]图中‘读出’的推论。”公理表达的语言是六排序的，包括点、线、圆、段、角和面积的排序，但变量范围仅限于前三种。形式系统（E）不仅由经典意义上的公理组成，还具有构造规则，例如“让（a）成为线上的点（L）[区别于（ldots）]；先决条件：[（L）不同于线（ldots\）]；结论：（a）在（L）上，[（a）不同于（dots]”。它由（i）20条构造规则，（ii）33个图解推理，（iii）度量推理组成，包括理论普适结果公理（（{mathbb R}^{+}，0，+，<）），以及9个线段、角度和面积公理，（iv）11个图解传递推理，（v）两个叠加序列推理。
它显示了（E）如何与第一册的推理实践相对应，几乎没有例外，并且（E）等价于A.塔斯基’s ruler-and-comass geometry（T）[研究发现的逻辑。数学，公理方法，16-29（1959；Zbl 0092.38504号)]，在某种意义上，\（E\）和\（T\）是相互可解释的。等价性在以下完备性结果的证明中至关重要：对于规则和指南针结构有效的形式\（\Gamma\Rightarrow\exists\vec{x}.\，\Delta\）的所有序列都可以在\（E\）中证明，并通过引用以下基本结果来表示S.内格里[《数学与逻辑建筑学》42，第4期，389–401（2003；Zbl 1025.03055号)]，它确保了具有几何的规则模式（Tarski的（T）必须通过添加新的谓词符号来修改，以表示否定等式、否定介数和否定段同余，从而将其转化为具有几何规则模式的理论）。
本文讨论了该系统的计算机实现以及自动几何定理证明的其他方面，并肯定值得在未来的出版物中提供更多空间，因为在这一迷人的领域中存在许多开放性问题。
审核人：维克多·V·潘布西安（凤凰城）

引用于5评论
引用于47文件

MSC公司：

03B30型 经典理论基础（包括逆向数学）
01A20号 希腊和罗马数学史
03B35型 证明和逻辑操作的机械化
05年3月 切割消除和正规形定理
2005年5月5日 欧几里德几何（一般）和推广

关键词：

欧几里德元素；图的推理；形式公理系统；塔斯基尺和罗盘几何；几何规则模式理论的无割证明；几何定理的自动证明

引文：

Zbl 0357.01005号；Zbl 1129.01001号；Zbl 0092.38504号；Zbl 1025.03055号

软件：

cvc3型；灰姑娘；z3（零3）；几何画板
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Avigad}等人，Rev.Symb。日志。2，第4号，700--768（2009；Zbl 1188.03008）
全文： 内政部 arXiv公司

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