安东·莱金;维舍尔德，简;赵爱玲 多项式系统孤立奇点的带通缩的牛顿方法。 （英文） Zbl 1106.65046号 西奥。计算。科学。 359，编号1-3，111-122（2006）. 设（F（{mathbfx}）={mathbf 0}）是（N）未知数（{matHBbC}^N）中的（N）方程的多项式系统。牛顿方法为（{mathbfx}^{star}）生成了一系列近似（{matHBfx}_k）。如果\（{\mathbfx}^{\star}\）是非奇异的，则序列二次收敛（即：\（||{\matHBfx}_k-{\mat血红蛋白x}_{k+1}||=O（||}\mathbf x}_{k-1}-{\mathbf x}_{k}||^2）\）到\（{\mathbf x}^{\star}\）。如果\（{mathbfx}^{star}\）是奇异的，当\（{Mathbfx{k\近似于{mathbf x}^}{star}）时，收敛速度减慢并丢失。作者提出了一种改进的牛顿法，以恢复收敛到孤立奇异根的序列的二次收敛性，而不对多项式系统（F（{mathbfx}）提出额外的精度要求所发展的符号-数字方法产生了一个新的多项式系统，该系统将原始多重解作为正则根。使用标准基，可以证明通缩阶段的数量受孤立根的多重性的限制。这种改进的通缩方法总体上有效，数值稳定，实现相对简单，初步实现在许多示例上都表现得很好。审核人：索尼娅·佩雷斯·迪亚斯（马德里） 引用于63文件 MSC公司： 65H10型 方程组解的数值计算 68瓦30 符号计算和代数计算 2005年12月 场论和多项式的计算方面（MSC2010） 26立方厘米 实多项式：零点的位置 30立方厘米 多项式、有理函数和一个复变量的其他分析函数的零点（例如，具有有界Dirichlet积分的函数的零点） 65H20个 全局方法，包括非线性方程数值解的同伦方法 关键词：数值同伦算法;符号数字计算;修复;数值示例 软件：菲律宾比索;纽顿图书馆;FGb公司;MultRoot（多根）;ALCON公司;单一;UTV公司;PHC包 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Leykin}等人，Theor。计算。科学。359，编号1--3，111-122（2006；Zbl 1106.65046） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Allgower，E.L。；Georg，K.，《数值连续方法导论》，《应用数学经典》，第45卷（2003年），宾夕法尼亚州费城，SIAM:SIAM·Zbl 1036.65047号 [2] 比约克，G。；Fröberg，R.，《计算非齐次代数方程组解的更快方法及其循环根的应用》，J.符号计算。，12, 3, 329-336 (1991) ·Zbl 0751.12001号 [3] G.Björck，R.Fröberg，从代数方程组“划分”某些解的方法，应用于查找所有循环8根，见：M.Gylenberg，L.E.Persson（Eds.），《数学研究中的分析、代数和计算机》，数学讲义，第564卷，纽约州德克尔，1994年，第57-70页。；G.Björck，R.Fröberg，从代数方程组“划分”某些解的方法，应用于查找所有循环8根，见：M.Gylenberg，L.E.Persson（Eds.），《数学研究中的分析、代数和计算机》，数学讲义，第564卷，纽约州德克尔，1994年，第57-70页·Zbl 2002年11月8日 [4] 布鲁姆，L。；Cucker，F。；舒布，M。；Smale，S.，《复杂性与实际计算》（1998），施普林格出版社：柏林施普林格 [5] 考克斯·D。；Little，J。；O'Shea，D.，《使用代数几何》，《数学研究生教材》，第185卷（1998年），《施普林格：施普林格·柏林》·Zbl 0920.13026号 [6] 代顿，B.H。；Zeng，Z.，《求解多项式系统中的多重结构计算》，（Kauers，M.，Proc.2005 Internat.Symp.Symbolic and Algebraic Computation（2005），ACM:ACM New York），116-123·Zbl 1360.65151号 [7] Decker，D.W。；Keller，H.B。；Kelley，C.T.，牛顿法在奇点的收敛速度，SIAM J.Numer。分析。，20, 2, 296-314 (1983) ·Zbl 0571.65046号 [8] Decker，D.W。；Keller，H.B。；Kelley，C.T.，Broyden关于一类在根上具有奇异Jacobian的问题的方法，SIAM J.Numer。分析。，22, 566-574 (1985) ·Zbl 0583.65022号 [9] Decker，D.W。；Kelley，C.T.，牛顿奇点法：II，SIAM J.Numer。分析。，17, 3, 465-471 (1980) ·Zbl 0453.65037号 [10] Dedieu，J.P。；Shub，M.，超定方程组的牛顿方法，数学。公司。，69, 231, 1099-1115 (1999) ·Zbl 0949.65061号 [11] Deufhard，P.，《非线性问题的牛顿方法》。仿射不变性和自适应算法（2004），Springer:Springer Berlin·Zbl 1056.65051号 [12] Deufhard，P。；弗里德勒，B。；Kunkel，P.，《超越临界点的有效数值路径》，SIAM J.Numer。分析。，24, 912-927 (1987) ·Zbl 0632.65058号 [13] C.Durand，约束求解的符号和数值技术，普渡大学计算机科学系博士论文，1998年。；C.Durand，约束求解的符号和数值技术，普渡大学计算机科学系博士论文，1998年。 [14] J.C.Faugère，计算Gröbner基的一种新的高效算法（（F_4）），J.Pure Appl。代数139（1-3）：61-881999，Proc。MEGA’98，1998年6月22日至27日，法国圣马洛。；J.C.Faugère，计算Gröbner基\（（F_4）\）的一种新的高效算法，J.Pure Appl。代数139（1-3）：61-881999，Proc。1998年6月22日至27日，法国圣马洛。 [15] Fierro，R.D。；Hansen，P.C.，Utv扩展包：特殊用途等级揭示算法，Numer。算法，40，1，47-66（2005）·Zbl 1079.65026号 [16] 高，T。；Li，T.Y.，半混合系统的混合体积计算，离散计算。地理。，29, 2, 257-277 (2003) ·Zbl 1052.68131号 [17] M.Giusti，G.Lecerf，B.Salvy，J.C.Yakoubsohn，《关于零簇的位置和近似：嵌入维1的情况》，手稿，2004年。；M.Giusti，G.Lecerf，B.Salvy，J.C.Yakoubsohn，《关于零簇的位置和近似：嵌入维一的情况》，手稿，2004年·Zbl 1124.65047号 [18] Giusti，M。；莱瑟夫，G。；Salvy，B。；Yakoubsohn，J.C.，关于解析函数零点簇的位置和近似，Found。计算。数学。，5, 3, 257-311 (2005) ·Zbl 1109.65046号 [19] W.J.F.Govaerts，《动力平衡分岔的数值方法》，SIAM，宾夕法尼亚州费城，2000年。；W.J.F.Govaerts，《动力平衡分岔的数值方法》，SIAM，宾夕法尼亚州费城，2000年·Zbl 0935.37054号 [20] 格雷厄尔，G.-M。；Pfister，G.，《标准基和合成理论的进展和改进》，Arch。数学。，66, 163-196 (1996) ·Zbl 0854.13015号 [21] 格雷厄尔，G.-M。；Pfister，G.，交换代数的奇异导论（2002），施普林格：施普林格柏林·Zbl 1023.13001号 [22] G.-M Greuel、G.Pfister、H.Schönemann、SINGULAR公司2.0，《多项式计算的计算机代数系统》，凯泽斯劳滕大学计算机代数中心，（2001年）http://www.singular.uni-kl.de\（\rangle；\）。；G.-M Greuel、G.Pfister、H.Schönemann、SINGULAR公司2.0，《多项式计算的计算机代数系统》，凯泽斯劳滕大学计算机代数中心，（2001年）http://www.singular.uni-kl.de\（\rangle；\）。 [23] Griewank，A.，《关于用简单奇异解或近似奇异解求解非线性方程》，SIAM Rev.，27，4，537-563（1985）·Zbl 0598.65026号 [24] Griewank，A.，《评估衍生品：算法区分的原理和技术》（2000），SIAM:SIAM Philadelphia，PA·Zbl 0958.65028号 [25] Gunji，T。；Kim，S。；小岛，M。；武田。；藤泽，K。；Mizutani，T.，PHoM-多项式系统的多面体同伦延拓方法，计算，73，1，57-77（2004）·兹比尔1061.65041 [26] Haagerup，U.，矩阵和循环根的正交最大阿贝尔代数，（算子代数和量子场论（1996），国际出版社），296-322·Zbl 0914.46045号 [27] Kearfott，R.B。；Dian，J.，非线性系统高阶奇异零点的存在性验证，SIAM J.数。分析。，41, 6, 2350-2373 (2003) ·兹比尔1059.65045 [28] 小林，H。；铃木，H。；Sakai，Y.，代数方程解的多重性的数值计算，数学。公司。，67, 221, 257-270 (1998) ·Zbl 0999.65038号 [29] Kunkel，P.，奇点的有效计算，IMA J.Numer。分析。，9, 421-433 (1989) ·Zbl 0676.65048号 [30] Kunkel，P.，《用于计算奇点的扩充系统族的基于树的分析》，IMA J.Numer。分析。，16, 501-527 (1996) ·Zbl 0866.65036号 [31] Lecerf，G.，多重系统的二次牛顿迭代，Found。计算。数学。，2, 247-293 (2002) ·Zbl 1030.65050号 [32] A.Leykin，J.Verschelde，A.Zhao，牛顿法雅可比矩阵的评估，压缩以近似多项式系统的孤立奇异解，见：D.Wang，L.Zhi（编辑），SNC 2005 Proc。国际。符号数字计算研讨会，中国西安，2005年7月19-21日，第19-28页。；A.Leykin，J.Verschelde，A.Zhao，牛顿法雅可比矩阵的评估，压缩以近似多项式系统的孤立奇异解，见：D.Wang，L.Zhi（编辑），SNC 2005 Proc。国际。符号数字计算研讨会，中国西安，2005年7月19日至21日，2005年，第19-28页·Zbl 1117.65074号 [33] Li，T.Y.，用同伦延拓方法求解多元多项式系统，Acta Numer。，6, 399-436 (1997) ·Zbl 0886.65054号 [34] T.Y.Li，同伦延拓法多项式系统的数值解，载：F.Cucker（Ed.），《数值分析手册》，第十一卷。特别卷：计算数学基础，荷兰北部，阿姆斯特丹，2003年，第209-304页。；T.Y.Li，同伦延拓法多项式系统的数值解，载：F.Cucker（Ed.），《数值分析手册》，第十一卷。特别卷：《计算数学基础》，荷兰北部，阿姆斯特丹，2003年，第209-304页·Zbl 1059.65046号 [35] Li，T.Y。；Li，X.，在混合体积计算中寻找混合单元，Found。计算。数学。，1, 2, 161-181 (2001) ·Zbl 1012.65019号 [36] Li，T.Y。；Wang，X.，用实同伦求解实多项式系统，数学。公司。，60, 669-680 (1993) ·Zbl 0779.65033号 [37] Li，T.Y。；Wang，X.，高阶转折点，应用。数学。计算。，64, 155-166 (1994) ·Zbl 0815.65069号 [38] 李，T.Y。；Zeng，Z.，《一种更新、淘汰和应用的等级揭示方法》，SIAM J.Matrix Ana。申请。，26118-946（2005年）·Zbl 1114.15004号 [39] F.S.Macaulay，《模块系统的代数理论》，剑桥大学出版社，剑桥，1916年，由保罗·罗伯茨在剑桥数学图书馆重新出版，1994年。；F.S.Macaulay，《模块系统的代数理论》，剑桥大学出版社，剑桥，1916年，由保罗·罗伯茨在剑桥数学图书馆重新出版，1994年。 [40] Marinari，M.G。；穆勒，H.M。；Mora，T.，关于多项式系统求解中的多重性，Trans。阿默尔。数学。Soc.，348，8，3283-3321（1996）·Zbl 0910.13009号 [41] F.Mora，计算切锥方程的算法，J.Calmet（编辑），《计算机代数》，EUROCAM’82，欧洲计算机代数会议，法国马赛，1982年4月，《计算机科学讲义》，第144卷，柏林斯普林格，1982年，第158-165页。；F.Mora，计算切锥方程的算法，J.Calmet（编辑），《计算机代数》，EUROCAM’82，欧洲计算机代数会议，法国马赛，1982年4月，《计算机科学讲义》，第144卷，柏林斯普林格，1982年，第158-165页·Zbl 0568.68029号 [42] Mora，T.，Gröbner对偶和线性一般位置上的多个点，Proc。阿默尔。数学。《社会学杂志》，第125、5、1273-1282页（1997年）·Zbl 0931.13020号 [43] 森谷，S。；Kuriyama，K.，《关于代数方程组的多零点》（Dooley，S.，Proc.1999 Internat.Symp.Symbolic and algebraic Computation（ISSAC 1999）（1999），ACM:ACM New York），23-30 [44] Mourrain，B.，孤立点，对偶性和剩余，J.Pure Appl。代数，117/118，469-493（1997）·Zbl 0896.13020号 [45] Ojika，T.，《求解奇异问题的改进通缩算法》，I.非线性代数方程组，J.Math。分析。申请。，123, 199-221 (1987) ·Zbl 0625.65043号 [46] Ojika，T.，求解奇异问题的改进通缩算法，II。非线性多点边值问题，数学J。分析。申请。，123, 222-237 (1987) ·Zbl 0625.65078号 [47] Ojika，T.，非线性代数方程组支点的数值方法，应用。数字。数学。，4, 419-430 (1988) ·Zbl 0646.65045号 [48] Ojika，T。；渡边，S。；Mitsui，T.，非线性方程组多重根的通缩算法，J.Math。分析。申请。，96, 463-479 (1983) ·Zbl 0525.65027号 [49] 奥尔特加，J.M。；Rheinboldt，W.C.，《多变量非线性方程的迭代解法》，应用数学经典，第30卷（2000年），SIAM:SIAM Philadelphia，PA·Zbl 0949.65053号 [50] L.B.Rall，《自动微分：技术与应用》，《计算机科学讲义》，第120卷，施普林格出版社，柏林，1981年。；L.B.Rall，《自动微分：技术与应用》，《计算机科学讲义》，第120卷，施普林格出版社，柏林，1981年·Zbl 0473.68025号 [51] A.J.Sommese，C.W.Wampler，《数值代数几何》，收录于：J.Renegar，M.Shub，S.Smale（编辑），《数值分析的数学，应用数学讲座》，第32卷，美国数学学会，普罗维登斯，RI，1996年，第749-763页。程序。1995年7月17日至8月11日，犹他州帕克城，AMS-SIAM应用数学夏季研讨会。；A.J.Sommese，C.W.Wampler，《数值代数几何》，收录于：J.Renegar，M.Shub，S.Smale（编辑），《数值分析的数学，应用数学讲座》，第32卷，美国数学学会，普罗维登斯，RI，1996年，第749-763页。程序。1995年7月17日至8月11日，犹他州帕克城，AMS-SIAM应用数学夏季研讨会·Zbl 0856.65054号 [52] Sommese，A.J。；Wampler，C.W.，《工程与科学中多项式系统的数值解》（2005），《世界科学：世界科学新加坡》·Zbl 1091.65049号 [53] F.Sottile，Th.Theobald，线与（mathbb{R}^n）中的（2n-2）球体相切。变速器。阿默尔。数学。Soc.\（354（2002）4815-4829\langle；\）http://www.math.tamu.edu/\（\sim；\）sottile/pages/spheres/index.html \（\rangle；\）提供了一个不错的计算机代数补充。；F.Sottile，Th.Theobald，线与（mathbb{R}^n）中的（2n-2）球体相切。变速器。阿默尔。数学。Soc.\（354（2002）4815-4829\langle；\）http://www.math.tamu.edu/\（\sim；\）sottile/pages/spheres/index.html \（\rangle；\）提供了一个不错的计算机代数补充·Zbl 1063.14066号 [54] Stetter，H.J.，《数值多项式代数》（2004），SIAM:SIAM Philadelphia，PA·兹比尔1058.65054 [55] Sturmfels，B.，《多项式方程组的求解》。CBMS区域数学会议系列，第97卷（2002年），美国数学学会：美国数学学会普罗维登斯，RI·Zbl 1101.13040号 [56] J.Verschelde，算法795:PHCpack:同伦延拓多项式系统的通用求解器，ACM Trans。数学。柔和。25(2) (1999) 251-276. 软件位于\（\langle；\）http://www.math.uic.edu/\（\sim；\）一月\（\range；\）。；J.Verschelde，算法795:PHCpack:同伦延拓多项式系统的通用求解器，ACM Trans。数学。柔和。25(2) (1999) 251-276. 软件位于\（\langle；\）http://www.math.uic.edu/\（\sim；\）简\（\rangle；\·Zbl 0961.65047号 [57] J.Verschelde，A.Zhao，孤立奇点的牛顿通货紧缩方法，2004年7月6日在西班牙桑坦德ISSAC’04发表的海报。在\（\langle；\）上提供http://www.math.uic.edu/\（\sim；\）jan/poster.pdf\（\rangle；\）和at（\langle；\）网址：http://www.math.uic.edu/\（\sim；\）azhao1/poster.pdf\（\rangle；\）。；J.Verschelde，A.Zhao，《牛顿方法与孤立奇点的通缩》，2004年7月6日在西班牙桑坦德ISSAC’04上发布的海报。在\（\langle；\）上提供http://www.math.uic.edu/\（\sim；\）jan/poster.pdf\（\rangle；\）和at（\langle；\）http://www.math.uic.edu/\（\sim；\）azhao1/poster.pdf\（\rangle；\）。 [58] Ypma，T.Y.，《牛顿-雷普森方法的历史发展》，SIAM Rev.，37，4，531-551（1995）·Zbl 0842.01005号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。