乔里斯·范德霍温 放松，但不要太懒。 （英语） Zbl 1011.68189号 J.塞姆。计算。 34，第6期，479-542（2002）. 小结：假设我们希望扩展两个形式幂级数（f）和（g）的乘积（h=fg）。经典地，有两种算法可以做到这一点：热情的算法首先将（f）和（g）扩展到顺序（n），然后将结果相乘并按顺序截断。相反，懒惰算法会逐步计算（f）、（g）和（h）的系数，并且它们在每个阶段都只执行严格必要的计算。特别是，在计算（h）中的（z^i）系数时，只有（f_0，dots，f_i）和（g_0，dots，g_i）是已知的。懒惰算法的优点是，（f）和（g）的系数实际上可能取决于（h）的“先前”系数，只要在乘法中需要它们之前计算它们，即系数（fi）和（g_i）可能取决于\（h_0，dots，h{i-1}）。因此，在求解形式幂级数环中的函数方程时，惰性算法非常有用。然而，惰性算法的缺点是，经典的多项式渐进快速乘法算法（如分治算法和快速傅里叶乘法）无法使用。因此，在前一篇论文中，我们引入了松弛算法，该算法与惰性算法共享关于函数方程解析的特性，但在计算给定系数\（h）时，其计算量略高于惰性算法。这些额外的计算预计了下一个系数\（h）的计算，并大大提高了此类算法的渐近时间复杂性。本文综述了几种经典和新的形式幂级数运算算法，包括乘法、除法、微分方程的求解、合成和求逆算法。接下来，我们给出了这些操作的各种松弛算法。所有算法都有详细说明，我们证明了理论的时间和空间复杂度界限。大多数算法都是在C++中实验实现的，我们提供了基准测试。最后，我们对未来的开发提出了一些建议，并讨论了懒惰和放松方法对于特定应用程序的适用性。本文既面向那些对形式幂级数操作的最新算法感兴趣的人，也面向那些希望将幂级数库实际实现到计算机代数系统中的人。 引用于1审查引用于40文件 MSC公司： 68瓦30 符号计算和代数计算 13层25 形式幂级数环 关键词：惰性算法；狂热的算法；松弛算法 软件：gfun公司；反恐精英；CABAL公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.van der Hoeven}，J.Symb。计算。34，第6号，479--542（2002；Zbl 1011.68189） 全文： 内政部 链接 参考文献： [1] Bernardin，L.，《关于双变量Hensel提升及其并行化》，（Gloor，O.，《ISSAC’98（1998）会议录》，罗斯托克：德国罗斯托克），96-100·兹伯利0918.11063 [2] Bernstein，D.J.，在本质上是线性时间的有限环上合成幂级数，J.S.C.，26，339-341（1998）·Zbl 0934.68129号 [3] 布伦特，R.P。；Kung，H.T.，（O（（nlogn）^{3/2}）幂级数的合成和反演算法，（Traub，J.F.，分析计算复杂性，卡内基梅隆大学举行的分析计算复杂性研讨会论文集（1975））·兹伯利0411.68043 [4] 布伦特，R.P。；Kung，H.T.，多元幂级数合成和反演的快速算法，Proc。Conf.Th.Comp.公司。加拿大安大略省滑铁卢科学院（1977年），滑铁卢大学，第149-158页·Zbl 0411.68043号 [5] 布伦特，R.P。；Kung，H.T.，操作形式幂级数的快速算法，J.ACM，25581-595（1978）·Zbl 0388.68052号 [6] 布伦特，R.P。；Traub，J.F.，《关于幂级数合成和广义合成的复杂性》，SIAM J.Compute。，9, 54-66 (1980) ·Zbl 0447.68033号 [7] 坎尼，J。；Kaltoffen，E。；Lakshman，Y.，《更快地求解非线性多项式方程组》，ISSAC’89年会议记录，俄勒冈州波特兰（1989），ACM出版社：纽约ACM出版社，第121-128页 [8] 康托，D.G。；Kaltofen，E.，《关于任意代数上多项式的快速乘法》，Acta Infor。，28, 693-701 (1991) ·Zbl 0766.68055号 [9] 丘德诺夫斯基。；Chudnovsky，G.V.，《为数学物理和数论服务的计算机代数》（计算机数学，加利福尼亚州斯坦福市，1986年），卷125《纯数学和应用数学课堂讲稿》（1990），德克尔：德克尔纽约，第109-232页·Zbl 0698.00036号 [10] S.A.Cook，1966年；S.A.Cook，1966年 [11] 库利，J.W。；Tukey，J.W.，《复数傅里叶级数的机器计算算法》，《数学》。计算。，19, 297-301 (1965) ·Zbl 0127.09002号 [12] A.丹尼斯。；杜图尔，I。；Zimmermann，P.，Cs:用于计数和随机生成组合结构的MuPAD包，《1998年FPSAC会议录》，软件演示，第195-204页 [13] 丹妮丝，A。；Zimmermann，P.，使用浮点算法均匀随机生成可分解结构，Theor。计算。科学。，218, 219-232 (1999) [14] 弗拉乔莱特，P。；Salvy，B。；Zimmermann，P.，算法的自动平均案例分析，T.C.S.，79，37-109（1990）·Zbl 0768.68041号 [15] 弗拉乔莱特，P。；Sedgewick，R.，《算法分析导论》（1996），Addison-Wesley：Addison-Whesley Reading，马萨诸塞州·兹伯利0841.68059 [16] 弗拉乔莱特，P。；Soria，M.，《循环构造》，SIAM J.离散数学。，4, 48-60 (1991) ·Zbl 0714.05003号 [17] 弗拉乔莱特，P。；齐默尔曼，P。；Van Cutsem，B.，标记组合结构随机生成的微积分，Theor。计算。科学。，132, 1-35 (1994) ·Zbl 0799.68143号 [18] 海德曼，M.T。；约翰逊·D·H。；Burrus，C.S.，Gauss和fft的历史，IEEE Acoust。语音信号处理。杂志，114-21（1984） [19] Karatsuba，A。；Ofman，J.，УмнoбнeманoГoаатнaннтxмиc tengЛнavтoмaтax，Dokl。阿卡德。Nauk SSSR，7，293-294卡拉通巴和奥夫曼（1963）（1962）英文翻译 [20] Karatsuba，A。；Ofman，J.，《自动机上多位数的乘法》，Sov。物理。道克。，7, 595-596 (1963) [21] Knuth，D.E.，《计算机编程的艺术》，第2卷《半数值算法》（1997），Addison-Wesley·Zbl 0895.68055号 [22] Kung，H.T。；Traub，J.F.，《所有代数函数都可以快速计算》，J.ACM，25，245-260（1978）·Zbl 0371.68019号 [23] G.Lecerf，爱沙尼亚。Schost，2001，GAGE，埃科尔理工大学，91228 Palaiseau，法国；G.Lecerf，爱沙尼亚。Schost，2001，GAGE，埃科尔理工大学，91228 Palaiseau，France [24] Lipshitz，L.，D-有限幂级数，J.Algeb。，122, 353-373 (1989) ·Zbl 0695.12018号 [25] Mulders，T.，《关于短乘除法》，AAECC，11，69-88（2000）·Zbl 0968.68200号 [26] 诺曼，A。；Fitch，J.，《Cabal：并行计算机上的多项式和幂级数代数》，（Hitz，M.；Kaltofen，E.，《PASCO论文集》97（1997），196-203·Zbl 0923.68074号 [27] Norman，A.C.，用形式幂级数计算，ACM Trans。数学。软件，1346-356（1975）·Zbl 0315.65044号 [28] Nussbaumer，H.J.，《快速傅里叶变换和卷积算法》（1981），施普林格出版社·Zbl 0599.65098号 [29] Odlyzko，A.M.，满足函数方程的幂级数系数的周期振荡，高级数学。，44, 180-205 (1982) ·Zbl 0484.30002号 [30] Pólya，G.，Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen，Graphen und chemische Verbindungen，《数学学报》。，68, 145-254 (1937) ·传真：63.0547.04 [31] 理查森，D。；Salvy，B。；沙克尔，J。；van der Hoeven，J.，exp-log函数的扩展，（Lakhsman，Y.N.，1996年ISSAC会议记录），309-313·Zbl 0914.65008号 [32] B.Salvy，1991年；B.Salvy，1991年 [33] Salvy，B。；Zimmermann，P.，Gfun：一个Maple软件包，用于操作一个变量中的生成函数和完整函数，ACM-Trans。数学。软件，20163-177（1994）·Zbl 0888.65010号 [34] Schönhage，A。；斯特拉森，V.，Schnelle Multiplikation grosser Zahlen，Computing，7，281-292（1971）·Zbl 0223.68007号 [35] Sieveking，M.，幂级数除法，计算，10153-156（1972）·Zbl 0251.68023号 [36] M.Soria，1990年；M.Soria，1990年 [37] Stanley，R.P.，微分有限幂级数，欧洲。J.库姆。，175-188 MR#81m:05012（1980）·Zbl 0445.05012号 [38] Stanley，R.P.，《枚举组合数学》（1999），剑桥大学出版社·Zbl 0928.05001号 [39] Stroustrup，B.，《C++编程语言》（1995），Addison-Wesley [40] Toom，A.L.，实现整数乘法的功能元素方案的复杂性，Sov。数学。，4, 714-716 (1963) ·Zbl 0203.15604号 [41] Toom，A.L.，O cüOбнocтиcкxмтаифyнктcиOнAаатниxлтммнтOв，pЭAЛииpyиyмаOанeеттриуиcyмимеаеисиаки，Dokl。阿卡德。Nauk SSSR，150，496-498 Toom的英文翻译（1963a）（1963）·Zbl 0203.15604号 [42] J.van der Hoeven，1997年a；J.van der Hoeven，1997年a [43] van der Hoeven，J.，形式幂级数的懒惰乘法，（Küchlin，W.W.，ISSAC’97（1997）会议记录），17-20·Zbl 0932.68135号 [44] von Zurgathen，J。；Gerhard，J.，《现代计算机代数》（1999），剑桥大学出版社·兹伯利0936.11069 [45] Zeilberger，D.，特殊函数恒等式的完整系统方法，计算机J。申请。数学。，32, 321-368 (1990) ·Zbl 0738.33001号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。