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沃尔夫拉姆·科普夫

Bieberbach猜想、de Branges和Weinstein函数以及Askey Gasper不等式。 （英语） Zbl 1186.30001号

拉马努扬J。 13，编号1-3，103-129（2007）。
本文对比伯巴赫猜想的历史进行了极好的描述，涵盖了从1916年概念开始的时期[L.Bieberbach，S.-B.普劳斯。阿卡德。威斯。38, 940–955 (1916;JFM 46.0552.01号)]直到1984年的最后证明[L.de Branges公司《数学学报》。154, 137–152 (1985;Zbl 0573.30014号)]以及1991年的后续证明[L.温斯坦，国际数学。Res.Notices 5，61-64（1991年；Zbl 0743.30021号)].
这篇27页的论文（包括75篇参考文献的列表）触及了比伯巴赫和德布兰奇之间近70年来历史上重要的每一步，读起来就像是一篇“硬性的侦探小说”。通过讨论勒沃纳、内瓦林纳、利特尔伍德、迪乌登内、罗戈辛斯基、佩利、罗伯逊、希弗、格伦斯基、海曼、里德、加拉贝迪安、希弗和夏恩斯基的贡献，故事最终到达了米林和列别捷夫及其著名猜想。为了证明这个猜想，德布兰奇在1984年成功地证明了罗伯逊猜想和比伯巴赫猜想。当时特殊功能的结果是“已上架”[R.Askey、G.Gaspar，美国数学杂志。98, 709–737 (1976;Zbl 0355.33005号)]突然起到了缺失环节的作用！Askey-Gaspa恒等式（将de Branges函数表示为超几何函数的线性组合）和Askey-Gasta不等式（断言每个（{}_3F_2）都是非负的）的应用中的最后一个接触实际上是Clausen恒等式，将（{}_3F_2）表示为a的平方_2F_1\）。
此外，本文还涵盖了计算机代数（特别是Zeilberger算法）在自动证明中的应用，并对Leonard Weinstein于1991年提出的Bieberbach猜想的证明（如上所述）进行了广泛描述，该证明绕过了Askey-Gaspar不等式的使用。
作者对数学中一个著名猜想的历史和证明进行了清晰的描述，值得称赞。
审核人：马塞尔·德布鲁因（哈勒姆）

引用于三文件

MSC公司：

30-02 关于复变量函数的研究综述（专著、调查文章）
30 C50 一个复变量的单叶函数和多叶函数的系数问题
30立方厘米 共形映射的一般理论
30立方厘米 一个复变量的单叶和多叶函数的特殊类（星形、凸形、有界旋转等）
30摄氏度80 极大值原理、Schwarz引理、Lindelöf原理、类比和推广；从属关系
33C20美元 广义超几何级数，（{}_pF_q\）
33立方厘米 超几何型正交多项式和函数（Jacobi、Laguerre、Hermite、Askey格式等）
33层10 特殊函数的符号计算（Gosper和Zeilberger算法等）
68瓦30 符号计算和代数计算

关键词：

单叶函数;比伯巴赫猜想;罗伯逊猜想;米林猜想;凸函数;近凸函数;Grunsky不等式;希弗变异;支撑点;极值点;Loewner微分方程;勒沃纳理论;Lebedev-Milin不等式;德布朗日定理;de Branges函数;Weinstein函数;超几何函数;广义超几何级数;Askey-Gaspa不等式;Askey-Gaspar身份;勒让德加法定理;FPS算法;Zeilberger算法;枫树;符号计算;计算机代数

引文：

JFM 46.0552.01号;Zbl 0573.30014号;Zbl 0743.30021号;Zbl 0355.33005号

软件：

gfun公司;枫树
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\textit{W.Koepf}，Ramanujan J.13，编号1--3，103-129（2007；Zbl 1186.30001）
全文： 内政部 链接

参考文献：

[1] Aharonov，D.：关于Bieberbach-Eilenberg函数。牛市。阿默尔。数学。Soc.76101-104（1970）·Zbl 0191.37604号 ·doi:10.1090/S0002-9904-1970-12382-5
[2] Askey，R.，Gasper，G.：正Jacobi多项式和II。阿默尔。数学杂志。98, 709–737 (1976) ·Zbl 0355.33005号 ·doi:10.2307/2373813
[3] Baernstein，A.，Drasin，D.，Duren，P.，Marden，A.（编辑）：Bieberbach猜想。证明时机研讨会会议记录。数学调查和专著，第21卷。美国数学学会，普罗维登斯，R.I.（1986）·Zbl 0631.30001号
[4] Bieberbach，L.:Über die Koeffiziententen derjenigen Potenzreihen，welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreiss蠕虫。S.-B.普劳斯。阿卡德。威斯。38, 940–955 (1916)
[5] de Branges，L.：Bieberbach猜想的证明。数学学报。154, 137–152 (1985) ·Zbl 0573.30014号 ·doi:10.1007/BF02392821
[6] Brickman，L.：单叶函数集的极点。牛市。阿默尔。数学。Soc.76372-374（1970）·Zbl 0189.08802号 ·doi:10.1090/S0002-9904-1970-12483-1
[7] Brickman，L.，MacGregor，T.H.，Wilken，D.R.：一些经典单叶函数族的凸壳。事务处理。阿默尔。数学。Soc.156、91–107（1971年）·Zbl 0227.30013号 ·doi:10.1090/S0002-9947-1971-0274734-2
[8] Carathéodory，C.：在Potenzreihen的Koeffizienten的可变性研究中，我们没有发现。数学。附录64，95–115（1907）·doi:10.1007/BF01449883
[9] Carathéodory，C.：Furier的陈康斯坦顿（Konstanten von positiven harmonischen Funktitonen）。伦德。循环。马特·巴勒莫32、193–217（1911）·doi:10.1007/BF03014795
[10] Carathéodory，C.：Untersuchungenüber die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten。数学。Ann.72107-144（1912年）·doi:10.1007/BF01456892
[11] Charzyñski，Z.，Schiffer，M.：关于第四系数的Bieberbach猜想的新证明。架构（architecture）。理性力学。分析。5, 187–193 (1960) ·Zbl 0099.05901号 ·doi:10.1007/BF00252902
[12] Collins，G.E.，Krandick，W.：一种有效的多项式复数根分离算法。摘自：Wang，Paul S.（编辑）《1992年国际社会科学院院刊》，第189-194页（1992年）·Zbl 0964.68582号
[13] Dieudonné，J.：统一职能。C.R.学院。科学。巴黎1921148-1150（1931）·Zbl 0001.34401号
[14] 杜伦。P.L.：单价函数系数。牛市。阿默尔。数学。Soc.83、891–911（1977年）·兹比尔0372.30012 ·doi:10.1090/S0002-9904-1977-14324-3
[15] Duren，P.L.：单价函数。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften，第259卷。Springer-Verlag，纽约-柏林-海德堡-东京（1983）
[16] Ekhad，S.B.，Zeilberger，D.：高中代数，“形式演算”，Bieberbach猜想的证明[出自L.Weinstein]。收录于：Barcelo等人（编辑）《耶路撒冷组合数学’93：组合数学国际会议》，1993年5月9日至17日，以色列耶路撒冷。普罗维登斯，RI：美国数学学会。康斯坦普。数学。178, 113–115 (1994) ·Zbl 0894.30013号
[17] Fekete，M.，Szegö，G.：Eine Bemerkungüber ungerade schlichte Funktitonen。J.伦敦数学。Soc.8，85–89（1933年）·Zbl 0006.35302号 ·doi:10.1112/jlms/s1-8.2.85
[18] FilzGerald，C.H.：schlicht函数的二次不等式和系数估计。架构（architecture）。理性机械。分析。46, 356–368 (1972) ·Zbl 0242.30013号 ·doi:10.1007/BF00281102
[19] FitzGerald，C.H.，Pommerenke，Ch.：单叶函数的de Branges定理。事务处理。阿默尔。数学。Soc.290、683–690（1985年）·Zbl 0574.30018号 ·doi:10.1090/S002-9947-1985-0792819-9
[20] 弗里德兰：罗伯逊的一个猜想。架构（architecture）。理性力学。分析。37, 255–261 (1970) ·Zbl 0194.38502号 ·doi:10.1007/BF00251606
[21] Garabedian，P.R.，Schiffer，M.：关于第四系数的Bieberbach猜想的证明。J.理性力学。分析。4, 427–465 (1955) ·Zbl 0065.06902号
[22] 高茨基，W.：回忆起我参与德布兰奇对比伯巴赫猜想的证明。收录：Baernstein，Drasin，Duren，Marden（编辑）：Bieberbach猜想（西拉斐特，印第安纳州，1985年），数学。调查专题。21，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，第205-211页（1986年）
[23] 龚·S：比伯巴赫猜想。《高等数学研究》，第12卷。美国数学学会，普罗维登斯，R.I.（1999）·Zbl 0931.30009
[24] Gronwall，T.H.：关于保角表示的一些评论。数学年鉴。16, 72–76 (1914–1915) ·doi:10.2307/1968044
[25] Grunsky，H.：Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende meromorphe Funktitonen。数学。Z.45、29-61（1939）·doi:10.1007/BF01580272
[26] Hamilton，D.H.：极端边界问题。程序。伦敦数学。Soc.（3）56、101–113（1988）·Zbl 0636.30022号 ·doi:10.1112/plms/s3-56.1.101
[27] Hayman，W.K.：p价函数的渐近行为。程序。伦敦数学。Soc.（3）5257–284（1955）·Zbl 0067.30104号 ·doi:10.1112/plms/s3-5.3.257
[28] Hayman，W.K.，Hummel，J.A.：单叶函数的幂系数。复变量7，51–70（1986）·Zbl 0553.30012号
[29] 海涅，E.：Handbuch der Kugelfunctionionen。理论与安文登。柏林雷默（1878）
[30] 亨里奇。P.：应用和计算复杂分析，第3卷：离散傅里叶分析-柯西积分-保角映射的构造-单叶函数。John Wiley&Sons，纽约（1986）·Zbl 0578.30001号
[31] Horowitz，D.：单叶函数系数估计的进一步完善。程序。阿默尔。数学。Soc.71、217–221（1978年）·Zbl 0395.30009号 ·doi:10.1090/S0002-9939-1978-0480979-0
[32] Hummel，J.A.：Gelfer函数的变分方法。J.数学分析。30, 271–280 (1976) ·Zbl 0338.30010号 ·doi:10.1007/BF02786718
[33] Koebe，P.：Uniformisierung beliebiger分析公司Kurven。纳克里斯。Kgl.Ges.公司。威斯。哥廷根，《数学原理》。Kl，第191-210页（1907年）
[34] Koebe，P.:Über die Unifomisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginalärer Substitutions gruppe在汽车行业的应用。纳克里斯。Kgl.Ges.公司。威斯。哥廷根，《数学原理》。Kl，第68–76页（1909年）
[35] Koebe，P.：Un ber eine neue Methode der konformen Abbildung und Uniformisierung。纳克里斯。Kgl.Ges.公司。威斯。哥廷根，《数学原理》。Kl，第844-848页（1912年）
[36] Koepf，W.：关于实数系数的非等价单叶函数。数学。Z.192、575–579（1986）·Zbl 0599.30030号 ·doi:10.1007/BF01162704
[37] Koepf，W.：《家族中的极端与Stützpunkte》。复数8，153–171（1987）·Zbl 0622.30002号
[38] Koepf，W.：《计算机代数中的幂级数》。J.塞姆。公司。13, 581–603 (1992) ·Zbl 0758.30026号 ·doi:10.1016/S0747-7171（10）80012-4
[39] Koepf，W.：超几何求和。维埃格，布伦瑞克/威斯巴登（1998）·Zbl 0909.33001号
[40] Koepf，W.：幂级数，Bieberbach猜想以及de Branges和Weinstein函数。摘自：Sendra，J.R.（编辑）《2003年国际社会科学院院刊》，第169-175页。费城，ACM，纽约（2003年）·Zbl 1072.68678号
[41] Koepf，W.，Schmersau，D.：关于de Branges定理。复变量31，213–230（1996）·Zbl 0882.30010号
[42] 拉普拉斯，P.-S.：城市景点和计划图。巴黎皇家科学博物馆113-196（1782）。
[43] Lebedev，N.A.，Milin，I.M.：不平等。Vestnik Leningrad Univ.20，157-158（1965）（俄语）
[44] Leeman，G.B.：奇对称单叶函数的第七系数。杜克大学数学。J.43，301–307（1976年）·Zbl 0336.30004号 ·doi:10.1215/S0012-7094-76-04327-1
[45] Legendre，A.-M.：计划图上的套房。巴黎皇家科学院，第372–454页（1789年）。
[46] Leung，Y.：星形函数的逐次系数。牛市。伦敦数学。《社会》第10卷，193-196页（1978年）·Zbl 0422.30010号 ·doi:10.1112/blms/10.2.193
[47] Leung，Y.：罗伯逊关于近凸函数系数的猜想。程序。阿默尔。数学。Soc.76，89–94（1979年）·Zbl 0415.30008号
[48] Littlewood，J.E.：关于函数理论中的不等式。程序。伦敦数学。Soc.（2）23，481–519（1925）·doi:10.1112/plms/s2-231.481
[49] Littlewood，J.E.和Paley，R.E.A.C.：奇数schlicht函数具有有界系数的证明。J.伦敦数学。Soc.7167-169（1932年）·Zbl 0005.01803号 ·doi:10.1112/jlms/s1-3.3.167
[50] Löwner，K.：Untersuchungenüber die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises | z |<1，die durch Funktitonen mit nichtverschwindender Ableitung geliefert werden。S.-B.Verh.Sächs公司。格式。威斯。莱比锡69、89–106（1917）
[51] Löwner，K.：Untersuchungenüber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises I.数学。Ann.89，103-121（1923年）·doi:10.1007/BF01448091
[52] Milin，I.M.：单价函数系数的估计。多克。阿卡德。Nauk SSSR 160（1965），769–771（俄语）=苏联数学。多克。6, 196–198 (1965) ·Zbl 0158.32201号
[53] Milin，I.M.：关于单叶函数的系数。多克。阿卡德。Nauk SSSR 176，1015–1018（1967）（俄语）=苏联数学。多克。8, 1255–1258 (1967) ·Zbl 0176.03201号
[54] Milin，I.M.：单叶函数和正交系。伊兹达特。”Nauka”，莫斯科，1971年（俄语）。英文翻译：Amer。数学。罗德岛普罗维登斯Soc.（1977年）·Zbl 0228.30011号
[55] 米林，I.M.：《德布朗日对比伯巴赫猜想的证明》（俄语），预印本（1984年）·Zbl 0553.30015号
[56] Nehari，Z.：关于Bieberbach-Eilenberg函数的系数。J.数学分析。23, 297–303 (1970). ·Zbl 0207.07703号 ·doi:10.1007/BF02795506
[57] Nehari，Z.：用Loewner方法证明|a4|4。摘自：Clunie，J.，Hayman，W.K.（编辑）《复杂分析研讨会论文集》，坎特伯雷，1973年。伦敦数学。Soc.课堂讲稿系列，第12卷，第107–110页。剑桥大学出版社（1974）。
[58] Nevanlinna，R.：我是Abbildung von Sterngebieten。Oh versikt av Finska Vetenskaps-Soc.Förh.63（A），编号6，1–21（1920–1921）
[59] Ozawa，M.：关于第六系数的Bieberbach猜想。科代数学。第21学期报告，97–128（1969）·Zbl 0184.10502号 ·doi:10.2996/kmj/113845834
[60] Ozawa，M.：关于第六系数的Bieberbach猜想的初等证明。科代数学。Sem.Rep.21、129–132（1969）·Zbl 0202.07201号 ·doi:10.2996/kmj/1138845875
[61] Pederson，R.N.：关于第六系数的Bieberbach猜想的证明。架构（architecture）。理性。机械。分析。31, 331–351 (1968) ·Zbl 0184.10501号 ·doi:10.1007/BF00251415
[62] Pederson，R.N.，Schiffer，M.：关于第五系数的Bieberbach猜想的证明。架构（architecture）。理性。机械。分析。45, 161–193 (1972) ·Zbl 0241.30025号 ·doi:10.1007/BF00281531
[63] Pommerenke，Ch.：单叶函数。范登霍克和鲁普雷希特。哥廷根·苏里奇（1975）
[64] Pommerenke，Ch.：Bieberbach猜想。数学智能器7（2），23–25（1985）·Zbl 0588.30001号 ·doi:10.1007/BF03024170
[65] Reade，M.O.：关于接近凸的单价函数。密歇根州数学。J.3，59–62（1955）·Zbl 0070.07302号 ·doi:10.1307/mmj/1031710535
[66] Robertson，M.S.：单叶函数理论。数学年鉴。37, 374–408 (1936) ·Zbl 0014.16505号 ·doi:10.2307/1968451
[67] 罗戈辛斯基（Rogosinski），W.：《积极的和声》（Un ber positive harmonische Entwicklungen und typeisch-relele Potenzreihen）。数学。Z.35、93–121（1932）·Zbl 0003.39303号 ·doi:10.1007/BF01186552
[68] Salvy，B.，Zimmermann，P.:GFUN：一个Maple包，用于操作一个变量中的生成函数和完整函数。ACM数学软件汇刊20，163-177（1994）·Zbl 0888.65010号 ·数字对象标识代码：10.1145/178365.178368
[69] Schiffer，M.：简单函数家族中的一种变异方法。程序。伦敦数学。Soc.44432-449（1938年）·Zbl 0019.22201号 ·doi:10.1112/plms/s2-44.6.432
[70] 研究，E.：Vorlesungenüber ausgewählte Gegenstände der Geometrie，2。赫夫特：Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Bereiche。Teubner-Verlag，Leipzig-Berlin（1913年）
[71] 托多罗夫，P.G.：Bieberbach猜想的简单证明。牛市。科学院。，六、 塞尔，学院。R.贝尔格。(3) 12, 335–356 (1992) ·Zbl 0806.30017号
[72] Weinstein，L.：Bieberbach猜想。国际。数学。Res.Notices 5，61–64（1991）·Zbl 0743.30021号 ·doi:10.1155/S1073792891000089
[73] Wilf，H.：关于Bieberbach-de Branges定理的两个证明的脚注。牛市。伦敦数学。Soc.26，61-63（1994年）·Zbl 0796.30014号 ·doi:10.1112/blms/261.61
[74] Wilf，H.，Zeilberger，D.：超几何（普通和“q”）多和/积分恒等式的算法证明理论。发明。数学。103, 575–634 (1992) ·doi:10.1007/BF02100618
[75] Zeilberger，D.：证明终止超几何恒等式的快速算法。离散数学。80207–211（1990年）·Zbl 0701.05001号 ·doi:10.1016/0012-365X（90）90120-7
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