伊万·蒂莫夫（Ivan T.Dimov）。 应用科学家的蒙特卡罗方法。 （英语） Zbl 1140.65008号 新泽西州哈肯萨克：世界科学（ISBN 978-981-02-2329-8/hbk；978-981-2 77-989-2/电子书）。第十五卷，第291页。(2008). 蒙特卡罗方法在数学、物理和工程的许多领域都是一个强大的工具。基于此方法的算法通过对数学期望为期望函数的某个随机变量（r.v.）进行随机抽样，对解的任何线性泛函进行统计估计。在本书的介绍中，介绍了蒙特卡罗方法（MCM）的本质。这种方法的特点是使用相对论或随机过程来寻找不同科学分支的一些问题的近似解。介绍了MC理论的一些基本概念，即近似计算的概率误差的数学期望（Exi，）方差（Dxi，，）r.v.的标准差（sigma，xi）。对MCM的起源和发展进行了历史性的评述。给出了MCM优点的一些一般考虑。本文讨论了MCM发展和研究的两个主要方向——蒙特卡罗模拟和蒙特卡罗数值算法，通过建模r.v.s或随机场来解决确定性问题。描述了终止马尔可夫链理论的一些重要问题。第二章讨论了蒙特卡罗积分的一些基本事实。第2.1节讨论了MCM的收敛性和误差分析。给出了连续和离散r.v.对概率密度函数的期望。提出了中心极限定理的概念。在第2.2节中，考虑了多维积分的两种基本蒙特卡罗算法——平面MC和几何MC。比较了这些方法的计算复杂度。在第2.3节中，考虑了减少方差的技术。考虑了几种经典算法，如主元分离、子域积分、被积函数对称化、重要抽样算法和权函数方法。证明了关于方差估计的定理。第2.4节考虑了超收敛MC算法。给出了具有超收敛概率误差的MC算法的概念。研究了仅连续函数的算法的收敛性问题。给出了用平均平滑模估计可能误差的两个结果。在第2.5节中，开发了一种用于实际计算的超收敛自适应算法。提出了自适应MC算法，该算法可产生计算过程中获得的先验和后验信息。在定理2.7和2.8中，给出了可能误差的估计。第2.6节显示了如何定义随机插值求积。第2.7节给出了关于拟蒙特卡罗方法的一些基本事实。给出了均匀分布序列的概念，Sobol的（Pi{tau}）序列及其应用。第2.8节介绍了所考虑方法的练习。第三章提出并研究了光滑函数多维积分数值积分的最优MCM。在3.1节中，引入了函数类（W^{k}（；[0,1）^{d}）=W^{k}）（（d\geq1）表示维数）。给出了两种算法（确定性和随机性）对类（W_{k}\）进行数值积分。两个结果（定理3.1和3.2）Bakhvalov建立了两种算法中积分误差的下限。第3.2节描述了数值积分的方法。定义了均方误差的概念。定理3.3给出了类（W^{k}）积分的误差和均方误差的估计。给出了函数Hölder类（H_{lambda}^{k{（alpha，[0,1）^{d}）的概念。定理3.4给出了类中积分的误差及均方误差估计).\) 在第3.3节中，给出了对（W^{k}）函数进行数值积分的两种算法的计算复杂性估计。在第3.4节中，给出了一些数值试验，证明了所考虑算法的计算效率。第四章研究了迭代平稳线性MC算法。分析了这些方法的系统误差和随机误差。这些算法找到了线性算子幂函数的近似值。重点讨论了两类线性算子——积分算子和矩阵。第4.1节给出了迭代MC算法的一般描述。将序列递归构造问题的解作为截断Neumann级数给出。发展了积分迭代理论。第4.2节介绍了求解线性系统和矩阵反演的问题。在第4.3节中，当相应的Neumann级数不收敛或收敛缓慢时，考虑了求解线性方程组和矩阵反演的MC算法。第4.4节的定理4.1和4.2是与线性代数方程组算法收敛性相关的结果。第4.5节考虑了比较MC算法的随机误差和系统误差的问题。在第4.6节中，得到了MC矩阵求逆的实现次数（N）和马尔可夫链长度（T）的数学期望的一些估计。在第4.7节中，提出了矩阵反演问题的迭代MC算法的改进方法。给出了三种算法，并讨论了获得的数值结果。第五章研究了求实对称矩阵特征值的MC方法。考虑了支配特征值和最小值特征值的算法。第5.1节描述了矩阵特征值的计算问题。本文详细介绍了用于估计主特征值的所谓幂方法。在第5.2节中，开发了用于计算双线性形式的矩阵幂和实对称矩阵的极值特征值的几乎最优马尔可夫链MC算法。详细介绍了鲁棒MC算法和插值MC算法。给出了这些算法的方差结构。在第5.3节中，给出了MC几乎最优（MAO）算法的计算复杂度估计。第5.4节考虑了MAO算法的适用性和加速性。在第六章中，我们考虑了两种数值求解椭圆方程的方法，即所谓的网格方法和无网格方法。在第6.1节中介绍了线性边值问题。给出了椭圆度的定义。发展了计算椭圆问题解的线性泛函的MC算法。第6.2节和第6.3节详细介绍了网格MC算法和无网格MC算法。考虑了一些执行网格和无网格MC算法的简单数值示例。在定理6.1中，主函数以显式形式给出。给出了无网格算法的并行实现。在第7章中，使用了应用样条函数创建超收敛MC算法的可能性。研究了利用给定实现次数估计未知密度函数的问题。通过使用专门创建的超收敛MC算法来估计未知密度的B样条近似中的系数，解决了这个问题。在第7.1节中，发展了这个问题的理论基础。以显式形式构造了第k次B样条。在第7.2节中，研究了利用r。v的（N）实现估计密度函数误差的问题。研究了两种特殊情况下的可能误差，即使用阶样条（k\geq2）和阶样条来建模密度。定理7.1和7.3给出了在使用（B）-次样条（k\geq 2）和（B）–次样条的情况下的可能误差阶。在第7.3节中，考虑了对称误差和随机误差的平衡问题。第八章研究了非线性多项式方程组的求解算法。使用分支随机过程对应的MC迭代计算Fredholm型非线性积分方程解的线性泛函。分支随机过程是一个马尔可夫过程，它对一个种群进行建模，在这个种群中，每一代中的每一个个体产生一个随机数目的个体。在第8.1节中，将内积作为Fredholm积分方程的算子形式的唯一解进行计算的数学基础得到了发展。第8.2节描述了应用于Fredholm积分方程的MC方法。在第8.3节中，开发了一种优化第8.2节所述方法的有效算法。优化MC算法的问题在于最小化标准偏差。在定理8.2和8.3中，给出了使给定r.v.的二阶矩最小的密度函数的形式。在第8.4节中，通过数值示例测试了所开发的算法。在第9.1节中，为了估计MC算法如何依赖于不同的计算机架构，考虑了四种模型。在第9.2节中，开发了使用马尔可夫链计算所需r.v.的迭代MC算法。第9.3节介绍了边值问题的算法。研究了这些算法的计算复杂性。使用了网格算法、网格点随机跳跃算法、无网格算法、矢量MC算法。文中给出了算例，并对所得的实际结果进行了讨论。第10章介绍了半导体和纳米线中输运现象的建模算法。从数值MC方法的角度讨论了半经典玻尔兹曼方程模拟的基本算法。这种方法是开发模型的基础，用于求解产生量子输运玻尔兹曼方程的方程。它用于解决纯量子问题，例如维格纳方程。给出了每个相应算法的收敛性证明。进行了大量的数值实验。提出了一种用于模拟纳米线中载流子传输的网格应用。讨论了基于该网格应用的数值结果。本书最后有三个附录，其中进行了一些必要的计算。审核人：瓦西尔·格罗兹达诺夫（布拉戈耶夫格勒） 引用于52文件 MSC公司： 65二氧化碳 蒙特卡罗方法 11公里36 分布良好的序列和其他变体 11公里45 伪随机数；蒙特卡罗方法 65立方厘米 数值分析中的随机数生成 65C20个 概率模型，概率统计中的通用数值方法 65立方米 随机微分方程和积分方程的数值解 65立方厘米 应用于马尔可夫链的数值分析或方法 65 C50 其他概率计算问题（MSC2010） 65C60个 统计中的计算问题（MSC2010） 35J25型 二阶椭圆方程的边值问题 第82页第37页 半导体统计力学 65平方英尺 线性系统和矩阵反演的直接数值方法 2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算 45G10型 其他非线性积分方程 82B80型 平衡统计力学中的数值方法（MSC2010） 82C80码 时间相关统计力学的数值方法（MSC2010） 81S30个 包括Wigner分布等在内的相空间方法应用于量子力学问题 82C40型 含时统计力学中的气体动力学理论 65-02 与数值分析相关的研究展览（专著、调查文章） 00A06号 非数学工作者的数学（工程、社会科学等） 60J22型 马尔可夫链中的计算方法 60F05型 中心极限和其他弱定理 65兰特 积分方程的数值方法 关键词：蒙特卡罗方法（MCM）;数值积分;普通MCM;几何MCM;马尔可夫链MC算法;计算复杂性;样条;弗雷德霍姆积分方程;维格纳方程;玻尔兹曼方程;教材;方差减少;数值示例;汇聚;误差分析;中心极限定理;重要性抽样;并行计算;超收敛;拟蒙特卡罗方法;线性系统;矩阵反演;特征值;椭圆方程;线性边值问题;半导体;量子输运 软件：网格信息软件;TOMS659号机组 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{I.T.Dimov}，应用科学家的蒙特卡罗方法。新泽西州哈肯萨克：《世界科学》（2008；Zbl 1140.65008） 全文： 内政部