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贝特弗里德·福泽

重整化：一个数值理论模型。 （英文） Zbl 1165.81035号

Commun公司。数学。物理学。 277，第3期，627-641（2008）.
研究了算术函数Dirichlet卷积环的副积。它们是双结合卷积、双单位卷积和反足卷积，但不满足同态公理，被称为Hopf代数。然后提出了一种从Hopf代数代数重建Hopf几何结构的方法。作者认为，这种方法可以看作是重整化的一种数论模型。
算术函数的Dirichlet卷积环在§1中回顾如下：设（f:mathbb{N}\tomathbb}C}）是一个算术函数。然后通过（f（s）=sum_{n\geq1}{f（n）over n^s}）引入其生成函数，（s）in mathbb{C}，（f（sg（s））是卷积\[（f*g）（s）=sum{n\geq1}，sum{d|n}{f（d）g（n/d）\over n^s}。\]如果（f（n\cdot m）=f（n）\ cdot f（m）\）表示所有\（n\），\（m\），则算术函数\（f\）称为完全乘法\（f\）称为乘法，如果\（（n，m）=1\），则\（f（n\cdot m）=f（n）\cdot f（m）\）。作为乘法但不是完全乘法函数的例子，解释了Möbius函数、Euler totient函数和von Mangoldt函数。本文中重整化的数论模型利用了乘法函数和完全乘法函数的差异。
在§2中，使用Kronecker对偶\（|）：\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ to{Z} _2\)，\（（n|m））=\delta{n，m}\），加法与乘法的副积\[\开始{对齐}\Delta^+（n）&=\sum_{n1+n2=m}n1\oplus n2=n_{（1）}\oplus n-{（2）}，\\Delta^。（n） &=sum{d|n}d\times{n\overd}=n{[1]}\timesn{[2]}，\end{aligned}\]引入（参见。B.浮世和P.D.贾维斯[J.结理论分歧16，第4期，379-438（2007；Zbl 1124.16032号)]，以下简称[1]）\（Delta ^.\）是一个乘法函数，但不是一个完整的乘法函数（Prop.2.9）。因此，副积映射不满足同态公理。具有副积\（Delta^+）和\（Delta ^.\）的代数成为Hopf代数。在本节中，它们被显示为方案2.5和2.6。
在§3中，定义了Hopf gebra，并讨论了如何将Hopf ge bra变形为Hopf代数。其中一个方案是修改后的十字路口[Z.Oziewicz先生，捷克语。《物理学杂志》。47，第12期，1267–1274（1997年；Zbl 0948.16029号)和B.浮世和Z.Oziewicz先生，Clifford Hopf gebra用于二维空间。其他。藻类。2, 31–42 (2001)]. 但作者表示，该方案在实际应用中过于繁琐，并提出了非规范化方案。在这个计划中，副产品\（\Delta^.\）被重新规范化为\（\underline\Delta_.\）\（\underline\Delta ^.（p）=\underline \Delta（p）），如果\（p\）是质数并且\[\下划线\ Delta ^。（n\cdot m）=\underline\Delta^。（n） \cdot\underline\Delta^。（m） ，\]对于任何\（n.m \）。说明配对\[（n|m）=\prod_i\delta{ri，si}ri！，\四元n=\prod_i p^{我}我，\quad m=\prod_j p^{sj}j,\]将乘法\（\cdot\）对偶为\（\underline\Delta^.\）（Corol.3.14。参见[1]）。为了说明这个过程中的余积重正化可以看作是传统重正化的数论模型，使用了Bell级数（fp（x）=sum{n\geq0}f（p^n）x^n），（p\）是素数（§4）。如果\（f\）是一个完整的乘法函数，那么\[fp（x）={1\超过1-f（p）x}。\]设（g）是一个完整的乘法函数，（g（1）=1，（f）是一种乘法函数。那么我们有\[f_p（x）={1\在1-f（p）x+g（p）x^2上}\]（参见。总经理。阿波斯托，解析数论导论。纽约等：Springer（1976；Zbl 0335.10001号)]). 因此，我们获得\[f（m\cdotn）=f（m）f（n）-\sum_{d|\text{gcd}（n，m）}g（d）f\Biggl（{m\cdot n\over d^2}\Biggr）。\]作者说，右手边的第二个术语可以被视为反术语。
本文有两个附录，分别讨论了完全可乘性的表征、狄利克雷卷积的群和子群以及量子场论和数论中重整化群分析的关系（参见。J.兰贝克【《美国数学》（Am.Math.Mon.73，969–973）（1966年；Zbl 0152.03105号)];P.-Q.德哈伊[公牛贝尔格数学学院-西蒙·斯特文9，第1号，15-21（2002；Zbl 1168.11301号);A.彼得曼【所谓的重整化群方法应用于特定素数的对数减少，《欧洲物理杂志》C17，367–369（2000）】）。
审核人：浅田明（高良渚）

MSC公司：

81T15型 量子场论问题的微扰重整化方法
11米41 其他Dirichlet级数和zeta函数
16瓦30 Hopf代数（结合环和代数）（MSC2000）

关键词：

算术函数；Dirichlet卷积环；可乘性；完全多重性；霍普夫代数；非标准化；贝尔系列

引文：

Zbl 1124.16032号；Zbl 0948.16029号；Zbl 0152.03105号；Zbl 1168.11301号；兹伯利0335.10001

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\textit{B.Fauser}，Commun（公共）。数学。物理学。277，第3号，627--641（2008；Zbl 1165.81035）
全文： 内政部 arXiv公司

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